沪科版数学八年级上册15.2线段的垂直平分线教学设计
课题
15.2线段的垂直平分线
单元
第15章
学科
数学
年级
八年级上
学习
目标
要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理，能够利用这两个定理解决一些问题；
能够证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理；
3．通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展学生的推理证明意识和能力.
重点
写出线段垂直平分线的性质定理及其逆命题.
难点
线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用上的区别和各自的应用.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情境,导入新知
师:上节课我们共同探讨了轴对称图形,知道现实生活中由于有轴对称图形,而使得世界非常美丽.那么大家想一想,什么样的图形是轴对称图形呢?
生:如果一个图形沿着一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.
师:什么是线段的垂直平分线呢?
学生思考抢答.
生:经过线段的中点,并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,又叫做线段的中垂线.
师:很好!这节课我们继续学习线段的垂直平分线的有关内容(板书课题).
观察图片，发现规律，学生回答老师问题。
创设情境,导入新知
讲授新课
二、共同探究,获取新知
教师引导学生作图:作已知线段AB的垂直平分线.
学生讨论作法.
教师总结作法.
1.分别以点A和B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点C和D.
2.作直线CD.
直线CD就是线段AB的垂直平分线.
学生作图.
师:你能说明为什么这样作出的直线CD就是线段AB的垂直平分线吗?
学生交流讨论.
师:因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点,所以我们也可以用这种方法作线段的中点.线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等.怎样证明这个结论呢?
学生交流讨论,教师参与.
师:这个命题的条件是什么?
生:一个点是线段垂直平分线上的点.
师:结论呢?
生:这个点与线段两端距离相等.
师:请同学们写出已知、求证,并证明.
教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.
已知:如图,直线MN经过线段AB的中点O,且MN⊥AB,P是MN上任意一点.
求证:PA=PB.
证明:∵MN⊥AB.(已知)
∴∠AOP=∠BOP=90°.(垂直定义)
在△AOP与△BOP中,
∵
∴△AOP≌△BOP.(SAS)
∴PA=PB.(全等三角形的对应边相等)
三、合作交流,深化理解
师:你能写出上面定理的逆命题吗?
生:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
师:它是真命题吗?
学生思考.
生:是.
师:你能证明这个定理吗?
学生思考证明,教师找学生板演,集体纠正.
以后知道直线MN是线段AB的垂直平分线时，可以直接得出MA=MB。书写格式如下：
数学表达：
还可以说：
∵ P是线段AB的垂直平分线上的点
∴PA=PB
依据是：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
四、乘胜追击,学以致用
教师出示课本第123页例题.
【例】 已知:如图所示,△ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点P.
求证:点P在BC的垂直平分线上.
学生讨论证明方法,并板演,然后集体证正.
证明:连接PA、PB、PC.
∵点P在AB、AC的垂直平分线上.
∴PA=PB,PA=PC,∴PB=PC,∴点P在BC的垂直平分线上.
师:由此你能得出什么结论?
生:三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三角形三个顶点的距离相等.
师:很好!这个结论很有用,请大家记一下.
学生熟记.
小结：线段垂直平分线的性质与判定定理的区别
二者是互逆定理
线段垂直平分线的性质定理的已知条件是线段垂直平分线，
结论是垂直平分线上的点与这条线段两短点的距离相等。
线段垂直平分线的判定定理的已知条件
是一个点与一线段两端点的距离相等，
结论是这个点在线段的垂直平分线上。
线段垂直平分线的性质是解决线段相等问题的一种重要的方法，
线段垂直平分线的判定可用来证明两线的位置关系（垂直平分）
五、迁移巩固,解决问题
1.如图P是AB垂直平分线MN上一点，连结PA、PB,则∠A与∠B( )
A.∠A﹥∠B
B. ∠A﹤∠B
C. ∠A=∠B
2、如图所示，在ΔABC中，边BC的垂直平分线MN分别交AB于点M,交BC于点N, ΔBMC的周长为23,且BM=7,求BC的长。
拓展提高：
如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
学生从感性认识一下垂直平分线，锻炼了学生自学能力，为学生独立进行证明等做铺垫．
熟记垂直平分线，理解概念
学生要独立完成操作，然后进行展示，其他学生相互补充。
以问题引入新课内容，让学生建立垂直平分线知识。锻炼学生观察能力，思辨能力，让学生带着问题去听课。
梳理知识点，理解概念。
通过例题的学习进一步探究证明的过程的书写，由易到难，加深对知识点的理解和掌握．
学生独立完成例题变式，养成独立完成作业的习惯
作业
必做题: 随堂练习 P130,
选做题: P125，第5题1，2，3
养成独立完成作业的习惯
课堂小结
线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
逆定理：
到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
回顾课堂知识，强化基础
板书
15.2线段垂直平分线
1.性质定理
2.逆定理
课件21张PPT。15.2 线段的垂直平分线沪科版 八年级上新知导入1、什么样的图形是轴对称图形呢?
2、什么是线段的垂直平分线呢?
一个图形沿着一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.
经过线段的中点,并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,又叫做线段的中垂线.
做一做：
在半透明纸上画一条线段AB，折纸使A与B重合，得到的折痕L就是线段AB的垂直平分线.
想一想：
这样折纸怎么就是垂直平分线呢？ABOA(B)ABDOLC如何作出已知线段AB的垂直平分线呢？新知讲解操作：画线段垂直平分线
方法一 尺规画法
①分别以点A、B为圆心，大于?AB长为半径画弧交于点E、F②过点E、F作直线. 则直线EF就是线段AB的垂直平分线(如图)
方法二 利用三角板过中点画垂线ABEFO新知讲解PA=PBP1P1A=P1B……量一量：PA、PB,的长，你能发现什么？P1A=P1B呢？
由此你能得到什么规律？新知讲解
线段垂直平分线除了具有“垂直、平分线段”的性质外还有如下性质：
定理:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。线段垂直平分线的性质新知讲解o提示：这个结论是经常用来证明两条线段相等的依据之一。新知讲解如果P点与O点重合，那么直接可得PA=PB新知讲解思考：你能写出上面定理的逆命题吗？它是真命题吗？如何证明呢？
定理 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线的判定定理应用格式：
∵PA=PB∴P在AB的垂直平分线上
作用:判断一个点是否在垂直平分线上
注意：用垂直平分线判定时，至少有两点具备共同的相应特征，才能说这两点的连线是某线段的垂直平分线，若只有一点是不能判定的。PAB同学们，能证明这个命题吗？已知，如图，AP=BP 求证：点P在线段AB的垂直平分线上证明：过点P作直线MN垂直于线段AB交AB于点O
在Rt △ AOP与Rt △ BOP中
∵O是AB的中点
∴PA=PB(已知)
PO=PO(公共边)
∵ Rt △ AOP ≌ Rt △ BOP(HL)
∴OA=OB(全等三角形的对应边相等)
∴PO垂直平分AB ，即点P在线段AB的垂直平分线上O新知讲解在线段AB垂直平分线m上的点与A、B距离都相等；反过来，与A 、B两点的距离相等的点都在m上,所以直线m可以看成与A、B两点的距离相等的所有点的集合∵PA=PB,DA=DB
∴PD⊥AB,AC=CB注意：由两点确定一条直线可知，两点到同一条线段两个端点的距离相等，那么经过这两点的直线才是这条线段的垂直平分线。新知讲解 以后知道直线MN是线段AB的垂直平分线时，可以直接得出MA=MB。书写格式如下：
数学表达：
∵直线MA ⊥AB于C，AC=CB，点M在MN上 ∴PA=PB
也可以说：
∵直线MA 垂直平分AB，点M在MN上∴PA=PB
还可以说：
∵ P是线段AB的垂直平分线上的点 ∴PA=PB
依据是：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等MNPAB新知讲解BACMNM’N’P新知讲解证明：连接PA,PB,PC
∵点P在线段AB的垂直平分线MN上，
∴PA=PB（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）.
同理 PB=PC.（等量代换）
∴PA=PC.
∴点P在AC的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.
求证：点P在AC的垂直平分线上 线段垂直平分线的性质与判定定理的区别
二者是互逆定理，线段垂直平分线的性质定理的已知条件是线段垂直平分线，结论是垂直平分线上的点与这条线段两短点的距离相等。
线段垂直平分线的判定定理的已知条件是一个点与一线段两端点的距离相等，结论是这个点在线段的垂直平分线上。
线段垂直平分线的性质是解决线段相等问题的一种重要的方法；
线段垂直平分线的判定可用来证明两线的位置关系（垂直平分）。新知讲解1.如图P是AB垂直平分线MN上一点，连结PA、PB,则∠A与∠B( )A.∠A﹥∠B
B. ∠A﹤∠B
C. ∠A=∠B
C课堂练习MNPAB2、如图所示，在ΔABC中，边BC的垂直平分线MN分别交AB于点M,交BC于点N, ΔBMC的周长为23,且BM=7,求BC的长。 解:∵ MN是线段BC的垂直平分线
BM=7
∴ CM=BM=7
∵ ΔBMC 的周长=23
∴BM+CM+BC=23
∴BC=23-CM-BM=23-7-7=9
课堂练习拓展提高如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？解：∵ AD⊥BC，BD =DC
∴ AD 是BC 的垂直平分线
∴ AB =AC
∵ 点C 在AE 的垂直平分线上
∴ AC =CE． ∴ AB =AC =CE
∵ AB =CE，BD =DC，∴ AB +BD =CD +CE．
即 AB +BD =DE ．线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
逆定理：
到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上课堂总结板书设计15.2线段垂直平分线
1、性质定理
2、逆定理作业布置必做题: 随堂练习 P130,
选做题: P125，第5题1，2，3谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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