概率
【经典例题】
知识点一 必然事件、不可能事件和随机事件
【例1】请指出在下列事件中，哪些时随机事件，哪些是必然事件，哪些是不可能事件？
（1）通常加热到100℃时，水沸腾；
（2）篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中；
（3）掷一次骰子，向上一面的点数时6；
（4）任意画一个三角形，其内角和是360°；
（5）经过有交通信号灯的路口，遇到红灯；
（6）射击运动员射击一次，命中靶心．
【分析】根据随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可作出判断．
【解答】解：随机事件：（2）（3）（5）（6）；
必然事件：（1）；
不可能事件：（4）
【例2】在一个不透明的口袋中装有大小、外形一模一样的5个红球、3个蓝球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了，请判断以下是不确定、不可能事件、还是必然事件。
（1）从口袋中一次任意取出一个球，是白球；
（2）从口袋中一次任取5个球，全是蓝球；
（3）从口袋中一次任取5个球，只有蓝球和白球，没有红球；
（4）从口袋中一次任意取出6个球，恰好红、蓝、白三种颜色的球都齐了．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于那一种类别．
【解答】解：（1）可能发生，也可能不发生，是不确定事件；
（2）一定不会发生，是不可能事件；
（3）可能发生，也可能不发生，是不确定事件；
（4）可能发生，也可能不发生，是不确定事件．
知识点二 概率
【例3】一个口袋中装有3个白球、5个红球，这些球除了颜色外完全相同，充分摇匀后随机摸出一球，发现是白球
（1）如果将这个白球放回，再摸出一球，它是白球的概率是多少？
（2）如果将这个白球不放回，再摸出一球，它是白球的概率是多少？
【分析】(1)摸出一个白球放回对第二次摸到白球没有影响，直接利用概率公式求解即可；
(2)如果这个白球不放回，则总数减少1，再利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵
∴它是白球的概率是
（2）∵
∴它是白球的概率是
【例4】某公司的一批某品牌衬衣的质量抽检结果如下：
（1）求从这批衬衣中任抽1件是次品的概率；
（2）如果销售这批衬衣1000件，估计有多少件次品衬衣？
【分析】（1）根据概率的求法，找准两点：1、符合条件的情况数目；2、全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率；
（2）需要准备调换的次品衬衣数=销售的衬衫数×次品的概率，依此计算即可．
【解答】解：（1）抽查总体数m＝50＋100＋200＋300＋400＋500＝1550，
次品件数n＝0＋4＋16＋19＋24＋30＝93，
（2）根据（1）的结论：P(抽到次品)＝0.06，
则1000×0.06＝60（件）．
答：估计有60件次品衬衣．
知识点三 用列举法求概率
【例5】在“植树节”期间，小王、小李两人想通过摸球的方式来决定谁去参加学校植树活动，规则如下：在两个盒子内分别装入标有数字1，2，3，4的四个和标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于5，那么小王去，否则就是小李去．
（1）用树状图或列表法求出小王去的概率；
（2）小李说：“这种规则不公平”，你认同他的说法吗？请说明理由．
【分析】（1）先利用画树状图展示所有12种等可能的结果数，然后根据概率公式求解
（2）分别计算出小王和小李参加的概率即可知道规则是否公平．
【解答】解：（1）画树状图为：
共有12种可能的结果，其中摸出的球上的数字之和小于5的情况有6种，
（2）不同意，理由如下：
∴规则是公平的．
知识点四 利用概率估计概率
【例6】在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共60只，这些球除颜色外其余完全相同。为了估计红球和黑球的个数，七（4）班的数学学习小组做了摸球实验．他们]将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据：
(1)请估计：当次数n足够大时，摸到红球的频率将会接近_______；(精确到0.1)
(2)假如你去摸一次，则摸到红球的概率的估计值为_________；
(3)试估算盒子里红球的数量为________个，黑球的数量为_________个
【分析】（1）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的频率逐渐靠近于0.3可得；
（2）概率接近于（1）得到的频率；
（3）红球个数=球的总数×得到的红球的概率，让球的总数减去红球的个数即为黑球的个数，问题得解．
【解答】解：(1)当次数n足够大时，摸到红球的频率将会接近0.3，
(2)摸到红球的概率的估计值为0.3，
(3)估算盒子里红球的数量为60×0.3＝18个，黑球的个数为60－18＝42个
【知识巩固】
1. 下列事件是随机事件的是（ ）
A．每周有7天
B．袋中有三个红球，摸出一个球一定是红球
C．任意购买一张车票，座位刚好靠窗口
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
2. 下列说法正确的是（ ）
A．投掷一枚质地均匀的硬币10次，反面朝上的次数一定是5次
B．“5名同学中恰有2名同学生日是同一天”是随机事件
C．“明天降雨的概率为”，表示明天有半天时间都在降雨
D．“路过十字路口时刚好是红灯”是确定事件
3. 在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的标号之和为奇数的概率是( )
A. B. C. D.
4. 如果从－1，2，3三个数中任取一个数记作m，又从0，1，－2三个数中任取一个数记作n，那么点P（m，n）恰在第四象限的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有20个，黑球有n个，随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为( )
A．20 B．30 C．40 D．50
【培优特训】
6. 一个不透明的布袋中装有8个完全相同的小球，其中红球x个，若随机摸出一个球，刚好是红球的概率为，则x＝__________
7. 某路口南北方向的交通信号灯的设置时间为：绿灯30秒，红灯27秒，黄灯3秒，某出租车司机随机地由南往北开车到达该路口，他遇到黄灯的概率为________
8. 一个不透明的盒子中装有10个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有240次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有________个
9. 三张形状、大小、质地相同并标有数字0，1，2的卡片，将卡片洗匀后，背面朝上放在桌上，若第一次任意抽取一张（不放回），第二次再抽取一张，用列表法或树状图求两次所抽取卡片上的数字恰好是方程x2－2x＝0的两根的概率。
10. 某中学为推动“时刻听党话永远跟党走”校园主题教育活动，计划开展四项活动：A：党史演讲比赛，B：党史手抄报比赛，C：党史知识竞赛，D：红色歌咏比赛．校团委对学生最喜欢的一项活动进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2两幅不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了_________名学生；将图1的条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中m＝_________，表示“C”类的扇形的圆心角是________度；
（3）已知在被调查的最喜欢“党史知识竞赛”项目的4个学生中只有1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生参加该项目比赛，请用画树状图或列表的方法，求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．
【中考链接】
11. 甲袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2；乙袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2．从两个口袋中各随机取出1个小球，取出的两个小球上都写有数字2的概率是（ ）
A. B. C. D.
12. 如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字－1，0，1，2．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为( )
A. B. C. D.
13. 一个正六面体的骰子投掷一次得到正面向上的数字为奇数的概率：__________
概率
【经典例题】
知识点一 必然事件、不可能事件和随机事件
【例1】请指出在下列事件中，哪些时随机事件，哪些是必然事件，哪些是不可能事件？
（1）通常加热到100℃时，水沸腾；
（2）篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中；
（3）掷一次骰子，向上一面的点数时6；
（4）任意画一个三角形，其内角和是360°；
（5）经过有交通信号灯的路口，遇到红灯；
（6）射击运动员射击一次，命中靶心．
【分析】根据随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可作出判断．
【解答】解：随机事件：（2）（3）（5）（6）；
必然事件：（1）；
不可能事件：（4）
【例2】在一个不透明的口袋中装有大小、外形一模一样的5个红球、3个蓝球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了，请判断以下是不确定、不可能事件、还是必然事件。
（1）从口袋中一次任意取出一个球，是白球；
（2）从口袋中一次任取5个球，全是蓝球；
（3）从口袋中一次任取5个球，只有蓝球和白球，没有红球；
（4）从口袋中一次任意取出6个球，恰好红、蓝、白三种颜色的球都齐了．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于那一种类别．
【解答】解：（1）可能发生，也可能不发生，是不确定事件；
（2）一定不会发生，是不可能事件；
（3）可能发生，也可能不发生，是不确定事件；
（4）可能发生，也可能不发生，是不确定事件．
知识点二 概率
【例3】一个口袋中装有3个白球、5个红球，这些球除了颜色外完全相同，充分摇匀后随机摸出一球，发现是白球
（1）如果将这个白球放回，再摸出一球，它是白球的概率是多少？
（2）如果将这个白球不放回，再摸出一球，它是白球的概率是多少？
【分析】(1)摸出一个白球放回对第二次摸到白球没有影响，直接利用概率公式求解即可；
(2)如果这个白球不放回，则总数减少1，再利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵
∴它是白球的概率是
（2）∵
∴它是白球的概率是
【例4】某公司的一批某品牌衬衣的质量抽检结果如下：
（1）求从这批衬衣中任抽1件是次品的概率；
（2）如果销售这批衬衣1000件，估计有多少件次品衬衣？
【分析】（1）根据概率的求法，找准两点：1、符合条件的情况数目；2、全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率；
（2）需要准备调换的次品衬衣数=销售的衬衫数×次品的概率，依此计算即可．
【解答】解：（1）抽查总体数m＝50＋100＋200＋300＋400＋500＝1550，
次品件数n＝0＋4＋16＋19＋24＋30＝93，
（2）根据（1）的结论：P(抽到次品)＝0.06，
则1000×0.06＝60（件）．
答：估计有60件次品衬衣．
知识点三 用列举法求概率
【例5】在“植树节”期间，小王、小李两人想通过摸球的方式来决定谁去参加学校植树活动，规则如下：在两个盒子内分别装入标有数字1，2，3，4的四个和标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于5，那么小王去，否则就是小李去．
（1）用树状图或列表法求出小王去的概率；
（2）小李说：“这种规则不公平”，你认同他的说法吗？请说明理由．
【分析】(1)先利用画树状图展示所有12种等可能的结果数，然后根据概率公式求解；
(2)分别计算出小王和小李参加的概率即可知道规则是否公平．
【解答】解：（1）画树状图为：
共有12种可能的结果，其中摸出的球上的数字之和小于5的情况有6种，
（2）不同意，理由如下：
∴规则是公平的．
知识点四 利用概率估计概率
【例6】在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共60只，这些球除颜色外其余完全相同。为了估计红球和黑球的个数，七（4）班的数学学习小组做了摸球实验．他们]将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据：
(1)请估计：当次数n足够大时，摸到红球的频率将会接近_______；(精确到0.1)
(2)假如你去摸一次，则摸到红球的概率的估计值为_________；
(3)试估算盒子里红球的数量为________个，黑球的数量为_________个
【分析】（1）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的频率逐渐靠近于0.3可得；
（2）概率接近于（1）得到的频率；
（3）红球个数=球的总数×得到的红球的概率，让球的总数减去红球的个数即为黑球的个数，问题得解．
【解答】解：(1)当次数n足够大时，摸到红球的频率将会接近0.3，
(2)摸到红球的概率的估计值为0.3，
(3)估算盒子里红球的数量为60×0.3＝18个，黑球的个数为60－18＝42个
【知识巩固】
1. 下列事件是随机事件的是（ ）
A．每周有7天
B．袋中有三个红球，摸出一个球一定是红球
C．任意购买一张车票，座位刚好靠窗口
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
【解答】解：A、每周有7天是必然事件；
B、袋中有三个红球，摸出一个球一定是红球是必然事件；
C、任意购买一张车票，座位刚好靠窗口是随机事件；
D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直是不可能事件；
故选：C．
2. 下列说法正确的是（ ）
A．投掷一枚质地均匀的硬币10次，反面朝上的次数一定是5次
B．“5名同学中恰有2名同学生日是同一天”是随机事件
C．“明天降雨的概率为”，表示明天有半天时间都在降雨
D．“路过十字路口时刚好是红灯”是确定事件
【解答】解：A、投掷一枚质地均匀的硬币10次，反面朝上的次数不一定是5次，错误；
B、5名同学中恰有2名同学生日是同一天”是随机事件，正确；
C、“明天降雨的概率为”，表示明天降雨的可能性是50%，错误；
D、路过十字路口时刚好是红灯”是随机事件，错误．
故选：B．
3. 在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的标号之和为奇数的概率是( )
A. B. C. D.
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的小球的标号的和为奇数的结果数为8，所以两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率为。故选：B
4. 如果从－1，2，3三个数中任取一个数记作m，又从0，1，－2三个数中任取一个数记作n，那么点P（m，n）恰在第四象限的概率为（ ）
A. B. C. D.
【解答】解：画树状图为：
有9种等可能的结果数，其中点P（m，n）恰在第四象限的结果数为2，
所以点P（m，n）恰在第四象限的概率＝
故选：A
5. 已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有20个，黑球有n个，随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为( )
A．20 B．30 C．40 D．50
【解答】解：根据题意得
解得：n＝30， 故选：B
【培优特训】
6. 一个不透明的布袋中装有8个完全相同的小球，其中红球x个，若随机摸出一个球，刚好是红球的概率为，则x＝__________
【解答】解：根据题意得
解得x＝2，
7. 某路口南北方向的交通信号灯的设置时间为：绿灯30秒，红灯27秒，黄灯3秒，某出租车司机随机地由南往北开车到达该路口，他遇到黄灯的概率为________
【解答】解：因为绿灯30秒，红灯27秒，黄灯3秒，
所以他遇到黄灯的概率是：
8. 一个不透明的盒子中装有10个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有240次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有________个．
【解答】解：∵共试验400次，其中有240次摸到白球，
∴白球所占的比例为
设盒子中共有白球x个，则
解得：x＝15
9. 三张形状、大小、质地相同并标有数字0，1，2的卡片，将卡片洗匀后，背面朝上放在桌上，若第一次任意抽取一张（不放回），第二次再抽取一张，用列表法或树状图求两次所抽取卡片上的数字恰好是方程x2－2x＝0的两根的概率。
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知共有6种等可能结果，其中是方程x2－2x＝0的两根为0和2，
则所抽取卡片上的数字恰好是方程x2－2x＝0的两根的概率为
10. 某中学为推动“时刻听党话永远跟党走”校园主题教育活动，计划开展四项活动：A：党史演讲比赛，B：党史手抄报比赛，C：党史知识竞赛，D：红色歌咏比赛．校团委对学生最喜欢的一项活动进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2两幅不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了_________名学生；将图1的条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中m＝_________，表示“C”类的扇形的圆心角是________度；
（3）已知在被调查的最喜欢“党史知识竞赛”项目的4个学生中只有1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生参加该项目比赛，请用画树状图或列表的方法，求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为6÷15%＝40人，
B项活动的人数为40－(6＋4＋14)＝16，
补全统计图如下：
故答案为：40；
（2）即m＝40；
表示“C”类的扇形的圆心角是360°×10%＝36°，
故答案为：40、36；
（3）列表如下：
由表可知总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有6种，
所以抽到一名男生和一名女生的概率为
【中考链接】
11. 甲袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2；乙袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2．从两个口袋中各随机取出1个小球，取出的两个小球上都写有数字2的概率是（ ）
A. B. C. D.
【解答】解：如图所示：
一共有4种可能，取出的两个小球上都写有数字2的有1种情况，
故取出的两个小球上都写有数字2的概率是：
故选：C
12. 如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字－1，0，1，2．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为( )
A. B. C. D.
【解答】解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两个数字都是正数的有4种情况，
∴两个数字都是正数的概率是：
故选：C
13. 一个正六面体的骰子投掷一次得到正面向上的数字为奇数的概率：__________
【解答】解：个正六面体的骰子投掷一次得到正面向上的数字为奇数的概率为：
