27.21.相似三角形的判定（3）
学习目标：
理解并掌握相似三角形的判定方法2，3.
培养学生的观察、发现、比较、归纳的能力，感受两个三角形全等的两种判定方法SSS和SAS与三角形相似定理的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系．
让学生经历从试验探究到归纳证明的过程，发展学生合理的推理能力．
学习重点
两个三角形相似的判定方法2，3及其应用．
学习难点
探究两个三角形相似的判定方法2，3的过程．
一、新知引入
1．什么样的两个三角形是相似三角形？相似的两个三角形具有哪些特征？
2.我们学习过哪些判定三角形相似的方法？
全等三角形与相似三角形有怎样的关系？
4．类比两个三角形全等，如果要判定△ABC与△A′B′C′相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？
二、新课讲解
由三角形全等的SSS判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？
探究1：
任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论．
学生动手画图、测量，独立研究后再小组讨论．
试一试：证明你的结论！
已知:如图△ABC和△A`B`C`中A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC.
求证:△ABC∽△A`B`C`
（引导学生分析、讨论、形成逻辑过程，完成证明）
证明：
●归纳：三角形相似的判定方法2：
三边________的两个三角形相似．
几何语言：∵_______________
∴△ABC∽△A`B`C`
例题讲解
例1 根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：
AB=4 cm，BC=6 cm，AC=8 cm，
A′B′=12 cm，B′C′=18 cm，A′C′=24 cm.?
●总结：
变式练习：
1、图1，图2中小正方形的边长均为1，则图2中的哪一个三角形(阴影部分)与图1中的△ABC相似？
2、如图，在正方形网格上有⊿A1B1C1与⊿A2B2C2，它们相似吗？如果相似，求出相似比，如果不相似，请说明理由。
探究2：
利用刻度尺和量角器画△ABC和△A′B′C′，使∠A＝∠A′，和都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B′C′的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B′，∠C与∠C′是否相等？
改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？
学生动手画图、测量，独立研究．
试一试证明你的结论：
已知:如图△ABC和△A`B`C`中,∠A＝∠A` , ∠A` ,A`B`:AB=A`C`:AC.
求证:△ABC∽△A`B`C`
●归纳：三角形相似的判定方法3：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
几何语言：∵_______________________
∴△ABC∽△A`B`C`
例题讲解：
例2 判断图中△AEB和△FEC是否相似？
巩固练习：
1、已知△ABC和 △A’B’C’,根据下列条件判断它们是否相似.（想一想两个三角形相似比是少？）
（1）∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm,
∠A`=120°,A`B`=3cm,A`C`=6cm;
(2) ∠A＝45°，AB=12cm，AC=15cm
∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝20cm
2、思考:①两条直角边对应成比例的两个直角三角形是否相似?为什么?
②等腰三角形ABC与等腰三角形DEF有一角相等,这两个三角形是否相似?为什么?
一个直角三角形的两边长分别为3和6,另一个直角三角形的两边长分别为2和4,那么这两个直角三角形（ ）相似.
A. 一定 B. 一定不 C.可能 D.无法判断
4、如图，下列比列一定成立的是：（ ）
A. B. C. D.
三、拓展提高
例3 如图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，其中，OA=1,OB=1.5,OC=3,OD=2,求证：⊿OAD∽⊿OBC
应用提高：
1、如图所示，点D是⊿ABC中，AB上一点，且AC2=AD*AB,求证：⊿ACD∽⊿ABC
2、如图，已知,试说明∠BAD=∠CAE.
3、要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似?这个问题有其他答案吗?
四、课堂小结
通过本节课的学习，同学们有什么体会与收获？可以与大家分享一下吗？
五、布置作业
练习：教材P451、2、3．
当堂测评
1、图中的两个三角形是否相似？
2、已知△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为4：3，△A2B2C2与△A3B3C3的相似比为4：5，则△A1B1C1与△A3B3C3的相似比为( ) A. 16：15 B. 15：16 C. 3：5 D. 16：15或15：16 3、如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）． A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4、如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE= AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC：CD为( ) A. 2：1 B. 3：2 C. 3：1 D. 5：2 5、如图，在△ABC和△ADE中，＝＝，∠BAD＝20°，求∠CAE的度数．
6、如图所示，在⊿ABC中，AB=AC,D点是CB延长线上的一点，点E是BC延长线上的一点，且满足AB2=DB*CE.
(1)求证：△ADB∽△EAC(2)若∠BAC=40°,求∠DAE的度数。
7、如图，⊿ABC和⊿CDE都是等边三角形，且B、C、D共线，BE分别和AC、AD相交于点M、G，CE和AD相交于点N． 求证：（1）CG平分∠BGD． 2）⊿ACG∽⊿CEG
27.2.1.相似三角形的判定（3）
教学目标：
理解并掌握相似三角形的判定方法2，3.
培养学生的观察、发现、比较、归纳的能力，感受两个三角形全等的两种判定方法SSS和SAS与三角形相似定理的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系．
让学生经历从试验探究到归纳证明的过程，发展学生合理的推理能力．
教学重点
两个三角形相似的判定方法2，3及其应用．
教学难点
探究两个三角形相似的判定方法2，3的过程．
一、新知引入
1．什么样的两个三角形是相似三角形？相似的两个三角形具有哪些特征？
2.我们学习过哪些判定三角形相似的方法？
(三角形相似的预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似)
3．全等三角形与相似三角形有怎样的关系？
(全等三角形是特殊的相似三角形，相似比k＝1)
4．类比两个三角形全等，如果要判定△ABC与△A′B′C′相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？
(不需要)
二、新课讲解
由三角形全等的SSS判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？
探究1：
任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论．
学生动手画图、测量，独立研究后再小组讨论．
试一试：证明你的结论！
已知:如图△ABC和△A`B`C`中A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC.
求证:△ABC∽△A`B`C`
（引导学生分析、讨论、形成逻辑过程，完成证明）
证明：
在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A`B`,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC
∵AD=A`B`∴AD:AB=A`B`:AB
又A`B`:AB=B`C`:BC=C`A`:CA
∴DE:BC=B`C`:BC,EA:CA=C`A`:CA.
因此DE=B`C`,EA=C`A`.
∴△ADE≌△A`B`C`
∴△A`B`C`∽△ABC
●归纳：三角形相似的判定方法2：
三边成比例的两个三角形相似．
几何语言：∵A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC
∴△ABC∽△A`B`C`
例题讲解
例1 根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：
AB=4 cm，BC=6 cm，AC=8 cm，
A′B′=12 cm，B′C′=18 cm，A′C′=24 cm.?
解：相似
●总结：三边的对应关系是“短∶短”“中∶中”“长∶长”.
巩固练习：
1、图1，图2中小正方形的边长均为1，则图2中的哪一个三角形(阴影部分)与图1中的△ABC相似？
导引：图中的三角形为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度的比是否相等来判断哪两个三角形相似．
解:图2 (2)中的三角形与△ABC相似．
2、如图，在正方形网格上有⊿A1B1C1与⊿A2B2C2，它们相似吗？如果相似，求出相似比，如果不相似，请说明理由。
答案：相似，相似比是2:1
探究2：
利用刻度尺和量角器画△ABC和△A′B′C′，使∠A＝∠A′，和都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B′C′的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B′，∠C与∠C′是否相等？
改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？
学生动手画图、测量，独立研究．
试一试证明你的结论：
已知:如图△ABC和△A`B`C`中,∠A＝∠A` , ∠A` ,A`B`:AB=A`C`:AC.
求证:△ABC∽△A`B`C`
证明:在△ABC的边AB、AC(或它们的延长线)
上分别截取AD=A`B`,AE=A`C`,连结DE.
∠A=∠A`, 这样,△ADE≌△A`B`C`.
∵A`B`:AB=A`C`:AC
∴ AD:AB=AE:AC
∴DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴△A`B`C`∽△ABC
●归纳：三角形相似的判定方法3：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
几何语言：∵∠A＝∠A`,∠A`,A`B`:AB=A`C`:AC.
∴△ABC∽△A`B`C`
例题讲解：
例2 判断图中△AEB和△FEC是否相似？
解：相似，利用判定3进行判定
巩固练习：
1、已知△ABC和 △A’B’C’,根据下列条件判断它们是否相似.（想一想两个三角形相似比是少？）
（1）∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm,
∠A`=120°,A`B`=3cm,A`C`=6cm;
(2) ∠A＝45°，AB=12cm，AC=15cm
∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝20cm
解：相似，（（1）相似比为：或）
2、思考:①两条直角边对应成比例的两个直角三角形是否相似?为什么?
②等腰三角形ABC与等腰三角形DEF有一角相等,这两个三角形是否相似?为什么?
答：①一定相似②不一定相似
3、一个直角三角形的两边长分别为3和6,另一个直角三角形的两边长分别为2和4,那么这两个直角三角形（ ）相似。C
A. 一定 B. 一定不 C.可能 D.无法判断
4、如图，下列比列一定成立的是：（ ）B
A. B. C. D.
三、拓展提高
例3 如图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，其中，OA=1,OB=1.5,OC=3,OD=2,求证：⊿OAD∽⊿OBC
证明：∵,
∴又∵∠OAD=∠BOC∴⊿OAD∽⊿OBC
应用提高：
1、如图所示，点D是⊿ABC中，AB上一点，且AC2=AD*AB,求证：⊿ACD∽⊿ABC
证明：∵AC2=AD·AB，∴ ∵∠A=∠A．
∴△ACD∽△ABC，
2、如图，已知,试说明∠BAD=∠CAE.
证明：∵
∴△ABC∽△ADE
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAD=∠CAE
3、要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似?这个问题有其他答案吗?
解：设另外一个三角形的两边长分别为x，y则：
①4:2=5:x=6:y解得：x=2.5 ,y= 3
②4:x=5:2=6:y解得：x=1.6 ,y= 2.4
③4:x=5:y=6:2解得：x= ,y=
四、课堂小结
师：通过本节课的学习，同学们有什么体会与收获？可以与大家分享一下吗？
学生发言，说说自己的体会与收获，教师根据学生的发言予以点评．
五、布置作业
练习：教材P451、2、3．
当堂测评
1、图中的两个三角形是否相似？
2、已知△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为4：3，△A2B2C2与△A3B3C3的相似比为4：5，则△A1B1C1与△A3B3C3的相似比为( ) A. 16：15 B. 15：16 C. 3：5 D. 16：15或15：16 3、如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）． A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4、如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE= AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC：CD为( ) A. 2：1 B. 3：2 C. 3：1 D. 5：2 5、如图，在△ABC和△ADE中，＝＝，∠BAD＝20°，求∠CAE的度数．
6、如图所示，在⊿ABC中，AB=AC,D点是CB延长线上的一点，点E是BC延长线上的一点，且满足AB2=DB*CE.
(1)求证：△ADB∽△EAC(2)若∠BAC=40°,求∠DAE的度数。
7、如图，⊿ABC和⊿CDE都是等边三角形，且B、C、D共线，BE分别和AC、AD相交于点M、G，CE和AD相交于点N． 求证：（1）CG平分∠BGD． 2）⊿ACG∽⊿CEG
1.答案 (1)相似． (2)不相似．
2. A 3. C
4. A
提示：如图，做CN∥AB,交ED于点N, ∵M是AC边中点,△AEM≌△CNM,即CN=AE, ∵AE= AB，∴AE:BE=1:3，即CN:BE=1:3. ∵CN∥AB，∴△DCN∽△DBE,即CD:BD= CN:BE=1:3,∴CD:BC=1:2. 5.解：∵＝＝，
∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似)，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即 ∠BAD＝∠CAE.
∵∠BAD＝20°，
∴∠CAE＝20°.
6.证明：∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB，? ∴∠ABD=∠ACE，? ∵AB2=DB?CE
∴
∴△ADB∽△EAC
（2）∠DAE=110。
7.
证明：如图，作CP⊥AD于P，CQ⊥BE于Q， ∵⊿ABC和⊿CDE都是等边三角形， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE 即∠BCE=∠ACD， ∴△BCE≌△ACD， ∴∠BEC=∠ADC， ∵CP⊥AD，CQ⊥BE ∴∠CQE=∠CPD=90° 在△CQE和△CPD中： ∴△CQE≌△CPD， ∴CQ=CP, ∴CG平分∠BGD（到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。） （2）∵△BCE≌△ACD， ∴∠CBE=∠CAD， 又 ∵∠CMB=∠AMG， ∴∠BCM=∠AGM=60°， 又 ∵CG平分∠BGD， ∴∠CGB=∠CGD=60°=∠EGP， ∴∠AGC=120°=∠CGE， ∠GCE=∠60°?∠BEC ∵∠EBC=60°-∠BEC， ∴∠GCE=∠EBC=∠CAD， ∴△ACG∽△CEG．
