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27.2.2相似三角形的性质
学习目标：
理解并掌握相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)之间的关系，相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题．提高分析和推理能力．
在对性质定理的探究中，经历“观察—猜想—论证—归纳”的过程，培养主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度，并在其中体会类比的数学思想，培养大胆猜想、勇于探索、勤于思考的数学品质．
经历探索相似三角形性质的过程，并在探究过程中发展学生积极的情感、态度与价值观，体验解决问题策略的多样性．
学习重点：
理解并掌握相似三角形周长的比、三线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方．
学习难点：
探索相似多边形周长的比、三线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方．
学习过程：
新知引入
1、相似三角形的判定方法有哪些？
2、相似三角形有哪些性质？
三角形有哪些相关的线段？
新知讲解
教师多媒体课件出示：
已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，AD，A′D′是对应高．求证：＝＝k.
探索1：这个题目中已知了哪些条件？
我们要证的是什么？
你怎样证明△ABD和△A′B′D′相似呢？
学生思考后回答：
学生写出证明过程．
活动1.已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，AD，A′D′是对应的中线．
求证：＝＝k.
证明：
活动2.已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，AD，A′D′分别是∠BAC和∠B′A′C′的平分线．
求证：＝＝k.
证明：
于是我们就得到了相似三角形的一个性质定理．
●归纳：相似三角形的性质1：
相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于___________
例题讲解
例：如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
解：
巩固练习：
已知△ABC∽△A?B?C?，AD、A ?D ?分别是对应边BC、B ?C ?上的高，若BC＝8cm,B ?C ?＝6cm,AD＝4cm,则A ?D ?等于（ ）
A 16cm B 12 cm C 3 cm D 6 cm
2、两个相似三角形对应高的比为3∶7，它们的对应角平分线的比为（ ）
A 7∶3 B 49∶9 C 9∶49 D 3∶7
探究2：如果两个三角形相似，它们的周长之间是什么关系？如果是两个相似多边形呢？
学生小组自由讨论、交流，达成共识．
理由：
由此我们可以得到：
●归纳：相似三角形的性质2：相似三角形周长的比等于____________．
用类似的方法，还可以得出：
相似多边形的性质1：相似多边形周长的比等于相似比．
探究3：
(1)如图(1)，△ABC∽△A1B1C1，相似比为k1，它们的对应高的比是多少？它们的面积比是多少？
通过前面的学习，我们得到了相似三角形的性质1：相似三角形对应高的比等于相似比．
理由：
●归纳：相似三角形的性质3：相似三角形面积的比等于_____________．
(2)如图(2)，四边形ABCD相似于四边形A1B1C1D1，相似比为k2，它们的面积比是多少？
分析：
●归纳：相似多边形的性质2：相似多边形面积的比等于相似比的平方．
巩固练习：
1、填空：
（1）如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为______，面积的比为________．
（2）如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为______．
（3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于______．
（4）两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm和18 cm，若较大三角形的周长是42 cm ，面积是12 cm 2，则较小三角形的周长为________cm，面积为_____cm 2．
判断题：
（1）如果把一个三角形各边同时扩大为原来的5倍，那么它的周长也扩大为原来的5倍。（ ）
（2）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它的三边也扩大为原来的9倍。（ ）
例题讲解
例： 如图，在⊿ABC和⊿DEF中，AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,⊿ABC的周长是24，面积是12，求⊿DEF的面积。
三、拓展提高
1、如图,在△ABC中,D是AB的中点， DE∥ BC，则:
(1)S △ADE : S △ABC =___________
(2)S △ADE: S 梯形DBCE =___________________
2、如图，△ABC,DE// FG// BC ，且△ADE的面积,梯形FBCG的面积,梯形DFGE的面积均相等，则△ADE与△ABC的相似比是_____________；△AFG与△ABC的相似比是_____________.
3、如图，◇ABCD中，E为AD的中点，若S◇ABCD=1，则图中阴影部分的面积为（ ) A、 B、 C、 D、
3题 5题
4、已知△ABC∽△A’B’C’，相似比为3:4，且两个三角形的面积之差为28cm2,则⊿ABC的面积为________________,⊿A’B’C’的面积为___________.
5、如图，梯形ABCD中,AD//BC,AC与BD交于点O，S⊿AOD=4，S⊿BOC=9，则=__________
S⊿AOB=_____________,S梯形ABCD=__________
6、如图，在正方形网格中有⊿A1B1C1和⊿A2B2C2这两个三角形相似吗？如果相似，求出⊿A1B1C1和⊿A2B2C2的面积之比。如果不相似，请说明理由。
四、课堂小结
今天你又学习了什么内容？你有什么收获！
五、布置作业
教材39页练习1、2、3题
当堂测评
1﹒若两个相似多边形的面积之比为1：3，则它们的周长之比为（ ）
A.1:3 B.3:1 C. HYPERLINK "http://www.zzstep.com" \o "中国教育出版网\" :3 D. HYPERLINK "http://www.zzstep.com" \o "中国教育出版网\" :1
2﹒在△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么△ABC的面积是（ ）
A.8 B.12 C.16 D.20
3﹒如果一个三角形保持形状不变，但面积扩大为原来的4倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的（ ）
A.2倍 B.4倍 C.8倍 D.16倍
4.如图， C为线段AB上的一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，若AC＝3，BC＝2，则△MCD与△BND的面积比为 .
5.两个相似三角形的相似比为2：3，它们周长的差是25，则较大三角形的周长是_____.
6.如图，已知：AM∶MD=4∶1，BD∶DC=2∶3，则AE∶EC=______.
3题 5题
7.已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，E是BO的中点，连接AE并延长交BC于点F，求△BEF与△DEA的周长之比.
8.已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O.若＝，S△BOC＝m.试求△AOD的面积.
9.如图，在△ABC中，点P是BC边上任意一点（点P与点B，C不重合），平行四边形AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上．已知BC＝2，S△ABC＝1．设BP＝x，平行四边形AFPE的面积为y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x取何值时，y有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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27.2.2相似三角形的性质
教学目标：
理解并掌握相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)之间的关系，相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题．提高分析和推理能力．
在对性质定理的探究中，学生经历“观察—猜想—论证—归纳”的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度，并在其中体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的数学品质．
经历探索相似三角形性质的过程，并在探究过程中发展学生积极的情感、态度与价值观，体验解决问题策略的多样性．
教学重点：
理解并掌握相似三角形周长的比、三线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方．
教学难点：
探索相似多边形周长的比、三线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方．
教学过程：
新知引入
1、相似三角形的判定方法有哪些？
2、相似三角形有哪些性质？
相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
3、三角形有哪些相关的线段？中线、高和角平分线．
这些线段在相似三角形中具有怎样的特点？今天我们一起探索这些奥秘！
新知讲解
教师多媒体课件出示：
已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，AD，A′D′是对应高．求证：＝＝k.
探索1：这个题目中已知了哪些条件？
△ABC和△A′B′C′相似，这两个三角形的相似比是k，AD，A′D′分别是它们的高．
我们要证的是什么？
它们的高的比等于它们对应边的比，等于这两个三角形的相似比．
你是怎样证明的呢？
证明△ABD和△A′B′D′相似，然后由相似三角形的对应边成比例得到＝.
你怎样证明△ABD和△A′B′D′相似呢？
学生思考后回答：因为△ABC和△A′B′C′相似，由相似三角形的对应角相等，所以∠B＝∠B′，∠ADB＝∠A′D′B′＝90°.根据两角对应相等的两个三角形相似得到△ABD和△A′B′D′相似．
学生写出证明过程．
活动1.已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，AD，A′D′是对应的中线．
求证：＝＝k.
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B′，＝＝k.
又∵AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，
∴BD＝BC，B′D′＝B′C′，＝＝＝k，
∴△ABD∽△A′B′D′(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)，
∴＝＝k.
活动2.已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，AD，A′D′分别是∠BAC和∠B′A′C′的平分线．
求证：＝＝k.
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′.
又∵AD和A′D′分别是∠BAC和∠B′A′C′的平分线，
∴∠BAD＝∠BAC，
∠B′A′D′＝∠B′A′C′，
∠BAD＝∠B′A′D′，
∴△BAD∽△B′A′D′(两角对应相等的两个三角形相似)，
∴＝＝k.
于是我们就得到了相似三角形的一个性质定理．
●归纳：相似三角形的性质1：
相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比
例题讲解
例：如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的高AD与PN相交于点E。
设正方形PQMN的边长为x毫米。
∵PN∥BC ∴△APN∽ △ABC
∴ ∴
解得：x=48
巩固练习：
1、已知△ABC∽△A?B?C?，AD、A ?D ?分别是对应边BC、B ?C ?上的高，若BC＝8cm,B ?C ?＝6cm,AD＝4cm,则A ?D ?等于（ ）C
A 16cm B 12 cm C 3 cm D 6 cm
2、两个相似三角形对应高的比为3∶7，它们的对应角平分线的比为（ ）D
A 7∶3 B 49∶9 C 9∶49 D 3∶7
探究2：如果两个三角形相似，它们的周长之间是什么关系？如果是两个相似多边形呢？
学生小组自由讨论、交流，达成共识．
设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，
那么＝＝＝k
?AB＝kA1B1，BC＝kB1C1，CA＝kC1A1
?
＝＝k.
由此我们可以得到：
●归纳：相似三角形的性质2：相似三角形周长的比等于相似比．
用类似的方法，还可以得出：
相似多边形的性质1：相似多边形周长的比等于相似比．
探究3：
(1)如图(1)，△ABC∽△A1B1C1，相似比为k1，它们的对应高的比是多少？它们的面积比是多少？
通过前面的学习，我们得到了相似三角形的性质1：相似三角形对应高的比等于相似比．
∴＝＝k1.
由上述结论，我们有：
＝＝＝k12.
●归纳：相似三角形的性质3：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
(2)如图(2)，四边形ABCD相似于四边形A1B1C1D1，相似比为k2，它们的面积比是多少？
分析：∵＝＝k22，
∴＝＝k22.
●归纳：相似多边形的性质2：相似多边形面积的比等于相似比的平方．
巩固练习：
1、填空：
（1）如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为______，面积的比为________．
（2）如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为______．
（3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于______．
（4）两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm和18 cm，若较大三角形的周长是42 cm ，面积是12 cm 2，则较小三角形的周长为________cm，面积为_____cm 2．
（1）3:5 3:5 9:25 （2） （3）1:2 1:4 （4）14
判断题：
（1）如果把一个三角形各边同时扩大为原来的5倍，那么它的周长也扩大为原来的5倍。（ √）
（2）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它的三边也扩大为原来的9倍。（ ×）
例题讲解
例： 如图，在⊿ABC和⊿DEF中，AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,⊿ABC的周长是24，面积是12，求⊿DEF的面积。
解：△ABC和△DEF中，
∵AB＝2DE，AC＝2DF，
∴＝＝.
又∵∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEF，相似比为.
∴△DEF的周长＝×24＝12，
面积＝()2×12＝3.
三、拓展提高
1、如图,在△ABC中,D是AB的中点， DE∥ BC，则:
(1)S △ADE : S △ABC =___________ 1:4
(2)S △ADE: S 梯形DBCE =___________________ 1:3
2、如图，△ABC,DE// FG// BC ，且△ADE的面积,梯形FBCG的面积,梯形DFGE的面积均相等，则△ADE与△ABC的相似比是_____________；△AFG与△ABC的相似比是_____________.
1：
3、如图，◇ABCD中，E为AD的中点，若S◇ABCD=1，则图中阴影部分的面积为（ ) A、 B、 C、 D、 答案：B
3题 5题
4、已知△ABC∽△A’B’C’，相似比为3:4，且两个三角形的面积之差为28cm2,则⊿ABC的面积为________________,⊿A’B’C’的面积为___________. 36, 64
5、如图，梯形ABCD中,AD//BC,AC与BD交于点O，S⊿AOD=4，S⊿BOC=9，则=__________
S⊿AOB=_____________,S梯形ABCD=__________ (答案：， 6， 25)
6、如图，在正方形网格中有⊿A1B1C1和⊿A2B2C2这两个三角形相似吗？如果相似，求出⊿A1B1C1和⊿A2B2C2的面积之比。如果不相似，请说明理由。（相似，相似比为4:1）
四、课堂小结
今天你又学习了什么内容？你有什么收获！
五、布置作业
教材39页练习1、2、3题
当堂测评
1﹒若两个相似多边形的面积之比为1：3，则它们的周长之比为（ ）
A.1:3 B.3:1 C. HYPERLINK "http://www.zzstep.com" \o "中国教育出版网\" :3 D. HYPERLINK "http://www.zzstep.com" \o "中国教育出版网\" :1
2﹒在△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么△ABC的面积是（ ）
A.8 B.12 C.16 D.20
3﹒如果一个三角形保持形状不变，但面积扩大为原来的4倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的（ ）
A.2倍 B.4倍 C.8倍 D.16倍
4.如图， C为线段AB上的一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，若AC＝3，BC＝2，则△MCD与△BND的面积比为 .
5.两个相似三角形的相似比为2：3，它们周长的差是25，则较大三角形的周长是_____.
6.如图，已知：AM∶MD=4∶1，BD∶DC=2∶3，则AE∶EC=______.
3题 5题
7.已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，E是BO的中点，连接AE并延长交BC于点F，求△BEF与△DEA的周长之比.
8.已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O.若＝，S△BOC＝m.试求△AOD的面积.
9.如图，在△ABC中，点P是BC边上任意一点（点P与点B，C不重合），平行四边形AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上．已知BC＝2，S△ABC＝1．设BP＝x，平行四边形AFPE的面积为y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x取何值时，y有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由．
当堂测评答案
1.C 2. C 3.A 4.9：4 5. 75 6. 8：5
7.解答：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO＝BD，
∵E是BO的中点，
∴BE＝EO＝BO＝BD，
∴ED＝EO+DO＝BD+BD＝BD，
∴BE：ED＝BD：BD＝1：3，
∵BF∥AD，
∴△BEF∽△DEA，
∴△BEF的周长：△DEA的周长＝BE：ED＝1：3.
8.解答：过点D作DE⊥AC于E，
则＝＝，
∴＝，
又∵AO+OC＝AC，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴＝()2＝，即＝，
∴S△AOD＝.
9.解答：（1）∵四边形AFPE是平行四边形，
∴PF∥CA，∴△BFP∽△BAC，
∴＝()2，
∵S△ABC＝1，∴S△BFP＝，
同理：S△PEC＝()2＝，
∴y＝1－－，
∴y＝－x2+x；
（2）上述函数有最大值，最大值为 ；理由如下：
∵y＝－x2+x ＝－(x﹣1)2+，又－＜0，
∴y有最大值，
∴当x＝1时，y有最大值，最大值为．
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