5.1 投影
第五章 投影与视图
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第1课时 投影的概念与中心投影
1.了解投影和中心投影的含义,体会灯光下物体的影子在生活中的应用;.（重点）
2.通过观察、想象,能根据灯光来辨别物体的影子,初步进行中心投影条件下物体与其投影之间的相互转化.
（难点）
学习目标
导入新课
情境引入
物体在太阳光或灯光等光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，可见影子与物体有密切的关系.
讲授新课
观察与思考
物体和它的影子如此密切，在数学中影子是物体的什么呢？
投影所在的平面叫做投影面．
照射光线叫做投影线.
投影面
投影
投影线
一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影.
概念学习
把下列物体与它们的投影用线连接起来：
练一练
皮影戏是利用灯光的照射，把影子的影态反映在银幕（投影面）上的表演艺术．
你知道皮影戏中的影像是如何形成的吗？
问题： 你可以表示出形成皮影戏的光线的路径吗？
物体
影子
灯光
照射
投影面
灯光与太阳光线有什么不同？
手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点出发的.
例如：物体在灯泡发出的光照射下形成影子就是
中心投影．
由一点 (点光源) 发出的光线所形成的投影为中心投影．
概念学习
例1 确定下图路灯灯泡所在的位置.
解：过一根木杆的顶端及其影子的顶端画一条直线，
再过另一根木杆的顶端及其影子的顶端画一条
直线，两线相交于点O，点O就是灯泡的位置.
O
例2：一个广场中央有一站路灯.
（1）高矮相同的两个人在这盏路灯下的影子一定一样长吗?如果不一定,那么什么情况下他们的影子一样长？
不一定一样长,只有在距离路灯的距离相等时候影子才会
一样长.
（2）高矮不同的两个人在这盏路灯下的影子有可能一样长吗?
在灯光下，垂直于地面的物体离点光源距离近时，影子短，离光源远时影子长.
同步练习
如图,晚上小亮在路灯下散步,在小亮由A处径直走到B处这一过程中,他在地上的影子 ( )
A.逐渐变短
B.先变短后变长
C.先变长后变短
D.逐渐变长
B
1.在下列各图中，两根木棒的影子是在同一时刻、一盏灯下形成的中心投影吗？
当堂练习
2.小玲和小芳两人身高相同，两人站在灯光下的不同位置，已知小玲的影子比小芳的影子长，则可以判定小芳离灯光较______.（填“远”或“近”） .
近
3.确定图中路灯灯泡所在的位置.
解：过一根木杆的顶端作一条直线，再过另一根木杆的顶端作一条直线，两直线交于一点O.点O就是路灯灯泡所在的位置.
O
4.同一时刻，两根木棒的影子如图，请画出图中另一根木棒的影子.
A
B
C
D
E
F
M
H
N
O
投影
投影的概念
中心投影
物体在光线的照射下，会在地面或其
他平面上留下它的影子，这就是投影.
概念：点光源的光线形成的投影.
变化规律：垂直于地面的物体离点光源
距离近时，影子短，离光源远时影子长.
作图
寻找光源.
已知光源出作投影.
课堂小结
5.1 投影
第五章 投影与视图
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第2课时 平行投影与正投影
1.知道平行投影和正投影的含义.（重点）
2.了解不同时刻物体在太阳光下形成的影子的特点.
（重点）
3.会利用平行投影的性质进行相关计算.（难点）
学习目标
导入新课
问题引入
下图是小明一天上学、放学时看到的一根电线杆的影子,你能将它们按时间先后顺序进行排列吗？
（1）
（2）
(3)
（4）
→ → → .
( 2 )
( 3 )
( 1 )
( 4 )
观察下列图片,你认为太阳光线有什么特征？
太阳离我们非常遥远，太阳光线可以看成平行光线.
想一想
讲授新课
太阳光线可以看成平行光线,像这样的光线所形成的投影称为平行投影.
概念学习
在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影称为正投影.
例如，物体在太阳光的照射下形成的影子 (简称日影) 就是平行投影．日影的方向可以反映时间，
我国古代的计时器日晷，就是根据日影来观测时间的．
合作探究
准备素材：铅笔，矩形纸板，长方体纸盒
问题1 用一束平行光垂直于水平桌面照射一支铅笔，改变铅笔的位置，观察它在桌面上投影的形状，例能发现线段正投影的规律吗？
A'
B'
A'
B'
A'(B')
A'B'=AB
A'B'＜AB
A'B'=0
平行
倾斜
垂直
归纳总结
线段正投影有如下规律：
平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点.
2.在同一时刻，两根长度不等的木杆置于阳光下，但它们的影长相等，则它们的相对位置是（ ）
A．一根垂直于地面
B．两根都平行斜插在地面上
C．两根木杆不平行
D．一根倒在地上
练一练
C
1.木棒长为1.2m，则它的正投影的长一定（ ）
A．大于1.2m B．小于1.2m
C．等于1.2m D．小于或等于1.2m
D
问题2 用一束平行光垂直于水平桌面照射一张矩形纸板ABCD，改变纸板的位置，观察它在桌面上投影的形状，你能发现矩形ABCD正投影的规律吗？
A'
B'
C'
D'
A'
B'
C'
D'
平行
倾斜
垂直
D'(A')
C'(B')
四边形ABCD与四边形A'B'C'D'重合
四边形A'B'C'D'在大小和形状上已发生改变
四边形A'B'C'D'变为线段C'D'
(或A'B')
归纳总结
平面图形的正投影有如下规律：
平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段.
1.皮皮拿着一块正方形纸板在阳光下做投影实验，正方形纸板在投影面上形成的投影不可能是（ ）
练一练
A
B
C
D
D
2.小明同学拿着一个如图所示的三角形木架在太阳光下玩，他不断变换三角形木架的位置，他说他发现了三角形木架在地上出现过的影子有四种：①点；②线段；③三角形；④四边形．你认为小明说法中正确的有_______（填序号）.
②③
问题3 根据平面图形正投影的规律，你能说出长方体ABCD－A1B1C1D1在投影面H上的正投影是什么图形？
想一想：若将长方体ABCD－A1B1C1D1倾斜放置，它在投影面H上的正投影是什么图形？
长方体的两个面ABB1A1与CDD1C1垂直于投影面，故这两个面在投影面上的投影为两条线段.
长方体的另外四个面在投影面上的投影都是平面图形.
归纳总结
几何体的正投影有如下规律：
一个几何体在一个平面上的投影是一个平面图形.
一个几何体在一个平面上的正投影叫作这个几何体的视图.
1.如图，箭头表示投影线的方向，则图中圆柱体的正投影是（ ）
A．圆 B．圆柱 C．梯形 D．矩形
练一练
D
2.底面与投影面垂直的圆锥体的正投影是（ ）
A．圆 B．三角形 C．矩形 D．正方形
B
例1：下图中三幅图是在我国北方某地某天上午不同时刻的同一位置拍摄.
（1）在三个不同时刻，同一棵树的影子长度不同，请将它们按拍摄的先后顺序进行排列，并说明你的理由.
（甲）
（乙）
（丙）
→ → .
( 乙 )
( 甲 )
( 丙 )
（2）在同一时刻，大树和小树的影子与它们的高度之间有什么关系？与同伴交流.
在同一时刻,大树和小树的影子与它们的高度成比例.
例2 某校墙边有甲、乙两根木杆.已知乙杆的高度为1.5m.
(1) 某一时刻甲木杆在阳光下的影子如下图所示，你能画出此时乙木杆的影子吗？
（甲）
（乙）
A
D
D?
B
E
E?
(2)当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？
（甲）
（乙）
A
D
D'
B
E
E'
(3) 在(2)的情况下,如果测得甲、乙木杆的影子长分别为1.24m和1m,那么你能求出甲木杆的高度吗?
（甲）
（乙）
A
D
D'
B
E
E'
解：因为△ADD ?∽△BEE?,所以，
所以，甲木杆的高度为1.86m.
圆柱的轴截面平行于投影面S，它的正投影是长4，宽4的正方形，则这个圆柱的表面积是______.
练一练
4
4
当堂练习
1.圆形物体在阳光下的投影不可能是（ ）
A．圆形 B．线段 C．矩形 D．椭圆形
C
2.一根笔直的小木棒（记为线段AB），它的正投影为线段CD，则AB_____CD
(填“＝”“＜”“＞”“≥”或“≤”).
≥
3.下列说法正确的是（ ）
①线段a垂直于投影面P，则线段a在投影面P上的正投影是一个点；②长方形的对角线垂直于投影面，则长方形在投影面上的正投影是一条线段；③正方体的一侧面与投影面平行，则该正方体有4个面的正投影是线段；④圆锥的轴截面与投影面平行，则圆锥在投影面上的正投影是等腰三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
4.一位同学想利用树影测树高，已知在某一时刻直立于地面的长1.5m的竹竿的影长为3m，但当他马上测量树影时，发现树的影子有一部分落在墙上.经测量，留在墙上的影高CD=1.2m，地面部分影长BD=5.4m，求树高AB.
A
B
D
C
E
解：过点D作DE∥AC交AB于点E.
∵四边形AEDC为平行四边形，
∴AE=CD=1.2m.
∴AB=AE+EB=3.9m.
∴树高AB为3.9m.
A
B
D
C
解：延长AC交BD的延长线于点E.
∴BE=BD+DE=7.8 m.
∴树高AB为3.9m.
E
平行投影
与
正投影
概念：平行光线所形成的投影
平行投影
正
投
影
画法
计算
课堂小结
线段的
正投影
平面图形的正投影
几何体的正投影
平行长不变，倾斜长变短，垂直成一点
影长≤线段长
平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段
平面图形
视图
5.2 视图
第五章 投影与视图
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第1课时 简单图形的三视图
学习目标
1.理解视图及三视图的概念.
2.会辨别几何体的三种视图,能熟练画出几何体的三种视图. （重点）
导入新课
情境引入
“横看成岭侧成峰,远近高低各不同．不识庐山真面目,只缘身在此山中”你能说明是什么原因吗？
问题：观察下面图形,假如有一束平形光从正面、左面、上面照射到物体上，请分别画出不同方向的正投影图形?
讲授新课
观察与思考
下图为某飞机的设计图，你能指出这些设计图是从哪几个方向来描绘物体的吗？
问题:怎样才能比较全面地了解物体的大小和形状，并把这些信息准确无误的进行书面表达呢？
从前面、左面、上面三个方向观察物体，并分别画出这三个方向上的正投影.
知识要点
1.当我们从某一角度观察物体在这种正投影下的像就称为该物体的视图.
2.画物体视图的方法(以图示几何体进行说明)：
第一步：从前往后看，画出立于它后面的竖直平面上的正投影，如下右图，这称为“主视图”.
主视图
第二步：从左往右看，画出立于它右边的竖直平面上的正投影，如下右图，这称为“左视图”.
左视图
第三步：从上往下看，画出立于它下方的水平面上的正投影，如下右图，这称为“俯视图”.
俯视图
我们把主视图、左视图、俯视图统称为“三视图”.
一起来学习简单物体的三视图吧！
主视图
主视图
俯视图
左视图
正面
从上面看
从正面看
从左面看
画视图时，主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等．
归纳总结
长对正
高齐平
宽相等
例1 (1)物体的形状分别可以看成什么样的几何体？
(2)分别找出上述几何体的主视图.
(3)请完成下表.
几何体 主视图 左视图 俯视图
正方体展示图
圆柱体展示图
锥体展示图
练一练
找出图中每一物品所对应的主视图.
例2 如图，红线表示嵌在玻璃正方体内的一根铁丝，请画出该正方体的三视图.
主视图
左视图
俯视图
1.找出图中每一物品所对应的主视图.
当堂练习
2.关于下面几何体有几种说法，其中说法正确的是（ ）
A.它的俯视图是圆
B.它的主视图与左视图相同
C.它的三种视图都相同
D.它的主视图与俯视图都是圆
B
正视图
俯视图
左视图
3.如下图几何体，请画出这个物体的三视图.
视图
从某一角度观察物体在正投影下
的像称为该物体的一个视图
主视图：从正面得到的视图
概念
三视图的组成
左视图：从左面得到的视图
俯视图：从上面得到的视图
三视图的画法
长对正,高平齐,宽相等
课堂小结
5.2 视图
第五章 投影与视图
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第2课时 复杂图形的三视图
1.会辨别复杂的几何体的三视图. （重点）
2.会画复杂的几何体的三视图.（重点）
3.明确三视图中实线和虚线的区别.（难点）
学习目标
问题：请画出下面几何图形的三视图.
主视图
左视图
俯视图
导入新课
复习引入
画一画：画出下图的四棱柱的三视图.
解析：在画视图时,看得见部分的轮廓要画成实线，看不见部分的轮廓线要画成虚线.
主视图
左视图
俯视图
讲授新课
例1 画出如图所示的几何体的三视图．
分析：该几何体由两个大小不等的长方体构成的组合体，画三视图时要注意这两个长方体的上下、前后位置关系．
典例精析
主视图
俯视图
左视图
解：作法如下：
(1)先画互相垂直的辅助线XY',ZY;
(2)确定主视图的位置，画出主视图;
(3)根据“长对正”与几何体宽度，画出俯视图;
(4)根据“高平齐”与“宽相等”画出左视图;
(5)擦去辅助线
例2 如图是由若干小正方体搭成的几何体，我们分别从正面看、从左面看和从上面看得到的平面图形分别是怎样的呢？请同学们尝试画一画．
从上面看
从左面看
从正面看
从正面看
从左面看
从上面看
正视图
左视图
你能画出下面这个几何体的三视图吗？
试一试
俯视图
同步练习
请画出下面几何图形对应的三视图.
(1)
(2)
俯视图
主视图
左视图
俯视图
主视图
左视图
1.一个几何体的主视图和左视图如图所示,请补画这个几何体的俯视图.
2.一个直棱柱的主视图和俯视图如图所示.描述这个直棱柱的形状,并补画它的左视图.
左视图
主视图
俯视图
主视图
俯视图
左视图
当堂练习
3.下图是一个蒙古包的照片.小明认为这个蒙古包可以看成如图所示的几何体,请画出这个几何体的三种视图.你与小明的做法相同吗?
左视图
主视图
俯视图
4.如下图几何体，请画出这个物体的三视图.
(1)
(2)
主视图
左视图
俯视图
主视图
左视图
俯视图
1.下面三视图是表示哪个几何体？
思维提升
主视图
左视图
俯视图
2.由几个相同的小立方块搭成的几何体的俯视图如图所示.方格中的数字表示该位置的小方块的个数.请画出这个几何体的主视图和左视图.
主视图
左视图
较复杂图形的
三视图
判断复杂的几何体的视图
看得见的轮廓线画成实线，
看不见的轮廓线画虚线
画图
课堂小结
5.2 视图
第五章 投影与视图
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第2课时 复杂图形的三视图
1. 会根据物体的三视图描述出基本几何体的形状. (重点)
2. 会根据复杂的三视图判断实物原型. (难点)
学习目标
导入新课
下面是哪个几何体的三视图？
问题引入
主视图 左视图 俯视图
我们知道，由几何体可以画出三视图，反过来，能否由三视图还原几何体呢？
讲授新课
例1 如图，分别根据三视图(1) (2)说出立体图形的名称.
典例精析
(1) 从三个方向看立体图形，视图都是矩形，可以想象
出：整体是 ，如图①所示；
(2) 从正面、侧面看立体图形，视图都是等腰三角形；
从上面看，视图是圆；可以想象出：整体是 ，
如图②所示.
长方体
圆锥
根据下面的三视图说出立体图形的名称
(1)
练一练
(2)
方法总结：三视图除了与立体图形的形状有关外，还与立体图形的摆放位置有关，故由图想物，先根据三视图确定物体的形状，再确定物体的摆放位置.
(3)
例2 根据物体的三视图描述物体的形状.
分析：由主视图可知，
物体的正面是正五边形；
由俯视图可知，由上向
下看到物体有两个面的
视图是矩形，它们的交
线是一条棱 (中间的实线表示)，可见到，另有两条棱 (虚线表示) 被遮挡；由左视图可知，物体左侧有两个面是矩形，它们的交线是一条棱 (中间的实线表示)，可见到；综合各视图可知，物体的形状是正五棱柱.
解：物体是正五棱柱形状的，如图所示.
根据下列物体的三视图，填出几何体的名称：
(1) 如图①所示的几何体是__________；
(2) 如图②所示的几何体是_________.
六棱柱
圆台
练一练
由三视图想象立体图形时，先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、主面和左侧面的局部形状，然后再综合起来考虑整体图形．
归纳：
例3 请根据下面提供的三视图，画出几何图形.
(1) 主视图
左视图
俯视图
(2) 主视图
左视图
俯视图
主视图
左视图
俯视图
请根据下面提供的三视图，画出几何图形.
练一练
1. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是 ( )
A．四棱锥 B．四棱柱
C．三棱锥 D．三棱柱
D
当堂练习
2. 下列三视图所对应的实物图是 ( )
C
3. 一个物体的俯视图是圆，则该物体有可能是 a
．
圆柱、
4. 在一仓库里堆放着若干相同的正方体货箱，仓库管
理员将这堆货箱的三视图画了出来. 如下图所示，
则这堆正方体货箱共有 箱.
9
球
5. (1) 一个几何体的主视图和左视图如图所示，请补画
这个几何体的俯视图.
(2) 一个直棱柱的主视图和俯视图如图所示. 描述这
个直棱柱的形状,并补画它的左视图.
左视图
主视图
俯视图
主视图
俯视图
左视图
6. 根据物体的三视图描述物体的形状
(1)
(2)
(3)
由三视图确定几何体
由三视图确定简单几何体
课堂小结
由三视图确定复杂几何体
由三视图确定简单几何体的组合体
