24.1.2 垂直于弦的直径教学设计
湖北省宜昌市秭归县归州中学 向晓琳
一，教学目标
1. 知识和能力：
探索圆的对称性，进而得到垂径定理；能够利用垂径定理解决相关实际问题．
2. 过程和方法：
在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索垂径定理的过程．
进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神．
3. 情感态度和价值观：
使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神
2．教学重点：
垂径定理的归纳
3．教学难点：
利用垂径定理解决实际问题。
4．教学准备：
老师：多媒体课件
学生：圆形纸片
5. 教学过程：
（一），活动探究 获取新知
活动：动手折一折，画一画
（1）请拿出圆形纸片，找出它的圆心。在圆中任画一条弦，组成的新图形还是轴对称图形吗？若是，请折出它的对称轴，并用笔把它的对称轴描出来。
（2）让学生标字母后，再次折叠此纸片，找出重合的部分，初步感知此图形的特殊性。
（3）让学生把此图画在草稿纸上，感知折痕（直径所在的直线）满足的2个条件。
（4）找出该折痕在满足2个条件的情况下，能够得出什么结论。
（5）通过学生不同的画法，想到将条件和结论混合在一起，任选2个作为条件，剩下的3个作为结论，是否成立呢？可选取其中两个验证。
（6）先验证最难的命题：如果一条直线经过圆心，平分弦，那么这条直线垂直于弦，并且平分弦所对的优弧和劣弧是否成立。让学生画图验证，从而得到，要想使该命题成立，必须加限制条件：该弦不是直径。
（7）归纳总结垂径定理：
如果一条直线：
经过圆心.
垂直于弦.
平分弦.
④平分弦所对的优弧.
⑤平分弦所对的劣弧.
满足以上5条中的任意2条，其它3条都成立。
但是：一条直线经过圆心，平分弦时，要求这条弦一定不是直径。
（二）.强化新知 加深理解
通过填空题加深对垂径定理的理解 。 ?1,∵AE=EB,弧AC=弧BC∴________
2,∵AE=EB,CD⊥AB.∴________
3,∵弧AC=弧BC,弧AD=弧BD.∴__________
4，∵CD是直径,AE=EB.∴___________
5，∵CD⊥AB,弧AD=弧BD.∴_____________
(3）运用新知，解决问题
例.如图，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离(弦心距）为3cm，求⊙O的半径。
变式（1）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=2，AB=8，求⊙O的半径。
变式（2）如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径。（精确到 0.1 m）．
（4）归纳小结
一是垂径定理的内容，二是常用的辅助线的作法。
（5）反馈检测
必做题：
1、如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，求拱桥的半径。
2、如图， 圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示AB=8m，∠CAD=30°，求大棚高度CD。
3、如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
且AB=8cm，AC=6cm，那 么⊙O的半径OA长为____________.
选做题：
1、如图所示，⊙O中，弦CD交直径AB于点P，AB=12cm，PA：PB=1：5，且∠BPD=30°，求CD的长。
2,如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
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24．1．2 垂直于弦的直径说课稿
湖北省宜昌市秭归县归州中学 向晓琳
一、说教材
1、本节课选自人教版九上数学第24章第24.1.2内容。作为《圆》这章的第一个重要性质，它研究的是垂直于弦的直径和这弦的关系。
2、该性质是圆的轴对称性的演绎，也是今后证明圆中线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时为后面圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的作用。由于学生在实际运用中出现对垂径定理的文字叙述的理解障碍，不会把垂径定理及推论运用自如，于是我把定理和推论混合到一起，大大减轻了学生在使用中的困难。
二、说教学目标
（1）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。运用垂径定理解决实际问题。
（2）让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的探究过程，激发学生的好奇心和求知欲，促进学生观察分析、归纳问题和解决问题的能力的培养。
(3)通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲同时培养学生勇于探索的精神。
三、说教学重点：
通过学生折叠，画图，再折叠，得出垂径定理的内容。
四，说难点：
教会学生如何运用垂径定理解决实际问题。
五，说教学过程：
（一），活动探究 获取新知
活动：动手折一折，画一画
（1）请拿出圆形纸片，找出它的圆心。在圆中任画一条弦，组成的新图形还是轴对称图形吗？若是，请折出它的对称轴，并用笔把它的对称轴描出来。
（2）让学生标字母后，再次折叠此纸片，找出重合的部分，初步感知此图形的特殊性。
（3）让学生把此图画在草稿纸上，感知折痕（直径所在的直线）满足的2个条件。
（4）找出该折痕在满足2个条件的情况下，能够得出什么结论。
（5）通过学生不同的画法，想到将条件和结论混合在一起，任选2个作为条件，剩下的3个作为结论，是否成立呢？可选取其中两个验证。
（6）先验证最难的命题：如果一条直线经过圆心，平分弦，那么这条直线垂直于弦，并且平分弦所对的优弧和劣弧是否成立。让学生画图验证，从而得到，要想使该命题成立，必须加限制条件：该弦不是直径。
（7）归纳总结垂径定理：
如果一条直线：
经过圆心.
垂直于弦.
平分弦.
④平分弦所对的优弧.
⑤平分弦所对的劣弧.
满足以上5条中的任意2条，其它3条都成立。
但是：一条直线经过圆心，平分弦时，要求这条弦一定不是直径。
（二）.强化新知 加深理解
通过填空题加深对垂径定理的理解 。 ?1,∵AE=EB,弧AC=弧BC∴________
2,∵AE=EB,CD⊥AB.∴________
3,∵弧AC=弧BC,弧AD=弧BD.∴__________
4，∵CD是直径,AE=EB.∴___________
5，∵CD⊥AB,弧AD=弧BD.∴_____________
运用新知，解决问题
例.如图，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离(弦心距）为3cm，求⊙O的半径。
变式（1）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=2，AB=8，求⊙O的半径。
变式（2）如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径。（精确到 0.1 m）．
归纳小结
一是垂径定理的内容，二是常用的辅助线的作法。
反馈检测
必做题：
1、如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，求拱桥的半径。
2、如图， 圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示AB=8m，∠CAD=30°，求大棚高度CD。
3、如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
且AB=8cm，AC=6cm，那 么⊙O的半径OA长为____________.
选做题：
1、如图所示，⊙O中，弦CD交直径AB于点P，AB=12cm，PA：PB=1：5，且∠BPD=30°，求CD的长。
2,如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
湖北省宜昌市秭归县归州中学 向晓琳
孩子：当你停止尝试时，就是失败的时候！
人教版数学九上
一，活动探究，获取新知
活动：动手折一折，画一画
请拿出圆形纸片，找出它的圆心。在圆中任画一条弦，组成的新图形还是轴对称图形吗？若是，请折出它的对称轴，并用笔把它的对称轴描出来。
通过刚才的画法可以得到：
如果一条直线满足：
①经过圆心.
那么这条直线一定
③平分弦.
符号语言：
∵EF经过圆心
EF⊥AB
②垂直于弦.
④平分弦所对的优弧.
⑤平分弦所对的劣弧.
①经过圆心.
如果一条直线
那么这条直线一定
②垂直于弦.
③平分弦.
④平分弦所对的优弧.
⑤平分弦所对的劣弧
②垂直于弦.
探究：我们将条件和结论混合在一起，任选两个作为条件，剩下的三个作为结论，有几种选法？结论是否成立？
如果一条直线
⑤平分弦所对的劣弧
①经过圆心.
②垂直于弦.
③平分弦.
④平分弦所对的优弧.
探究：我们将条件和结论混合在一起，任选两个作为条件，剩下的三个作为结论，有几种选法？结论是否成立？
①经过圆心.
如果一条直线
那么这条直线一定
③平分弦.
④平分弦所对的优弧.
⑤平分弦所对的劣弧
①经过圆心.
②垂直于弦.
探究：我们将条件和结论混合在一起，任选两个作为条件，剩下的三个作为结论，有几种选法？结论是否成立？
如果一条直线
那么这条直线一定
③平分弦
④平分弦所对的优弧.
⑤平分弦所对的劣弧
①经过圆心.
②垂直于弦.
∵EF经过圆心，
DA=DB
且AB不是直径
(不是直径)
探究：我们将条件和结论混合在一起，任选两个作为条件，剩下的三个作为结论，有几种选法？结论是否成立？
①经过圆心.
如果一条直线
那么这条直线一定
③平分弦.
④平分弦所对的优弧.
⑤平分弦所对的劣弧
②垂直于弦.
垂径定理
如果一条直线：
? 经过圆心.
? 垂直于弦.
? 平分弦.
④平分弦所对的优弧.
⑤平分弦所对的劣弧.
满足以上5条中的任意2条，其它3条都成立。
但是：一条直线经过圆心，平分弦时，要求这条弦一定不是直径。
知二推三
1,∵AE=EB,AC=BC.∴___________
2,∵AE=EB,CD⊥AB.∴____________
3,∵AC=BC,AD=BD.∴______________
4，∵CD是直径,AE=EB.∴___________
5，∵CD⊥AB,AD=BD.∴_____________
二．强化新知，加深理解
填空
例.如图，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离(弦心距）为3cm，求⊙O的半径。
·
O
A
B
E
解：过点O作OE⊥AB于E，连接OA
即⊙O的半径为5cm.
三．运用新知，解决问题
∵OE经过圆心，OE⊥AB
变式（1）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=2，AB=8，求⊙O的半径。
变式（2）如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，拱高
（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径。（精确到 0.1 m）．
解得：R≈27．3（m）
解决求赵州桥拱半径的问题
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
即 R2=18.52+（R－7.23）2
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
OA2=AD2+OD2
AB=37，CD=7.23，
∴AD= AB=18.5，
OD=OC－CD=R－7.23
在图中
方法点拨：在解决有关弦的问题时，一般作弦心距，连半径，构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题。
?内容：垂径定理（知二推三）
四．归纳小结
?重要辅助线：过圆心作弦心距，连半径
如果一条直线：
? 经过圆心.
? 垂直于弦.
? 平分弦.
④平分弦所对的优弧.
⑤平分弦所对的劣弧.
满足以上5条中的任意2条，其它3条都成立。
但是：一条直线经过圆心，平分弦时，要求这条弦一定不是直径。
五，反馈检测
必做题：
1、如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，
拱高CD=4米，求拱桥的半径。
2、如图， 圆弧形蔬菜大棚的剖面如
图所示AB=8m，∠CAD=30°，求大棚高度CD。
3、如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂
直的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
且AB=8cm，AC=6cm，那 么⊙O的半径
OA长为____________.
选做题：
1、如图所示，⊙O中，弦CD交直径AB
于点P，AB=12cm，PA：PB=1：5，
且∠BPD=30°，求CD的长。
船能过拱桥吗?
2,如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
船能过拱桥吗
解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根
据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.
由题设得
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈3.9（m）.
在Rt△ONH中，由勾股定理，得
∴此货船能顺利通过这座拱桥.
《垂直于弦的直径》教学反思
湖北省宜昌市秭归县归州中学 向晓琳
本节课是在上节课学习了圆的概念及弧、弦等概念的基础上的一节课。本节课的主要内容一是圆的对称性，二是垂径定理及其推论。本节课我将垂径定理及推论融合到一起，统一叫做垂径定理。
开始让学生带着问题进行学习。数学来源于生活，又服务于生活，在实际生活中，数、形结合随处可见，无处不在。好的实际问题容易引起学生的兴趣，激发学生探索和发现问题的欲望，使学生感到数学课很熟悉，数学知识离我们很近。
在数学教学中，一些结论的表述是很重要的。我在这节课上打破教材原有的顺序和内容，将自己平时教学中积累的经验融入到教学中，将垂经定理及推论融为一体，感觉思路更加顺畅，学生也容易接受。这些表述确实很精炼，也极具条理性，而且我在课堂上,尤其是知识点的联系方面的引导词也恰到好处。今后我将在这方面还要下工夫,在去听其他数学老师的课时,更要注意其他老师在知识点之间的过渡语句.
在教学设计方面,设计的内容确实花了不少心思,就是在时间上把握得不够准确。在内容上，设问导读的问题有点多，学生完成、核对完答案的时间有点长，我在时间把握上不够到位，还是我讲的有点多，浪费了时间，导致学生的练习时间少。还有其他很多问题: 例题的讲解不够详细,深刻. 给学生思考的时间不够……
通过反思这一课的课堂教学，我发现大部分学生对知识的理解很到位，能灵活应用知识于实际生活（求赵州桥主桥拱的半径）（在课堂检测中可以发现）。对这一课进行全面反思后，我认识到要善于处理好教学中知识传授与能力培养的关系，巧妙地引导学生解决生活中的数学问题。不断地激发学生的学习积极性与主动性，培养学生思维能力、想象力和创新精神，使每个学生的身心都能得到充分的发展。 在今后的学习中,我会更加努力,改正自己的缺点,努力钻研教材。
