2.1 两条直线的位置关系
第二章 相交线与平行线
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第1课时 对顶角、补角和余角
学习目标
1.理解对顶角、补角、余角的概念；
2.掌握对顶角、补角、余角的性质，并能运用它们的
性质进行角的运算及一些实际问题.（重点、难点）
观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系.
导入新课
情境引入
生活中处处可见道路、房屋、山川、桥梁.在大自然的杰作和人类的创造物中，蕴含着无数的相交线和平行线.
在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线.
如图，直线AB、CD相交于O，∠1和∠2有什么位置关系？
A
B
C
D
O
讲授新课
探究一:
1.有公共顶点，
2.两边互为反向延长线.
请你观察图中∠1和∠2这组对顶角，你发现它们的大小有什么关系?
探究二:
∠1=∠2
如图直线AB与CD相交于点O，∠1和∠3有公共顶点O，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.∠2和∠4也是对顶角.
对顶角：
A
O
C
B
D
1
3
2
4
总结归纳
对顶角的性质：
例1 下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
D
典例精析
方法总结：对顶角是由两条相交直线构成的，
只有两条直线相交时，才能构成对顶角．
例2 如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数.
解：因为∠1＝40°，
∠BOC＝110°(已知)，
所以∠BOF＝∠BOC－∠1
＝110°－40°＝70°.
因为∠BOF＝∠2(对顶角相等)，
所以∠2＝70°(等量代换)．
3
4
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角(简称互补).可以说∠3是∠4的补角或∠4是∠3的补角.
定义：
2
1
如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角(简称互余).可以说∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角.
定义：
27°37′
117°37′
85°
175°
58°
148°
45°
135°
103°
13°
观察可得结论：
同一个锐角的补角比它的余角大________.
做一做
90°
∠α ∠α的余角 ∠α的补角
5°
32°
45°
77°
62°23′
x°(x<90)
如图1，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图1简化成图2，ON与DC交于点O，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2.
小组合作交流，解决下列问题：在图2中
问题1：哪些角互为补角？哪些角互为余角？
问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？
问题3：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？
因为∠1= ∠2，
∠1+∠AOC=180°,
∠ 2+∠BOD=180°，
所以∠AOC=∠BOD.
同角(等角)的补角相等
因为∠1= ∠2，
∠ 1+∠3=90° ,
∠ 2+∠4=90°，
所以 ∠ 3=∠4.
同角(等角)的余角相等
例3 如图，已知∠AOB在∠AOC内部，∠BOC＝
90°，OM、ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线，
∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数．
解：∵∠AOB与∠COM互补，
∴∠AOB＋∠COM＝180°，
即∠AOB＋∠BOM＋∠COB＝180°.
∵∠COB＝90°，
∴∠AOB＋∠BOM＝90°.
∵OM是∠AOB的平分线，
∴∠BOM＝ ∠AOB，即∠AOB＋ ∠AOB＝90°，解得∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90°＋60°＝150°.
∵ON平分∠AOC得∠AON＝ ∠AOC
＝ ×150°＝75°.
由角的和差，
∴∠BON＝∠AON－∠AOB
＝75°－60°＝15°.
1.下列说法中，正确的有（ ）
①对顶角相等
②相等的角是对顶角
③不是对顶角的两个角就不相等
④不相等的角不是对顶角
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
B
当堂练习
√
√
2.判断下列各图中∠1和∠2是否为对顶角，并说明
理由？
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
√
×
×
×
×
×
3.图中给出的各角，哪些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
4.图中给出的各角，哪些互为余角？
15o
24o
66o
75o
46.2o
43.8o
5.如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，则与
∠AOC互余的角有__________________.
∠BOC和 ∠AOD
6.如图已知：直线AB与CD交于点O, ∠EOD=900,
回答下列问题：
（1）∠AOE的余角是 ；补角是 ；
（2）∠AOC的余角是 ；补角是 ；
对顶角是 ；
∠AOC
∠BOE
∠AOE
∠BOC
∠BOD
7.如图,∠COD=∠EOD=90°, C、O、E在一条直线上, 且∠2= ∠4, 请说出∠1与∠3之间的关系?并试着说明理由?
∠1与∠3相等
(等角的余角相等).
8.若一个角的补角等于它的余角的4 倍，求这个角的度数.
解：设这个角是x°，则它的补角是(180°－x°),
余角是(90°－x°) .
根据题意，得180°－x°= 4 (90°－x°).
解得 x=60.
答：这个角的度数是60 °.
9.要测量两堵墙所成的角的度数，但人不能进入
围墙，如何测量？
O
你能想到几种方法？
同角或等角的
余角相等
同角或等角的
补角相等
对顶角性质：对顶角相等.
课堂小结
互余 互补
两角间的数量关系
对应图形
性质
2.1 两条直线的位置关系
第二章 相交线与平行线
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第2课时 垂 线
1.了解垂线的有关概念、性质及画法，了解点到直
线的距离的概念；
2.能够运用垂线的有关性质进行运算，并解决实际
问题.（重点、难点）
学习目标
导入新课
情境引入
观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？
日常生活中，如图中的两条直线的关系很常见，你能再举出其他例子吗？
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,当b的
位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
讲授新课
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直.
注意：两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直.
2、1两条直线的位置关系（2)
垂直定义：
知识要点
如果直线AB与直线CD垂直，那么可记作：AB⊥CD（或CD⊥AB）.
如果用l、m表示这两条直线，那么直线l与直线m垂直，可记作：l⊥m（或m ⊥ l）.
把互相垂直的两条直线的交点叫作垂足（如图中的O点）.
A
B
C
D
l
m
垂直的表示法
例1 如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．
解：∵∠BOE＝∠NOE，
∴∠BON＝2∠EON＝40°，
∴∠NOC＝180°－∠BON
＝180°－40°＝140°，
∠MOC＝∠BON＝40°.
∵AO⊥BC，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°，
∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.
你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？
活动1：
如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？
活动2：
折一折，试一试
你能用纸折出两条互相垂直的直线吗?
问题:
(1)画已知直线l的垂线能画几条?
(2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能
画几条?
(3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能
画几条?
问题：这样画l的垂线可以画几条？
1.放
2.靠
3.画
l
O
如图，已知直线 l,作l的垂线.
A
无数条
l
A
B
1.放
2.靠
3.移
4.画
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.
问题：这样画l的垂线可以画几条？
一条
l
A
B
1.放
2.靠
3.移
4.画
如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
根据以上操作，你能得出什么结论
垂线的性质：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意：
1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可
以在已知直线外；
2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指
唯一性.
总结归纳
l
如图，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段.
A
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短.简单说成：垂线段最短
线段AD的长度叫做点A到直线l的距离.
总结归纳
特别规定：
l
A
例2 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
m
垂线段最短
1.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能
判定两条直线垂直的是( )
A. 有两个角相等
B.有两对角相等
C. 有三个角相等
D.有四对邻补角
C
当堂练习
2.过点P 向线段AB 所在直线引垂线，正确的是（ ）
A B C D
C
4.找出图中互相垂直的线段：
AO ⊥ CO
BO ⊥DO
3.如图, AC⊥BC, ∠C=90° ,线段AC、BC、CD中最短
的是 ( )
A. AC B. BC
C. CD D. 不能确定
C
5.（1）如图，若直线m、n相交于点O，∠1＝
90°，则 ；
（2）若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，
那么∠BOD = _________；
（3）如图，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数
之比为1:5，那么∠COA＝_____,∠BOC的
补角为 .
m⊥n
90°
72°
162°
6.下列说法正确的是（ ）
A.线段AB叫做点B到直线AC的距离
B.线段AB的长度叫作点A到直线AC的距离
C.线段BD的长度叫作点D到直线BC的距离
D.线段BD的长度叫作点B到直线AC的距离
D
7.如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射
线，若∠1＝35°,∠2＝55°，则OE与AB的位置关
系是 .
垂直
8.已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ）
A.相等 B.互余
C.互补 D.互为对顶角
D
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
1.垂线的定义
2.垂线的画法
3.垂线的性质
(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,
(2)垂线段最短.
4.点到直线的距离
课堂小结
2.2 探索直线平行的条件
第二章 相交线与平行线
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第1课时 利用同位角判定两条直线平行
学习目标
1.理解并掌握同位角的概念，能够判定同位角并确
定其个数；
2.能够运用同位角相等判定两直线平行；（重点，
难 点）
3.理解并掌握平行公理及其推论，能够运用其解决
实际问题.（难点）
问题1 两条直线CD和EF相交，能形成些具有什么关系的角？
具有补角关系的角
导入新课
复习巩固
问题2 两条直线AB和EF相交，能形成些具有什么关系的角？
具有对顶角关系的角
如图，装修工人正在向墙上钉木条.如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角是多少度时，才能使木条a与木条b平行？
情境导入
生活中的问题能用数学知识解决吗？
b
c
如图，三根木条相交成∠1， ∠2，固定木条b，c，转动木条a.
当∠1＞∠2时
当∠1＝∠2时
当∠1＜∠2时
①直线a和b不平行
②直线 a和b平行
③直线a和b不平行
做一做
F
探究∠1与∠5的位置关系：
①在直线EF的同旁（右边）
②在直线AB、CD的同一侧（上方）
A
C
B
D
E
1
2
3
4
5
6
7
8
∠2和∠6；∠3和∠7；∠4和∠8
图中的同位角还有哪些？
讲授新课
图形特征：在形如字母“F”的图形中有同位角.
变式图形：图中的∠1与∠2都是同位角.
●
一、放
二、靠
三、推
四、画
用三角尺和直尺画平行线的方法.
●
问题 在画图过程中，三角尺起着什么样的作用？
思考 要判断两直线平行，你有办法了吗？
b
A
2
1
a
B
（1）这样的画法可以看作是怎样的图形变换？
（2）画图过程中，什么角始终保持相等？
（3）直线a，b位置关系如何？
问题
（4）请将其最初和最终的特殊位置抽象成几何图形：
(5) 由上面的操作过程，你能发现判定两直线平行的
方法吗？
判定方法1：两条直线被第三条直线所截 ,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
应用格式：
∵∠1=∠2(已知)
∴l1∥l2 （同位角相等，两直线平行）
总结归纳
实验验证
练习：下图中若∠1=550 ，∠2=550，直线AB、CD平行吗？为什么?
A
C
E
F
B
D
1
2
同位角相等，两直线平行.
变式1：
如图, ∠1=55?， ∠2=125?，直线AB与CD平行吗？为什么?
A
C
E
F
B
D
1
2
M
N
同位角相等，两直线平行.
变式2：
如图, 直线AB与CD被直线EF所截，∠1=55?，请添加一个条件使得直线AB与直线CD平行.
A
C
E
F
B
D
1
3
2
5
4
∠5=55?
你能说出木工师傅用图中这种角尺的工具画平行线的道理吗？
练一练
由前面我们已经知道平行线的画法：
（1）放
（2）靠
（3）推
（4）画
(3)经过点C能画出几条直线与直
线AB平行？
(4)过点D画一条直线与直线AB平行，与(3)中所画的
直线平行吗？
·
·
C
D
(1)经过点C能画出几条直线？
无数条
1条
a
b
(2)与直线AB平行的直线有几条？
无数条
结论：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知
直线平行.
平行
几何语言表达：
平行线的传递性：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.
如果a//c , c//b，那么a//b.
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
总结归纳
1.如图，∠1和∠2不能构成同位角的图形是（ ）
D
当堂练习
2.从∠5=∠ ，可以推出AB∥CD，
理由是 .
ABC
同位角相等,两直线平行
3.完成下列推理，并在括号内注明理由.
（1）如图所示，因为AB//DE，BC//DE（已知），
所以A,B,C三点________________，
理由是
在同一直线上
经过直线外一点,有且只有一条直线与
这条直线平行.
（2）如图所示，因为AB//CD，CD//EF（已知），
所以________ // _________，理由是：
( ).
AB
EF
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
课堂小结
同位角 ： “F”型
同位角相等，两直线平行.
2.2 探索直线平行的条件
第二章 相交线与平行线
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第2课时 利用内错角、同旁内角判定两条直线平行
1.理解内错角、同旁内角的概念；
2.结合图形识别内错角、同旁内角；（重点）
3.会运用内错角、同旁内角判定两条直线平行.
（难点）
学习目标
问题 上节课你学了平行线的哪些内容？
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线
互相平行.
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
导入新课
回顾与思考
同位角相等，两直线平行.
思考 还有其他判定两条直线平行的方法吗？
A
C
B
D
E
F
1
2
3
4
5
6
7
8
活动1 观察∠3与∠5的位置关系：
①在直线EF的两侧
②在直线AB、CD的之间
∠4和∠6
图中的内错角还有哪些？
内错角
讲授新课
变式图形：图中的∠1与∠2都是内错角.
图形特征：在形如“Z”的图形中有内错角.
A
C
B
D
E
F
1
2
3
4
5
6
7
8
活动2 观察∠4与∠5的位置关系
①在直线EF的同旁
②在直线AB、CD的之间
∠3和∠6
图中还有哪些同旁内角？
同旁内角
变式图形：图中的∠1与∠2都是同旁内角.
图形特征：在形如“U”的图形中有同旁内角.
之间
之间
同侧
同旁
两旁
同旁
F
Z
U
总结归纳
截线 被截线 结构
特征
同位角
内错角
同旁内角
例1 如图，直线DE截AB ，AC，构成8个角，指出所有的同位角,内错角,同旁内角.
解：两条直线是AB，AC，截线是DE，所以8个角中，同位角：∠2与∠5，∠4与∠7，∠1与∠8, ∠6和∠3；内错角：∠4与∠5，∠1与∠6,；同旁内角：∠1与∠5，∠4与∠6.
变式：∠A与∠8是哪两条直线被第哪条直线所截的角?它们是什么关系的角?∠A与∠5呢?∠A与∠6呢?
E
D
C
B
A
8
7
6
5
4
3
2
1
典例精析
例2 如图，直线DE,BC被直线AB所截.
（1）∠1与∠2， ∠1和∠3，∠1和∠4各是什么角？
解：∠1与∠2是内错角，∠1和∠3同旁内角，∠1和∠4是同旁内角.
注意：解题之前要明确哪两条直线被哪条直线所截.
解：如果∠1=∠4，由对顶角相等，得∠2=∠4，那么∠1=∠2.因为∠3和∠4互补，即∠4+∠3=180°，又因为∠1=∠4，所以∠4+∠3=180°，即∠1与∠3互补.
（2）如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等吗？∠1与∠3互补吗?为什么？
问题1 两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角，由同位角相等可以判定两直线平行，那么，能否利用内错角和同旁内角来判定两直线平行呢？
如图，由?3=?2，可推出a//b吗？如何推出？
解： ∵ ?1=?3(已知），
?3=?2（对顶角相等），
? ?1=?2.
? a//b(同位角相等，两直线平行）.
判定方法2：两条直线被第三条直线所截 ,如果内错角相等,那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
∵∠3=∠2(已知)
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）
应用格式：
总结归纳
问题2 如图，如果?1+?2=180° ，你能判定a//b吗?
c
解:能,
∵?1+?2=180°（已知）
?1+?3=180°（邻补角定义）
??2=?3（同角的补角相等）
?a//b（同位角相等，两直线平行）
判定方法3：两条直线被第三条直线所截 ,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
应用格式：
∵∠1+∠2=180°(已知)
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）
总结归纳
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
结论
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
结论
1.如图，∠1=30°，∠2或∠3满足条件
___________________，则a//b.
∠2＝150°或∠3＝30°
当堂练习
2.如图.（1）从∠1=∠4，可以推出 ∥ ，
理由是 .
(2)从∠ABC +∠ =180°，可以推出AB∥CD ，
理由是 .
AB
内错角相等，两直线平行
CD
BCD
同旁内角互补,两直线平行
3.如图，已知∠1= ∠3，AC平分∠DAB你能判断那两条直线平行？请说明理由？
解： AB∥CD.
理由：
∵AC平分∠DAB（已知）
∴∠1=∠2（角平分线定义）
又∵∠1=∠3（已知）
∴∠2=∠3（等量代换）
∴AB∥CD( 内错角相等，两直线平行)
1.同位角、内错角、同旁内角的结构特征:
三线八角
同位角 “F”型
内错角 “Z”型
同旁内角 “U”型
2. 在图形中判断三线八角的方法：描图法: ①把两个角在图中描画出来；②找到两个角的公共直线；③观察所描的角，判断所属“字母”类型，同 位角为“F”型，内错角为“Z”型，同旁内角为“U”型，注意图形的变式（旋转、对称）也是符合的.
课堂小结
判定两条直线平行的方法
同位角
内错角
同旁内角
∠1=∠2
∠3=∠2
∠2+∠4=180°
a
b
c
1
2
4
3
文字叙述 符号语言 图形
相等
两直线平行 ∵ (已知)
∴a∥b
________相等
两直线平行 ∵ (已知)
∴a∥b
_________互补
两直线平行 ∵ (已知)
∴a∥b
2.3 平行线的性质
第1课时 平行线的性质
第二章 相交线与平行线
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.掌握平行线的性质，会运用两条直线是平行判断
角相等或互补；（重点）
2.能够根据平行线的性质进行简单的推理及计算.
问题 平行线的判定方法是什么？
思考 反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢?
导入新课
回顾与思考
画两条平行线a//b，然后画一条截线c与a、b相交，标出如图的角. 任选一组同位角、内错角或同旁内角，度量这些角，把结果填入下表：
讲授新课
角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4
度数
角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8
度数
观察 各对同位角、内错角、同旁内角的度数之间有什么关系？说出你的猜想：
猜想 两条平行线被第三条直线所截，同位角＿＿＿，
内错角＿＿＿＿＿，同旁内角＿＿＿＿＿.
相等
相等
互补
a
b
d
再任意画一条截线d，同样度量并计算各个角的度数，你的猜想还成立吗？
如果两直线不平行，上述结论还成立吗？
一般地，平行线具有性质：
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
∴∠1=∠2
（两直线平行，同位角相等）
∵a∥b（已知）
应用格式:
总结归纳
如图，已知a//b,那么?2与?3相等吗？为什么?
解：∵a∥b(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等).
又∵∠1=∠3(对顶角相等),
∴ ∠2=∠3(等量代换).
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
∴∠2=∠3
（两直线平行，内错角相等）
∵a∥b（已知）
应用格式:
总结归纳
如图,已知a//b,那么?2与?4有什么关系呢？为什么?
解： ∵a//b（已知）,
∴?1= ?2
（两直线平行，同位角相等）.
∵?1+? 4=180°（补角定义）,
∴? 2+ ? 4=180°（等量代换）.
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
∵a∥b（已知）
∴∠2+∠4=180 °
（两直线平行，内错角相等）
应用格式:
总结归纳
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
平行线的判定
平行线的性质
线的关系
角的关系
性质
角的关系
线的关系
判定
讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是什么？它与判定有什么区别？（分组讨论）
例1 如图，是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度？
解：因为梯形上.下底互相平行，
所以∠A与∠D互补，∠B与∠C互补.
所以梯形的另外两个角分别是80°、65°.
于是∠D=180 °－∠A
=180°－100°=80°,
∠C= 180 °－∠B=180°－115°=65°.
典例精析
例2 已知∠3=45 °，∠1与∠2互余，
试说明:AB//CD？
解：由于∠1与∠2是对顶角，
∴∠1=∠2.
又∵∠1+∠2=90°(已知),
∴∠1=∠2=45°.
∵ ∠3=45°(已知),
∴∠2=∠3.
∴ AB∥CD(内错角相等，两直线平行).
1.如图，已知平行线AB、CD被直线AE所截
(1)从 ∠1=110o可以知道∠2 是多少度?为什么？
(2)从∠1=110o可以知道 ∠3是多少度？为什么？
(3)从 ∠1=110o可以知道∠4 是多少度？为什么？
解：（1）∠2=110o ∵两直线行，内错角相等；
（2）∠3=110o,∵两直线平行,同位角相等；
（3）∠4=70o,∵两直线平行,同旁内角互补.
当堂练习
2.如图，一条公路两次拐弯前后两条路互相平行.第一次拐的角∠B是142o，第二次 拐的角∠C是多少度？为什么？
解：∠C=142o , ∵两直线平行,内错角相等.
3.如图直线a∥b,直线b垂直于直线c，则直线a垂直于直线c吗?
解： a⊥b .∵两直线平行, 同位角相等
4.如果有两条直线被第三条直线所截，那么必定有（ ）
（A）内错角相等 (B)同位角相等
（C）同旁内角互补 （D）以上都不对
D
5.∠1 和∠2是两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角,要使这两条直线平行,必须 ( )
A. ∠1= ∠2 B. ∠1+∠2=90o
C. 2(∠1+∠2)=360o D .∠1是钝角, ∠2是锐角
C
解: ∠A =∠D.理由：
∵ AB∥DE( )
∴∠A=_______ ( )
∵AC∥DF( )
∴∠D=______ ( )
∴∠A=∠D ( )
6.如图,若AB∥DE ,AC∥DF，请说出∠A和∠D之间的数量关系，并说明理由.
已知
∠CPE
两直线平行,同位角相等
已知
∠CPE
两直线平行,同位角相等
等量代换
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
判定
性质
课堂小结
2.3 平行线的性质
第2课时 平行线性质与判定的综合运用
第二章 相交线与平行线
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
1.进一步掌握平行线的性质，运用两条直线是平行
判断角相等或互补；（重点）
2.能够根据平行线的性质与判定进行简单的推理与
计算.
学习目标
同位角
内错角
同旁内角
∵∠1=∠2
∠3=∠2
∵∠2+∠4=180°
a
b
c
1
4
1.平行线的判定
导入新课
回顾与思考
文字叙述 符号语言 图形
相等
两直线平行
∴a∥b
相等
两直线平行 ∵
∴a∥b
互补
两直线平行
∴a∥b
方法4：如图1，若a∥b，b∥c，则a∥c.
（ ）
方法5：如图2，若a⊥b，a⊥c,则b∥c.
（ ）
平行于同一条直线的两条直线平行
垂直于同一条直线的两条直线平行
2.平行线的其它判定方法
图形
已知
结果
依据
同位角
内错角
同旁内角
1
2
2
3
2
4
）
）
）
）
）
）
a
b
a
b
a
b
c
c
c
a//b
两直线平行
同位角相等
a//b
两直线平行
内错角相等
同旁内角互补
a//b
两直线平行
3.平行线的性质
∠1=∠2
∠3=∠2
∠2+∠4
=180 °
例1 根据如图所示回答下列问题：
（1）若∠1=∠2，可以判定哪两条直线平行？根据
是什么？
典例精析
讲授新课
解：（1）∠1与∠2是内错角，
若∠1=∠2，则根据“内错角相等，两直线平行”，可得EF∥CE;
（2）若∠2=∠M，可以判定哪两条直线平行？根据
是什么？
（3）若∠2 +∠3=180°，可以判定哪两条直线平
行？根据是什么？
(2)∠2与∠M是同位角，若
∠2=∠M，则根据“同位角相等，两直线平行”，可得AM∥BF;
(3)∠2与∠3是同旁内角，若∠2+∠3=180°，
则根据“同旁内角互补，两直线平行”，
可得AC∥MD.
例2 如图，AB∥CD，如果∠1=∠2，那么EF与AB
平行吗？说说你的理由．
解：因为∠1= ∠2，
根据“内错角相等，两直线
平行” ，
所以EF∥CD.
又因为AB∥CD，
根据“平行于同一条直线的两条直线平行”，
所以EF∥AB．
① ∵ ∠1 =_____（已知）
∴ AB∥CE
② ∵ ∠1 +_____=180o（已知）
∴ CD∥BF
③ ∵ ∠1 +∠5 =180o（已知）
∴ _____∥_____.
AB
CE
∠2
④ ∵ ∠4 +_____=180o（已知）
∴ CE∥AB
∠3
∠3
（内错角相等,两直线平行）
（同旁内角互补,两直线平行）
（同旁内角互补,两直线平行）
（同旁内角互补,两直线平行）
练一练
2. 已知∠3=45 °，∠1与∠2互余，试说明AB//CD.
解：由于∠1与∠2是对顶角，
∴∠1=∠2.
又∵∠1+∠2=90°(已知),
∴∠1=∠2=45°.
∵ ∠3=45°(已知),
∴∠ 2=∠3.
∴ AB∥CD(内错角相等，两直线平行).
例3 如图，已知直线a∥b，直线c∥d，∠1=107°，
求∠2，∠3的度数.
解：因为a∥b，
根据“两直线平行，内错角
相等”.
所以∠2=∠1=107°.
因为c∥d，
根据“两直线平行，同旁内角互补”，
所以∠1+∠3=180°，
所以∠3= 180°-∠1=180°-107°=73°.
例4 如图，AB//CD,∠A=100°, ∠C=110°,求∠AEC
的度数.
2
1
CD
EF
1
2
1
2
80
80
70
70
150
F
解：过点E作EF//AB.
∵AB//CD，EF//AB（已知）,
∴ // (平行于同一直线的两直线平行）.
∴∠A+∠ =180o，∠C+∠ =180o(两直线平行，同旁内角互补）.
又∵∠A=100°，∠C=110°（已知）,
∴∠ = °, ∠ = °（等量代换）.
∴∠AEC=∠1+∠2= °+ ° = °.
1.如图，∠A＝∠D，如果∠B＝20°，那么∠C
为( )
A．40° B．20°
C．60° D．70°
当堂练习
解析：∵∠A＝∠D,∴AB∥CD.∵AB∥CD，∠B＝20°，∴∠C＝∠B＝20°.
B
2.如图，直线a，b与直线c，d相交，若∠1＝∠2，
∠3＝70°，则∠4的度数是( )
A．35° B．70°
C．90° D．110°
解析：由∠1=∠2，可根据
“同位角相等，两直线平行”
判断出a∥b，可得∠3=∠5.再根据邻补角互
补可以计算出∠4的度数．∵∠1=∠2,∴a∥b，
∴∠3=∠5.∵∠3=70°，∴∠5=70°,
∴∠4=180°－70°=110°.
D
3.如图，AE∥CD，若∠1=37°，∠D=54°，求∠2
和∠BAE的度数.
解：因为AE∥CD，根据
“两直线平行，内错角相
等”，所以∠2=∠1=37°.
根据“两直线平行，同位
角相等”，所以∠BAE=∠D=54°.
4.一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于
A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝
______度．
解析：过B作BF∥AE，
则CD∥BF∥AE.根据
平行线的性质即可求解．
过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE，∴∠BCD＋∠1=180°.又∵AB⊥AE，∴AB⊥BF，∴∠ABF =90°，∴∠ABC＋∠BCD=90°＋180°=270°.
270
5.已知AB⊥BF，CD⊥BF，∠1= ∠2，试说明∠3=∠E.
解：
∵∠1=∠2
∴AB∥EF
（内错角相等，两直线平行）.
(已知），
∵AB⊥BF，CD⊥BF，
∴AB∥CD
∴EF∥CD
∴ ∠3= ∠E
(垂直于同一条直线的两条直线平行).
(平行于同一条直线的两条直线平行).
(两直线平行，内错角相等).
6.如图,EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70 °，求∠AGD
的度数.
解：
∵EF∥AD,
(已知）
∴∠2=∠3.
又∵∠1=∠2,
∴∠1=∠3.
∴DG∥AB.
∴∠BAC+∠AGD=180°.
∴∠AGD=180°-∠BAC=180°-70°=110°.
（两直线平行，同位角相等）
(已知）
（等量代换）
（内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，同旁内角互补）
拓展提升：如图，AB//CD，试解决下列问题：
（1）如图1,∠1＋∠2＝___ ___；
（2）如图2,∠1＋∠2＋∠3＝___ __；
（3）如图3,∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝_ __ __；
（4）如图4,试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n
= ；
180°
360°
540°
180°×（n-1)
图1
图2
图3
图4
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
平行线的判定
平行线的性质
线的关系
角的关系
性质
角的关系
线的关系
判定
课堂小结
2.4 用尺规作角
第二章 相交线与平行线
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1．理解并掌握尺规作图的相关概念及作法；(重点)
2．能够运用尺规作角，并运用其解决问题．(难点)
尺规作图的基本步骤是什么？
提示：(1)写出已知.(2)写出求作.(3)写出作法并作图.作图时要保留_________.有时,根据题目要求,可省略作法.
作图痕迹
导入新课
复习巩固
如图，要在长方形木板上截一个平行四边形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上，另一组对边中的一条边为AB.
（1）请过C点画出与AB平行的另一条边.
（2）如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直
尺，你能解决这个问题吗？
情境导入
C
“过直线外一点作已知直线的平行线”相当于“过点C作∠ECD等于已知∠CAB.”
利用尺规，作一个角等于已知角．
已知：∠AOB（如图）．
求作：∠A′O′B′=∠AOB．
讲授新课
(1)作射线O′A′;
作法：
(2)以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点
C，交OB于点D;
(3)以点O′为圆心，同样长为半径画弧，交O′A′于点C′;
(4)以点C’为圆心，CD长为半径作弧，交前面的弧于
点D’ ；
(5) 过点D’作射线O’B’.∠A’O’B’就是所求的角.
O
D'
C'
B
A
C
D
B'
O'
A'
思考：用尺规作一个角等于已知角是尺规作图中
的基本作图，你能利用它作出其他图形吗？
提示：可以作角的和、差、倍角及与角有关的图.
例 已知： ∠AOB.
利用尺规作：∠A’O’B’ ，
使∠A’O’B’=2∠AOB.
独立思考、合作交流；
口述作法、保留作图痕迹.
作法一:
∠A’OB’即为所求作的角.
∠A’O’B’即为所求作的角.
典例精析
已知：∠1，∠2，
求作：∠AOB，使得∠AOB= ∠1+∠2.
你会作两个角的和了吗？
随堂练习
已知：∠1，∠2，
求作：∠AOB，使得∠AOB= ∠1-∠2.
你会作两个角的差了吗？
随堂练习
请用没有刻度的直尺和圆规, 完成本节课开始提出的问题.
随堂练习
以点C为顶点作∠FCE =∠BAC，则∠FCE的边CF所在的直线即为所求.
过直线外一点P作已知直线l的平行线.
练一练
已知：直线l及l外一点P，
求作：直线l′，使l′过P点且l′∥l.
作法：1.过点P任意作直线a与l
交于Q.
2.以P为顶点，直线a为角的一边，在直线a同旁作∠2，使∠2=∠1(如图)，则∠2的另一边所在直线l′即为所求.
1.下列尺规作图的语句错误的是( )
A.作∠AOB，使∠AOB=3∠α
B.以点O为圆心作弧
C.以点A为圆心，线段a的长为半径作弧
D.作∠ABC，使∠ABC=∠α+∠β
【解析】作弧必须有圆心和半径，缺一不可.
当堂练习
B
2.画一个钝角∠AOB，然后以O为顶点，以OA为一
边， 在角的内部画一条射线OC，使∠AOC＝90°，
正确的图形是( )
【解析】由题意可知，∠AOC在∠AOB的内部，且
OA为其公共边，OA与OC的夹角为90°.
D
3.根据图形填空.
(1)连接_____两点.
(2)延长线段______到点______，使BC=______.
(3)在______AM上截取______=______.
(4)以点O为______，以m为______画弧交OA，OB分别
于C，D.
A,B
AB
AB
C
线段
AB
a
圆心
半径
4.如图，已知∠A，∠B，求作一个角，使它等于
∠A－∠B(不用写作法，保留作图痕迹).
【解析】作∠COD=∠A,并在∠COD的内部作∠DOE=∠B，则∠COE就是所求作的角.
作一个角等于已知角可以归纳为“一线三弧”
先画一条射线,再作三次弧.其中前两次弧半径相同,而第三次以原角的两边与弧的交点之间的距离为半径.
课堂小结
