6.1 反比例函数
第六章 反比例函数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
1. 理解并掌握反比例函数的概念. (重点)
2. 从实际问题中抽象出反比例函数的概念，能根据已知
条件确定反比例函数的解析式. (重点、难点)
学习目标
？
？
导入新课
情境引入
新学期伊始，小明想买一些笔记本为以后的学习做准备. 妈妈给了小明 30 元钱，小明可以如何选择笔记本的价钱和数量呢？
通过填表，你发现 x，y 之间具有怎样的关系？你还能举出这样的例子吗？
20
15
12
10
6
4
？
笔记本单价x/元 1.5 2 2.5 3 5 7.5 …
购买的笔记本数量y/本
讲授新课
下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式.
合作探究
(1) 京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速
度v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t
(单位：h) 的变化而变化；
(2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草
坪，草坪的长 y (单位：m) 随宽 x (单位：m)的
变化而变化；
(3) 已知北京市的总面积为1.68×104 km2 ，人均占
有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单位：人) 的
变化而变化.
观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？
问题：
都具有 的形式，其中 是常数．
分式
分子
(k为常数，k ≠ 0) 的函数，
叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数.
一般地，形如
思考：
因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是所有非零实数.
但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围.
想一想：
反比例函数的三种表达方式：(注意 k ≠ 0)
下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值.
是，k = 3
不是
不是
不是
练一练
解得 k =－2.
方法总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可.
所以该反比例函数的解析式为
所以
4－k2=0，
k－2≠0.
解：因为 是反比例函数
1. 已知函数 是反比例函数，则
k 必须满足 .
2. 当m= 时， 是反比例函数.
k≠2 且 k≠－1
±1
练一练
例2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2时，y=6.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
解得 k =12.
(2) 当 x=4 时，求 y 的值.
方法总结：用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：①设出含有待定系数的反比例函数解析式，
②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式.
练一练
已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x=3时，y=－4.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 y=6 时，求 x 的值.
解得 k =－12.
解得 x =－2.
例3 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数解析式，并计算当车速为100km/h 时视野的度数.
当 v=100 时，f =40.
所以当车速为100km/h 时视野为40度.
解得 k =4000.
如图所示，已知菱形 ABCD 的面积为180，设它的两条对角线 AC，BD的长分别为x，y. 写出变量 y与 x 之间的关系式，并指出它是什么函数.
练一练
解:因为菱形的面积等于两条对角线长
乘积的一半，
当堂练习
1. 生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中，
x 和 y 成反比例函数关系的有 ( )
① x人共饮水10 kg，平均每人饮水 y kg；②底面半径为 x m，高为 y m的圆柱形水桶的体积为10 m3；③用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm，做成圆的半径为 y cm；④在水龙头前放满一桶水，出水的速度为 x，放满一桶水的时间 y
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
A. B.
C. D.
2. 下列函数中，y是x的反比例函数的是 ( )
A
3. 填空
(1) 若 是反比例函数，则 m 的取值范围
是 .
(2) 若 是反比例函数，则m的取值范
围是 .
(3) 若 是反比例函数，则m的取值范围
是 .
m ≠ 1
m ≠ 0 且 m ≠ －2
m = －1
4. 已知 y 与 x+1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 x = 7 时，求 y 的值．
(2) 当 x = 7 时，
所以有 ，解得 k =16，因此 .
解：(1) 设 ，因为当 x = 3 时，y =4 ，
5. 小明家离学校 1000 m，每天他往返于两地之间，有
时步行，有时骑车．假设小明每天上学时的平均速
度为 v ( m/min )，所用的时间为 t ( min )．
(1) 求变量 v 和 t 之间的函数关系式；
(2) 小明星期二步行上学用了 25 min，星期三骑自行
车上学用了 8 min，那么他星期三上学时的平均
速度比星期二快多少？
125－40＝85 ( m/min )．
答：他星期三上学时的平均速度比星期二快 85 m/min.
能力提升：
6. 已知 y = y1+y2，y1与 (x－1) 成正比例，y2 与 (x + 1)
成反比例，当 x = 0 时，y =－3；当 x =1 时，y = －1，
求：
(1) y 关于 x 的关系式；
∵ x = 0 时，y =－3；x =1 时，y = －1，
－3=－k1+k2 ，
∴k1=1，k2=－2.
课堂小结
建立反比例函数模型
用待定系数法求反比例函数解析式
反比例函数：定义/三种表达方式
见《学练优》本课时练习
课后作业
6.2 反比例函数的图象与性质
第六章 反比例函数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第1课时 反比例函数的图象
学习目标
1.会用描点法画出反比例函数的图象,并掌握反比例函数图象的特征.（重点）
2.会利用反比例函数图象解决相关问题.（难点）
1．什么是反比例函数？
2．反比例函数的定义中需要注意什么？
（1）k 是非零常数.
（2）xy = k．
一般地，形如 y = ( k是常数, k ≠0 )的函数叫做反比例函数．
3．还记得正比例函数的图像与性质吗？
导入新课
回顾与思考
位置
增减性
位置
增减性
y=kx(k是常数，k≠0）
直线（经过原点）
一、三象限
从左到右上升
y随x的增大而增大
二、四象限
从左到右下降
y随x的增大而减小
反比例函数
函数 正比例函数
表达式
图象形状
k>0
k<0
4.如何画函数的图象？
函数图象画法
描点法
想一想：
正比例函数y=kx (k≠0)的图像的位置和增减性是由谁决定的？我们是如何探究得到的？
反比例函数的图像与性质又如何呢？
讲授新课
列表
描点
连线
解：列表如下
应注意
1.自变量x需要取多少值?为什么?
2.取值时要注意什么?
-1
-2
-4
-8
8
4
2
1
x -8 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 8
y
描点、连线：
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
想一想：你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题?
1.列表时，自变量的值可以选取一些互为相反数的值这样既可简化计算,又便于对称性描点;
2.列表描点时,要尽量多取一些数值,多描一些点,这样
既可以方便连线,又较准确地表达函数的变化趋势;
3.连线时，一定要养成按自变量从小到大的顺序，
依次用平滑的曲线连接,从中体会函数的增减性；
……
注意要点
列表：
描点、
连线：
1
2
4
8
-8
-4
-2
-1
请大家用同样的方法作反比例函数 的图象.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
x -8 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 8
（1）观察 和 的图象，它们有什么相同点和不同点?
双曲线
轴对称图形，也是
以原点为对称中心的中
心对称图形．
O
O
相同点：1. 两支曲线构成；
2. 与坐标轴不相交；
3.图象自身关于原点成中心对称；
4.图象自身是轴对称图形。
不同点： 的图象在第一、三象限；
的图象在第二、四象限。
归纳总结
形状: 反比例函数 的图象由两支曲线组成，因此称反比例函数 的图象为双曲线.
位置：由k决定：
当k>0时,两支曲线分别位于_______________内;
当k<0时,两支曲线分别位于_______________内.
第一、三象限
第二、四象限
1. 反比例函数 的图象大致是 ( )
C
y
o
B.
x
o
D.
练一练
例1：若双曲线y = 的两个分支分别在第二、四象限，则 k 的取值范围是( )
A. k＞ B. k＜
C. k= D.不存在
解析：反比例函数图象的两个分支分别在第二、四象限，则必有2k-1＜0，解得k＜ .故选B.
B
典例精析
例2:如图所示的曲线是函数 (m为常数)图象的一支．
(1)求常数m的取值范围；
解：由题意可得，m－5＞0，
解得m＞5.
(2)若该函数的图象与正比例函数y＝2x的图象在第一象限的交点为A(2，n)，求点A的坐标及反比例函数的解析式．
解：∵两个函数的交点为A(2，n)，
∴ ， 解得 .
∴ 点A的坐标为(2，4)；反比例函数的解析式为 .
当堂练习
2.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有
_____________;
图象位于二、四象限的有___________.
(1)(2)(3)
(4)
3.如图，已知直线y=mx与双曲线 的一个交点坐标为(-1,3)，则它们的另一个交点坐标是 ( )
A. (1,3)
B. (3,1)
C. (1,-3)
D. (-1,3)
x
y
C
O
4. 已知反比例函数 (k为常数，k≠0)的图象经过点A(2，3)．
(1)求这个函数的表达式；
解：∵反比例函数 (k为常数，k≠0)的
图象经过点 A(2，3)，
∴把点A的坐标代入表达式，得 ，
解得k=6，
∴这个函数的表达式为 ．
解：∵反比例函数的表达式为 ，
∴ 6=xy
分别把点B，C的坐标代入，
得(－1)×6=－6≠6，
则点B不在该函数图象上；
3×2=6，则点C在该函数图象上．
(2)判断点B(-1，6)，C(3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由.
课堂小结
反比例函数
的图象
形状
双曲线
位置
画法
当k＞0时，两支曲线分别位于
第一、三象限内
当k<0时，两支曲线分别位于
第二、四象限内
描点法：列表、描点、连线
见《学练优》本课时练习
课后作业
6.2 反比例函数的图象与性质
第六章 反比例函数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第2课时 反比例函数的性质
学习目标
1. 会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图
象和性质. (重点)
2. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题. (重点)
3. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活
运用于坐标系中图形的面积计算中. (重点、难点)
4. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题. (重
点、难点)
导入新课
反比例函数的图象是什么？
反比例函数的性质是什么？能类比前面学习的一次函数得到吗？
反比例函数的图象是双曲线
复习引入
问题1
问题2
讲授新课
例1 画反比例函数 与 的图象.
合作探究
提示：画函数的图象步骤一般分为：列表→描点→连线. 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0.
解：列表如下：
－1
－1.2
－1.5
－2
－3
－6
6
3
2
1.5
1.2
1
－2
－2.4
－3
－4
－6
6
4
3
2.4
2
x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 …
… …
…
…
O
－2
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．
5
6
x
y
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
－3
－4
－1
－5
－6
－1
－2
－3
－4
－5
－6
观察这两个函数图象，回答问题：
思考：
●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限
它们与 x 轴、y 轴都不相交；
●在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.
观察与思考
当 k =－2，－4，－6时，反比例函数 的图象，有哪些共同特征？回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数 (k＞0) 的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数
(k＜0)的图象和性质吗？
●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限
它们与x轴、y轴都不相交；
●在每个象限内，y随x的增大而增大.
归纳：
(1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三
象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；
(2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四
象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大.
点(2，y1)和(3，y2)在函数 上，则y1 y2
(填“>”“<”或“=”).
<
练一练
例2 已知反比例函数 ，y 随 x 的增大而增大，求a的值.
解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0．
解得 a=－3.
练一练
解：由题意得 m2－10=－1，且 3m－8＞0．
解得 m=3.
例3 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如
何变化？
解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的
图象位于第一、三象限；
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.
(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围
是什么？
解：因为这个反比例函数图象的一
支位于第一象限，所以另一支
必位于第三象限.
由因为这个函数图象位于第一、
三象限，所以m－5＞0，
解得m＞5.
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和
点B (x2，y2). 如果x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的
大小关系？
解：因为 m－5 ＞ 0，所以在这个函数图象的任一支
上，y 都随 x 的增大而减小，因此当x1＞x2时，
y1＜y2.
练一练
(2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的
图象上，并说明理由；
解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析
式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C
的坐标满足该解析式，
所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函
数的图象上．
(3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围．
解：∵ 当 x = －3时，y =－2；
当 x = －1时，y =－6，且 k > 0，
∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小，
∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2.
合作探究
5
S1
S2
4
4
S1=S2
S1=S2=k
－5
－4
－3
－2
1
4
3
2
－3
－2
－4
－5
－1
P (2，2)
Q (4，1)
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想 S1，S2 与 k的关系
2. 若在反比例函数 中也
用同样的方法分别取 P，Q
两点，填写表格：
4
4
S1=S2
S1=S2=－k
S1
S2
S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与 k 的关系
P (－1，4)
Q (－2，2)
由前面的探究过程，可以猜想：
S
我们就 k < 0 的情况给出证明：
设点 P 的坐标为 (a，b)
A
B
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；
若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，
若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0，
∴ S矩形 AOBP=PB·PA
=a· (－b)=－ab=－k.
综上，S矩形 AOBP=|k|.
自己尝试证明
k > 0的情况.
点 Q 是其图象上的任意一
点，作 QA 垂直于 y 轴，作
QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ
的面积与 k 的关系是
S矩形AOBQ= .
推理：△QAO与△QBO的
面积和 k 的关系是
S△QAO=S△QBO= .
A
B
|k|
归纳：
反比例函数的面积不变性
A. SA >SB>SC B. SAC. SA =SB=SC D. SA1. 如图，在函数 (x＞0)的图像上有三点A，B ，
C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点
所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分
别为SA ，SB，SC，则 ( )
C
练一练
2. 如图，过反比例函数 图象上的一点 P，作
PA⊥x 轴于A. 若△POA 的面积为 6，则 k = .
－12
提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意
k＜0.
3. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向
x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形
PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是
.
例5 如图，P，C是函数 (x>0) 图像上的任意两点，过点 P 作 x 轴的垂线 PA，垂足为 A，过点 C 作 x 轴的
垂线 CD，垂足为 D，连接 OC
交 PA 于点 E. 设 △POA 的面积
为 S1，则 S1= ；梯形CEAD
的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小
关系是 S1 S2；△POE 的面
积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3.
典例精析
2
S1
S2
＞
＝
S3
如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是AB 上的点，△ AOC 的面积 S1、△ BOD 的面积 S2、 △ POE 的面积 S3 的大小关系为 .
S1 = S2 < S3
练一练
解析：由反比例函数面积的不变
性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一
支交于点 F，连接 OF，易知，
S△OFE = S1 = S2，而 S3＞S△OFE，
所以 S1，S2，S3的大小关系为
S1 = S2 < S3
F
S1
S2
S3
y
D
B
A
C
x
3
2
5
Q
P
O
x
M
y
－10
练一练
解析：∵ x2－x1 = 4，y1－y2 =2，
∴BG = 4，AG =5，
∴S△ABG =4×5÷2=10.
由反比例函数面积的不变
性可知，
S长方形ACOE = S长方形BDOF = k .
∴ S五边形 AEODB = S四边形ACOE +
S四边形BDOF－ S四边形FOCG+ S△ABG
= k + k －2+4=14.
如图，已知点 A，B 在双曲线 上，AC⊥x 轴于
点C，BD⊥y 轴于点 D，AC 与 BD 交于点 P，P 是 AC
的中点，若△ABP 的面积为6，则 k = .
24
练一练
E
F
1. 已知反比例函数 的图象在第一、三象
限内，则m的取值范围是________.
2. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论：
(1) 经过点 (－1，12) 和点 (10，－1.2)；
(2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；
(3) 双曲线位于二、四象限.
其中正确的是 (填序号).
(1)(3)
m ＞ 2
当堂练习
A. 4 B. 2
C. －2 D.不确定
O
B
A
P
x
y
A
4. 已知反比例函数 y = mxm?－5，它的两个分支分别在
第一、第三象限，求 m 的值.
解：因为反比例函数 y = mxm?－5 的两个分支分别在第
一、第三象限，
所以有
解得 m=2.
解得 k = －8.
(2) 这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大
如何变化?
解：这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个
象限内，y 随 x 的增大而增大.
(3) 画出该函数的图象；
解：如图所示：
(4) 点 B (1，－8) ，C (－3，5)是否在该函数的图象上？
因为点 B 的坐标满足该解析式，而点 C 的坐标
不满足该解析式，
所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数
的图象上.
6. 如图，反比例函数 与一次函数 y =－x + 2 的图象交于 A，B 两点.
(1) 求 A，B 两点的坐标；
解：
解得
所以A(－2，4)，B(4，－2).
或
作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
则AC=4，BD=2.
(2) 求△AOB的面积.
解：一次函数与x轴的交点为M (2，0)，
∴OM=2.
M
C
D
∴S△OMB=OM·BD÷2=2×2÷2=2，
∴S△OMA=OM·AC÷2=2×4÷2=4，
∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6.
课堂小结
反比例函数
的性质
性质
反比例函数图象中比例系数k的几何意义
当k＞0时，在每一象限内，
y的值随x的增大而减小.
当k<0时，在每一象限内，
y的值随x的增大而增大.
见《学练优》本课时练习
课后作业
6.3 反比例函数的应用
第六章 反比例函数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，
提高运用代数方法解决问题的能力.
2. 能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反
比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图
象、性质的综合能力. (重点、难点)
3. 能够根据实际问题确定自变量的取值范围．
导入新课
对于一个矩形，当它面积一定时，长a是宽b的反比例函数，其函数解析式可以写为 (S ＞ 0).
请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有
反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数解析式．
实例：
函数解析式： ．
三角形的面积 S 一定时，三角形底边长 y 是高 x
复习引入
的反比例函数
；
讲授新课
引例：某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p (Pa)将如何变化？
如果人和木板对湿地地面的压力合
计600N，那么
(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比
例函数吗？为什么？
由p＝ 得p＝
p是S的反比例函数，因为给定一个S的值，对应的就有唯一的一个p值和它对应，根据函数定义，则p是S的反比例函数．
(2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？
当S＝0.2m2时，
p＝ ＝3000(Pa) ．
答：当木板面积为0.2m2时压强是3000Pa．
(3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？
(4) 在直角坐标系中，作出相应的函数图象．
图象如下
当 p≤6000 Pa时，S ≥0.1m2．
0.1
0.5
0.6
0.3
0.2
0.4
1000
3000
4000
2000
5000
6000
例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室.
(1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m)
有怎样的函数关系?
解：根据圆柱体的体积公式，得
Sd =104，
∴ S 关于d 的函数解析式为
典例精析
(2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队
施工时应该向下掘进多深?
解得 d = 20.
如果把储存室的底面积定为 500 m?，施工时应
向地下掘进 20 m 深.
(3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公
司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相
应地，储存室的底面积应改为多少 (结果保留小
数点后两位)?
解得 S≈666.67.
当储存室的深度为15 m 时，底面积应改为 666.67 m?.
第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方
程和求代数式的值的问题有何联系？
第 (2) 问实际上是已知函数 S 的值，求自变量
d 的取值，第 (3) 问则是与第 (2) 问相反．
想一想：
1. 矩形面积为 6，它的长 y 与宽 x 之间的函数关系用
图象可表示为 ( )
B
练一练
A.
x
y
x
y
x
y
x
y
2. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升
(1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗．
(1) 漏斗口的面积 S (单位：dm2)与漏斗的深 d (单位：
dm) 有怎样的函数关系?
(2) 如果漏斗的深为10 cm，那么漏斗口
的面积为多少 dm2？
解：10cm=1dm，把 d =1 代入解析式，得
S =3.
所以漏斗口的面积为 3 dm2.
(3) 如果漏斗口的面积为 60 cm2，则漏斗的深为多少?
解：60 cm2 = 0.6 dm2，把 S =0.6 代入解析式，得
d =5.
所以漏斗的深为 5 dm.
例2 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间.
(1) 轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v (单位：
吨/天)与卸货天数 t 之间有怎样的函数关系?
提示：根据平均装货速度×装货天数=货物的总量，可以求出轮船装载货物的总量；再根据平均卸货速度=货物的总量÷卸货天数，得到 v 关于 t 的函数解析式.
解：设轮船上的货物总量为 k 吨，根据已知条件得
k =30×8=240，
所以 v 关于 t 的函数解析式为
(2) 由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5天卸
载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨?
从结果可以看出，如果全部货物恰好用 5 天卸载
完，则平均每天卸载 48 吨. 而观察求得的反比例
函数的解析式可知，t 越小，v 越大. 这样若货物
不超过 5 天卸载完，则平均每天至少要卸载 48 吨.
练一练
某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把 1200 立方米的生活垃圾运走．
(1) 假如每天能运 x 立方米，所需时间为 y 天，写出 y
与 x 之间的函数关系式；
(2) 若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的
拖拉机要用多少天才能运完？
解：x =12×5=60，代入函数解析式得
答：若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的拖拉机要用 20 天才能运完.
(3) 在 (2) 的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要在不
超过 6 天的时间内完成，那么至少需要增加多少
辆这样的拖拉机才能按时完成任务？
解：运了8天后剩余的垃圾有
1200－8×60=720 (立方米)，
剩下的任务要在不超过6天的时间完成，则每天
至少运 720÷6=120 (立方米)，
所以需要的拖拉机数量是：120÷12=10 (辆)，
即至少需要增加拖拉机10－5=5 (辆).
例3 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80千米/时 的平均速度用 6 小时达到乙地.
(1) 甲、乙两地相距多少千米？
解：80×6=480 (千米)
答：甲、乙两地相距 480 千米.
(2) 当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t
有怎样的函数关系？
解：由题意得 vt=480，
例4 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m.
(1) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系? 当动力臂为
1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力?
解：根据“杠杆原理”，得 Fl =1200×0.5，
(2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则
动力臂l至少要加长多少?
300－1.5 =1.5 (m).
在物理中，我们知道，在阻力和阻力臂一定的情况下，动力臂越长就越省力，你能用反比例函数的知识对其进行解释吗？
想一想：
假定地球重量的近似值为 6×1025 牛顿 (即阻力)，阿基米德有 500 牛顿的力量，阻力臂为 2000 千米，请你帮助阿基米德设计，该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动？
由已知得F×l＝6×1025×2×106 =1.2×1032 米，
当 F =500时，l =2.4×1029 米，
解： 2000 千米 = 2×106 米，
练一练
故用2.4×1029 米动力臂的杠杆才能把地球撬动.
例5 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110～220 Ω. 已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如图所示.
(1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系?
解：根据电学知识，
当 U = 220 时，得
(2) 这个用电器功率的范围是多少?
解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率
越小.
把电阻的最小值 R = 110 代入求得的解析式，
得到功率的最大值
把电阻的最大值 R = 220 代入求得的解析式，
得到功率的最小值
因此用电器功率的范围为220~440 W.
1. 在公式 中，当电压 U 一定时，电流 I 与电
阻 R 之间的函数关系可用图象大致表示为 ( )
D
练一练
I
R
I
R
I
R
I
R
2. 在某一电路中，保持电压不变，电流 I (安培) 和电阻
R (欧姆) 成反比例，当电阻 R＝5 欧姆时，电流 I＝2
安培．
(1) 求 I 与 R 之间的函数关系式；
(2) 当电流 I＝0.5 时，求电阻 R 的值．
解：(1) 设
∵ 当电阻 R = 5 欧姆时，电流 I = 2 安培，
∴ U =10．
∴ I 与 R 之间的函数关系式为
当堂练习
1. 面积为 2 的直角三角形一直角边为x，另一直角边
长为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象可大致表示为
( )
C
2. (1) 体积为 20 cm3 的面团做成拉面，面条的总长度 y
(单位：cm) 与面条粗细 (横截面积) S (单位：cm2)
的函数关系为 .
(2) 某家面馆的师傅手艺精湛，他拉的面条粗 1 mm2，
则面条的总长度是 cm.
2000
3. A、B两城市相距720千米，一列火车从A城去B城.
(1) 火车的速度 v (千米/时) 和行驶的时间 t (时)
之间的函数关系是________．
(2) 若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求
在 3 小时内回到 A 城，则返回的速度不能低
于____________．
240千米/时
4. 学校锅炉旁建有一个储煤库，开学时购进一批煤，
现在知道：按每天用煤 0.6 吨计算，一学期 (按150
天计算) 刚好用完. 若每天的耗煤量为 x 吨，那么
这批煤能维持 y 天.
(1) 则 y 与 x 之间有怎样的函数关系？
解：煤的总量为：0.6×150=90 (吨)，
根据题意有
(2) 画出函数的图象；
解：如图所示.
(3) 若每天节约 0.1 吨，则这批煤能维持多少天？
解：∵ 每天节约 0.1 吨煤，
∴ 每天的用煤量为 0.6－0.1=0.5 (吨)，
∴ 这批煤能维持 180 天．
5. 王强家离工作单位的距离为3600 米，他每天骑自行
车上班时的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟．
(1) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？
(2) 若王强到单位用 15 分钟，那么他骑车的平均速
度是多少？
解：把 t =15代入函数的解析式，得：
答：他骑车的平均速度是 240 米/分.
(3) 如果王强骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少
需要几分钟到达单位?
解：把 v =300 代入函数解析式得：
解得：t =12．
答：他至少需要 12 分钟到达单位．
6. 蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流 I (A) 是电
阻 R (Ω) 的反比例函数，其图象如图所示．
(1) 求这个反比例函数的表达式；
解：设 ，把 M (4，9) 代入得
k =4×9=36.
∴ 这个反比例函数的
表达式为 .
M (4，9)
(2) 当 R =10Ω 时，电流能是 4 A 吗？为什么？
解：当 R=10Ω 时，I = 3.6 ≠ 4，
∴电流不可能是4A．
7. 某汽车的功率 P 为一定值，汽车行驶时的速度 v
(m/s) 与它所受的牵引力F (N)之间的函数关系如
下图所示：
(1) 这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表
达式；
(3) 如果限定汽车的速度不超过 30 m/s，则 F 在什
么范围内？
(2) 当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多
少 km/h？
解：把 F = 1200 N 代入求得的解析式得 v = 50，
∴汽车的速度是3600×50÷1000 = 180 km/m.
答案：F ≥ 2000 N.
8. 在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项
开挖水渠的工程，所需天数 y (天) 与每天完成的工
程量 x (m/天) 的函数关系图象如图所示.
(1) 请根据题意，求 y 与 x 之间的函数表达式；
(2) 若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够
开挖水渠 15 m，问该工程队需用多少天才能完
成此项任务？
解：由图象可知共需开挖水渠 24×50=1200 (m)；
2 台挖掘机需要 1200÷(2×15)=40 (天).
(3) 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内
(按 30 天计算)完成任务，那么每天至少要完成多
少 m？
解：1200÷30=40 (m)，
故每天至少要完成40 m．
课堂小结
实际问题中的反比例函数
过程：
分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题
注意：
实际问题中的两个变量往往都只能取非负值；
作实际问题中的函数图像时，横、纵坐标的单
位长度不一定相同
见《学练优》本课时练习
课后作业
