青岛版九年级上《第四章一元二次方程》单元检测试卷（有答案）

【期末专题复习】青岛版九年级数学上册 第四章 一元二次方程 单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（????）
A.???
??
2
+????+??=0?????????????????????/B.?
??
2
=??
??+1
?????????????????????/C.?
1
??
2
+??=3?????????????????????/D.?4
??
2
=9
2.一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（?? ）
A.?x1=1，x2=2???????????????B.?x1=1，x2=﹣2???????????????C.?x1=﹣1，x2=﹣2???????????????D.?x1=﹣1，x2=2
3.下列关于 /的方程：① /；② /；③ /；④ /中，一元二次方程的个数是（??? ）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
4.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣7x+10=0的两个根，则该三角形的周长是（?? ）
A.?9????????????????????????????????????/B.?12????????????????????????????????????/C.?9或12????????????????????????????????????/D.?不能确定
5.方程mx2-3x=x2-mx+2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为（　　）
A.?ｍ≠０　　????????????????????????/B.?ｍ≠１　　????????????????????????/C.?ｍ≠－１　　????????????????????????/D.?ｍ≠±１
6.若关于x的方程x2﹣
2
x+sina=0有两个相等的实数根，则锐角a为（? ?）
A.?75°???????????????????????????????????????B.?60°???????????????????????????????????????C.?45°???????????????????????????????????????D.?30°
7.若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A.?k＜2?????????????????????????????????B.?k≠0?????????????????????????????????C.?k＜2且k≠0??????????????????????????????????D.?k＞2
8.已知⊙O的半径为1，点A到圆心O的距离为a，若关于x的方程x2﹣2x+a=0不存在实数根，则点A与⊙O的位置关系是（?? ）
A.?点A在⊙O外??????????????????????/B.?点A在⊙O上??????????????????????/C.?点A在⊙O内??????????????????????/D.?无法确定
9.把方程x2﹣10x=﹣3左边化成含有x的完全平方式，其中正确的是（?? ）
A.?x2﹣10x+（﹣5）2=28??????/B.?x2﹣10x+（﹣5）2=22??????/C.?x2+10x+52=22??????/D.?x2﹣10x+5=2
10.关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋m2－1＝0有一根为0，则m的值为(? ? ? ? )
A.?1或－1???????????????????????????????????????/B.?1???????????????????????????????????????/C.?－1???????????????????????????????????????/D.?
1
2
二、填空题（共10题；共30分）
11.当m＝________时，关于x的方程(m－2)xm2－2＋2x－1＝0是一元二次方程．
12.若x=2是一元二次方程x2﹣2a=0的一个根，则a=________．
13.受益于国家支持新能源汽车发展，番禺区某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计2015年利润为2亿元，2017年利润为2.88亿元．则该企业近2年利润的年平均增长率为________．
14.已知关于x的一元二次方程x2+bx+b﹣1=0有两个相等的实数根，则b的值是________．
15.关于x的一元二次方程
??
2
?3??+??=0 有两个不相等的实数根，m的取值范围为________.
16.已知方程x2﹣2x﹣1=0的两根为m和n，则代数式m3﹣2m2﹣n+
1
??
﹣mn2=________．
17.如果关于x的一元二次方程2x2+6x+3=0有两个实数根α、β，那么（α﹣1）2+（β﹣1）2的值是________．
18.已知方程x2+（k﹣1）x﹣3=0的一个根为1，则k的值为________．
19.若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有两个实数根，则k的取值范围是________．
20.如图所示，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地，若耕地面积需要551平方米，设修建的路宽为x米，根据题意，可列方程为________?．/
三、解答题（共9题；共60分）
21.解方程：（1）x2+2x﹣9999=0（用配方法求解）；（2）3x2﹣6x﹣1=0（用公式法求解）
22.已知关于x的方程
1
4
??
2
?
???2
??+
??
2
=0（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．
23.甲、乙两人同时从环形跑道上同一点出发，沿顺时针方向跑步，甲的速度比乙快，过一段时间，甲第一次从背后追上乙，这时甲立即背转方向，以原来的速度沿逆时针方向跑去，当两人再次相遇时，乙恰好跑了四圈，求甲的速度是乙的几倍？
24.某花店将进货价为20元/盒的百合花，在市场参考价28～38元的范围内定价36元/盒销售，这样平均每天可售出40盒，经过市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每盒下调1元，则平均每天可多销售10盒，要使每天的利润达到750元，应将每盒百合花在售价上下调多少元？
25.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？
26.某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率．
27.泰兴鑫都小商品市场以每副60元的价格购进800副羽毛球拍．九月份以单价100元销售，售出了200副．十月份如果销售单价不变，预计仍可售出200副，鑫都小商品市场为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，销售单价每降低5元，可多售出10副，但最低销售单价应高于购进的价格．十月份结束后，批发商将对剩余的羽毛球拍一次性清仓，清仓时销售单价为50元．设十月份销售单价降低x元．（1）填表：
月份
九月
十月
清仓
销售单价（元）
100
50
销售量（件）
200
（2）如果鑫都小商品市场希望通过销售这批羽毛球拍获利9200元，那么十月份的销售单价应是多少元？
28.已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答问题：当t为何值时，△PBQ是直角三角形？/
29.（2017·台州）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根，比如对于方程
??
2
?5??+2=0 ，操作步骤是：第一步：根据方程系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）;第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C 的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D 的横坐标为n即为该方程的另一个实数根。//
（1）在图2 中，按照“第四步“的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）
（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m就是方程
??
2
?5??+2=0 的一个实数根；
（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程 ??
??
2
+????+??=0(??≠0，
b
2
?4????≥0) 的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；
（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地,当
??
1
，
??
1
，
??
2
，
??
2
与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P（
??
1
，
??
1
），Q（
??
2
，
??
2
）就是符合要求的一对固定点？

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】C
二、填空题
11.【答案】-2
12.【答案】2
13.【答案】20%
14.【答案】2
15.【答案】m＜
9
4

16.【答案】0
17.【答案】14
18.【答案】3
19.【答案】k≥﹣1且k≠0
20.【答案】（30﹣x）（20﹣x）=551
三、解答题
21.【答案】解：（1）方程整理得：x2+2x=9999，配方得：x2+2x+1=10000，即（x+1）2=10000，开方得：x+1=100或x+1=﹣100，解得：x1=99，x2=﹣101；（2）这里a=3，b=﹣6，c=﹣1，∵△=36+12=48，∴x=
6±4
3
6
=
3±2
3
3
，解得：x1=
3+2
3
3
，x2=
3?2
3
3
．
22.【答案】解：（1）∵a=
1
4
，b=﹣（m﹣2），c=m2方程有两个相等的实数根，∴△=0，即△=b2﹣4ac=[﹣（m﹣2）]2﹣4×
1
4
×m2=﹣4m+4=0，∴m=1．原方程化为：
1
4
x2+x+1=0 x2+4x+4=0，（x+2）2=0，∴x1=x2=﹣2．（2）不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．∵x1+x2=﹣
??
??
=4m﹣8，x1x2=
??
??
=4m2x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（4m﹣8）2﹣2×4m2=8m2﹣64m+64=224，即：8m2﹣64m﹣160=0，解得：m1=10，m2=﹣2（不合题意，舍去），又∵m1=10时，△=﹣4m+4=﹣36＜0，此时方程无实数根，∴不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．
23.【答案】解：设环形跑道周长为a，甲的速度为x，乙的速度为y，根据题意可得：
??
?????
+
??
??+??
=
4??
??
，∵a＞0，∴
1
?????
+
1
??+??
=
4
??
，去分母并整理得：2x2﹣xy﹣2y2=0，∵y＞0，∴2?（
??
??
）2﹣
??
??
﹣2=0，解得：
??
??
?=
1+
17
4
或
??
??
=
1?
17
4
（舍负）．答：甲的速度是乙的
1+
17
4
倍
24.【答案】解：设应将售价下调x元，由题意得 （36﹣20﹣x）（40+10x）=750，解得：x1=1，x2=11，当x=11时，36﹣11=25，不在28元～38元的范围内，不合题意，舍去，答：应将每盒百合花在售价下调1元．
25.【答案】解：设衬衫的单价降了x元．根据题意，得 （20+2x）（40﹣x）=1250，解得：x1=x2=15，答：衬衫的单价降了15元．
26.【答案】解：设这个增长率为x．依题意得：20（1+x）2﹣20（1+x）=4.8，解得 x1=0.2，x2=﹣1.2（不合题意，舍去）．0.2=20%．答：这个增长率是20%
27.【答案】解：（1）填表如下：
时间
九月
十月
清仓时
销售单价（元）
100
100﹣x
50
销售量（件）
200
200+2x
800﹣200﹣（200+2x）
（2）根据题意，得100×200+（100﹣x）（200+2x）+50[800﹣200﹣（200+2x）]﹣60×800=9200解这个方程，得x1=20 x2=﹣70当x=20时，100﹣x=80＞50．答：第十个月的单价应是80元．
28.【答案】解：根据题意得AP=tcm，BQ=tcm，△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，∴BP=（3﹣t）cm，△PBQ中，BP=3﹣t，BQ=t，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，当∠BQP=90°时，BQ=
1
2
BP，即t=
1
2
（3﹣t），t=1（秒），当∠BPQ=90°时，BP=
1
2
BQ，3﹣t=
1
2
t，t=2（秒）．答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形
29.【答案】（1）解：如图2所示：/（2）证明：在图1中，过点B作BD⊥x轴，交x轴于点D.根据题意可证△AOC∽△CDB.∴
????
????
=
????
????
.∴
1
5???
=
??
2
.∴m（5-m）=2.∴m2-5m+2=0.∴m是方程x2-5x+2=0的实数根.（3）解：方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化为x2+
??
??
x+
??
??
=0.模仿研究小组作法可得：A（0，1），B（-
??
??
，
??
??
）或A（0，
1
??
），B（-
??
??
，c）等.（4）解：以图3为例：P（m1,n1）Q（m2,n2）,设方程的根为x，根据三角形相似可得.
??
1
???
??
1
=
??
2
???
??
2
.上式可化为x2-(m1+m2）x+m1m2+n1n2=0.又ax2+bx+c=0,即x2+
??
??
x+
??
??
=0.比较系数可得：m1+m2=-
??
??
.m1m2+n1n2=
??
??
./
【期末专题复习】青岛版九年级数学上册 第四章 一元二次方程 单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（????）
A.???
??
2
+????+??=0?????????????????????/B.?
??
2
=??
??+1
?????????????????????/C.?
1
??
2
+??=3?????????????????????/D.?4
??
2
=9
2.一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（?? ）
A.?x1=1，x2=2???????????????B.?x1=1，x2=﹣2???????????????C.?x1=﹣1，x2=﹣2???????????????D.?x1=﹣1，x2=2
3.下列关于 /的方程：① /；② /；③ /；④ /中，一元二次方程的个数是（??? ）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
4.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣7x+10=0的两个根，则该三角形的周长是（?? ）
A.?9????????????????????????????????????/B.?12????????????????????????????????????/C.?9或12????????????????????????????????????/D.?不能确定
5.方程mx2-3x=x2-mx+2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为（　　）
A.?ｍ≠０　　????????????????????????/B.?ｍ≠１　　????????????????????????/C.?ｍ≠－１　　????????????????????????/D.?ｍ≠±１
6.若关于x的方程x2﹣
2
x+sina=0有两个相等的实数根，则锐角a为（? ?）
A.?75°???????????????????????????????????????B.?60°???????????????????????????????????????C.?45°???????????????????????????????????????D.?30°
7.若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A.?k＜2?????????????????????????????????B.?k≠0?????????????????????????????????C.?k＜2且k≠0??????????????????????????????????D.?k＞2
8.已知⊙O的半径为1，点A到圆心O的距离为a，若关于x的方程x2﹣2x+a=0不存在实数根，则点A与⊙O的位置关系是（?? ）
A.?点A在⊙O外??????????????????????/B.?点A在⊙O上??????????????????????/C.?点A在⊙O内??????????????????????/D.?无法确定
9.把方程x2﹣10x=﹣3左边化成含有x的完全平方式，其中正确的是（?? ）
A.?x2﹣10x+（﹣5）2=28??????/B.?x2﹣10x+（﹣5）2=22??????/C.?x2+10x+52=22??????/D.?x2﹣10x+5=2
10.关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋m2－1＝0有一根为0，则m的值为(? ? ? ? )
A.?1或－1???????????????????????????????????????/B.?1???????????????????????????????????????/C.?－1???????????????????????????????????????/D.?
1
2
二、填空题（共10题；共30分）
11.当m＝________时，关于x的方程(m－2)xm2－2＋2x－1＝0是一元二次方程．
12.若x=2是一元二次方程x2﹣2a=0的一个根，则a=________．
13.受益于国家支持新能源汽车发展，番禺区某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计2015年利润为2亿元，2017年利润为2.88亿元．则该企业近2年利润的年平均增长率为________．
14.已知关于x的一元二次方程x2+bx+b﹣1=0有两个相等的实数根，则b的值是________．
15.关于x的一元二次方程
??
2
?3??+??=0 有两个不相等的实数根，m的取值范围为________.
16.已知方程x2﹣2x﹣1=0的两根为m和n，则代数式m3﹣2m2﹣n+
1
??
﹣mn2=________．
17.如果关于x的一元二次方程2x2+6x+3=0有两个实数根α、β，那么（α﹣1）2+（β﹣1）2的值是________．
18.已知方程x2+（k﹣1）x﹣3=0的一个根为1，则k的值为________．
19.若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有两个实数根，则k的取值范围是________．
20.如图所示，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地，若耕地面积需要551平方米，设修建的路宽为x米，根据题意，可列方程为________?．/
三、解答题（共9题；共60分）
21.解方程：（1）x2+2x﹣9999=0（用配方法求解）；（2）3x2﹣6x﹣1=0（用公式法求解）
22.已知关于x的方程
1
4
??
2
?
???2
??+
??
2
=0（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．
23.甲、乙两人同时从环形跑道上同一点出发，沿顺时针方向跑步，甲的速度比乙快，过一段时间，甲第一次从背后追上乙，这时甲立即背转方向，以原来的速度沿逆时针方向跑去，当两人再次相遇时，乙恰好跑了四圈，求甲的速度是乙的几倍？
24.某花店将进货价为20元/盒的百合花，在市场参考价28～38元的范围内定价36元/盒销售，这样平均每天可售出40盒，经过市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每盒下调1元，则平均每天可多销售10盒，要使每天的利润达到750元，应将每盒百合花在售价上下调多少元？
25.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？
26.某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率．
27.泰兴鑫都小商品市场以每副60元的价格购进800副羽毛球拍．九月份以单价100元销售，售出了200副．十月份如果销售单价不变，预计仍可售出200副，鑫都小商品市场为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，销售单价每降低5元，可多售出10副，但最低销售单价应高于购进的价格．十月份结束后，批发商将对剩余的羽毛球拍一次性清仓，清仓时销售单价为50元．设十月份销售单价降低x元．（1）填表：
月份
九月
十月
清仓
销售单价（元）
100
50
销售量（件）
200
（2）如果鑫都小商品市场希望通过销售这批羽毛球拍获利9200元，那么十月份的销售单价应是多少元？
28.已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答问题：当t为何值时，△PBQ是直角三角形？/
29.（2017·台州）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根，比如对于方程
??
2
?5??+2=0 ，操作步骤是：第一步：根据方程系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）;第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C 的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D 的横坐标为n即为该方程的另一个实数根。//
（1）在图2 中，按照“第四步“的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）
（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m就是方程
??
2
?5??+2=0 的一个实数根；
（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程 ??
??
2
+????+??=0(??≠0，
b
2
?4????≥0) 的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；
（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地,当
??
1
，
??
1
，
??
2
，
??
2
与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P（
??
1
，
??
1
），Q（
??
2
，
??
2
）就是符合要求的一对固定点？

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】C
二、填空题
11.【答案】-2
12.【答案】2
13.【答案】20%
14.【答案】2
15.【答案】m＜
9
4

16.【答案】0
17.【答案】14
18.【答案】3
19.【答案】k≥﹣1且k≠0
20.【答案】（30﹣x）（20﹣x）=551
三、解答题
21.【答案】解：（1）方程整理得：x2+2x=9999，配方得：x2+2x+1=10000，即（x+1）2=10000，开方得：x+1=100或x+1=﹣100，解得：x1=99，x2=﹣101；（2）这里a=3，b=﹣6，c=﹣1，∵△=36+12=48，∴x=
6±4
3
6
=
3±2
3
3
，解得：x1=
3+2
3
3
，x2=
3?2
3
3
．
22.【答案】解：（1）∵a=
1
4
，b=﹣（m﹣2），c=m2方程有两个相等的实数根，∴△=0，即△=b2﹣4ac=[﹣（m﹣2）]2﹣4×
1
4
×m2=﹣4m+4=0，∴m=1．原方程化为：
1
4
x2+x+1=0 x2+4x+4=0，（x+2）2=0，∴x1=x2=﹣2．（2）不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．∵x1+x2=﹣
??
??
=4m﹣8，x1x2=
??
??
=4m2x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（4m﹣8）2﹣2×4m2=8m2﹣64m+64=224，即：8m2﹣64m﹣160=0，解得：m1=10，m2=﹣2（不合题意，舍去），又∵m1=10时，△=﹣4m+4=﹣36＜0，此时方程无实数根，∴不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．
23.【答案】解：设环形跑道周长为a，甲的速度为x，乙的速度为y，根据题意可得：
??
?????
+
??
??+??
=
4??
??
，∵a＞0，∴
1
?????
+
1
??+??
=
4
??
，去分母并整理得：2x2﹣xy﹣2y2=0，∵y＞0，∴2?（
??
??
）2﹣
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??
﹣2=0，解得：
??
??
?=
1+
17
4
或
??
??
=
1?
17
4
（舍负）．答：甲的速度是乙的
1+
17
4
倍
24.【答案】解：设应将售价下调x元，由题意得 （36﹣20﹣x）（40+10x）=750，解得：x1=1，x2=11，当x=11时，36﹣11=25，不在28元～38元的范围内，不合题意，舍去，答：应将每盒百合花在售价下调1元．
25.【答案】解：设衬衫的单价降了x元．根据题意，得 （20+2x）（40﹣x）=1250，解得：x1=x2=15，答：衬衫的单价降了15元．
26.【答案】解：设这个增长率为x．依题意得：20（1+x）2﹣20（1+x）=4.8，解得 x1=0.2，x2=﹣1.2（不合题意，舍去）．0.2=20%．答：这个增长率是20%
27.【答案】解：（1）填表如下：
时间
九月
十月
清仓时
销售单价（元）
100
100﹣x
50
销售量（件）
200
200+2x
800﹣200﹣（200+2x）
（2）根据题意，得100×200+（100﹣x）（200+2x）+50[800﹣200﹣（200+2x）]﹣60×800=9200解这个方程，得x1=20 x2=﹣70当x=20时，100﹣x=80＞50．答：第十个月的单价应是80元．
28.【答案】解：根据题意得AP=tcm，BQ=tcm，△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，∴BP=（3﹣t）cm，△PBQ中，BP=3﹣t，BQ=t，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，当∠BQP=90°时，BQ=
1
2
BP，即t=
1
2
（3﹣t），t=1（秒），当∠BPQ=90°时，BP=
1
2
BQ，3﹣t=
1
2
t，t=2（秒）．答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形
29.【答案】（1）解：如图2所示：/（2）证明：在图1中，过点B作BD⊥x轴，交x轴于点D.根据题意可证△AOC∽△CDB.∴
????
????
=
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????
.∴
1
5???
=
??
2
.∴m（5-m）=2.∴m2-5m+2=0.∴m是方程x2-5x+2=0的实数根.（3）解：方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化为x2+
??
??
x+
??
??
=0.模仿研究小组作法可得：A（0，1），B（-
??
??
，
??
??
）或A（0，
1
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），B（-
??
??
，c）等.（4）解：以图3为例：P（m1,n1）Q（m2,n2）,设方程的根为x，根据三角形相似可得.
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1
???
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1
=
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2
???
??
2
.上式可化为x2-(m1+m2）x+m1m2+n1n2=0.又ax2+bx+c=0,即x2+
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??
x+
??
??
=0.比较系数可得：m1+m2=-
??
??
.m1m2+n1n2=
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??
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