上海市长宁区2019届高三上学期期末质量检测数学试题（官方答案）

长宁区2019届高三第一学期期末质量检测
数学试卷　2018.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 已知集合，，则
2. 已知，则
3. 在的二项展开式中，常数项为 （结果用数值表示）
4. 已知向量，，若向量∥，则实数
5. 若圆锥的侧面面积为，底面面积为，则该圆锥的体积为
6. 已知幂函数的图像过点，则的定义域为
7. 已知，且，则
8. 已知函数和的图像如图所示，则不等式的解集是


9. 如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼的高度，为楼顶，线段的长度为
，在处测得，在处测得，且此时看楼顶的仰角
，已知楼底和、在同一水平面上，则此楼高度
（精确到）
10. 若甲、乙两位同学随机地从门课程中选修门，则两人选修的课程中恰有门相同的
概率为
11. 已知数列的前项和为，且，若数列收敛于常数，则首项
取值的集合为
12. 已知、、与、、是个不同的实数，若关于的方程
的解集是有限集，则集合中
最多有 个元素
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
14. 有一批种子，对于一颗种子来说，它可能天发芽，也可能天发芽，，下表是
不同发芽天数的种子数的记录：
发芽天数 1 2 3 4 5 6 7
种子数 8 26 22 24 12 4 2 0
统计每颗种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是（ ）
A. B. C. D.
15. 已知向量和夹角为，且，，则（ ）
A. B. C. D.
16. 某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题：
已知函数的定义域为，，
① 若当时，都有，则函数是上的奇函数；
② 若当时，都有，则函数是上的增函数.
下列判断正确的是（ ）
A. ①和②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题
C. ①和②都是假命题 D. ①是假命题，②是真命题

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 求下列不等式的解集：
（1）；
（2）








18. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四
个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢
结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马中，底面.
（1）已知，斜梁与底面所成角为，求立柱的长；
（精确到）
（2）求证：四面体为鳖臑.


19. 已知△的三个内角、、所对应的边分别为、、，复数，，（其中是虚数单位），且.
（1）求证：，并求边长的值；
（2）判断△的形状，并求当时，角的大小.






20. 已知函数，.
（1）若函数为偶函数，求实数的值；
（2）若，，且函数在上是单调函数，求实数的值；
（3）若，若当时，总有，使得，求实数的取值
范围.





21. 已知数列的前项和为，且，.
（1）若数列是等差数列，且，求实数的值；
（2）若数列满足（），且，求证：是等差数列；
（3）设数列是等比数列，试探究当正实数满足什么条件时，数列具有如下性质：对于任意的（），都存在，使得，写出你的探究过程，并求出满足条件的正实数的集合.




























2018-2019学年第一学期高三数学质量检测试卷
参考答案与评分标准

一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1． 2． 3． 4．
5． 6． 7． 8．
9． 10． 11． 12．

二．选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．B 14．B 15．D 16．C

三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解：（1）由得 ，……………………4分
解得 ．
所以原不等式的解集是 ．…………………………………6分
（2）原不等式可化为， ……………………4分
因为，所以， ……………………………………5分
解得 ． ………………………………………7分
所以原不等式的解集是． ……………………………8分

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1）解：因为侧棱底面，
则侧棱在底面上的射影是，
所以就是侧棱与底面所成的角，即．……2分
在中，， ………3分
由得 ，解得 ． ………5分
所以立柱的长约为 ． ………………………………6分
（2）由题意知底面是长方形，
所以是直角三角形． ………………………2分
因为侧棱底面，
得，
所以、是直角三角形． …………………………4分
因为，，又，平面，
所以平面． …………………………………………6分
又因为平面，所以，
所以 为直角三角形． …………………………………7分
由鳖臑的定义知，四面体为鳖臑． ………………………8分

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1）证明：由余弦定理得 ，
则

所以 ． ……………………………3分
由题意得 ，
即 ，
由复数相等的定义可得
，且 ，………………………5分
即 ． ………………………………………………6分
（2）由（1）得 ． ………………………1分
由正弦定理得 ，
即 ． ……………………………………………………2分
因为 、，
所以 或 ，
即 或，即或．
所以 知等腰三角形或直角三角形．………………………………4分
当时， ，所以； ……………………6分
当时，，所以 ． ……………8分

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
解：（1）设，则
由于是偶函数，所以对任意，成立．……2分
即 恒成立．
即 恒成立， …………………………………3分
所以 ，解得 ．
所以所求实数的值是 ． …………………………………4分
（2）由，
得 ，即 ………2分
当时，，
因为在区间的单调递增，
所以，再由题设得 …………………………5分
所以． ……………………………………6分
（3）设函数在上的值域为，在上的值域为，
由题意和子集的定义，得．………………………………………2分
当时，，． ………………3分
所以当时，不等式恒成立，
由恒成立，得，
由恒成立，得，
综上，实数的取值范围为 ． ………………6分
其它做法，对应给分。
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
解：（1）设等差数列的公差为．由，得，
解得． ………………………………………………………2分
则得 ，所以．…………………………………………4分
（2）由，得 ，
解得， …………………………………………2分
由，且，，得
当为奇数时，；
当为偶数时，． ………………………………………4分
所以对任意，都有，当时，，
所以数列是以为首项、为公差的等差数列． …………………………………6分
其它解法，对应给分。
（3）由题意， ……………………………………………1分
①当时，，
所以对任意，都有， ………………………………2分
因此数列不具有性质． …………………………………………3分
②当时，，，
所以对任意，都有，
因此数列不具有性质． ．…………………………………………4分
③当时，
,

取(表示不小于的最小整数)，则，.
所以对于任意，，
即对于任意，都不在区间内，
所以数列不具有性质． ………………………………………………6分
④当时，，且，
即对任意的，都有，
所以当时，数列具有性质．……………………………………………7分
综上,使得数列具有性质的正实数的集合为． …………………8分
③④的另解：
当时，单调递增，单调递增，且时，．
若对任意，都存在，使得，即存在在区间内．
观察，，…，
发现在内的只能是． ……………………………………………5分
证明：在个区间，，…，内需要个，
因为，，所以可选择的只能是，共个．
由，得． …………………………………………6分
所以只需满足恒成立，即，
得对任意都成立．
因为数列单调递增，且，所以．
综上,使得数列具有性质的正实数的集合为．……………………8分