上海市青浦区2019届高三上学期期末学业质量调研数学试题（含官方答案）

青浦区2019届高三期末学业质量调研
数学试卷2018.12

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 已知集合，，则
2. 写出命题“若，则”的逆命题
3. 不等式的解集为
4. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则
的值为
5. 已知直角三角形△中，，，
，则△绕直线旋转一周所得几何体
的体积为
6. 如图所示，在复平面内，网格中的每个正方形的边长
都为1，点、对应的复数分别是、，则

7. 已知无穷等比数列各项的和为4，则首项的取值范围是
8. 设函数（），将图像向左平移单位后所得函数图像与
原函数图像的对称轴重合，则
9. 2018首届进博会在上海召开，现要从5男4女共9名志愿者中选派3名志愿者服务轨交2
号线徐泾东站的一个出入口，其中至少要求一名男性，则不同的选派方案共有 种
10. 设等差数列满足，，其前项和为，若数列也为等差数列，
则
11. 已知函数，当时，，若在区间内
有两个不同的零点，则实数的取值范围是
12. 已知平面向量、、满足，，且，则当时，
的取值范围是

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. “”是“的二项展开式存在常数项”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
14. 长轴长为8，以抛物线的焦点为一个焦点的椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
15. 对于两条不同的直线、和两个不同的平面、，以下结论正确的是（ ）
A. 若，∥，、是异面直线，则、相交
B. 若，，∥，则∥
C. ，∥，、共面于，则∥
D. 若，，、不平行，则、为异面直线
16. 记号表示不超过实数的最大整数，若，则
的值为（ ）
A. 899 B. 900 C. 901 D. 902

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 已知正四棱柱的底面边长为3，.
（1）求该正四棱柱的侧面积与体积；
（2）若为线段的中点，求与平面所成角的大小.







18. 如图，某广场有一块边长为1的正方形区域，在点处装有一个可转动的
摄像头，其能够捕捉到图像的角始终为45°（其中点、分别在边、上），
设，记.
（1）用表示的长度，并研究△的周长是否为定值？
（2）问摄像头能捕捉到正方形内部区域的面积至多为多少？





19. 对于在某个区间上有意义的函数，如果存在一次函数使得
对于任意的，有恒成立，则称函数是函数在区间
上的弱渐近函数.
（1）若函数是函数在区间上的弱渐近函数，求实数的
取值范围；
（2）证明：函数是函数在区间上的弱渐近函数.













20.（1）已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，实轴长为4，渐近线方程为，
求双曲线的标准方程；
（2）过（1）中双曲线上一点的直线分别交两条渐近线于、两点，且
是线段的中点，求证：为常数；
（3）我们知道函数图像是由双曲线的图像逆时针旋转45°得到的，函数
图像也是双曲线，请尝试写出双曲线的性质（不必证明）.








21. 若存在常数（，）、、，使得无穷数列满足，
则称数列为“数列”，已知数列为“数列”.
（1）若数列中，，，，，试求的值；
（2）若数列中，，，，，记数列的前项和为，若不
等式对恒成立，求实数的取值范围；
（3）若为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的，并说明理由.









参考答案
一. 填空题
1. 2. 若，则 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 80 10. 11. 12.
二. 选择题
13. A 14. D 15. C 16. C
三. 解答题
17.（1）侧面积为48，体积为36；（2）.





20.（1）；（2）4；
（3）范围：，；
对称性：和；；渐近线：和轴；
顶点坐标：和.



21.（1）8；（2）；（3）和.