4.1.1 中心投影同步练习
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第四章 投影与视图
1 投影
第1课时 中心投影
课前预习
1.投影、投影面
物体在光线的照射下,会在地面或其他平面上留下它的影子,这就是________现象.影子所在的平面称为投影面。
2.中心投影
手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从_____________发出的,这样的光线所形成的投影称为_______________。
3.中心投影的特征
(1)等高的物体垂直放置于地面时,在低于点光源的情况下,离点光源近的物体的影子_______________；离点光源远的物体的影子_____________。
(2)等长的物体平行于地面放置时,在低于光源的情况下,离地面越远,影子越__________，离地面越近,影子越____________,但不会比物体本身的长度还短。
(3)两条对应点的连线的交点为光源的位置 。
(4)中心投影不能反映原物体的真实形状和大小。
课内探究分享
探究要点 中心投影的应用
【例】如图所示,晚上,小亮在广场上乘凉.图中线段AB表示站在广场上的小亮,线段PO表示直立在广场上的灯杆,点P表示照明灯。
(1)请你在图中画出小亮在照明灯(P)照射下的影子。
(2)如果灯杆高PO=12m,小亮的身高AB=1.6m,小亮与灯杆的距离BO=13m,请求出小亮影子的长度。
思路分析:
(1)直接连接点光源和物体顶端形成的直线与地面的交点C即是影子的顶端;
(2)根据中心投影的特点可知△CAB∽△CPO,利用相似比即可求解。
【自主解答】
交流分享
本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用,解题的关键是利用中心投影的特点可知这两组三角形相似,利用其相似比作为相等关系求出所需要的线段。
跟踪练习
如图所示,身高为1.6m的小华站在距离路灯杆5m的C处,测得他在灯光下的影长CD为2.5m.请你求出路灯A的高度。
课堂基础
一、选择题
1.下面的四幅图中,灯光与影子的位置合理的是（ ）
2.如图所示,晚上小矫在路灯下散步,她从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处,这一过程中她在该路灯灯光下的影子( )
A.逐渐变短
B.逐渐变长
C.先变短后变长
D.先变长后变短
3.如图所示,丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD,当他走到点P时,发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部,当他向前再步行20m到达Q点时,发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部,已知丁轩同学的身高是1.5m,两个路灯的高度都是9m,则两路灯之间的距离是( ）
A.24m B.25m C.28m D.30m
二、填空
4.如图所示,地面A处有一支燃烧的蜡烛(长度不计),一个人在A与墙BC之间运动,则她在墙上的投影长度随着她离墙的距离变小而____________。(填“变大”“变小”)
三、答题
5.一天晚上,李明和张龙利用灯光下的影子长来测量路灯D的高度.如图所示,当李明走到点A处时,张龙测得李明直立时身高AM与其影子长AE正好相等;接着李明沿AC方向继续向前走,走到点B处时,李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB,并测得AB=1.25m,已知李明直立时的身高为1.75m,求路灯的高CD的长.(结果精确到0.1 m)
四、拓展探究题
6.如图所示,圆桌上方的灯泡发出的光线照射桌面后,在地面上形成阴影(圆形),已知桌面的直径为1.2m,桌面距地面1m,若灯泡离地面2m。
(1)求地面上阴影部分的面积。
(2)若使地面上阴影部分的面积变小,应怎样调整灯泡的高度?灯泡离地面的高度为多少时,地面上阴影部分的面积为0.81πm2。
课后提升
1.下列哪种光线形成的投影不是中心投影( )
A.探照灯 B.太阳 C.手电筒 D.路灯
2.如图所示,夜晚,小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B,他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化,那么表示y与x之间的函数关系的图象大致为( )
3.如图所示是一球吊在空中,当发光的手电筒由远及近移动时,落在竖直墙面上的球影子会___________(填“逐渐变大”或“逐渐变小”)。
4.如图所示,甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米。一天晚上,当小华走到距路灯乙底部5米处时,发现自己的身影顶部正好接触到路灯乙的底部.已知小华的身高为1.5米,那么路灯甲的高为__________米。
5.如图所示,已知甲、乙两棵小树在路灯下的影子。
(1)确定路灯灯泡的位置。
(2)画出小树丙的影子。
6.如图所示,墙壁CD上有一盏灯,小明站在A处测得影长与身长都为1.6m,小明向墙壁走了1m到达B处,发现影子刚好落在A点,。求灯泡与地面的距离CD。
参考答案及解析
课前预习
1.投影 2.一个点 中心投影 3.(1)短 长 (2)长 短
课内探究
【例】(1)连接PA并延长交地面于点C,线段BC就是小亮在照明灯(P)照射下的影子(图略)。
(2)在△CAB和△CPO中,
∵∠C=∠C,∠ABC=∠POC=90°,∴△CAB∽△CPO。∴，，
∴BC=2m
∴小亮影子的长度为2m。
跟踪练习
解:∵△CED∽△BAD,∴。∴CE=1.6m,CD=2.5m,BD=7.5m,
∴AB==4.8(m).即路灯A的高度是4.8m.
课堂基础
1.B 2.A 3.D 4.变小
5.解:设CD长为xm.∵AM⊥EC,CD⊥EC,BN⊥EC,EA=MA,∴∠MEA=45°,
∴∠NBA=∠DCA=90°,EC=CD=x.又∵∠NAB=∠DAC,∴△ABN∽△ACD.∴，
即。解得x=6.125≈6.1,∴路灯的高CD约为6.1m。
6.解:(1)构造几何图型如图所示。
依题意知DE=1.2m,FG=1m,AG=2m,由题意可得△DAE∽△BAC,
∴，即， 解得BC=2.4,
∴(m2)。
(2)要把灯泡调高才能使得阴影部分的面积变小。设调高后灯泡离地面xm,根据题意,得
,且x>1,所以x=3。
即灯泡离地面的高度为3m时,地面上阴影部分的面积为 0.81π m2。
课后提升 1.B
2.A 解析:如图所示,设身高GE=h,CF=,AF=a，当x≤a时，在△OEG和△OFC中，
∠GOE=∠COF(公共角),∠OEG=∠OFC=90o∴△OEG∽△OFC，∴ ，∴，
∴。∵a,h,l都是固定的常数,∴自变量x的系数是固定值，
∴这个函数图象肯定是一次函数图象,即是直线。
∵影长将随着离灯光的距离越来越近而越来越短,到灯下的时候,将是一个点,经过点F,随着离灯光的距离越来越远而影长将变大。
故选A
3.逐渐变大 4. 9
5.解:(1)如图所示,点A是路灯灯泡的位置。
(2)如图所示,线段BC为小树丙的影子。
6.解:如图所示,过点E作EG⊥CD于点G,则 CD∥BF∥AE,GC=FB=EA=1.6m.
设DG=xcm,GF=y m，则，即。
由①②,得x=，y=，
则CD=x+1.6=+=(m)。
1 投影
第1课时 中心投影
课前预习
1.投影、投影面
物体在光线的照射下,会在地面或其他平面上留下它的影子,这就是________现象.影子所在的平面称为投影面。
2.中心投影
手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从_____________发出的,这样的光线所形成的投影称为_______________。
3.中心投影的特征
(1)等高的物体垂直放置于地面时,在低于点光源的情况下,离点光源近的物体的影子_______________；离点光源远的物体的影子_____________。
(2)等长的物体平行于地面放置时,在低于光源的情况下,离地面越远,影子越__________，离地面越近,影子越____________,但不会比物体本身的长度还短。
(3)两条对应点的连线的交点为光源的位置 。
(4)中心投影不能反映原物体的真实形状和大小。
课内探究分享
探究要点 中心投影的应用
【例】如图所示,晚上,小亮在广场上乘凉.图中线段AB表示站在广场上的小亮,线段PO表示直立在广场上的灯杆,点P表示照明灯。
(1)请你在图中画出小亮在照明灯(P)照射下的影子。
(2)如果灯杆高PO=12m,小亮的身高AB=1.6m,小亮与灯杆的距离BO=13m,请求出小亮影子的长度。
思路分析:
(1)直接连接点光源和物体顶端形成的直线与地面的交点C即是影子的顶端;
(2)根据中心投影的特点可知△CAB∽△CPO,利用相似比即可求解。
【自主解答】
交流分享
本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用,解题的关键是利用中心投影的特点可知这两组三角形相似,利用其相似比作为相等关系求出所需要的线段。
跟踪练习
如图所示,身高为1.6m的小华站在距离路灯杆5m的C处,测得他在灯光下的影长CD为2.5m.请你求出路灯A的高度。
课堂基础
一、选择题
1.下面的四幅图中,灯光与影子的位置合理的是（ ）
2.如图所示,晚上小矫在路灯下散步,她从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处,这一过程中她在该路灯灯光下的影子( )
A.逐渐变短
B.逐渐变长
C.先变短后变长
D.先变长后变短
3.如图所示,丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD,当他走到点P时,发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部,当他向前再步行20m到达Q点时,发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部,已知丁轩同学的身高是1.5m,两个路灯的高度都是9m,则两路灯之间的距离是( ）
A.24m B.25m C.28m D.30m
二、填空
4.如图所示,地面A处有一支燃烧的蜡烛(长度不计),一个人在A与墙BC之间运动,则她在墙上的投影长度随着她离墙的距离变小而____________。(填“变大”“变小”)
三、答题
5.一天晚上,李明和张龙利用灯光下的影子长来测量路灯D的高度.如图所示,当李明走到点A处时,张龙测得李明直立时身高AM与其影子长AE正好相等;接着李明沿AC方向继续向前走,走到点B处时,李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB,并测得AB=1.25m,已知李明直立时的身高为1.75m,求路灯的高CD的长.(结果精确到0.1 m)
四、拓展探究题
6.如图所示,圆桌上方的灯泡发出的光线照射桌面后,在地面上形成阴影(圆形),已知桌面的直径为1.2m,桌面距地面1m,若灯泡离地面2m。
(1)求地面上阴影部分的面积。
(2)若使地面上阴影部分的面积变小,应怎样调整灯泡的高度?灯泡离地面的高度为多少时,地面上阴影部分的面积为0.81πm2。
课后提升
1.下列哪种光线形成的投影不是中心投影( )
A.探照灯 B.太阳 C.手电筒 D.路灯
2.如图所示,夜晚,小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B,他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化,那么表示y与x之间的函数关系的图象大致为( )
3.如图所示是一球吊在空中,当发光的手电筒由远及近移动时,落在竖直墙面上的球影子会___________(填“逐渐变大”或“逐渐变小”)。
4.如图所示,甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米。一天晚上,当小华走到距路灯乙底部5米处时,发现自己的身影顶部正好接触到路灯乙的底部.已知小华的身高为1.5米,那么路灯甲的高为__________米。
5.如图所示,已知甲、乙两棵小树在路灯下的影子。
(1)确定路灯灯泡的位置。
(2)画出小树丙的影子。
6.如图所示,墙壁CD上有一盏灯,小明站在A处测得影长与身长都为1.6m,小明向墙壁走了1m到达B处,发现影子刚好落在A点,。求灯泡与地面的距离CD。
参考答案及解析
课前预习
1.投影 2.一个点 中心投影 3.(1)短 长 (2)长 短
课内探究
【例】(1)连接PA并延长交地面于点C,线段BC就是小亮在照明灯(P)照射下的影子(图略)。
(2)在△CAB和△CPO中,
∵∠C=∠C,∠ABC=∠POC=90°,∴△CAB∽△CPO。∴，，
∴BC=2m
∴小亮影子的长度为2m。
跟踪练习
解:∵△CED∽△BAD,∴。∴CE=1.6m,CD=2.5m,BD=7.5m,
∴AB==4.8(m).即路灯A的高度是4.8m.
课堂基础
1.B 2.A 3.D 4.变小
5.解:设CD长为xm.∵AM⊥EC,CD⊥EC,BN⊥EC,EA=MA,∴∠MEA=45°,
∴∠NBA=∠DCA=90°,EC=CD=x.又∵∠NAB=∠DAC,∴△ABN∽△ACD.∴，
即。解得x=6.125≈6.1,∴路灯的高CD约为6.1m。
6.解:(1)构造几何图型如图所示。
依题意知DE=1.2m,FG=1m,AG=2m,由题意可得△DAE∽△BAC,
∴，即， 解得BC=2.4,
∴(m2)。
(2)要把灯泡调高才能使得阴影部分的面积变小。设调高后灯泡离地面xm,根据题意,得
,且x>1,所以x=3。
即灯泡离地面的高度为3m时,地面上阴影部分的面积为 0.81π m2。
课后提升 1.B
2.A 解析:如图所示,设身高GE=h,CF=,AF=a，当x≤a时，在△OEG和△OFC中，
∠GOE=∠COF(公共角),∠OEG=∠OFC=90o∴△OEG∽△OFC，∴ ，∴，
∴。∵a,h,l都是固定的常数,∴自变量x的系数是固定值，
∴这个函数图象肯定是一次函数图象,即是直线。
∵影长将随着离灯光的距离越来越近而越来越短,到灯下的时候,将是一个点,经过点F,随着离灯光的距离越来越远而影长将变大。
故选A
3.逐渐变大 4. 9
5.解:(1)如图所示,点A是路灯灯泡的位置。
(2)如图所示,线段BC为小树丙的影子。
6.解:如图所示,过点E作EG⊥CD于点G,则 CD∥BF∥AE,GC=FB=EA=1.6m.
设DG=xcm,GF=y m，则，即。
由①②,得x=，y=，
则CD=x+1.6=+=(m)。