南京市2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题

南京市2017－2018学年度第一学期期末调研测试卷
高二数学（理科） 2018.01
注意事项：
1．本试卷共3页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
参考公式：
圆锥的体积公式：V＝πr2h，侧面积公式：S＝πrl，其中r，h和l分别为圆锥的底面半径，高和母线长．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是 ▲ ．
2．已知复数z满足 z(1＋i)＝i，其中i是虚数单位，则 |z| 为 ▲ ．
3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点坐标是 ▲ ．
4．“x2－3x＋2＜0”是“－1＜x＜2”成立的 ▲ 条件（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写）．
5．已知实数x，y满足条件 则z＝3x＋y 的最大值是 ▲ ．
6．函数 f(x)＝xex 的单调减区间是 ▲ ．
7．如图，直线l经过点(0，1)，且与曲线y＝f(x) 相切
于点(a，3)．若f ′(a)＝，则实数a的值是 ▲ ．

8．在平面直角坐标系xOy中，若圆 (x－a)2＋(y－a)2＝2 与圆 x2＋(y－6)2＝8相外切，则实数a的值为 ▲ ．
9．如图，在三棱锥P—ABC中， M是侧棱PC的中点，且＝x＋y＋z，
则x＋y＋z的值为 ▲ ．
10．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 －y2＝1的渐近线与
抛物线x2＝4y的准线相交于A，B两点，则三角形OAB
的面积为 ▲ ．
11．在平面直角坐标系xOy中，若点A到原点的距离为2，到直线 x＋y－2＝0的距离为1，则满足条件的点A的个数为 ▲ ．
12．若函数f(x)＝x3－3x2＋mx在区间 (0，3) 内有极值，则实数m的取值范围是 ▲ ．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 ＋＝1(a＞b＞0) 的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C．
若＝2，则该椭圆的离心率为 ▲ ．
14．已知函数f(x)＝x|x2－3|．若存在实数m，m∈(0，]，使得当x∈[0，m] 时，f(x)的取值范围是[0，am]，则实数a的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分14分）
已知复数z＝，（m∈R，i是虚数单位）．
（1）若z是纯虚数，求m的值；
（2）设是z的共轭复数，复数＋2z在复平面上对应的点在第一象限，求m的取值范围．



16．（本题满分14分）
如图，在正方体ABCD – A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱BC，A1B1，B1C1的中点．
（1）求异面直线EF与DG所成角的余弦值；
（2）设二面角A—BD—G的大小为θ，
求 |cosθ| 的值．




17．（本题满分14分）
如图，圆锥OO1的体积为π．设它的底面半径为x，侧面积为S．
（1）试写出S关于x的函数关系式；
（2）当圆锥底面半径x为多少时，圆锥的侧面积最小？






18．（本题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点A(1，3) ，B(4，2)，且圆心在
直线l：x－y－1＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）设P是圆M：x2＋y2＋8x－2y＋16＝0上任意一点，过点P作圆C的两条切线PM，PN，M，N为切点，试求四边形PMCN面积S的最小值及对应的点P坐标．

19．（本题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一条准线方程为x＝，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，设A为椭圆的上顶点，过点A作两条直线AM，AN，分别与椭圆C相交于M，N两点，且直线MN垂直于x轴．
① 设直线AM，AN的斜率分别是k1， k2，求k1k2的值；
② 过M作直线l1⊥AM，过N作直线l2⊥AN，l1与l2相交于点Q．试问：点Q是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由．








20．（本题满分16分）
设函数f(x)＝ax2－1－lnx，其中a∈R．
（1）若a＝0，求过点(0，－1)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程；
（2）若函数f(x)有两个零点x1，x2，
① 求a的取值范围；
② 求证：f ′(x1)＋f ′(x2)＜0．


南京市2017－2018学年度第一学期期末检测卷
高二数学（理科）参考答案 2018．01
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．“若b≠0，则ab≠0” 2． 3．(1，0) 4．充分不必要
5．7 6．(－∞，－1)或(－∞，－1] 7．3 8．3
9．0 10．3 11．3 12．(－9，3)
13． 14．[1，3)
二、解答题（本大题共6小题，共90分）
15．（本题满分14分）
解（1）z＝＝
＝1－2m＋(2m＋1)i． …………………… 3分
因为z是纯虚数，所以1－2m＝0且2m＋1≠0，
解得m＝． …………………… 6分
（2）因为是z的共轭复数，所以＝1－2m－(2m＋1)i． ……………………8分
所以＋2z＝1－2m－(2m＋1)i＋2[1－2m＋(2m＋1)i]
＝3－6m＋(2m＋1)i． …………………… 10分
因为复数＋2z在复平面上对应的点在第一象限，
所以 …………………… 12分
解得－＜m＜，即实数m的取值范围为(－，)． …………………… 14分
16．（本题满分14分）
解 如图，以{，，}为正交基底建立坐标系D—xyz．
设正方体的边长为2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，
B(2，2，0)，E(1，2，0)，F(2，1，2)，G(1，2，2)．
（1）因为＝(2，1，2)－(1，2，0)＝(1，－1，2)，
＝ (1，2，2)， …………………… 2分
所以·＝1×1＋(－1)×2＋2×2＝3，
||＝＝，||＝3．
…………………… 4分
从而cos＜，＞＝＝＝，
即向量与的夹角的余弦为，
从而异面直线EF与DG所成角的余弦值为． …………………… 7分
（2）＝(2，2，0)，＝ (1，2，2)．
设平面DBG的一个法向量为n1＝(x，y，z )．
由题意，得
取x＝2，可得y＝－2，z＝1．
所以n1＝(2，－2，1)． …………………… 11分
又平面ABD的一个法向量n2＝＝(0，0，2)，
所以cos＜n1，n2＞＝＝＝．
因此 |cosθ|＝． …………………… 14分

17．（本题满分14分）
解（1）设圆锥OO1的高为h，母线长为l．
因为圆锥的体积为π，即 πx2h＝π，所以h＝．…………………… 2分
因此 l＝＝，
从而S＝πxl＝πx＝π，(x＞0)． …………………… 6分
（2）令f(x)＝x4＋，则f ′(x)＝4x3－ ，(x＞0)． …………………… 8分
由f ′(x)＝0，解得x＝． …………………… 10分
当0＜x＜时，f ′(x)＜0，即函数f(x)在区间(0，)上单调递减；
当x＞时，f ′(x)＞0，即函数f(x)在区间(，＋∞)上单调递增．
…………………… 12分
所以当x＝时，f(x)取得极小值也是最小值．
答：当圆锥底面半径为时，圆锥的侧面积最小． ……………………… 14分

18．（本题满分16分）
解（1）设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其圆心为(－，－)．
因为圆C经过点A(1，3) ，B(4，2)，且圆心在直线l：x－y－1＝0上，
所以 …………………… 4分
解得
所求圆C的方程为x2＋y2－4x－2y＝0． …………………… 7分
（2）由（1）知，圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．
依题意，S＝2S△PMC＝PM×MC ＝×．
所以当PC最小时，S最小． …………………… 10分
因为圆M：x2＋y2＋8x－2y＋16＝0，所以M(－4，1)，半径为1．
因为C(2，1)，所以两个圆的圆心距MC＝6．
因为点P∈M，且圆M的半径为1，
所以PCmin＝6－1＝5．
所以Smin＝×＝10． …………………… 14分
此时直线MC：y＝1，从而P(－3，1)． …………………… 16分

19．（本题满分16分）
解（1）设椭圆C：＋＝1的半焦距为c．
由题意，得 解得从而b＝1．
所以椭圆C的方程为＋y2＝1． …………………… 4分
（2）①根据椭圆的性质，M，N两点关于x轴对称，
故可设M(x0，y0)，N(x0，－y0)( x0≠0，y0≠0)，
从而 k1k2＝·＝． …………………… 7分
因为点M在椭圆C上，所以＋y02＝1，所以1－y02＝，
所以k1k2＝＝． …………………… 10分
②设Q(x1，y1)，依题意A(0，1)．
因为l1⊥AM，所以 ·＝－1，即(y0－1)(y1－y0)＝－x0 (x1－x0)；
因为l2⊥AN，所以·＝－1，即(－y0－1)(y1＋y0)＝－x0 (x1－x0)，
故 (y0－1)(y1－y0)－(－y0－1)(y1＋y0)＝0，
化得(y1＋1) y0＝0． …………………… 14分
从而必有y1＋1＝0，即y1＝－1．
即点Q在一条定直线y＝－1上． …………………… 16分

20．（本题满分16分）
解（1）当a＝0时，f(x)＝－1－lnx，f ′(x)＝－．
设切点为T(x0，－1－lnx0)，
则切线方程为：y＋1＋lnx0＝－( x－x0)． …………………… 2分
因为切线过点(0，－1)，所以 －1＋1＋ln x0＝－ (0－x0)，解得x0＝e．
所以所求切线方程为y＝－x－1． …………………… 4分
（2）① f ′(x)＝ax－＝，x＞0．
(i) 若a≤0，则f ′(x)＜0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
从而函数f(x)在(0，＋∞)上至多有1个零点，不合题意． …………………… 5分
(ii)若a＞0，由f ′(x)＝0，解得x＝．
当0＜x＜时， f ′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x＞时， f ′(x)＞0，f(x)单调递增，
所以f(x)min＝f()＝－ln－1＝－－ln．
要使函数f(x)有两个零点，首先 －－ln＜0，解得0＜a＜e． …………… 7分
当0＜a＜e时，＞＞．
因为f()＝＞0，故f()·f()＜0．
又函数f(x)在(0，)上单调递减，且其图像在(0，)上不间断，
所以函数f(x)在区间(0，)内恰有1个零点． …………………… 9分
考察函数g(x)＝x－1－lnx，则g′(x)＝1－＝．
当x∈(0，1)时，g′(x)＜0，函数g(x)在(0，1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以g(x)≥g(1)＝0，故f()＝－1－ln≥0．
因为－＝＞0，故＞．
因为f()·f()≤0，且f(x)在(，＋∞)上单调递增，其图像在(，＋∞)上不间断，
所以函数f(x)在区间(，] 上恰有1个零点，即在(，＋∞)上恰有1个零点．
综上所述，a的取值范围是(0，e)． …………………… 11分
②由x1，x2是函数f(x)的两个零点(不妨设x1＜x2)，得
两式相减，得 a(x12－x22)－ln＝0，即a(x1＋x2) (x1－x2)－ln＝0，
所以a(x1＋x2)＝． …………………… 13分
f ′(x1)＋f ′(x2)＜0等价于ax1－＋ax2－＜0，即a(x1＋x2)－－＜0，
即－－＜0，即2ln＋－＞0．
设h(x)＝2lnx＋－x，x∈(0，1)．则h′(x)＝－－1＝＝－＜0，
所以函数h(x)在(0，1)单调递减，所以h(x)＞h(1)＝0．
因为∈(0，1)，所以2ln＋－＞0，
即f ′(x1)＋f ′(x2)＜0成立． …………………… 16分

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