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27.2.1相似三角形的判定(4)
学习目标：
使学生了解三角形相似的判定方法4及直角三角形相似定理的证明方法并会运用．
类比证明三角形全等的方法(AAS，ASA，HL)，渗透和培养学生对类比思想的认识和理解．
通过学习培养学生类比的意识，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点．
学习重点：
两个判定定理的应用
学习难点：
了解两个判定定理的证明方法与思路
学习过程：
一、新知引入
我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？
三角形相似的判定方法2和3是类比三角形全等的判定方法“SAS”，“SSS”得出的，那我们能否类比“ASA(AAS)”，“HL”用同样的方法得出新的三角形相似的判定方法呢？
二、新知讲解：
思考：
观察你与老师的直角三角尺（300与600 ）,会相似吗？
三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？
一定需三个角吗？
探究1：
（1）画△ ，使有两个角分别为75°，45°
①同桌分别量出两个三角形三边的长度；②同桌这两个三角形相似吗?
（2）猜想：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形__ ___．
你能证明这个结论吗？
（3）如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，证明△ABC和△A′B′C′相似。
学生动手画图、测量、独立研究．然后类比判定方法2、3的方法，完成证明过程。
●归纳：相似三角形的判定方法4：两个角分别对应相等的两个三角形相似
用几何语言表示：
∵ ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
思 考：
如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似？_____________
例题讲解
巩固练习：
1、下面每组的两个三角形是否相似？为什么？
2、对的打“√”，错的打“×”
（1.）所有的等边三角形都相似。（ ）
（2.）所有的直角三角形都相似。（ ）
（3.）所有的等腰三角形都相似。（ ）
（4.）所有的等腰直三角形都相似。（ ）
3、当∠ＡＣＤ=_______条件时，△ＡＣＤ∽△ＡＢＣ.
4、如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC.
思考：两个直角三角形，我们可用“HL”判定它们全等。那么，满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似吗？
探究2：
教师多媒体课件出示：
如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，＝.判断Rt△ABC与Rt△A′B′C′是否相似，为什么？
已知一个直角三角形的斜边、一条直角边与另一个直角三角形的斜边、一条直角边对应成比例，你能判断这两个直角三角形是否相似吗？
学生思考、讨论后回答，并完成证明。
证明：
所以我们得到了判定两个直角三角形相似的一个定理：
●归纳：判定两个直角三角形相似的一个定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
拓展提高
1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是边AB上的高，⊿ACD 和 ⊿CBD都和⊿ABC
相似吗？证明你的结论，写出图中已有哪些等量关系？
证明：
2、如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，E是AC的中点，过E作MN交AD于M，交BC于N，⑴求证：AM=CN；⑵若∠CEN=90°，EN:AB=2:3，EC=3，求BC的长。
证明：
3、已知,如图,梯形ABCD中,AD∥BC, ∠A=900,对角线BD⊥CD
求证:(1) △ABD∽△DCB;(2)BD2=AD·BC
证明:
四、课堂小结
本节课主要学习了三角形相似的另一个判定定理：两角对应相等的两个三角形相似．除了前面讲过的针对任意三角形相似的判定方法外，还有斜边和直角边分别对应成比例的两个直角三角形相似这一判定定理．在做题时要灵活运用，选取合适的方法．
五、布置作业
教材36页练习1、2、3题
当堂测评
1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则图中相似三角形有（ ）．
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
2、在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是( )
A．∠B＝∠B1 B.＝
C.＝ D.＝
3、如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是( )
A. ∠APB=∠EPC B. ∠APE=90° C. P是BC的中点 D. BP：BC=2：3
4、如图, ∠1=∠2=∠3, 则图中与△CDE相似三角形是________和________
5、如图，是正方形ABCD的外接圆，点F是AB的中点，CF的延长线交于点E,则CF:EF的值是________.
5题 6题
6、如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．
（1）试说明△ABD≌△BCE；
（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．
7、如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若AD＝3，AB＝5，求的值．
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27.2.1相似三角形的判定(4)
教学目标：
使学生了解三角形相似的判定方法4及直角三角形相似定理的证明方法并会运用．
类比证明三角形全等的方法(AAS，ASA，HL)，渗透和培养学生对类比思想的认识和理解．
通过学习培养学生类比的意识，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点．
教学重点：
两个判定定理的应用
教学难点：
了解两个判定定理的证明方法与思路
教学过程：
一、新知引入
我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？
三角形相似的判定方法1 :（预备）定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边所在直线相交，所成的三角形与原来三角形相似。
三角形相似的判定方法2:
如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似．
三角形相似的判定方法3:
两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似。
三角形相似的判定方法2和3是类比三角形全等的判定方法“SAS”，“SSS”得出的，那我们能否类比“ASA(AAS)”，“HL”用同样的方法得出新的三角形相似的判定方法呢？
二、新知讲解：
思考：
观察你与老师的直角三角尺（300与600 ）,会相似吗？
三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？
一定需三个角吗？
探究1：
（1）画△ ，使有两个角分别为75°，45°
①同桌分别量出两个三角形三边的长度；②同桌这两个三角形相似吗?
（2）猜想：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形__相似___．
你能证明这个结论吗？
（3）如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，证明△ABC和△A′B′C′相似。
教师引导学生在稿纸上按要求画图．
学生动手画图、测量、独立研究．然后类比判定方法2、3的方法，完成证明过程。
●归纳：相似三角形的判定方法4：两个角分别对应相等的两个三角形相似
用几何语言表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
思 考：
如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似？（不一定）
例题讲解
EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT
巩固练习：
1、下面每组的两个三角形是否相似？为什么？
①√ ②× ③√ ④×
2、对的打“√”，错的打“×”
（1.）所有的等边三角形都相似。（ √ ）
（2.）所有的直角三角形都相似。（ × ）
（3.）所有的等腰三角形都相似。（ × ）
（4.）所有的等腰直三角形都相似。（ √ ）
3、当∠ＡＣＤ=_______条件时，△ＡＣＤ∽△ＡＢＣ.∠ＡＢＣ
4、如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC.
解: ∵ DE∥BC，EF∥AB（已知），
∴ ∠ADE＝∠B＝∠EFC
∠AED＝∠C.
∴△ADE∽△EFC.
思考：两个直角三角形，我们可用“HL”判定它们全等。那么，满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似吗？
探究2：
教师多媒体课件出示：
如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，＝.判断Rt△ABC与Rt△A′B′C′是否相似，为什么？
已知一个直角三角形的斜边、一条直角边与另一个直角三角形的斜边、一条直角边对应成比例，你能判断这两个直角三角形是否相似吗？
学生思考、讨论后回答．
证明：设＝＝k，则AB＝kA′B′，AC＝kA′C′.
∵BC＝＝＝k＝kB′C′，
∴＝＝＝k，
∴△ABC∽△A′B′C′.
所以我们得到了判定两个直角三角形相似的一个定理：
●归纳：判定两个直角三角形相似的一个定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
拓展提高
1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是边AB上的高，⊿ACD 和 ⊿CBD都和⊿ABC
相似吗？证明你的结论，写出图中已有哪些等量关系？
证明：(1)∵△ADC和△ACB是直角三角形，
∴∠A＋∠ACD＝90°，∠BCD＋∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
又∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴△ADC∽△CDB.
∴＝.
∴CD2＝AD·BD.
(2)∵∠B＝∠B，
∠ACB＝∠CDB，
∴△ABC∽△CBD.
∴＝.
∴BC2＝AB·BD.
同理可证△ABC∽△ACD.
∴＝.
∴AC2＝AB·AD.
2、如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，E是AC的中点，过E作MN交AD于M，交BC于N，⑴求证：AM=CN；⑵若∠CEN=90°，EN:AB=2:3，EC=3，求BC的长。
3、已知,如图,梯形ABCD中,AD∥BC, ∠A=900,对角线BD⊥CD
求证:(1) △ABD∽△DCB;(2)BD2=AD·BC
证明:(1) ∵AD∥BC, ∴ ∠ADB= ∠DBC
∵ ∠A=∠BDC= 90°,
∴ △ABD∽△DCB
四、课堂小结
本节课主要学习了三角形相似的另一个判定定理：两角对应相等的两个三角形相似．除了前面讲过的针对任意三角形相似的判定方法外，还有斜边和直角边分别对应成比例的两个直角三角形相似这一判定定理．在做题时要灵活运用，选取合适的方法．
五、布置作业
教材36页练习1、2、3题
当堂测评
1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则图中相似三角形有（ ）．
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
2、在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是( )
A．∠B＝∠B1 B.＝
C.＝ D.＝
3、如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是( )
A. ∠APB=∠EPC B. ∠APE=90° C. P是BC的中点 D. BP：BC=2：3
4、如图, ∠1=∠2=∠3, 则图中与△CDE相似三角形是________和________
5、如图，是正方形ABCD的外接圆，点F是AB的中点，CF的延长线交于点E,则CF:EF的值是________.
6、如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．
（1）试说明△ABD≌△BCE；
（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．
7、如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若AD＝3，AB＝5，求的值．
当堂测评答案
B 2.D 3. C 4. △CEA、△CAB.
5. 5：1
提示:如图，连接AE,则△AEF∽△CBF,
∵点F是AB的中点,正方形ABCD,∴EF:AE=BF:BC=1:2.
设EF=K,则AE=2K,AF=K,即BF=K,BC=2K，CF=5K.
∴CF:EF=5:1.
6.（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE＝∠BAC，
又 ∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE；
（2）相似；∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠BAC－∠BAD＝∠CBA－∠CBE，∴∠EAF＝∠EBA，
又 ∵∠AEF＝∠BEA，∴△EAF∽△EBA．
7.解：(1)证明：∵AF⊥DE于点F，AG⊥BC于点G，
∴∠AFE＝90°，∠AGC＝90°，
∴∠AEF＝90°－∠EAF，∠C＝90°－∠GAC.
又∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AEF＝∠C.
又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC.
(2)∵△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠B.
又∵∠AFD＝∠AGB＝90°，
∴△AFD∽△AGB，
∴＝.
∵AD＝3，AB＝5，∴＝.
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