第三章《圆》检测题 A卷

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第三章《圆》检测题 A
评卷人 得 分

一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
2．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（　　）

A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA
3．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=（　　）

A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm
4．（3分）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”
如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是（　　）

A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
5．（3分）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于（　　）

A． B． C．2 D．
6．（3分）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是（　　）

A．80° B．120° C．100° D．90°
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接BF，CF，若∠EDC=135°，CF=2，则AE2+BE2的值为（　　）

A．8 B．12 C．16 D．20
8．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，若sin∠BAC=，BC=2，则⊙O的半径为（　　）

A．3 B．6 C．4 D．2
9．（3分）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD=8，则弦AC的长为（　　）

A．10 B．8 C．4 D．4
10．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（　　）

A．56° B．62° C．68° D．78°
11．（3分）已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（　　）
A．2 B．1 C． D．
12．（3分）如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（　　）

A．2 B． C．πm2 D．2πm2
评卷人 得 分

二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为　 　．

14．（4分）如图，半圆的半径OC=2，线段BC与CD是半圆的两条弦，BC=CD，延长CD交直径BA的延长线于点E，若AE=2，则弦BD的长为　 　．

15．（4分）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACB=　 　°．

16．（4分）如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO=15°，则∠ACB=　 　．

17．（4分）已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为　 　．
18．（4分）如图，△OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA=2，AC=1，把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（1，），则在旋转过程中线段OC扫过部分（阴影部分）的面积为　 　．

评卷人 得 分

三．解答题（共7小题，满分60分）
19．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．
（1）求证：四边形ABFC是菱形；
（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．

20．（8分）如图AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BP与⊙O相交于点D，C为⊙O上的一点，分别连接CB、CD，∠BCD=60°．
（1）求∠ABD的度数；
（2）若AB=6，求PD的长度．

21．（8分）如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作AB的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G，且∠ABG=2∠C．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若tanC=，AC=8，求⊙O的半径．

22．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．

23．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．

24．（10分）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC=60°，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为点D．
（1）求扇形OBC的面积（结果保留π）；
（2）求证：CD是⊙O的切线．

25．（10分）如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．
（1）求证：BG∥CD；
（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．



答案与解析
一．选择题
1．【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，则直线和圆相切．
【解答】解：∵圆心到直线的距离5cm=5cm，
∴直线和圆相切．
故选：B．
2．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；
B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本选项正确；
C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；
D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．
故选：B．
3．【分析】根据垂径定理可得出CE的长度，在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，再利用AE=AO+OE即可得出AE的长度．
【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，
∴CE=CD=4cm．
在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，
∴OE==3cm，
∴AE=AO+OE=5+3=8cm．
故选：A．
4．【分析】设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，则有r2=52+（r﹣1）2，解方程即可；
【解答】解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，
则有r2=52+（r﹣1）2，
解得r=13，
∴⊙O的直径为26寸，
故选：C．
5．【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解．
【解答】解：∵∠DAB=∠DEB，
∴tan∠DAB=tan∠DEB=．
故选：D．
6．【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A=180°﹣∠BCD=60°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，
故选：B．
7．【分析】由四边形BCDE内接于⊙O知∠EFC=∠ABC=45°，据此得AC=BC，由EF是⊙O的直径知∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°及∠BCF=∠ACE，再根据四边形BECF是⊙O的内接四边形知∠AEC=∠BFC，从而证△ACE≌△BFC得AE=BF，根据Rt△ECF是等腰直角三角形知EF2=16，继而可得答案．
【解答】解：∵四边形BCDE内接于⊙O，且∠EDC=135°，
∴∠EFC=∠ABC=180°﹣∠EDC=45°，
∵∠ACB=90°，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AC=BC，
又∵EF是⊙O的直径，
∴∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°，
∴∠BCF=∠ACE，
∵四边形BECF是⊙O的内接四边形，
∴∠AEC=∠BFC，
∴△ACE≌△BFC（ASA），
∴AE=BF，
∵Rt△ECF中，CF=2、∠EFC=45°，
∴EF2=16，
则AE2+BE2=BF2+BE2=EF2=16，
故选：C．
8．【分析】连接OB，OC．作OD⊥BC于D，根据同弧所对圆心角是圆周角的两倍，可得∠BOC=2∠A，根据等腰三角形的性质，可得CD=，∠COD=∠A，根据锐角三角函数可得圆的半径．
【解答】解：如图：连接OB，OC．作OD⊥BC于D

∵OB=OC，OD⊥BC
∴CD=BC，∠COD=∠BOC
又∵∠BOC=2∠A，BC=2
∴∠COD=∠A，CD=
∵sin∠BAC=
∴sin∠COD=
∴OC=3
故选：A．
9．【分析】由AB是圆的切线知AO⊥AB，结合CD∥AB知AO⊥CD，从而得出CE=4，Rt△COE中求得OE=3及AE=8，在Rt△ACE中利用勾股定理可得答案．
【解答】解：∵直线AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB，
又∵CD∥AB，
∴AO⊥CD，记垂足为E，
∵CD=8，
∴CE=DE=CD=4，
连接OC，则OC=OA=5，

在Rt△OCE中，OE===3，
∴AE=AO+OE=8，
则AC===4，
故选：D．
10．【分析】由点I是△ABC的内心知∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，从而求得∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．
【解答】解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，
∵∠AIC=124°，
∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）
=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
=180°﹣2（180°﹣∠AIC）
=68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B=68°，
故选：C．
11．【分析】根据题意可以求得半径，进而解答即可．
【解答】解：因为圆内接正三角形的面积为，
所以圆的半径为，
所以该圆的内接正六边形的边心距×sin60°=，
故选：B．
12．【分析】连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式求出即可．
【解答】解：
连接AC，
∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，
∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC（扇形的半径相等），
∵AB2+BC2=22，
∴AB=BC=m，
∴阴影部分的面积是=（m2），
故选：A．
二．填空题
13．【分析】过点M作MF⊥CD于点F，则CF=CD=8，过点C作CE⊥OA于点E，由勾股定理可求得MF的长，从而得出OE的长，然后写出点C的坐标．
【解答】解：∵四边形OCDB是平行四边形，B（16，0），
∴CD∥OA，CD=OB=16，
过点M作MF⊥CD于点F，则CF=CD=8，
过点C作CE⊥OA于点E，
∵A（20，0），
∴OE=OM﹣ME=OM﹣CF=10﹣8=2．
连接MC，则MC=OA=10，
∴在Rt△CMF中，由勾股定理得MF==6
∴点C的坐标为（2，6）
故答案为：（2，6）．

14．【分析】连接OD，AD，根据OC平分∠BCD，BC=DC，即可得到BD⊥CO，依据AB是直径，可得AD⊥BD，进而得出AD=CO=1，再根据Rt△ABD，利用勾股定理可得BD=．
【解答】 解：如图，连接OD，AD，
∵BC=DC，BO=DO，
∴∠BDC=∠DBC，∠BDO=∠DBO，
∴∠CDO=∠CBO，
又∵OC=OB=OD，
∴∠BCO=∠DCO，即OC平分∠BCD，
又∵BC=DC，
∴BD⊥CO，
又∵AB是直径，
∴AD⊥BD，
∴AD∥CO，
又∵AE=AO=2，
∴AD=CO=1，
∴Rt△ABD中，BD===．
故答案为：．

15．【分析】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，则利用互余计算出∠D=40°，然后再利用圆周角定理得到∠ACB的度数．
【解答】解：连接BD，如图，
∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠D=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°，
∴∠ACB=∠D=40°．
故答案为40．

16．【分析】连接DC，得出∠BDC的度数，进而得出∠A的度数，利用互余解答即可．
【解答】解：连接DC，
∵AC为⊙O的直径，OD⊥AC，
∴∠DOC=90°，∠ABC=90°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=45°，
∵∠BDO=15°，
∴∠BDC=30°，
∴∠A=30°，
∴∠ACB=60°，
故答案为：60°．
17．【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．
【解答】解：把点（12，﹣5）代入直线y=kx得，
﹣5=12k，
∴k=﹣；
由y=﹣x平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=﹣x+m（m＞0），
设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如下图所示）
当x=0时，y=m；当y=0时，x=m，
∴A（m，0），B（0，m），
即OA=m，OB=m；
在Rt△OAB中，
AB=，
过点O作OD⊥AB于D，
∵S△ABO=OD?AB=OA?OB，
∴OD?m=×m×m，
∵m＞0，解得OD=m
由直线与圆的位置关系可知＜6，解得0＜m＜．
故答案为：0＜m＜．

18．【分析】过O′作O′M⊥OA于M，解直角三角形求出旋转角的度数，根据图形得出阴影部分的面积S=S扇形OAO′+S△O′AC′﹣S△OAC﹣S扇形CAC′=S扇形OAO′﹣S扇形CAC′，分别求出即可．
【解答】解：过O′作O′M⊥OA于M，则∠O′MA=90°，
∵点O′的坐标是（1，），
∴O′M=，OM=1，
∵AO=2，
∴AM=2﹣1=1，
∴tan∠O′AM==，
∴∠O′AM=60°，
即旋转角为60°，
∴∠CAC′=∠OAO′=60°，
∵把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，
∴S△OAC=S△O′AC′，
∴阴影部分的面积S=S扇形OAO′+S△O′AC′﹣S△OAC﹣S扇形CAC′=S扇形OAO′﹣S扇形CAC′=﹣=，
故答案为：．
三．解答题
19．【分析】（1）根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
（2）设CD=x，连接BD．利用勾股定理构建方程即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴BE=CE，
∵AE=EF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AC=AB，
∴四边形ABFC是菱形．

（2）设CD=x．连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，
∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，
解得x=1或﹣8（舍弃）
∴AC=8，BD==，
∴S菱形ABFC=8．
∴S半圆=?π?42=8π．

20．【分析】（1）解法一：要的圆周角定理得：∠ADB=90°，由同弧所对的圆周角相等和直角三角形的性质可得结论；
解法二：根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可得∠BOD=120°，由同圆的半径相等和等腰三角形的性质可得结论；
（2）如图1，根据切线的性质可得∠BAP=90°，根据直角三角形30°角的性质可计算AD的长，由勾股定理计算DB的长，由三角函数可得PB的长，从而得PD的长．
【解答】解：（1）方法一：如图1，连接AD．
∵BA是⊙O直径，
∴∠BDA=90°．
∵=，
∴∠BAD=∠C=60°．
∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣60°=30°．
方法二：如图2，连接DA、OD，则∠BOD=2∠C=2×60°=120°．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB=（180°﹣120°）=30°．
即∠ABD=30°．
（2）如图1，∵AP是⊙O的切线，
∴∠BAP=90°．
在Rt△BAD中，∵∠ABD=30°，
∴DA=BA=×6=3．
∴BD=DA=3．
在Rt△BAP中，∵cos∠ABD=，
∴cos30°==．
∴BP=4．
∴PD=BP﹣BD=4﹣3=．


21．【分析】（1）由∠ABG=2∠C．可得△ABC是等腰三角形，且BE⊥AC可得AE=CE，根据中位线定理可得OE∥AB，且AB⊥EG可得OE⊥EG，即可证EG是⊙O的切线
（2）根据三角函数求BE，CE的长，再用勾股定理求BC的长即可求半径的长．
【解答】证明（1）如图：连接OE，BE

∵∠ABG=2∠C，∠ABG=∠C+∠A
∴∠C=∠A
∴BC=AB，
∵BC是直径
∴∠CEB=90°，且AB=BC
∴CE=AE，且CO=OB
∴OE∥AB
∵GE⊥AB
∴EG⊥OE，且OE是半径
∴EG是⊙O的切线
（2）∵AC=8，
∴CE=AE=4
∵tan∠C==
∴BE=2
∴BC==2
∴CO=
即⊙O半径为
22．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠AEO=90°，再利用垂径定理证明即可；
（2）根据弧长公式解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，
即OC⊥AD，
∴AE=ED；
（2）∵OC⊥AD，
∴，
∴∠ABC=∠CBD=36°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，
∴．
23．【分析】（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；
（2）设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，根据OE2=EB2+OB2，可得（8﹣r）2=r2+42，推出r=3，由tan∠E==，推出=，可得CD=BC=6，再利用勾股定理即可解决问题；
【解答】（1）证明：连接OC．

∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，
∴△OCB≌△OCD，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线．

（2）解：设⊙O的半径为r．
在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，
∴（8﹣r）2=r2+42，
∴r=3，
∵tan∠E==，
∴=，
∴CD=BC=6，
在Rt△ABC中，AC===6．
24．【分析】（1）由扇形的面积公式即可求出答案．
（2）易证∠FAC=∠ACO，从而可知AD∥OC，由于CD⊥AF，所以CD⊥OC，所以CD是⊙O的切线．
【解答】解：（1）∵AB=4，
∴OB=2
∵∠COB=60°，
∴S扇形OBC==
（2）∵AC平分∠FAB，
∴∠FAC=∠CAO，
∵AO=CO，
∴∠ACO=∠CAO
∴∠FAC=∠ACO
∴AD∥OC，
∵CD⊥AF，
∴CD⊥OC
∵C在圆上，
∴CD是⊙O的切线
25．【分析】（1）根据等边对等角得：∠PCB=∠PBC，由四点共圆的性质得：∠BAD+∠BCD=180°，从而得：∠BFD=∠PCB=∠PBC，根据平行线的判定得：BC∥DF，可得∠ABC=90°，AC是⊙O的直径，从而得：∠ADC=∠AGB=90°，根据同位角相等可得结论；
（2）先证明四边形BCDH是平行四边形，得BC=DH，根据特殊的三角函数值得：∠ACB=60°，∠BAC=30°，所以DH=AC，分两种情况：
①当点O在DE的左侧时，如图2，作辅助线，构建直角三角形，由同弧所对的圆周角相等和互余的性质得：∠AMD=∠ABD，则∠ADM=∠BDE，并由DH=OD，可得结论；
②当点O在DE的右侧时，如图3，同理作辅助线，同理有∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，得结论．
【解答】（1）证明：如图1，∵PC=PB，
∴∠PCB=∠PBC，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠PCB=180°，
∴∠BAD=∠PCB，
∵∠BAD=∠BFD，
∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，
∴BC∥DF，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB=90°，
∴∠ADC=∠AGB，
∴BG∥CD；
（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，
∴四边形BCDH是平行四边形，
∴BC=DH，
在Rt△ABC中，∵AB=DH，
∴tan∠ACB==，
∴∠ACB=60°，∠BAC=30°，
∴∠ADB=60°，BC=AC，
∴DH=AC，
①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM=90°，
∴∠AMD+∠ADM=90°
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∴∠BDE+∠ABD=90°，
∵∠AMD=∠ABD，
∴∠ADM=∠BDE，
∵DH=AC，
∴DH=OD，
∴∠DOH=∠OHD=80°，
∴∠ODH=20°
∵∠ADB=60°，
∴∠ADM+∠BDE=40°，
∴∠BDE=∠ADM=20°，
②当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，
由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，
∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°，
综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．






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