2018-2019学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷含解析

2018-2019学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）
下列图形一定是相似图形的是（　　）
A. 两个矩形 B. 两个周长相等的直角三角形C. 两个正方形 D. 两个等腰三角形
已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=6，那么下列各式中，正确的是（　　）
A. sin??=
2
3
B. cos??=
2
3
C. tan??=
2
3
D. cot??=
2
3
已知
??
，
??
是两个非零向量，
??
是一个单位向量，下列等式中正确的是（　　）
A.
??
|
??
|
=
??
B.
??
|
??
|
=
??
|
??
|
C. |
??
|
??
=
??
D. |
??
|
??
=
??
已知
??
??
=
3
5
，下列说法中，错误的是（　　）
A.
??+??
??
=
8
5
B.
?????
??
=
?2
5
C.
??+1
??+1
=
??
??
D.
??
??
=
5
3
如图，在△ABC中，点E、F分别是边AC、BC的中点，设
????
=
??
，
????
=
??
，用
??
、
??
表示
????
，下列结果中正确的是（　　）
A.
1
2
(
??
+
??
)B. ?
1
2
(
??
+
??
)C.
1
2
(
??
?
??
)D.
1
2
(
??
?
??
)
如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（　　）
A.
????
????
=
????
????
B.
????
????
=
????
????
C.
????
????
=
????
????
D.
????
????
=
????
????

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
已知线段a=4?cm，b=9?cm，则线段a，b的比例中项为______cm．
已知点P是线段AB的黄金分割点，AB=4厘米，则较短线段AP的长是______厘米．
已知两地的实际距离为800米，画在图上的距离（图距）为2厘米，在这样的地图上，图距为16厘米的两地间的实际距离为______千米．
计算，（2
??
-
??
）-
1
2
（6
??
-4
??
）=______．
已知△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，BG=8，则BE=______．
在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A（4，2），如果AO与x轴正半轴的夹角为α，那么cosα=______．
在△ABC中，∠C=90°，sinA=
12
13
，BC=12，那么AC=______．
如果α是锐角，且cotα=tan25°，那么α=______度．
如图，线段BD与线段CE相交于点A，ED∥BC，已知2BC=3ED，AC=8，则AE=______．
如图，点C、D在线段AB上（AC＞BD），△PCD是边长为6的等边三角形，且∠APB=120°，若AB=19，则AC=______．
如果三角形有一边上的高恰好等于这边长的
1
2
，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠C=90°，则tanA=______．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosA=
2
3
，如果将△ABC绕着点C旋转至△A′B′C′的位置，使点B′落在∠ACB的角平分线上，A′B′与AC相交于点D，那么线段CD的长等于______．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）
3sin60°-2cos30°+tan60°?cot45°
已知：如图，两个不平行的向量
??
和
??
．求作（1）2
??
+
??
；（2）
??
-
??
（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）
如图，在△ABC中，DE∥BC，
????
????
=
2
5
．（1）如果AD=4，求BD的长度；（2）如果S△ADE=2，求S四边形DBCE的值．

如图，在△ABC中，AB=AC=10，sinC=
3
5
，点D是BC上一点，且DC=AC．（1）求BD的长；（2）求tan∠BAD．
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA和CD的延长线交于P，AC和BD交于点O，连接PO并延长分别交AD、BC于M、N．求证：AM=DM．

如图，已知直线y=-
3
4
x+b与y轴相交于点B（0，3），与x轴交于点A，将△AOB沿y轴折叠，使点A落在x轴上的点C．（1）求点C的坐标；（2）设点P为线段CA上的一个动点，点P与点A、C不重合．联结PB．以点P为端点作射线PM交AB于点M，使∠BPM=∠BAC．①求证：△PBC∽△MPA．②是否存在点P，使△PBM为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
在△ABC中，AB=AC=10，sin∠BAC=
3
5
，过点C作CD∥AB，点E在边AC上，AE=CD，联结AD，BE的延长线与射线CD、射线AD分别交于点F、G．设CD=x，△CEF的面积为y．（1）求证：∠ABE=∠CAD．（2）如图，当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式及定义域．（3）若△DFG是直角三角形，求△CEF的面积．

答案和解析
1.【答案】C【解析】
解：A、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意； B、两个周长相等的直角三角形的对应角不一定相等，不符合题意； C、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意； D、两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意． 故选：C．根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解．本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似形的定义是解题的关键．
2.【答案】D【解析】
解：∵∠C=90°，BC=6，AC=4，∴AB=2，A．sinA==，故此选项错误；B．cosA==，故此选项错误；C．tanA==，故此选项错误；D．cotA==，故此选项正确．故选：D．本题可以利用锐角三角函数的定义以及勾股定理分别求解，再进行判断即可．此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
3.【答案】D【解析】
解：A、得出的是a的方向不是单位向量，故错误； B、左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故错误； C、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误； D、符合向量的长度及方向，故正确； 故选：D．长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的性质和计算法则是解题的关键．
4.【答案】C【解析】
A、如果，那么（a+b）：b=（c+d）：d（b、d≠0）．所以由，得，故该选项正确；B、如果a：b=c：d那么（a-b）：b=（c-d）：d（b、d≠0）．所以由，得，故该选项正确；C、由得，5a=3b，所以a≠b；又由得，ab+b=ab+a即a=b．故该选项错误；D、由得，5a=3b；又由得，5a=3b．故该选项正确；故选：C．根据比例的性质（合分比定理）来解答．本题主要考查的合分比定理和更比定理．①合比定理：如果a：b=c：d，那么（a+b）：b=（c+d）：d （b、d≠0）；②分比定理：如果a：b=c：d那么（a-b）：b=（c-d）：d （b、d≠0）；③合分比定理：如果a：b=c：d那么（a+b）：（a-b）=（c+d）：（c-d） （b、d、a-b、c-d≠0）；④更比定理：如果a：b=c：d那么a：c=b：d（a、b、c、d≠0）．
5.【答案】B【解析】
解：∵=、，∴==，∴．故选：B．此题主要用到了三角形中位线定理，在向量CA、BC已知的情况下，可求出向量AB，又知题中EF为中线，所以只要准确把AB表示出来，向量EF即可解决．本题考查平面向量、三角形中位线定理．解决本题的关键是懂得三角形中如何用三边向量表示、三角形的中位线定理的应用．
6.【答案】A【解析】
解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥DE，AD=BC，∴△BCF∽△EDF，∴=，=，故B，C正确，∵DF∥AB，∴==，故D正确，故选：A．根据矩形的性质以及平行线分线段成比例定理即可解决问题；本题考查相似三角形的判定，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7.【答案】6【解析】
解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积． 设它们的比例中项是x，则x2=4×9，x=±6，（线段是正数，负值舍去），故填6．根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．
8.【答案】6-2
5
【解析】
解：∵点P是线段AB的黄金分割点，∴较长线段BP=×4=2-2（厘米），∴较短线段AP=4-（2-2）=6-2（厘米），故答案为：6-2．根据黄金比是计算．本题考查的是黄金分割，掌握黄金分割的概念，黄金比是是解题的关键．
9.【答案】6.4【解析】
解：设图距为16厘米的两地的实际距离为x米．根据题意得到：=．解得x=6400（米），经检验：x=6400是原分式方程的解，所以图距为16厘米的两地间的实际距离为6.4千米，故答案为：6.4．根据地图上的距离的比值等于实际距离的比值，列比例式即可求解．本题主要考查比例线段，判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
10.【答案】-
??
+
??
【解析】
解：原式=2--3+2=-+，故答案为：-+．先去括号，后合并即可解决问题本题考查平面向量的加法法则，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
11.【答案】12【解析】
解：∵△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，∴G点为△ABC的重心，∴BG=2GE，∴GE=BG=4，∴BE=8+4=12．故答案为12．利用重心的性质得到GE=BG=4，从而计算出BG+GE的和即可．本题考查了重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
12.【答案】
2
5
5
【解析】
解：∵在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A（4，2），∴OA=2，∴cosα==，故答案为．利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，此题比较简单，易于掌握．
13.【答案】5【解析】
解：在△ABC中，∠C=90°，∵sinA==，BC=12，∴AB=13，∴AC==5．故答案为5．先根据正切的定义得到sinA==，则可得到AB=13，然后根据勾股定理计算AC的长．本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
14.【答案】65【解析】
解：∵α是锐角，且cotα=tan25°， ∴α=65°， 故答案为：65．依据α是锐角，且cotα=tan25°，即可得出α=65°．本题主要考查了互余两角三角函数的关系，若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA．
15.【答案】
16
3
【解析】
解：∵ED∥BC，∴=，又∵2BC=3ED，∴=，∴=，∴AE=，故答案为：．依据ED∥BC，可得=，再根据=，即可得到=，进而得出AE=．本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，注意：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
16.【答案】9【解析】
解：∵△PCD是等边三角形， ∴PC=CD=PD=6，∠PCD=∠PDC=60°， ∴∠ACP=∠PDB=120°， ∴∠A+∠APC=60°， ∵∠APB=120°， ∴∠A+∠B=60°， ∴∠APC=∠B， ∴△ACP∽△PDB， ∴AC：PD=PC：BD， ∴AC?BD=PD?PC=36， 设AC=x，则BD=AB-AC-CD=13-x， ∴x（13-x）=36， 解得：x=9，或x=4（舍去）， ∴AC=9； 故答案为：9．根据等边三角形的性质得到PC=CD=PD=6，∠PCD=∠PDC=60°，得出∠ACP=∠PDB=120°，证出∠APC=∠B，得出△ACP∽△PDB，因此AC：PD=PC：BD，AC?BD=PD?PC=36，设AC=x，则BD=AB-AC-CD=13-x，得出方程，解方程即可．该题考查了相似三角形的判定及其性质、等边三角形的性质及其应用等几何知识点问题；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
17.【答案】
1
2
或2或1【解析】
解：分三种情况：①如图1，高AC=BC，此时tanA===2；②如图2，高BC=AC，此时tanA===；③如图3，高CD=AB，设AC=x，BC=y，CD=a，则AB=2a，由三角形面积公式和勾股定理得：，解得：x=y=a（负数舍去），tanA==1；故答案为：或2或1．分为三种情况：画出图形，再解直角三角形即可．本题考查了解直角三角形、勾股定理和三角形的面积，能求出符合的所有情况是解此题的关键，有一定难度，要分情况讨论．
18.【答案】30
2
-12
10
【解析】
解：如图，作B′F⊥AC于F，A′E⊥AC于E． ∵∠BCB′=∠ACB′=∠ACA′=45°，∴△A′EC是等腰直角三角形，△FCB′是等腰直角三角形，在Rt△ACB中，AB=9，cosA=，∴AC=6，BC=3，∴BF=CF=，EC=A′E=3，∵S△A′B′C=×6×3=CD?（3+），∴CD=30-12，故答案为30-12．如图，作B′F⊥AC于F，A′E⊥AC于E．利用面积法构建方程即可解决问题；此题主要考查了旋转的性质以及锐角三角函数关系和三角形面积求法等知识，利用S△A′CB′=S△CDB′+S△CDA′求出是解题关键．
19.【答案】解：原式=3×
3
2
-2×
3
2
+
3
×1=
3
3
2
．【解析】
直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
20.【答案】解：（1）如图1中，
????
即为所求；（2）如图2中，
????
即为所求； 【解析】
（1）如图1中，利用三角形法则，作=2，=，则即为所求；（2）如图2中，利用三角形法则，Z作=，=，则即为所求；本题考查作图，平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21.【答案】解：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴
????
????
=
????
????
，∵
????
????
=
2
5
，AD=4，∴
4
4+????
=
2
5
，∴BD=6； （2）∵△ADE∽△ABC，
????
????
=
2
5
，∴
??
△??????
??
△??????
=（
????
????
）2，∵S△ADE=2，∴
2
2+
??
四边形????????
=（
2
5
）2，解得：S四边形DBCE=
21
2
．【解析】
（1）根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可； （2）根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．本题考查了相似三角形的性质和判定，能推出△ADE∽△ABC是解此题的关键，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
22.【答案】解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，∵AB=AC，∴BE=CE，在Rt△ACE中，AC=10，sin∠C=
3
5
，∴AE=6，∴CE=
??
??
2
???
??
2
=8，∴BC=2CE=16，∴BD=BC-BD=BC-AC=6． （2）过点D作DF⊥AB于点F，在Rt△BDF中，BD=6，sin∠B=sin∠C=
3
5
，∴DF=
18
5
，∴BF=
??
??
2
???
??
2
=
24
5
，∴AF=AB-BF=
26
5
，∴tan∠BAD=
????
????
=
9
13
．【解析】
（1）过点A作AE⊥BC于点E，求出CE，BE，再由CD=AC，可求出BD的长度． （2）过点D作DF⊥AB于点F，在Rt△BDF中求出DF，BF，继而可得AF，从而可求tan∠BAD．本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，注意熟练掌握锐角三角函数的定义．
23.【答案】证明：∵AD∥BC，∴
????
????
=
????
????
，∵AD∥BC，∴
????
????
=
????
????
=
????
????
=
????
????
，∴
????
????
=
????
????
，∴AM=MD．【解析】
依据AD∥BC，即可得出=，再根据AD∥BC，即可得到===，进而得到结论．本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
24.【答案】（1）解：∵直线y=-
3
4
x+b与y轴相交于点B（0，3），∴b=3，∴直线的解析式为y=-
3
4
x+3，令y=0，得到x=4，∴A（4，0），∵点C与点A关于y轴对称，∴C（-4，0）． （2）①证明：∵∠BPM=∠BAC，且∠PMA=∠BPM+∠PBM，∠BPC=∠BAC+∠PBM，∴∠PMA=∠BPC．又∵点C与点A关于y轴对称，且∠BPM=∠BAC，∴∠BCP=∠MAP．∴△PBC∽△MPA． ②解：存在．由题意：A（4，0），B（0，3），C（-4，0）当∠PBM=90°时，则有△BPO∽△ABO∴
????
????
=
????
????
，即
????
3
=
3
4
，∴PO=
9
4
，即：P1（-
9
4
，0）．当∠PMB=90°时，则∠PMA═90°．∴∠PAM+∠MPA=90°．∵∠BPM=∠BAC，∴∠BPM+∠APM=90°．∴BP⊥AC．∵过点B只有一条直线与AC垂直，∴此时点P与点O重合，即：符合条件的点P2的坐标为：P2（0，0）．∴使△PBM为直角三角形的点P有两个P1（-
9
4
，0），P2（0，0）．【解析】
（1）A与C关于y轴对称，据此即可确定C的坐标； （2）①根据点C与点A关于y轴对称，即可得到BC=BA，则∠BCP=∠MAP，再根据三角形的外角的性质即可证得∠PMA=∠BPC，从而证得两个三角形相似； ②首先求得B的坐标，当∠PBM=90°时，则有△BPO∽△ABO，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得PO的长，求得P的坐标； 当∠PMB=90°时，则∠PMA═90°时，BP⊥AC，则此时点P与点O重合．则P的坐标可以求得．本题是属于一次函数综合题，考查了相似三角形的判定和性质、待定系数法、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
25.【答案】解：（1）∵CD∥AB，∴∠BAC=∠ECD，又∵AE=CD，AB=AC，∴△DAC≌△EBA（SAS），∴∠ABE=∠CAD； （2）过点E作EH⊥AB，垂足为H， 由题意知CE=AC-AE=10-x，EH=AEsin∠CAB=
3
5
x，∴AH=
4
5
x，则S△ABE=
1
2
AB?EH=
1
2
×10×
3
5
x=3x，∵CF∥BA，∴△CEF∽△AEB，∴
??
△??????
??
△??????
=（
????
????
）2，即
??
3??
=
(10???
)
2
??
2
，∴y=
3
??
2
?60??+300
??
（0＜x≤5
5
-5）； （3）由于∠DFG=∠EBA＜∠ABC，所以∠DFG不可能为直角，①当∠DGF=90°时，∠EGA=90°，由∠GAE=∠GBA知△GAE∽△GBA，∴tan∠GBA=
????
????
=
????
????
=
??
10
，在Rt△EHB中，tan∠GBA=
????
????
=
3
5
??
10?
4
5
??
=
3??
50?4??
，∴
??
10
=
3??
50?4??
，解得：x=0（舍）或x=5，∴S△CEF=
3×
5
2
?60×5+300
5
=15；②当∠GDF=90°时，∠BAG=90°，由①知△GAE∽△GBA，则∠AEB=∠GEA=90°，∴BE=ABsin∠BAC=10×
3
5
=6，AE=
??
??
2
???
??
2
=8，CE=AC-AE=2，由△CEF∽△AEB知
????
????
=
????
????
，即
2
8
=
????
6
，则EF=
3
2
，∴S△CEF=
1
2
×EF×CE=
1
2
×2×
3
2
=
3
2
，综上所述，若△DFG是直角三角形，则△CEF的面积为15或
3
2
．【解析】
（1）由CD∥AB知∠BAC=∠ECD，结合AE=CD，AB=AC证△DAC≌△EBA即可得；（2）作EH⊥AB，先表示出S△ABE=AB?EH=3x，再证∴△CEF∽△AEB得=（）2，据此可得答案；（3）由∠DFG=∠EBA＜∠ABC知∠DFG不可能为直角，从而分∠DGF=90°和∠GDF=90°两种情况分别求解．本题是三角形综合题，解题的关键是掌握全等三角形和相似三角形的判定与性质、三角函数的应用及分类讨论思想的运用等知识点．