【期末 解析】青岛版九年级数学上册期末综合检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.已知⊙O的半径为5．若OP=6，则点P与⊙O的位置关系是（?? ） A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外 D.无法判断
2.若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的最大边的比是（? ）
A.?1:2 ；??????????????????????????????????B.?1:4 ；??????????????????????????????????C.?1:5 ；??????????????????????????????????D.?1:16 ;
3.用配方法解方程：x2-4x+2=0，下列配方正确的是（???? ）
A.?（x-2）2=2????????????????????/B.?（x+2）2=2????????????????????/C.?（x-2）2=-2????????????????????/D.?（x-2）2=6
4.如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（?? ）
/
A.?∠ABD=∠ACB???????????????????B.?∠ADB=∠ABC???????????????????C.?AB2=AD?AC???????????????????D.?
????
????
=
????
????
5.在△ABC中，∠A=120°，∠B=45°，∠C=15°，则cosB等于（ ）
A.?
3
2
???????????????????????????????????????/B.?
1
2
???????????????????????????????????????/C.?
3
???????????????????????????????????????/D.?
2
2
6.如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O直径BD交AC于E，连结DC，则∠BEC等于（ ） /?
A.?50°??????????????????????????????????????/B.?60°??????????????????????????????????????/C.?70°??????????????????????????????????????/D.?110°
7.如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=2
2
，则
????
的长是（?? ）
/
A.π B.
3
2
π C.2π D.
1
2
π
8.如图，在半径为R的⊙O中，
????
∧
和
????
∧
度数分别为36°和108°，弦CD与弦AB长度的差为（用含有R的代数式表示）．（ ）
/
A.?R ????/B.?
1
2
R ?/C.?2R? ?/D.?3R
9.如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=7，其中点E为CD的中点．有一动点P，从点A按A→B→C→E的顺序在矩形ABCD的边上移动，移动到点E停止，在此过程中以点A，P，E三点为顶点的直角三角形的个数为（?? ） /
A.?2???????????????????????????????????????????/B.?3???????????????????????????????????????????/C.?4???????????????????????????????????????????/D.?5
10.某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是43．若设主干长出x个支干，则可列方程（??? ）
A.(x＋1)2＝43 B.x2＋2x＋1＝43 C.x2＋x＋1＝43 D.x(x＋1)＝43
二、填空题（共10题；共30分）
11.4cos30°+
(1?
2
)
0
?
12
+|﹣2|=________．
12.如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是________m（结果保留根号） ///
13.已知关于x的一元二次方程2x2﹣3kx+4=0的一个根是1，则k=________．
14.如图，一圆与平面直角坐标系中的x轴切于点A（8，0），与y轴交于点B（0，4），C（0，16），则该圆的直径为________。 15.如图， ???? 是半圆 ?? 的直径，点 ?? 、 ?? 是半圆 ?? 的三等分点，若弦 ????=3 ，则图中阴影部分的面积为________．
16.如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是________． /
17.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝8，BC＝10，则梯形ABCD面积是________?． ////
18.如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，则tanA的值为________? 19.如图，∠BAC=45o，AD⊥BC于点D，且BD=3，CD=2，则AD的长为________． 20.如图所示，已知：点A（0，0），B（
3
，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1 ， 第2个△B1A2B2 ， 第3个△B2A3B3 ， …，则第n个等边三角形的边长等于________．
三、解答题（共9题；共60分）
21.用适当的方法解方程：x2+4x﹣1=0．
22.如图,△ABC与△A′B′C′是位似图形,且顶点都在格点上,每个小正方形的边长都为1. / （1）在图上标出位似中心D的位置,并写出该位似中心D的坐标是???????????????； （2）求△ABC与△A′B′C′的面积比．
23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，分别以A、B、C为圆心，以
1
2
AC为半径画弧，求三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积． /
24.如图，水平放置的一个油管的截面半径为13cm，其中有油部分油面宽AB为24cm，求截面上有油部分油面高CD（单位：cm）．
/
25.甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以12海里/时的速度向 北偏东35°航行，乙船向南偏东55°航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C、B两船相距30海里，问乙船的速度是每小时多少海里？ /
26.如图所示，正方形ABCD的边长是3，E是正方形ABCD的边AB上的点，且AE=1，EF⊥DE交BC于点F，求线段CF的长． /
27.如图：007渔船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A点观测到渔船C在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业．若007渔船航向不变，航行半小时后到达B点，观测到渔船C在东北方向上．问：007渔船再按原航向航行多长时间，离渔船C的距离最近？
/
28.小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离． /
29.已知：在⊙O中，弦AC⊥弦BD，垂足为H，连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，DE交AC于点F.
/
（1）如图1，求证：BD平分∠ADF；
（2）如图2，连接OC，若OC平分∠ACB，求证：AC=BC；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB，过点D作DN∥AC交⊙O于点N，若tan∠ADB=
3
4
，AB=3
10
，求DN的长.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】C
二、填空题
11.【答案】3
12.【答案】40
3
13.【答案】2
14.【答案】20
15.【答案】
3
2
π
16.【答案】
3
2
17.【答案】36
18.【答案】
1
3
19.【答案】6
20.【答案】
3
2
??
三、解答题
21.【答案】解：∵x2+4x﹣1=0 ∴x2+4x+4=1+4 ∴（x+2）2=5 ∴x+2=±
5
x1=-2+
5
，x2=-2-
5
22.【答案】解：（1）如图：D（7，0）； / （2）∵△ABC∽△A′B′C′ ∴
??
△??????
??
△
??
′
??
′
??
′
=
1
2
2
=
1
4
23.【答案】解：∵∠C=90°，CA=CB=4， ∴
1
2
AC=2，S△ABC=
1
2
×4×4=8， ∵三条弧所对的圆心角的和为180°， 三个扇形的面积和=
180??×
2
2
360
=2π， ∴三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC﹣三个扇形的面积和=8﹣2π
24.【答案】解：如图；连接OA； / 根据垂径定理，得AC=BC=12cm； Rt△OAC中，OA=13cm，AC=12cm； 根据勾股定理，得： OC= /=5cm； ∴CD=OD﹣OC=8cm； ∴油面高为8cm．
25.【答案】解：根据题意得：AC=12×2=24，BC=30，∠BAC=90°． ∴AC2+AB2=BC2 ． ∴AB2=BC2-AC2=302-242=324 ∴AB=18． ∴乙船的航速是：18÷2=9海里/时.
26.【答案】解：∵ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=90°， ∴∠ADE+∠DEA=90°， 又EF⊥DE， ∴∠AED+∠FEB=90°， ∴∠ADE=∠FEB， ∴△ADE∽△BEF． ∴
????
????
=
????
????
， ∴
3
2
=
1
????
， ∴BF=
2
3
∵BC=3， ∴CF=BC﹣BF=
7
3
27.【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于D，设CD长为x，
/
在Rt△ACD中，∵∠ACD=60°，tan∠ACD=
????
????
∴AD=
3
??
在Rt△BCD中，∵∠CBD=∠BCD=45°，∴BD=CD=x，
∴AB=AD-BD=
3
?????=(
3
?1)??
设渔政船从B航行到D需要t小时，则
????
0.5
=
????
??
∴
(
3
-1)??
0.5
=
??
??
∴解得：t=
3
+1
4
答：渔政007船再按原航向航行
3
+1
4
小时后，离渔船C的距离最近．
28.【答案】解：作AM⊥EF于点M，作BN⊥EF于点N，如右图所示， 由题意可得，AM=BN=60米，CD=100米，∠ACF=45°，∠BDF=60°， ∴CM= /米， DN= /米， ∴AB=CD+DN﹣CM=100+20 /﹣60=（40+20 /）米， 即A、B两点的距离是（40+20 /）米． /
29.【答案】（1）解：因为弦AC⊥弦BD， DE⊥BC于点E，
所以∠ACB+∠DBE＝∠BDE+∠DBE=90°，
所以∠ACB＝∠BDE，
又因为∠ACB=∠ADB，
所以∠BDE=∠ADB，
所以BD平分∠ADF
（2）解：连接OB，OA，则△AOC，△BOC是等腰三角形，
所以∠OCB=∠OBC， ∠OAC=∠OCA，
又因为OC平分∠ACB，
所以∠OCB==∠OCA，
所以∠OBC=∠OAC，
在△AOC和△BOC中，
{
∠??????＝∠??????
∠??????＝∠??????
????=????
，
所以△AOC≌△BOC，
所以AC=BC
（3）解：因为∠ACB=∠ADB，tan∠ADB=
3
4
，
所以tan∠ACB=
3
4
，
所以
????
????
=
3
4
，可设BH=3x，CH=4x，
由勾股定理得：BC=5x，
则AC=5x，所以AH=x，
因为AB= 3
10
，
根据勾股定理得： ??
??
2
+??
??
2
=??
??
2
，
所以得：
??
2
+
(3??)
2
=
(3
10
)
2
， 10
??
2
=90 ，解得：x=3，
所以BC=15，
设等腰△ACB底边AB上的高为h，由勾股定理可得： ?=
9
10
2
，
根据相似三角形性质可得：
????
????
=
????
?
，
即
????
15
=
15
9
10
2
，解得BN= 5
10
，
根据勾股定理可得：DN=
??
??
2
???
??
2
=
250?169
=9 .
【期末解析】青岛版九年级数学上册期末综合检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.已知⊙O的半径为5．若OP=6，则点P与⊙O的位置关系是（?? ） A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外 D.无法判断
【答案】C
【考点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵OP=6＞5，∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．
故答案为：C．
【分析】利用点与圆的位置关系，可得出结果。
2.若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的最大边的比是（? ）
A.?1:2 ；??????????????????????????????????B.?1:4 ；??????????????????????????????????C.?1:5 ；??????????????????????????????????D.?1:16 ;
【答案】A
【考点】相似三角形的性质
【解析】
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出即可．
【解答】∵两个相似三角形的面积之比为1：4， ∴它们的最大边的比是1：2， 故选A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质的应用，能运用性质进行计算是解此题的关键，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
3.
用配方法解方程：x2-4x+2=0，下列配方正确的是（???? ）
A.?（x-2）2=2????????????????????/B.?（x+2）2=2????????????????????/C.?（x-2）2=-2????????????????????/D.?（x-2）2=6
【答案】A
【考点】解一元二次方程﹣配方法
【解析】【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-4的一半的平方． 【解答】把方程x2-4x+2=0的常数项移到等号的右边，得到x2-4x=-2 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-4x+4=-2+4 配方得（x-2)2=2． 故选A． 【点评】配方法的一般步骤： （1)把常数项移到等号的右边； （2)把二次项的系数化为1； （3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4.如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（?? ）
/
A.?∠ABD=∠ACB???????????????????B.?∠ADB=∠ABC???????????????????C.?AB2=AD?AC???????????????????D.?
????
????
=
????
????
【答案】D
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； C、∵AB2=AD?AC，∴
????
????
=
????
????
，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； D、
????
????
=
????
????
不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意． 故选：D． 【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
5.在△ABC中，∠A=120°，∠B=45°，∠C=15°，则cosB等于（ ）
A.?
3
2
???????????????????????????????????????/B.?
1
2
???????????????????????????????????????/C.?
3
???????????????????????????????????????/D.?
2
2
【答案】D
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵cos45°=
2
2
， ∴cosB=
2
2
． 故选D． 【分析】直接根据特殊角的三角函数值可得出结论．
6.如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O直径BD交AC于E，连结DC，则∠BEC等于（ ） /?
A.?50°??????????????????????????????????????/B.?60°??????????????????????????????????????/C.?70°??????????????????????????????????????/D.?110°
【答案】C
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠A=50°， ∴∠D=50°， ∵∠A=50°，∠ABC=60°， ∴∠ACB=70°， ∵BD是⊙O直径BD， ∴∠BCD=90°， ∴∠DBC=40°， ∴∠BEC=180°﹣40°﹣70°=70°． 故选：C． 【分析】利用圆周角定理得出∠D=50°，进而得出∠ACB=70°，再求出∠DBC=40°再利用三角形内角和定理即可得出答案．
7.如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=2
2
，则
????
的长是（?? ）
/
A.π B.
3
2
π C.2π D.
1
2
π
【答案】A
【考点】圆心角、弧、弦的关系，弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA、OB，
/
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴AB=BC=DC=AD，
∴
????
=
????
=
????
=
????
，
∴∠AOB=
1
4
×360°=90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（2
2
）2 ，
解得：AO=2，
∴
????
的长为
90??×2
180
=π，
故答案为：A．
【分析】利用圆内接正方形的性质求出∠AOB的度数，利用勾股定理求出AO的长，再利用弧长公式计算求解。
8.如图，在半径为R的⊙O中，
????
∧
和
????
∧
度数分别为36°和108°，弦CD与弦AB长度的差为（用含有R的代数式表示）．（ ）
/
A.?R
?/B.?
1
2
R
?????????????????????????????????????????/C.?2R?
?????????????????????????????????????????/D.?3R
【答案】A
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，
/
连接OA、OB，则△OAB为等腰三角形，顶角为36°，底角为72°；
连接OC、OD，则△OCD为等腰三角形，顶角为108°，底角为36°．
在CD上取一点E，使得CE=OC，连接OE，则△OCE为等腰三角形，顶角为36°，底角为72°．
在△COE与△OAB中，
/，
∴△COE≌△OAB（SAS），
∴OE=AB．
∵∠EOD=∠OEC﹣∠ODC=72°﹣36°=36°，
∴∠EOD=∠ODE，
∴DE=OE，
∴CD﹣AB=CD﹣OE=CD﹣DE=CE=R．
故选：A．
【分析】如解答图，作辅助线，构造三个等腰三角形△OAB，△OCD与△OCE；证明△COE≌△OAB，则有OE=AB；利用等腰三角形性质证明DE=OE，因此CD﹣AB=CD﹣DE=CE=R
9.如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=7，其中点E为CD的中点．有一动点P，从点A按A→B→C→E的顺序在矩形ABCD的边上移动，移动到点E停止，在此过程中以点A，P，E三点为顶点的直角三角形的个数为（?? ） /
A.?2???????????????????????????????????????????/B.?3???????????????????????????????????????????/C.?4???????????????????????????????????????????/D.?5
【答案】B
【考点】矩形的性质，圆周角定理，直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，有三个直角三角形： / ①当P在AB的中点时，∠AP1E=90°； ②以AE为直径的圆与BC有两个交点，则∠AP2E=∠AP3E=90°； 故答案为：B． 【分析】可分析∠EAP或∠AEP不能为直角，只有∠APE=90度，因此P的个数就是以AE为直径的圆与矩形的交点个数.
10.某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是43．若设主干长出x个支干，则可列方程（??? ）
A.(x＋1)2＝43 B.x2＋2x＋1＝43 C.x2＋x＋1＝43 D.x(x＋1)＝43
【答案】C
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】设每个支干长出x个小分支，
根据题意列方程得：x2＋x＋1＝43．
故答案为：C．
【分析】等量关系为：主干的数量+支干的数量+小分支的数量=43，设未知数，列方程求解即可。
二、填空题（共10题；共30分）
11.4cos30°+
(1?
2
)
0
?
12
+|﹣2|=________．
【答案】3
【考点】实数的运算，0指数幂的运算性质，二次根式的性质与化简，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】详解：4cos30°+
(1?
2
)
0
?
12
+|﹣2| = 4×
3
2
+1?2
3
+2 ? =3. 故答案为：3. 【分析】根据特殊角的三角函数、零指数幂的法则、二次根式的化简以及绝对值的性质计算可得答案.
12.如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是________m（结果保留根号） /
【答案】40
3
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】由题意可得：∠BDA=45°， 则AB=AD=120m， 又∵∠CAD=30°， ∴在Rt△ADC中， tan∠CDA=tan30°=
????
????
=
3
3
， 解得：CD=40
3
（m）， 故答案为：40
3
． 【分析】在Rt△ABD中，可得AD=AB=120m；在Rt△ADC中，由tan∠CDA=tan30°=
????
????
可求得CD。
13.已知关于x的一元二次方程2x2﹣3kx+4=0的一个根是1，则k=________．
【答案】2
【考点】一元二次方程的解
【解析】【解答】解：依题意，得 2×12﹣3k×1+4=0，即2﹣3k+4=0， 解得，k=2． 故答案是：2． 【分析】把x=1代入已知方程列出关于k的一元一次方程，通过解方程求得k的值．
14.如图，一圆与平面直角坐标系中的x轴切于点A（8，0），与y轴交于点B（0，4），C（0，16），则该圆的直径为________。 /
【答案】20
【考点】矩形的判定与性质，垂径定理，切线的性质
【解析】【解答】过圆心O′作y轴的垂线，垂足为D，连接O′A， / ∵O′D⊥BC， ∴D为BC中点， ∴BC=16-4=12，OD=6+4=10， ∵⊙O′与x轴相切， ∴O′A⊥x轴， ∴四边形OAO′D为矩形， 半径O′A=OD=10， ∴直径是20． 【分析】根据题意添加辅助线，过圆心O′作y轴的垂线，垂足为D，连接O′A，先根据垂径定理及已知点的坐标，求出BC、OD的长，再根据切线的性质，证明四边形OAO′D是矩形，得出O′A=OD=10，即可求出直径的长。
15.如图， ???? 是半圆 ?? 的直径，点 ?? 、 ?? 是半圆 ?? 的三等分点，若弦 ????=3 ，则图中阴影部分的面积为________．
/
【答案】
3
2
π
【考点】平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，扇形面积的计算
【解析】【解答】如图连接OC、OD、BD.
/
∵点C.D是半圆O的三等分点，
∴∠??????=∠??????=∠??????=
60
°
， ?
∵OC=OD=OB，
∴△COD、△OBD是等边三角形，
∴∠??????=∠??????=
60
°
，????=????=3， ?
∴????∥????， ?
∴
??
△??????
=
??
△??????
， ?
∴S阴=S扇形 ??????=
60π?
3
2
360
=
3π
2
. ?
故答案为：
3π
2
.
【分析】如图连接OC、OD、BD.首先判断出△COD、△OBD是等边三角形，根据度鞥要三角形的性质得出COD=∠ODB=60°，OD=CD=3，根据内错角相等二直线平行得出OC∥BD，根据同底等高的两个三角形的面积相等得出S△BDC=S△BDO ， 从而得出S阴=S扇形 OBD ， 从而用扇形面积计算方法即可算出答案。
16.如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是________． /
【答案】
3
2
【考点】等腰三角形的性质，三角形中位线定理，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N， / ∵DE平分△ABC的周长， ∴ME=EB，又AD=DB， ∴DE=
1
2
AM，DE∥AM， ∵∠ACB=60°， ∴∠ACM=120°， ∵CM=CA， ∴∠ACN=60°，AN=MN， ∴AN=AC?sin∠ACN=
3
2
， ∴AM=
3
， ∴DE=
3
2
， 故答案为：
3
2
【分析】延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据DE平分△ABC的周长，故ME=EB，又AD=DB，根据三角形的中位线定理得出DE=?
1
2
AM，DE∥AM，根据等腰三角形的三线合一得出∠ACN=60°，AN=MN，根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由AN=AC?sin∠ACN得出AN的长，进而得出 AM的长，从而得出DE的长。
17.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝8，BC＝10，则梯形ABCD面积是________?． /
【答案】36
【考点】直角梯形，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】 / 【分析】本题主要是利用三角形相似找出直角梯形的高，以便求出梯形面积。
18.如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，则tanA的值为________? /
【答案】
1
3
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图：作BD⊥AC于D / BD=
2
， AD=3
2
， tanA=
????
????
=
2
3
2
=
1
3
， 故答案为：
1
3
． 【分析】根据勾股定理，可得BD、AD的长，根据正切为对边比邻边，可得答案．
19.如图，∠BAC=45o，AD⊥BC于点D，且BD=3，CD=2，则AD的长为________． /
【答案】6
【考点】解一元二次方程﹣公式法，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过B作BE⊥AC，垂足为E交AD于F / ∵∠BAC=45° ∴BE=AE， ∵∠C+∠EBC=90°，∠C+∠EAF=90°， ∴∠EAF=∠EBC， 在△AFE与△BCE中， /， ∴△AFE≌△BCE（ASA） ∴AF=BC=BD+DC=5，∠FBD=∠DAC， 又∵∠BDF=∠ADC=90° ∴△BDF∽△ADC ∴FD：DC=BD：AD 设FD长为x 即x：2=3：（x+5） 解得x=1 即FD=1 ∴AD=AF+FD=5+1=6． 【分析】如 图，过B作BE⊥AC，垂足为E交AD于F，由∠BAC=45°可以得到BE=AE，再根据已知条件可以证明△AFE≌△BCE，可以得到 AF=BC=10，而∠FBD=∠DAC，又∠BDF=∠ADC=90°，由此可以证明△BDF∽△ADC，所以FD：DC=BD：AD，设FD长为x， 则可建立关于x的方程，解方程即可求出FD，AD的长．
20.如图所示，已知：点A（0，0），B（
3
，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1 ， 第2个△B1A2B2 ， 第3个△B2A3B3 ， …，则第n个等边三角形的边长等于________． /
【答案】
3
2
??
【考点】等边三角形的性质，解直角三角形
【解析】【解答】解：∵OB=
3
，OC=1， ∴BC=2， ∴∠OBC=30°，∠OCB=60°． 而△AA1B1为等边三角形，∠A1AB1=60°， ∴∠COA1=30°，则∠CA1O=90°． 在Rt△CAA1中，AA1=
3
2
OC=
3
2
， 同理得：B1A2=
1
2
A1B1=
3
2
2
， 依此类推，第n个等边三角形的边长等于
3
2
??
． 【分析】根据题目已知条件可推出，AA1=
3
2
OC=
3
2
，B1A2=
1
2
A1B1=
3
2
2
，依此类推，第n个等边三角形的边长等于
3
2
??
．
三、解答题（共9题；共60分）
21.用适当的方法解方程：x2+4x﹣1=0．
【答案】解：∵x2+4x﹣1=0 ∴x2+4x+4=1+4 ∴（x+2）2=5 ∴x+2=±
5
x1=-2+
5
，x2=-2-
5
【考点】解一元二次方程﹣配方法
【解析】【分析】可用配方法求解，把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上4．
22.如图,△ABC与△A′B′C′是位似图形,且顶点都在格点上,每个小正方形的边长都为1. / （1）在图上标出位似中心D的位置,并写出该位似中心D的坐标是???????????????； （2）求△ABC与△A′B′C′的面积比．
【答案】解：（1）如图：D（7，0）； / （2）∵△ABC∽△A′B′C′ ∴
??
△??????
??
△
??
′
??
′
??
′
=
1
2
2
=
1
4
【考点】相似三角形的性质，作图﹣位似变换
【解析】【分析】考查位似.
23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，分别以A、B、C为圆心，以
1
2
AC为半径画弧，求三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积． /
【答案】解：∵∠C=90°，CA=CB=4， ∴
1
2
AC=2，S△ABC=
1
2
×4×4=8， ∵三条弧所对的圆心角的和为180°， 三个扇形的面积和=
180??×
2
2
360
=2π， ∴三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC﹣三个扇形的面积和=8﹣2π
【考点】三角形的面积，扇形面积的计算
【解析】【分析】阴影部分的面积=Rt△ABC的面积-三个扇形的面积，由题意可知三条弧所对的圆心角的和为180°，半径都为
1
2
AC.
24.如图，水平放置的一个油管的截面半径为13cm，其中有油部分油面宽AB为24cm，求截面上有油部分油面高CD（单位：cm）． /
【答案】解：如图；连接OA； / 根据垂径定理，得AC=BC=12cm； Rt△OAC中，OA=13cm，AC=12cm； 根据勾股定理，得： OC= /=5cm； ∴CD=OD﹣OC=8cm； ∴油面高为8cm．
【考点】勾股定理，垂径定理的应用
【解析】【分析】根据垂径定理，易知AC、BC的长；连接OA，根据勾股定理即可求出OC的长，进而可求出CD的值．
25.甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以12海里/时的速度向 北偏东35°航行，乙船向南偏东55°航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C、B两船相距30海里，问乙船的速度是每小时多少海里？ /
【答案】解：根据题意得：AC=12×2=24，BC=30，∠BAC=90°． ∴AC2+AB2=BC2 ． ∴AB2=BC2-AC2=302-242=324 ∴AB=18． ∴乙船的航速是：18÷2=9海里/时.
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】根据已知判定∠CAB为直角，根据路程公式求得AC的长．再根据勾股定理求得AB的长，从而根据公式求得其速度.此题考查了直角三角形的判定及方向角的掌握情况，比较简单.
26.如图所示，正方形ABCD的边长是3，E是正方形ABCD的边AB上的点，且AE=1，EF⊥DE交BC于点F，求线段CF的长． /
【答案】解：∵ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=90°， ∴∠ADE+∠DEA=90°， 又EF⊥DE， ∴∠AED+∠FEB=90°， ∴∠ADE=∠FEB， ∴△ADE∽△BEF． ∴
????
????
=
????
????
， ∴
3
2
=
1
????
， ∴BF=
2
3
∵BC=3， ∴CF=BC﹣BF=
7
3
【考点】正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用正方形的性质可证出△ADE∽△BEF，对应边成比例列出比例式求出BF，进而CF=BC﹣BF，求出结果.
27.如图：007渔船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A点观测到渔船C在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业．若007渔船航向不变，航行半小时后到达B点，观测到渔船C在东北方向上．问：007渔船再按原航向航行多长时间，离渔船C的距离最近？
/
【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于D，设CD长为x，
/
在Rt△ACD中，∵∠ACD=60°，tan∠ACD=
????
????
∴AD=
3
??
在Rt△BCD中，∵∠CBD=∠BCD=45°，∴BD=CD=x，
∴AB=AD-BD=
3
?????=(
3
?1)??
设渔政船从B航行到D需要t小时，则
????
0.5
=
????
??
∴
(
3
-1)??
0.5
=
??
??
∴解得：t=
3
+1
4
答：渔政007船再按原航向航行
3
+1
4
小时后，离渔船C的距离最近．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于D，设CD长为x，解Rt△ACD可将AD用含x的代数式表示，解Rt△BCD可将BD=CD用含x的代数式表示，根据线段的构成可得AB=AD-BD，根据渔政船从B航行到D的速度和渔政船从A航行到B的速度相同可列方程求解。
28.小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离． /
【答案】解：作AM⊥EF于点M，作BN⊥EF于点N，如右图所示， 由题意可得，AM=BN=60米，CD=100米，∠ACF=45°，∠BDF=60°， ∴CM= /米， DN= /米， ∴AB=CD+DN﹣CM=100+20 /﹣60=（40+20 /）米， 即A、B两点的距离是（40+20 /）米． /
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】根据题意作出合适的辅助线，画出相应的图形，可以分别求得CM、DN的长，由于AB=CN﹣CM，从而可以求得AB的长．
29.已知：在⊙O中，弦AC⊥弦BD，垂足为H，连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，DE交AC于点F.
/
（1）如图1，求证：BD平分∠ADF；
（2）如图2，连接OC，若OC平分∠ACB，求证：AC=BC；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB，过点D作DN∥AC交⊙O于点N，若tan∠ADB=
3
4
，AB=3
10
，求DN的长.
【答案】（1）解：因为弦AC⊥弦BD， DE⊥BC于点E，
所以∠ACB+∠DBE＝∠BDE+∠DBE=90°，
所以∠ACB＝∠BDE，
又因为∠ACB=∠ADB，
所以∠BDE=∠ADB，
所以BD平分∠ADF
（2）解：连接OB，OA，则△AOC，△BOC是等腰三角形，
所以∠OCB=∠OBC， ∠OAC=∠OCA，
又因为OC平分∠ACB，
所以∠OCB==∠OCA，
所以∠OBC=∠OAC，
在△AOC和△BOC中，
{
∠??????＝∠??????
∠??????＝∠??????
????=????
，
所以△AOC≌△BOC，
所以AC=BC
（3）解：因为∠ACB=∠ADB，tan∠ADB=
3
4
，
所以tan∠ACB=
3
4
，
所以
????
????
=
3
4
，可设BH=3x，CH=4x，
由勾股定理得：BC=5x，
则AC=5x，所以AH=x，
因为AB= 3
10
，
根据勾股定理得： ??
??
2
+??
??
2
=??
??
2
，
所以得：
??
2
+
(3??)
2
=
(3
10
)
2
， 10
??
2
=90 ，解得：x=3，
所以BC=15，
设等腰△ACB底边AB上的高为h，由勾股定理可得： ?=
9
10
2
，
根据相似三角形性质可得：
????
????
=
????
?
，
即
????
15
=
15
9
10
2
，解得BN= 5
10
，
根据勾股定理可得：DN=
??
??
2
???
??
2
=
250?169
=9 .
【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据题意易知，∠ACB+∠DBE＝∠BDE+∠DBE=90°，可得∠ACB＝∠BDE，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ACB=∠ADB，等量代换可得∠BDE=∠ADB，可证BD平分∠ADF。 （2）连接OB，OA，易证△AOC，△BOC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可知∠OCB=∠OBC， ∠OAC=∠OCA，等量代换可得∠OBC=∠OAC，最后根据AAS判定△AOC≌△BOC，由全等三角形的性质可得AC=BC。 （3）由∠ACB=∠ADB，tan∠ADB=?
3
4
? ，可得tan∠ACB=
3
4
，可设BH=3x，CH=4x，在Rt△AHB中利用勾股定理求得AH，BC，再根据勾股定理求得等腰△ACB底边AB上的高，根据相似三角形求得BN，再由勾股定理求得DN即可。
