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2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第2章
第3节
函数的奇偶性与周期性（学生版）
备战基础·零风险
1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．
函数的奇偶性
定义
奇函数
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有
，那么函数f(x)是奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有
，那么函数f(x)是偶函数
图象
关于
对称
关于
对称
性质
奇函数在关于原点对称的区间上的单调性
。
偶函数在关于原点对称的区间上的单调性
。
在公共定义域内
①两个奇函数的和函数是
，两个奇函数的积函数是
。②两个偶函数的和函数、积函数是
。③一个奇函数，一个偶函数的积函数是
。
若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝
。
周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝
，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中
的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
备战方法·巧解题
规律方法
1．两个防范 一是判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数；二是若函数f(x)是奇函数，则f(0)不一定存在；若函数f(x)的定义域包含0，则必有f(0)＝0．2．三个结论 一是若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称；二是若对任意x∈D都有f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是以2a为周期的函数；若对任意x∈D都有f(x＋a)＝±(f(x)≠0)，则f(x)也是以2a为周期的函数；三是若函数f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y＝f′(x)既是周期函数又是偶函数，如(8)中因为y＝f(x)是周期函数，设其周期为T，则有f(x＋T)＝f(x)，两边求导，得f′(x＋T)(x＋T)′＝f′(x)，即f′(x＋T)＝f′(x)，所以导函数是周期函数，又因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，两边求导，得f′(－x)(－x)′＝－f′(－x)＝－f′(x)，即－f′(－x)＝－f′(x)，所以f′(－x)＝f′(x)，所以导函数是偶函数.3.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．4.对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．5．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．6．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)?f(－x)±f(x)＝0?＝±1(f(x)≠0)．7．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．
备战练习·固基石
一、单选题
1.已知函数f(x)对任意都有
，
若的图象关于直线x=1对称，且f(1)=2，则f(2013)=
(??????
)
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?0
2.已知偶函数f(x)在区间[0，4]上是增函数，
则f(-3)和的大小关系是?（?????）
A.?????????????B.?????????????????C.????????????D.?无法确定
3.已知函数则函数零点个数为??
( )
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
4.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )．
A.?y＝x3????????????????????????????B.?y＝|x|＋1????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?y＝2－|x|
5.下列函数中的奇函数是（??
）
A.?f（x）=x+1?????????????B.?f（x）=3x2﹣1?????????????C.?f（x）=2（x+1）3﹣1?????????????D.?f（x）═﹣
6.对于给定的以下四个命题，其中正确命题的个数为
①函数是奇函数；
②函数f(x)在(a,b)和(c,d)都是增函数，若,
，
且x1③函数f(x)在R上为奇函数，且当x>0时有
，
则当x<0，；
④函数的值域为
A.?1 ???????????????????????????????????B.?2 ???????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????D.?4
7.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+
，
则f（﹣1）=（ ）
A.?-2??????
B.?0??
C.?1
D.?2
8.下列函数中，既是偶函数又在区间
上单调递增的函数是（
??）
A.????????????B.?????????????????C.??????????????????D.?
9.若定义在
上的函数
和
中,
为奇函数,
为偶函数,则下列函数中为奇函数的是（??
）
A.?
+
?????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
10.已知函数y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)对称，且当时，f(x)+xf'(x)<0成立（其中f'(x)是f(x)的导函数），若,则a，b，c的大小关系为(???
)
A.?a
>
c
>b????????????????????????????B.?c>a>b????????????????????????????C.?c>
b
>
a????????????????????????????D.?b
>a>
c
11.已知定义在
上的偶函数
满足
,
函数
的图像是
的图像的一部分.
若关于
的方程
有
个不同的实数根,
则实数
的取值范围为(??????
)
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.???????????????D.?
12.已知函数
使定义在
上的奇函数，且当
时，
，则对任意
，函数
的零点个数至多有（??
）
A.?3个???????????????????????????????????????B.?4个???????????????????????????????????????C.?6个???????????????????????????????????????D.?9个
二、填空题
13.已知函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，当x＞0时f（x）的图象如图所示，那么f（x）的值域是________．
14.已知函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2（x2+x+2）的图象关于直线x=2对称，则f（3）=________．
15.若
是偶函数，则
________．
16.已知函数
是偶函数，则
a=________．
17.已知f（x）是定义在R上且周期为6的奇函数，当x∈（0，3）时，f（x）=lg（2x2﹣x+m）．若函数f（x）在区间[﹣3，3]上有且仅有5个零点（互不相同），则实数m的取值范围是________?
18.已知函数
是偶函数，直线y=t与函数y=f（x）的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D．若AB=BC，则实数t的值为________．
三、解答题
19.已知函数f（x）=
+a是奇函数
（1）求常数a的值
（2）判断f（x）的单调性并给出证明
（3）求函数f（x）的值域．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?浙江）函数y=
sin2x的图象可能是（
??）
A.????????????????????????????????????????????B.?
C.???????????????????????????????????????????D.?
2.（2018?卷Ⅱ）已知
是定义域为
的奇函数，满足
。若
，则
（
?）
A.-50
B.0
C.2
D.50
3.（2018?卷Ⅱ）已知
是定义为
的奇函数，满足
。若
，则
（??
）
A.-50
B.0
C.2
D.50
4.（2018?卷Ⅲ）下列函数中，其图像与函数
的图像关于直线
对称的是（
??）
A.?????????????????????B.?????????????????????C.????????D.?
5.（2018?卷Ⅲ）函数
的图像大致为(??
)
A.????????????????????B.?
C.???????????????????D.?
6.用列表法将函数
表示为
，则（??
）
A.?
为奇函数??????????????????????????????????????????????B.?
?为偶函数
?????????
C.?
为奇函数??????????????????????????????????????????????D.?
?为偶函数
???
7.（2017?天津）已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（
），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（ ）
A.?a＜b＜c?????????????????????????????B.?b＜a＜c?????????????????????????????C.?c＜b＜a?????????????????????????????D.?c＜a＜b
8.（2017?新课标Ⅲ）函数y=1+x+
的部分图象大致为（ ）
A.???????????????????????????????B.??????
C.???????????????????????????????D.?
9.（2017·天津）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（ ）
A.?a＜b＜c?????????????????????????????B.?c＜b＜a?????????????????????????????C.?b＜a＜c?????????????????????????????D.?b＜c＜a
10.（2017?北京卷）已知函数f（x）=3x﹣（
）x
，
则f（x）（ ）
A.?是偶函数，且在R上是增函数??????????????????????????????B.?是奇函数，且在R上是增函数
C.?是偶函数，且在R上是减函数??????????????????????????????D.?是奇函数，且在R上是减函数
11.（2017?北京卷）已知函数f（x）=3x﹣（
）x
，
则f（x）（ ）
A.?是奇函数，且在R上是增函数??????????????????????????????B.?是偶函数，且在R上是增函数
C.?是奇函数，且在R上是减函数??????????????????????????????D.?是偶函数，且在R上是减函数
12.（2017?新课标Ⅰ卷）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）
A.?[﹣2，2]??????????????????????????????B.?[﹣1，1]??????????????????????????????C.?[0，4]??????????????????????????????D.?[1，3]
13.（2017?新课标Ⅰ卷）函数y=
的部分图象大致为（ ）
A.????????????????????????????????B.?
C.????????????????????????????????D.?
二、填空题
14.（2018?卷Ⅲ）已知函数
，
，则
________。
15.（2017·山东）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）=f（x﹣2）．若当x∈[﹣3，0]时，f（x）=6﹣x
，
则f（919）=________．
16.（2017?江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣
，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是________．
17.（2017?新课标Ⅱ）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2
，
则f（2）=________．
三、解答题
18.（2018?上海）设常数
，函数
（1）若
为偶函数，求
的值；
（2）若
，求方程
在区间
上的解。
考情分析
基础知识
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精品试卷·第
2
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（共
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页）
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2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第2章
第3节
函数的奇偶性与周期性（教师版）
备战基础·零风险
1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．
函数的奇偶性
定义
奇函数
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
图象
关于原点对称
关于y轴对称
性质
奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，
偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反
在公共定义域内
①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．
若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
备战方法·巧解题
规律方法
1．两个防范 一是判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数；二是若函数f(x)是奇函数，则f(0)不一定存在；若函数f(x)的定义域包含0，则必有f(0)＝0．2．三个结论 一是若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称；二是若对任意x∈D都有f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是以2a为周期的函数；若对任意x∈D都有f(x＋a)＝±(f(x)≠0)，则f(x)也是以2a为周期的函数；三是若函数f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y＝f′(x)既是周期函数又是偶函数，如(8)中因为y＝f(x)是周期函数，设其周期为T，则有f(x＋T)＝f(x)，两边求导，得f′(x＋T)(x＋T)′＝f′(x)，即f′(x＋T)＝f′(x)，所以导函数是周期函数，又因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，两边求导，得f′(－x)(－x)′＝－f′(－x)＝－f′(x)，即－f′(－x)＝－f′(x)，所以f′(－x)＝f′(x)，所以导函数是偶函数.3.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．4.对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．5．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．6．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)?f(－x)±f(x)＝0?＝±1(f(x)≠0)．7．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．
备战练习·固基石
一、单选题
1.已知函数f(x)对任意都有
，
若的图象关于直线x=1对称，且f(1)=2，则f(2013)=
(??????
)
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?0
【答案】A
【考点】函数奇偶性的判断，函数奇偶性的性质，函数的周期性
【解析】【分析】的图象关于直线对称关于y轴对称，为偶函数，
由得，
，
累和得，
在函数式中令得
【点评】本题是对函数综合性质的考查，其中用到了数列中累和的方法
2.已知偶函数f(x)在区间[0，4]上是增函数，
则f(-3)和的大小关系是?（?????）
A.???????????B.????????C.?????????????????????D.?无法确定
【答案】C
【考点】函数单调性的性质，函数奇偶性的性质
【解析】【分析】因为偶函数在区间[0，4]上是增函数，所以=<。所以选C。
【点评】直接考查函数的性质：奇偶性和单调性。属于基础题型。
3.已知函数则函数零点个数为??
( )
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
【答案】C
【考点】函数奇偶性的性质，函数的零点
【解析】【分析】因为当x<0时,-x>0,所以f(-x)=-x(-x-4)=x(x+4)=f(x),所以f(x)为偶函数，因为当x>0时，f(x)有一个零点x=4,所以x<0时，f(x)也有一个零点-4,并且f(0)=0,所以还有一个零点x=0,因而f(x)有三个零点.选C.
4.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )．
A.?y＝x3????????????????????????????B.?y＝|x|＋1????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?y＝2－|x|
【答案】B
【考点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】由f(-x)=f(x)可知B，C，D为偶函数，但又因为函数在在(0，＋∞)单调递增,所以应选B.
5.下列函数中的奇函数是（??
）
A.?f（x）=x+1?????????????B.?f（x）=3x2﹣1?????????????C.?f（x）=2（x+1）3﹣1?????????????D.?f（x）═﹣
【答案】D
【考点】函数奇偶性的判断
【解析】【解答】解：A．f（x）=x+1，f（﹣x）=﹣x+1，不满足f（﹣x）=﹣f（x），不为奇函数；
B．f（x）=3x2﹣1，f（﹣x）=3（﹣x）2﹣1=f（x），f（x）为偶函数；
C．f（x）=2（x+1）3﹣1，f（﹣x）=2（﹣x+1）3﹣1，不满足f（﹣x）=﹣f（x），不为奇函数；
D．f（x）═﹣
，f（﹣x）═
=﹣f（x），则f（x）为奇函数．
故选：D．
【分析】由奇函数的定义：f（﹣x）=﹣f（x），即可判断．
6.对于给定的以下四个命题，其中正确命题的个数为
①函数是奇函数；
②函数f(x)在(a,b)和(c,d)都是增函数，若,
，
且x1③函数f(x)在R上为奇函数，且当x>0时有
，
则当x<0，；
④函数的值域为
A.?1 ???????????????????????????????????B.?2 ???????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????D.?4
【答案】B
【考点】函数的值域，函数单调性的性质，函数奇偶性的判断
【解析】【分析】
7.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+
，
则f（﹣1）=（ ）
A.?-2?
B.?0???
C.?1?
D.?2
【答案】A
【考点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣1）=﹣f（1），
又当x＞0时，f（x）=x2+
，
∴f（1）=12+1=2，∴f（﹣1）=﹣2，
故选：A．
【分析】由奇函数定义得，f（﹣1）=﹣f（1），根据x＞0的解析式，求出f（1），从而得到f（﹣1）．
8.下列函数中，既是偶函数又在区间
上单调递增的函数是（
??）
A.????????????????B.???????????C.????????????D.?
【答案】B
【考点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：对于A：函数不是偶函数，不合题意；
对于B：函数是偶函数，且
时，
递增；符合题意；
对于C：函数是偶函数，在
递减，不合题意；
对于D：函数是偶函数，在
递减，不合题意；
故答案为：B.
【分析】分别对各选项是否为偶函数进行判断，再判断在区间（0，+∞）上是否为单调递增函数即可.
9.若定义在
上的函数
和
中,
为奇函数,
为偶函数,则下列函数中为奇函数的是（??
）
A.?
+
?????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】函数奇偶性的性质
【解析】因为定义在
上的函数
和
中，
为奇函数，
为偶函数，
所以
=
，
故
是奇函数．
故答案为：D。
【分析】利用奇函数和偶函数的定义逐一进行判断即可.
10.已知函数y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)对称，且当时，f(x)+xf'(x)<0成立（其中f'(x)是f(x)的导函数），若,则a，b，c的大小关系为(???
)
A.?a
>
c
>b????????????????????????????B.?c>a>b????????????????????????????C.?c>
b
>
a????????????????????????????D.?b
>a>
c
【答案】B
【考点】奇偶性与单调性的综合，不等关系与不等式
【解析】【解答】∵当时不等式成立
即：，
∴在
上是减函数．
又∵函数的图象关于点对称，∴函数的图象关于点对称，
∴函数是定义在R上的奇函数?∴是定义在R上的偶函数
∴在上是增函数．
又∵,
,
所以
即，
故.
【分析】本题主要考查了函数的奇偶性以及函数的单调性，同时考查了分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．
11.已知定义在
上的偶函数
满足
,
函数
的图像是
的图像的一部分.
若关于
的方程
有
个不同的实数根,
则实数
的取值范围为(??????
)
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】函数奇偶性的性质，函数的图象，函数的周期性
【解析】【解答】
定义在
上的偶函数
满足
则
，即
则函数
是周期为
的周期函数
函数
的定义域为
若
，则
，则
此时
当
，则
则
则由
可得：当
时，
作出函数
的图象如图所示
若方程
有
个不同的实数根
则当
时，不满足条件
当
时，方程等价于
则当
时，方程
恒成立，此时恒有一解
当直线
与
在
相切时
此时方程
有六个交点，不满足条件
当直线
与
在
相切时
满足方程
有三个交点
此时直线方程为
，
满足圆心
到直线
的距离
即
，即
平方可得：
解得
则实数
的取值范围为
故答案为：
【分析】先由题意得到函数既是偶函数又是周期函数，根据函数的奇偶性和周期性画出函数的大致图像，通过图像得到a的取值范围.
12.已知函数
使定义在
上的奇函数，且当
时，
，则对任意
，函数
的零点个数至多有（??
）
A.?3个???????????????????????????????????????B.?4个???????????????????????????????????????C.?6个???????????????????????????????????????D.?9个
【答案】A
【考点】奇偶函数图象的对称性，函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】当
时
,由此可知
在
上单调递减，在
上单调递增，
,
且
,数
是定义在
上的奇函数，
，而
时，
,所以
的图象如图，令
,则
，由图可知，当
时方程
至多3个根，当
时方程
没有根，而对任意
，
至多有一个根
，从而函数
的零点个数至多有3个.
故答案为:A.
【分析】当
x
<
0
时,由函数解析式求导,得到单调性,再由奇函数得到大致图象,令
t
=
f
(
x
)
,则
f
(
t
)
=
m
，由图可知，当
t
∈
(
?
1
,
1
)
时方程
t
=
f
(
x
)
至多3个根,进一步分析得到函数
F
(
x
)
=
f
(
f
(
x
)
)
?
m
的零点个数至多有3个.
二、填空题
13.已知函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，当x＞0时f（x）的图象如图所示，那么f（x）的值域是________．
【答案】[﹣3，﹣1）∪（1，3]
【考点】奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：∵当0＜x≤3时，函数单调递增，由图象知1＜f（x）≤3，
当﹣3≤x＜0时，在0＜﹣x≤3，即此时函数也单调递增，
且1＜f（﹣x）≤3，
∵函数是奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
∴1＜﹣f（x）≤3，
即﹣3≤f（x）＜﹣1，
∴f（x）的值域是[﹣3，﹣1）∪（1，3]，
故答案为：[﹣3，﹣1）∪（1，3]．
【分析】根据函数奇偶性的性质，确定函数的值域即可．
14.已知函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2（x2+x+2）的图象关于直线x=2对称，则f（3）=________．
【答案】2
【考点】奇偶函数图象的对称性，函数的值
【解析】【解答】解：f（3）=g（1）=log2（12+1+2）=log24=2
故答案为2．
【分析】（3，0）关于直线x=2的对称点为（1，0），由简图知f（3）=g（1），所以求出g（1）即可．
15.若
是偶函数，则
________．
【答案】
【考点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】解：由偶函数可得
，??
，填
。
【分析】利用函数是偶函数的性质列式，通过对数的运算，即可求出a的值.
16.已知函数
是偶函数，则
a=________．
【答案】0
【考点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】解：∵函数
是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），则
=
，
即x2+2ax+3=x2﹣2ax+3，
∴2a=﹣2a，可得a=0，
故答案为：0．
【分析】根据偶函数的性质得：f（﹣x）=f（x），代入解析式列出方程，由对数的性质化简求出a的值．
17.已知f（x）是定义在R上且周期为6的奇函数，当x∈（0，3）时，f（x）=lg（2x2﹣x+m）．若函数f（x）在区间[﹣3，3]上有且仅有5个零点（互不相同），则实数m的取值范围是________?
【答案】
【考点】函数奇偶性的性质，函数零点的判定定理
【解析】【解答】解：由题意知，f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（0）=0，即0是函数f（x）的零点，
因为f（x）是定义在R上且以6为周期的周期函数，
所以f（﹣3）=f（3），且f（﹣3）=﹣f（3），则f（﹣3）=f（3）=0，
即±3也是函数f（x）的零点，
因为函数f（x）在区间[﹣3，3]上的零点个数为5，
且当x∈（0，3）时，f（x）=lg（2x2﹣x+m）．
所以当x∈（0，3）时，2x2﹣x+m＞0恒成立，且2x2﹣x+m=1在（0，3）有一解，
即
解得
．
故答案为：
．
【分析】由奇函数的性质和函数的周期性，可得0、±3是函数f（x）的零点，将函数f（x）在区间[﹣3，3]上的零点个数为5，转化为当x∈（0，3）时，2x2﹣x+m＞0恒成立，且2x2﹣x+m=1在（0，3）有一解，由此构造关于m的不等式组，解不等式组可得实数m的取值范围．
18.已知函数
是偶函数，直线y=t与函数y=f（x）的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D．若AB=BC，则实数t的值为________．
【答案】﹣
【考点】函数奇偶性的判断，函数的零点
【解析】【解答】解：因为f（x）是偶函数，所以x＞0时恒有f（﹣x）=f（x），即x2﹣bx+c=ax2﹣2x﹣1，
所以（a﹣1）x2+（b﹣2）x﹣c﹣1=0，
所以
，解得a=1，b=2，c=﹣1，
所以f（x）=
，
由t=x2+2x﹣1，即x2+2x﹣1﹣t=0，解得x=﹣1±
，
故xA=﹣1﹣
，xB=﹣1+
，
由t=x2﹣2x﹣1，即x2﹣2x﹣1﹣t=0，解得x=1±
，
故xC=1﹣
，
因为AB=BC，所以xB﹣xA=xC﹣xB
，
即2
=2﹣2
，解得t=﹣
，
故答案为：﹣
．
【分析】由f（x）是偶函数可得x＞0时恒有f（﹣x）=f（x），根据该恒等式即可求得a，b，c的值，从而得到f（x），令t=f（x），可解得A，B，C三点的横坐标，根据AB=BC可列关于t的方程，解出即可．
三、解答题
19.已知函数f（x）=
+a是奇函数
（1）求常数a的值
（2）判断f（x）的单调性并给出证明
（3）求函数f（x）的值域．
【答案】（1）解：函数f（x）=
+a是奇函数，可得f（x）+f（﹣x）=0
∴
+a+
+a=0，解得a=
，
（2）解：由（1）得f（x）=
+
在（﹣∞，0）与（0，+∞）上都是减函数，证明如下
任取x1＜x2则
f（x1）﹣f（x2）=
﹣
=
，
当x1
，
x2∈（0，+∞）时，2x1﹣1＞0，2x2﹣1＞0，2x2﹣2x1＞0，
所以
，＞0，有f（x1）﹣f（x2）＞0；
当x1
，
x2∈（﹣∞，0）时，2x1﹣1＜0，2x2﹣1＜0，2x2﹣2x1＞0，
所以
＞0，有f（x1）﹣f（x2）＞0，
?综上知，函数f（x）在（﹣∞，0）与（0，+∞）上都是减函数
（3）解：2x→0时，f（x）→﹣
，2x小于1趋向于1时，f（x）→﹣∞，
2x→+∞时，f（x）→
，2x大于1趋向于1时，f（x）→+∞，
∴函数f（x）的值域是（﹣∞，﹣
）∪（
，+∞）．
【考点】函数单调性的判断与证明，函数奇偶性的性质
【解析】【分析】（1）由奇函数的定义f（x）+f（﹣x）=0，可解得a=，（2）
由于f（x）的单调性的定义，进行设值作差可得出f（x）在定义域上单调递减，（3）根据f（x）的解析式，取其极限不难讨论出f（x）的值域.
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?浙江）函数y=
sin2x的图象可能是（
??）
A.????????????????????????????????????????????B.?
C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】函数奇偶性的性质，奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：令
，
因为
，所以
为奇函数，排除选项A,B;
因为
时，
，所以排除选项C，
故答案为：D.
【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．可根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可．
2.（2018?卷Ⅱ）已知
是定义域为
的奇函数，满足
。若
，则
（
?）
A.-50
B.0
C.2
D.50
【答案】C
【考点】函数奇偶性的判断，函数奇偶性的性质
【解析】∵f（1-x）=f（1+x）
∴y=f（x）图象关于x=1对称，又是奇函数
∴f（x）是一个周期函数，且T=4
又f（1）=2?
f（x）=
f（2-x）
∴f（2）=f（0）=0
f（3）=f（-1）=-f（1）=-2??
f（4）=f（0）=0
∴f（1）=2，f（2）=0，f（3）=-2，f（4）=0
∴原式f（1）+f（2）+…+
f（50）=f（1）+f（2）=2
故答案为：C
【分析】根据函数的对称性、奇偶性求出函数的周期数是4.
3.（2018?卷Ⅱ）已知
是定义为
的奇函数，满足
。若
，则
（??
）
A.-50
B.0
C.2
D.50
【答案】C
【考点】函数奇偶性的判断，函数奇偶性的性质
【解析】【解答】∵f（1-x）=f（1+x）
∴y=f（x）图象关于x=1对称，又是奇函数
∴f（x）是一个周期函数，且T=4
又f（1）=2?
f（x）=
f（2-x）
∴f（2）=f（0）=0
f（3）=f（-1）=-f（1）=-2??
f（4）=f（0）=0
∴f（1）=2，f（2）=0，f（3）=-2，f（4）=0
∴原式f（1）+f（2）+…+
f（50）=f（1）+f（2）=2
故答案为：C
【分析】根据函数的对称性、奇偶性求出函数的周期数是4.
4.（2018?卷Ⅲ）下列函数中，其图像与函数
的图像关于直线
对称的是（
??）
A.?????????????B.??????????????C.?????????????????????D.?
【答案】B
【考点】奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】f（x）=lnx与f（2-x）=ln（2-x）关于x=1对称，故答案为：B
【分析】根据函数对称性找到f（2-x）
5.（2018?卷Ⅲ）函数
的图像大致为(??
)
A.????????????????????B.?
C.???????????????????D.?
【答案】D
【考点】函数的单调性及单调区间，函数奇偶性的判断，导数的几何意义
【解析】【解答】
因为y是偶函数，则只需考虑
当
时，
则
时
故答案为：D
【分析】先由函数奇偶性判断出只需考虑
情形，再由导数可知，函数先增后减.
6.用列表法将函数
表示为
，则（??
）
A.?
为奇函数??????????????????????????????????????????????B.?
?为偶函数
?????????
C.?
为奇函数??????????????????????????????????????????????D.?
?为偶函数
???
【答案】A
【考点】函数的表示方法，函数奇偶性的判断
【解析】【解答】由f(1)=-1,f(2)=0,f(3)=1得函数图象关于点(2,0)对称,
f(x+2)是由f(x)向左平稳2个单位得到的,则f(x)的图象关于原点对称,故为奇函数.
故答案为:A.【分析】由列表法表示的函数图象关于点(2,0)对称,进行向左平移2个单位后关于原点对称,则成为奇函数.
7.（2017?天津）已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（
），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（ ）
A.?a＜b＜c?????????????????????????????B.?b＜a＜c?????????????????????????????C.?c＜b＜a?????????????????????????????D.?c＜a＜b
【答案】C
【考点】奇偶性与单调性的综合，指数函数的图像与性质，对数值大小的比较
【解析】【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，
∴a=﹣f（
）=f（log25），
b=f（log24.1），
c=f（20.8），
又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25，
∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25），
即c＜b＜a．
故选：C．
【分析】根据奇函数f（x）在R上是增函数，化简a、b、c，即可得出a，b，c的大小．
8.（2017?新课标Ⅲ）函数y=1+x+
的部分图象大致为（ ）
A.???????????????????????????????B.??????
C.???????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】解：函数y=1+x+
，可知：f（x）=x+
是奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点对称，
则函数y=1+x+
的图象关于（0，1）对称，
当x→0+
，
f（x）＞0，排除A、C，当x=π时，y=1+π，排除B．
故选：D．
【分析】通过函数的解析式，利用函数的奇偶性，结合函数的图象经过的特殊点判断函数的图象即可．
9.（2017·天津）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（ ）
A.?a＜b＜c?????????????????????????????B.?c＜b＜a?????????????????????????????C.?b＜a＜c?????????????????????????????D.?b＜c＜a
【答案】C
【考点】函数单调性的判断与证明，函数单调性的性质，函数奇偶性的判断，对数值大小的比较，对数函数的图像与性质
【解析】【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）=0，且f′（x）＞0，
∴g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）=xf（x）偶函数，
∴a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），
则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2，
由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），
∴b＜a＜c，
故选C．
【分析】由奇函数f（x）在R上是增函数，则g（x）=xf（x）偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2，即可求得b＜a＜c
10.（2017?北京卷）已知函数f（x）=3x﹣（
）x
，
则f（x）（ ）
A.?是偶函数，且在R上是增函数??????????????????????????????B.?是奇函数，且在R上是增函数
C.?是偶函数，且在R上是减函数??????????????????????????????D.?是奇函数，且在R上是减函数
【答案】B
【考点】函数单调性的性质，函数奇偶性的性质，奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：显然函数的定义域为R,
f（x）=3x﹣（
）x=3x﹣3﹣x
，
∴f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x），
即函数f（x）为奇函数，
又由函数y=3x为增函数，y=（
）x为减函数，
故函数f（x）=3x﹣（
）x为增函数，
故选：B．
【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=（
）x为减函数，结合“增”﹣“减”=“增”可得答案．
11.（2017?北京卷）已知函数f（x）=3x﹣（
）x
，
则f（x）（ ）
A.?是奇函数，且在R上是增函数??????????????????????????????B.?是偶函数，且在R上是增函数
C.?是奇函数，且在R上是减函数??????????????????????????????D.?是偶函数，且在R上是减函数
【答案】A
【考点】函数单调性的性质，函数奇偶性的性质，奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：显然，函数的定义域为全体实数，
f（x）=3x﹣（
）x=3x﹣3﹣x
，
∴f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x），
即函数f（x）为奇函数，
又由函数y=3x为增函数，y=（
）x为减函数，
故函数f（x）=3x﹣（
）x为增函数，
故选：A．
【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=（
）x为减函数，结合“增”﹣“减”=“增”可得答案．
12.（2017?新课标Ⅰ卷）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）
A.?[﹣2，2]??????????????????????????????B.?[﹣1，1]??????????????????????????????C.?[0，4]??????????????????????????????D.?[1，3]
【答案】D
【考点】函数的单调性及单调区间，函数奇偶性的性质，奇偶性与单调性的综合，抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．
若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，
又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，
∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），
∴﹣1≤x﹣2≤1，
解得：x∈[1，3]，
故选：D
【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．
13.（2017?新课标Ⅰ卷）函数y=
的部分图象大致为（ ）
A.????????????????????????????????B.?
C.????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】函数奇偶性的性质，函数的图象，函数的值
【解析】【解答】解：函数y=
=
，
可知函数是奇函数，排除选项B，
当x=
时，f（
）=
=
，排除A，
x=π时，f（π）=0，排除D．
故选：C．
【分析】化简函数的解析式，然后判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可．
二、填空题
14.（2018?卷Ⅲ）已知函数
，
，则
________。
【答案】-2
【考点】函数奇偶性的性质，对数的运算性质
【解析】【解答】解：函数g（x）=ln（
-x）
满足g（-x）=ln（）=ln=-ln（）=-g（x）
所以g（x）是奇函数
函数f（x）=ln（）+1，f（a）=4
可得：f（a）=4=+1,可得：ln（）=3
f（-a）=-ln（）+1=-3+1=-2
故答案为：-2【分析】利用ln（
-x）与ln（
+x）是相反的
15.（2017·山东）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）=f（x﹣2）．若当x∈[﹣3，0]时，f（x）=6﹣x
，
则f（919）=________．
【答案】6
【考点】函数奇偶性的性质，函数的周期性
【解析】【解答】解：由f（x+4）=f（x﹣2）．则f（x+6）=f（x），
∴f（x）为周期为6的周期函数，
f（919）=f（153×6+1）=f（1），
由f（x）是定义在R上的偶函数，则f（1）=f（﹣1），
当x∈[﹣3，0]时，f（x）=6﹣x
，
f（﹣1）=6﹣（﹣1）=6，
∴f（919）=6，
故答案为：6．
【分析】由题意可知：（x+6）=f（x），函数的周期性可知：f（x）周期为6，则f（919）=f（153×6+1）=f（1），由f（x）为偶函数，则f（1）=f（﹣1），即可求得答案．
16.（2017?江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣
，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是________．
【答案】[-1，
]
【考点】函数奇偶性的性质，利用导数研究函数的单调性，一元二次不等式的解法，基本不等式
【解析】【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣
的导数为：
f′（x）=3x2﹣2+ex+
≥﹣2+2
=0，
可得f（x）在R上递增；
又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣ex+x3﹣2x+ex﹣
=0，
可得f（x）为奇函数，
则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，
即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a），
即有2a2≤1﹣a，
解得﹣1≤a≤
，
故答案为：[﹣1，
]．
【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不等式即为2a2≤1﹣a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．
17.（2017?新课标Ⅱ）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2
，
则f（2）=________．
【答案】12
【考点】函数奇偶性的性质，抽象函数及其应用，函数的值
【解析】【解答】解：∵当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2
，
∴f（﹣2）=﹣12，
又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（2）=12，
故答案为：12
【分析】由已知中当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2
，
先求出f（﹣2），进而根据奇函数的性质，可得答案．
三、解答题
18.（2018?上海）设常数
，函数
（1）若
为偶函数，求
的值；
（2）若
，求方程
在区间
上的解。
【答案】（1）若
为偶函数，则
=
，有asin(-2x)+2cos2(-x)=asin2x+2cos2x，-asin2x=asin2x，
=0.
（2）
，故
，
则
+1=
，
=
，
，
又
有
，
，化简为
，
即
，
。
若求该方程在
上的解，则
，
即
对应的x的值分别为
。
【考点】偶函数，同角三角函数基本关系的运用，三角函数的化简求值
【解析】【分析】本题主要考查三角函数化简求值的问题；对于三角函数考查同角变换公式中的降次公式和辅助角公式。通过三角函数求特殊值的方法。对于本题还涉及到利用函数奇偶性求函数解析式的问题。
考情分析
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