4.1.2 平行投影同步练习
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文档简介
第四章 投影与视图
1 投影
第2课时 平行投影
课前预习
1.平行投影
___________所形成的投影称为平行投影。
2.同一时刻,同一地点,不同物体的物高与影长有以下关系:或。利用这个关系式可以帮助我们计算物体的高度。
3.平行投影与中心投影的区别
分别过物体顶端及其影子顶端作直线,若两条直线平行,则其光线为太阳光线；若两条直线相交,则为点光源发出的光线。
课内探究
探究要点 平行投影的应用
【例】如图所示是住宅区内的两幢楼,它们的高AB=CD=30m,两楼间的距离AC=30m,现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况。
(1)当太阳光与水平线的夹角为30°时,求甲楼的影子在乙楼上有多高(精确到0.1m,≈1.73)
(2)若要甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上,此时太阳与水平线的夹角为多少度?
思路分析:
(1)延长AB交DC于点E,作EF⊥AB于点F。通过投影的知识结合题意构造直角三角形Rt△BEF,设BF=x,解此直角三角形可得x的值；由此可得EC的数值,即甲楼的影子在乙楼上有多高。
(2)要甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上,易得△ABC为等腰三角形,且AC=30m,容易求得当太阳光与水平线夹角为45°时,甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上。
【自主解答】
交流分享
本题考查了平行投影特点:在同一时刻,不同物体的物高和影长成比例,要求学生通过投影的知识结合图形相似的性质巧妙地求解或解直角三角形,是平行投影性质在实际生活中的应用。
跟踪练习
赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度,如图所示,他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米,同一时刻旗杆的投影一部分在地面上,另部分在某一建筑物的墙上,分别测得其长度为9.6米和2米,则学校旗杆的高度为____________米。
课堂基础
一、选择题
1.天气晴朗的一天,小颖向正北方向走路时,发现自己的影子在左侧,那么小颖当时所处的时间是（ ）
A.上午 B.中午 C.下午 D.不确定
2.上午九时,阳光灿烂,小李在地面上同时摆弄两根长度不相等的竹竿,若它们的影子长度相等,则这两根竹竿的相对位置可能是( )
A.两根都垂直于地面 B.两根都倒在地面上
C.两根不平行斜竖在地面上 D.两根平行斜竖在地面上
3.在同一时刻的阳光下,小华的影子比小东的影子长,那么在同一路灯下,他们的影子为( )
A.小华的比小东的长 B.小华的比小东的短
C.小华的与小东的一样长 D.无法判断谁的长
4.如图所示,太阳在房子的后方,那么你站在房子的正前方看到的影子为( )
5.下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子,将它们按时间先后顺序排列,正确的是( )
A.③①④② B.③②①④ C.③④①② D.②④①③
二、填空题
6.有一棵松树在某一时刻的影子如图所示,同学小军站在A处发现他的影子顶端恰好与树的影子顶端在B处重合,此时小军测得自己影长AB=2m,他与树底端距离AC=4m,若小军身高1.6m,则树高约为____
_______ m。
7.如图所示,小洋在A时测得某树的影长为2m，在B时又测得该树的影长为8m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为____________ m。
三、解答题
8.如图所示,分别是两棵树及其影子的情形。
(1)哪个图反映了阳光下的情形?哪个图反映了灯下的情形?
(2)分别画出两种投影下小莉的影子。
9.如图所示，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区,已知亮区一边D到窗下的墙角的距离为8.7m,窗口高AB为1.8m,求窗口的底边到地面的高BC.
四、拓展探究题
10.如图所示,阳光照射在一根因暴雨发生地陷而倾斜的电线杆AB上,已知AB的长为6m,此时顶点到地面的距离为3m,某时刻身高为1.8m的小明在太阳光下的影长为2.4m,求此时电线杆的影长。
课后提升
1.如图所示的四幅图中,表示两棵小树在阳光下同时刻的影子的可能是( )
2.兴趣小组的同学要测量树的高度,在阳光下,一名同学测得根长为1米的竹竿的影长为0.4米。同时另一名同学测量树的高度时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分落在教学楼的第一级台阶上,测得此影子长为0.2米,第一级台阶高为0.3米,如图所示。若此时落在地面上的影长为4.4米,则树高为( )
A.11.5米 B.11.75米
C.11.8米 D.12.25米
3.将一个三角尺放在太阳光下,它所形成的投影可能是__________,也可能是__________。
4.如图所示,阳光从教室的窗户射入室内,窗户框AB在地面上的影长DE=1.8m,窗户下沿到地面的距离BC=1m,EC=1.2m,那么窗户的高AB为________ m。
5.春分时,小明上午9时出去,测量了自己的影长。出去了一段时间之后,回来时,他发现这时的影长和上午出去时的影长一样长,则小明出去的时间大约有 __________ h。
6.如图所示,太阳光线AC和A’C’是平行的,同一时刻两个建筑物在太阳下的影子一样长,那么建筑物是否一样高?说明理由。
7.某校操场上,立有甲、乙两根木杆AC和A’C’。
(1)某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图①所示,请你画出此时乙木杆的影子。
(2)在你所画的图中有相似三角形吗?
(3)如果甲木杆长2.1m,乙木杆长1.8m,甲木杆的影长为1.2m,则乙木杆的影长约为多少?(精确到0.01m)
8.已知:如图所示,AB和DE是直立在地面上的两根立柱,AB=5m,某一时刻AB在阳光下的投影BC=3 m。
(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影。
(2)在测量AB的投影时,同时测量出DE在阳光下的投影长为6 m,请你计算DE的长。
9.如图所示,AB,CD分别表示某市一小区的两幢楼房,高都为30m,两楼间的距离为24m.现了解到该市规定:在15:00时,前楼在后楼上的影长不得高于16m(该地区15:00时,太阳光线与水平线的夹角为30°)
(1)该小区是否符合规定?
(2)如果要求15:00时,前楼恰好不影响后楼的采光,那么两楼应相距多少米?
参考答案及解析
课前预习 1.平行光线
课内探究
【例】(1)如图所示,延长QB交DC于点E,作EF⊥AB于点F,在Rt△BEF中，
∵EF=AC=30m,∠FEB=30°, BE=2BF。
设BF=x,则BE=2x。
根据勾股定理,得BE2=BF2+EF2, ∴(2x)2=x2+302,
∴x=±10(负值舍去),∴x≈17.3m. 因此,EC=30-17.3=12.7(m)。
(2)当甲幢楼的影子刚好落在点C处时,△ABC为等腰三角形,因此,当太阳光与水平线夹角为45°时,甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上 。
跟踪练习
10 解析:如图所示,延长AB交OC的延长线于点D,则若无建筑物阻挡,OA的影长为OD,OC=9.6米,BC=2米,且CD是BC的形长,∴。 又∵BC=2米,
∴CD=2.4米.∴OD=9.6+2.4=12(米),∴，
∴，∴OA=10米。
课堂基础
1.A 2.C 3.D 4.C
5.C 解析:西为③,西北为④,东北为①,东为②,将它们按时间先后顺序排列为③④①②.故选C
6.4.8 7.4
8.解: (1)图①是阳光下的情形;图②是路灯下的情形。
(2)如图所示.
9.解:∵光线AD∥BE,∴Rt△ADC∽Rt△BEC,∴.
设BC=xm,则AC=(x+1.8)m,BC=8.7-2.7=6(m),∴,解得x=4.∴窗口的底边到地面的高BC为4m。
10解:已知AB=6m,BO=3m,由勾股定理,得AO2+BO2 = AB2,即(m)。设OE的长为xm.由题意得，解得x=4。即AE=AO+OE=(3+4)m。
课后提升
1.D 2.C 3.三角形 一条线段 4. 1.5 5. 6
6.解:一样高.理由:由题意知,△ABC≌△A’B’C’, ∴AB = A’B’。
7.解:(1)如图所示。 (2)有相似三角形.
(3)∵△ABC∽△A’B’C’，∴，即。
∴A’B’≈1.03 m。
答:乙木杆的影长约为1.03m。
8.解:(1)如图所示。
(2)∵太阳光线是平行的,∴AC∥DF.∴∠ACB=∠DFE.
又∵∠ABC=∠DEF=90°, ∴△ABC∽△DEF.∴.∵AB=5m,BC=3m,EF=6m,
∴.∴DE=10m.
9.解:(1)如图所示,假设光线从点G射出,延长GA交CD于点E,作EF⊥AB,交AB于点F。
在Rt△AEF中,∵EF=BD=24m,∠AEF=30°,
∴AE=2AF.设AF=x,则AE=2x.根据勾股定理,得EF2+AF2 = AE2,
∴242+x2=(2x)2,∴x=±8(负值舍去),∴x≈13.9m,
∴ED=30-13.9=16.1(m)>16m,∴不符合规定
(2)∵前楼恰好不影响后楼的采光,∴前楼的影子全部落在后楼前的地面上.延长GE交BD的延长线于点H.∴∠GHB=30°,∴AH=60m,∴BH= m 。∴两楼应相距m。
1 投影
第2课时 平行投影
课前预习
1.平行投影
___________所形成的投影称为平行投影。
2.同一时刻,同一地点,不同物体的物高与影长有以下关系:或。利用这个关系式可以帮助我们计算物体的高度。
3.平行投影与中心投影的区别
分别过物体顶端及其影子顶端作直线,若两条直线平行,则其光线为太阳光线；若两条直线相交,则为点光源发出的光线。
课内探究
探究要点 平行投影的应用
【例】如图所示是住宅区内的两幢楼,它们的高AB=CD=30m,两楼间的距离AC=30m,现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况。
(1)当太阳光与水平线的夹角为30°时,求甲楼的影子在乙楼上有多高(精确到0.1m,≈1.73)
(2)若要甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上,此时太阳与水平线的夹角为多少度?
思路分析:
(1)延长AB交DC于点E,作EF⊥AB于点F。通过投影的知识结合题意构造直角三角形Rt△BEF,设BF=x,解此直角三角形可得x的值；由此可得EC的数值,即甲楼的影子在乙楼上有多高。
(2)要甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上,易得△ABC为等腰三角形,且AC=30m,容易求得当太阳光与水平线夹角为45°时,甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上。
【自主解答】
交流分享
本题考查了平行投影特点:在同一时刻,不同物体的物高和影长成比例,要求学生通过投影的知识结合图形相似的性质巧妙地求解或解直角三角形,是平行投影性质在实际生活中的应用。
跟踪练习
赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度,如图所示,他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米,同一时刻旗杆的投影一部分在地面上,另部分在某一建筑物的墙上,分别测得其长度为9.6米和2米,则学校旗杆的高度为____________米。
课堂基础
一、选择题
1.天气晴朗的一天,小颖向正北方向走路时,发现自己的影子在左侧,那么小颖当时所处的时间是（ ）
A.上午 B.中午 C.下午 D.不确定
2.上午九时,阳光灿烂,小李在地面上同时摆弄两根长度不相等的竹竿,若它们的影子长度相等,则这两根竹竿的相对位置可能是( )
A.两根都垂直于地面 B.两根都倒在地面上
C.两根不平行斜竖在地面上 D.两根平行斜竖在地面上
3.在同一时刻的阳光下,小华的影子比小东的影子长,那么在同一路灯下,他们的影子为( )
A.小华的比小东的长 B.小华的比小东的短
C.小华的与小东的一样长 D.无法判断谁的长
4.如图所示,太阳在房子的后方,那么你站在房子的正前方看到的影子为( )
5.下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子,将它们按时间先后顺序排列,正确的是( )
A.③①④② B.③②①④ C.③④①② D.②④①③
二、填空题
6.有一棵松树在某一时刻的影子如图所示,同学小军站在A处发现他的影子顶端恰好与树的影子顶端在B处重合,此时小军测得自己影长AB=2m,他与树底端距离AC=4m,若小军身高1.6m,则树高约为____
_______ m。
7.如图所示,小洋在A时测得某树的影长为2m，在B时又测得该树的影长为8m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为____________ m。
三、解答题
8.如图所示,分别是两棵树及其影子的情形。
(1)哪个图反映了阳光下的情形?哪个图反映了灯下的情形?
(2)分别画出两种投影下小莉的影子。
9.如图所示，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区,已知亮区一边D到窗下的墙角的距离为8.7m,窗口高AB为1.8m,求窗口的底边到地面的高BC.
四、拓展探究题
10.如图所示,阳光照射在一根因暴雨发生地陷而倾斜的电线杆AB上,已知AB的长为6m,此时顶点到地面的距离为3m,某时刻身高为1.8m的小明在太阳光下的影长为2.4m,求此时电线杆的影长。
课后提升
1.如图所示的四幅图中,表示两棵小树在阳光下同时刻的影子的可能是( )
2.兴趣小组的同学要测量树的高度,在阳光下,一名同学测得根长为1米的竹竿的影长为0.4米。同时另一名同学测量树的高度时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分落在教学楼的第一级台阶上,测得此影子长为0.2米,第一级台阶高为0.3米,如图所示。若此时落在地面上的影长为4.4米,则树高为( )
A.11.5米 B.11.75米
C.11.8米 D.12.25米
3.将一个三角尺放在太阳光下,它所形成的投影可能是__________,也可能是__________。
4.如图所示,阳光从教室的窗户射入室内,窗户框AB在地面上的影长DE=1.8m,窗户下沿到地面的距离BC=1m,EC=1.2m,那么窗户的高AB为________ m。
5.春分时,小明上午9时出去,测量了自己的影长。出去了一段时间之后,回来时,他发现这时的影长和上午出去时的影长一样长,则小明出去的时间大约有 __________ h。
6.如图所示,太阳光线AC和A’C’是平行的,同一时刻两个建筑物在太阳下的影子一样长,那么建筑物是否一样高?说明理由。
7.某校操场上,立有甲、乙两根木杆AC和A’C’。
(1)某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图①所示,请你画出此时乙木杆的影子。
(2)在你所画的图中有相似三角形吗?
(3)如果甲木杆长2.1m,乙木杆长1.8m,甲木杆的影长为1.2m,则乙木杆的影长约为多少?(精确到0.01m)
8.已知:如图所示,AB和DE是直立在地面上的两根立柱,AB=5m,某一时刻AB在阳光下的投影BC=3 m。
(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影。
(2)在测量AB的投影时,同时测量出DE在阳光下的投影长为6 m,请你计算DE的长。
9.如图所示,AB,CD分别表示某市一小区的两幢楼房,高都为30m,两楼间的距离为24m.现了解到该市规定:在15:00时,前楼在后楼上的影长不得高于16m(该地区15:00时,太阳光线与水平线的夹角为30°)
(1)该小区是否符合规定?
(2)如果要求15:00时,前楼恰好不影响后楼的采光,那么两楼应相距多少米?
参考答案及解析
课前预习 1.平行光线
课内探究
【例】(1)如图所示,延长QB交DC于点E,作EF⊥AB于点F,在Rt△BEF中，
∵EF=AC=30m,∠FEB=30°, BE=2BF。
设BF=x,则BE=2x。
根据勾股定理,得BE2=BF2+EF2, ∴(2x)2=x2+302,
∴x=±10(负值舍去),∴x≈17.3m. 因此,EC=30-17.3=12.7(m)。
(2)当甲幢楼的影子刚好落在点C处时,△ABC为等腰三角形,因此,当太阳光与水平线夹角为45°时,甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上 。
跟踪练习
10 解析:如图所示,延长AB交OC的延长线于点D,则若无建筑物阻挡,OA的影长为OD,OC=9.6米,BC=2米,且CD是BC的形长,∴。 又∵BC=2米,
∴CD=2.4米.∴OD=9.6+2.4=12(米),∴，
∴，∴OA=10米。
课堂基础
1.A 2.C 3.D 4.C
5.C 解析:西为③,西北为④,东北为①,东为②,将它们按时间先后顺序排列为③④①②.故选C
6.4.8 7.4
8.解: (1)图①是阳光下的情形;图②是路灯下的情形。
(2)如图所示.
9.解:∵光线AD∥BE,∴Rt△ADC∽Rt△BEC,∴.
设BC=xm,则AC=(x+1.8)m,BC=8.7-2.7=6(m),∴,解得x=4.∴窗口的底边到地面的高BC为4m。
10解:已知AB=6m,BO=3m,由勾股定理,得AO2+BO2 = AB2,即(m)。设OE的长为xm.由题意得，解得x=4。即AE=AO+OE=(3+4)m。
课后提升
1.D 2.C 3.三角形 一条线段 4. 1.5 5. 6
6.解:一样高.理由:由题意知,△ABC≌△A’B’C’, ∴AB = A’B’。
7.解:(1)如图所示。 (2)有相似三角形.
(3)∵△ABC∽△A’B’C’，∴，即。
∴A’B’≈1.03 m。
答:乙木杆的影长约为1.03m。
8.解:(1)如图所示。
(2)∵太阳光线是平行的,∴AC∥DF.∴∠ACB=∠DFE.
又∵∠ABC=∠DEF=90°, ∴△ABC∽△DEF.∴.∵AB=5m,BC=3m,EF=6m,
∴.∴DE=10m.
9.解:(1)如图所示,假设光线从点G射出,延长GA交CD于点E,作EF⊥AB,交AB于点F。
在Rt△AEF中,∵EF=BD=24m,∠AEF=30°,
∴AE=2AF.设AF=x,则AE=2x.根据勾股定理,得EF2+AF2 = AE2,
∴242+x2=(2x)2,∴x=±8(负值舍去),∴x≈13.9m,
∴ED=30-13.9=16.1(m)>16m,∴不符合规定
(2)∵前楼恰好不影响后楼的采光,∴前楼的影子全部落在后楼前的地面上.延长GE交BD的延长线于点H.∴∠GHB=30°,∴AH=60m,∴BH= m 。∴两楼应相距m。