九年级上《第26章解直角三角形》单元试卷(含答案)

【期末专题复习】冀教版九年级数学上册第26章解直角三角形_单元检测试卷
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）
?1. 在????△??????中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角??的正弦值和正切值（ ）
A.都缩小
1
2
B.都扩大2倍
C.都没有变化
D.不能确定
?2. sin
30
°
的值是（ ）
A.
1
2
B.
2
2
C.
3
2
D.1
?3. 已知??、??都是锐角，且sin??A.??>??
B.tan??>tan??
C.cos??>cos??
D.??=??
?4. 如果??是锐角，则下列成立的是（ ）
A.sin??+cos??=1
B.sin??+cos??>1
C.sin??+cos??<1
D.sin??+cos??≤1
?5. 如图，△??????中，????=5，cos??=
2
2
，sin??=
3
5
，则△??????的面积为（ ）
/
A.
21
2
B.12
C.14
D.21
?6. 如图，??是∠??的边????上一点，且点??的坐标为(3,?4)，则cos??=( )
/
A.
3
5
B.
4
5
C.
3
4
D.
4
3
?7. 小明(??)和小丽(??)两人一前一后放风筝，结果风筝在空中??处纠缠在一起（如示意图）．若∠??????=
45
°
，小丽、小明之间的距离与小丽已用的放风筝线的长度相等，则∠??的正切值是（ ）
/
A.2+
3
B.2?
3
C.
2
+1
D.
2
?1
?8. 温州市处于东南沿海，夏季经常遭受台风袭击．一次，温州气象局测得台风中心在温州市??的正西方向300千米的??处（如图），以每小时10
7
千米的速度向东偏南
30
°
的????方向移动，并检测到台风中心在移动过程中，温州市??将受到影响，且距台风中心200千米的范围是受台风严重影响的区域．则影响温州市??的时间会持续多长？（ ）
/
A.5
B.6
C.8
D.10
?
9. 一人乘雪橇沿坡比1:
3
的斜坡笔直滑下，滑下的距离??(??)与时间??(??)间的关系为??=10??+2
??
2
，若滑到坡底的时间为4??，则此人下降的高度为（ ）
/
A.72??
B.36
3
??
C.36??
D.18
3
??
?10. 如图，为了测得电视塔的高度????，在??处用高为1米的测角仪????，测得电视塔顶端??的仰角为
30
°
，再向电视塔方向前进120米达到??处，又测得电视塔顶端??的仰角为
60
°
，则这个电视塔的高度????（单位：米）为（ ）
/
A.60
3
B.61
C.60
3
+1
D.121
二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）
?11. 求值：
sin
2
60
°
+
cos
2
60
°
=________．
?12. 如图，一艘轮船由西向东航行，在??处测得北偏东
68.7
°
反向有小岛??，继续前进60海里到达??处，此时测得小岛??在船的北偏东
26.5
°
方向，则船继续向东航行________海里，离小岛最近（精确到0.1海里，参考数据tan
21.3
°
≈0.39，tan
63.5
°
≈2.01）．
/
?13. 在△??????中，∠??=
90
°
，cos??=
2
3
，则??﹕??﹕??为________．
?14. 在????△??????中，∠??=
90
°
，????=3，????=4，那么cos??的值是________．
?15. 已知在????△??????中，∠??=
90
°
，sin??=
3
5
，则tan??的值为________． ?
16. 如示意图，若斜坡????的坡度??=1:3，∠??????=
90
°
，????=23米，则????的长为________米．
/?
17. 如图，某建筑物????上有一旗杆????，从与????相距38??的??处观测旗杆顶部??的仰角为
50
°
，观测旗杆底部??的仰角为
45
°
，则旗杆的高度约为________??．（结果精确到0.1??，参考数据：sin
50
°
≈0.77，cos
50
°
≈0.64，tan
50
°
≈1.19）
/
?
18. 如图，小亮在太阳光线与地面成
30
°
角时，测得树????在地面上的影长????=18??，则树高????约为________??（结果保留根号）
/
?19. 如图所示，某河堤的横断面是梯形????????，?????//?????，迎水坡????长10??，且tan∠??????=
4
3
，则河堤的高????为________．
/
?20. 如图，一艘轮船以20海里/小时速度从南向北航行，当航行至??处时，测得小岛??在轮船的北偏东45度的方向处，航行一段时间后到达??处，此时测得小岛??在轮船的南偏东60度的方向处．若????=40海里，则轮船航行的时间为________．
/
三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，共计60分 ， ）
?21. （4分） 计算：
3
tan
30
°
?
4cos
30
°
2sin
60
°
tan
45
°
．
?
22. （8分） 已知：如图，在△??????中，????⊥????，sin??=
4
5
，????=13，????=12，求????的长和tan??的值．
/
?
23.(8分) 某厂房屋顶呈人字架形（等腰三角形），如图所示，已知????=????=8??，∠??=
30
°
，????⊥????于点??．
/
（1）求∠??????的大小；
（2）求????的长度．
?
24. （8分） 如图，有一电线杆????直立于地面，它的影子正好射在地面????段和与地面成
45
°
角的土坡????上，已知∠??????=
60
°
，????=8米，????=2
2
米，求电线杆????的高．（结果保留3个有效数字，
3
≈1.732）
/
?
25. （8分） 轮船沿着正北方向航行，在??处看到某目标岛屿??在北偏西
30
°
方向，继续向南航行40海里到??处测得这个岛屿方向变成了北偏西
45
°
，若轮船保持航行的方向，则它与目标岛屿最近距离是多少？（结果精确到1海里，参考数据：
2
=1.414,
3
=1.732）
/
?
26. （8分） 已知：如图，在山脚的??处测得山顶??的仰角为
53
°
，沿着坡度为
30
°
的斜坡前进400米到??处（即∠??????=
30
°
，????=400米），测得??的仰角为
63
°
，求此山的高度????．（答案保留根号）（参考数据：sin
53
°
≈
4
5
，cos
53
°
≈
3
5
，tan
53
°
≈
4
3
，sin
63
°
≈
12
13
，cos
63
°
≈
5
13
，tan
63
°
≈
12
5
）
/
?
27. （8分） 酷爱写诗的陈老师，某日到南山采风，结束后步行下山回家，发现下山路????为一条坡度为??=5:12的斜坡，在斜坡下端??处有一座塔，陈老师在??处测得塔顶??的俯角为
14
°
，沿斜坡前行65米到达??处，请根据以上条件求塔的高度????．（参考数据：tan
14
°
≈0.25，sin
14
°
≈0.24，cos
14
°
≈0.97）
/
?
28.(8分) 中国派遣三艘海监船在南海保护中国渔民不受菲律宾的侵犯．在雷达显示图上，标明了三艘海监船的坐标为??(0,?0)、??(80,?0)、??(80,?60)，（单位：海里）三艘海监船安装有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为??的圆形区域（只考虑在海平面上的探测）．
/

（1）若在三艘海监船组成的△??????区域内没有探测盲点，则雷达的有效探测半径??至少为________海里；
（2）某时刻海面上出现一艘菲律宾海警船??，在海监船??测得点??位于南偏东
60
°
方向上，同时在海监船??测得??位于北偏东
45
°
方向上，海警船??正以每小时20海里的速度向正西方向移动，我海监船??立刻向北偏东
15
°
方向运动进行拦截，问我海监船??至少以多少速度才能在此方向上拦截到菲律宾海警船??？

参考答案与试题解析
【期末专题复习】冀教版九年级数学上册_第26章_解直角三角形_单元检测试卷
一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）
1.
【答案】
C
【考点】
锐角三角函数的定义
【解析】
根据锐角三角函数的概念：锐角??的各个三角函数值等于直角三角形的边的比值可直接得到答案．
2.
【答案】
A
【考点】
特殊角的三角函数值
【解析】
直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
3.
【答案】
C
【考点】
锐角三角函数的增减性
【解析】
先根据锐角三角函数的增减性由sin??4.
【答案】
B
【考点】
同角三角函数的关系
【解析】
根据正弦函数是对边比斜边，余弦函数是邻边比斜边，三角形的两边之和大于第三边，可得答案．
5.
【答案】
A
【考点】
解直角三角形
【解析】
根据锐角三角形函数可以求得????、????和????的长，从而可以求得△??????的面积．
6.
【答案】
A
【考点】
锐角三角函数的定义
【解析】
过点??作????⊥??轴于点??，那么在直角△??????中，????=3，????=4，由勾股定理可得????=5，再由余弦函数的定义得出cos??的值．
7.
【答案】
D
【考点】
解直角三角形的应用
【解析】
首先过点??作????⊥????于点??，得出????=????，????=????，sin
45
°
=
????
????
，进而将各边长用????表示得出即可．
8.
【答案】
D
【考点】
解直角三角形的应用-方向角问题
【解析】
首先过??作作????⊥????于??，求得????的长；设台风中心距??点200????处，刚好处在????上的??，??两点则，在直角三角形中，求得????，????的长，已知速度，则可以求得受影响的时间．
9.
【答案】
C
【考点】
解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【解析】
首先设出下降的高度，表示出水平宽度，利用勾股定理即可求解．
10.
【答案】
C
【考点】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【解析】
根据题意求出????的长，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质求出????的长，根据正弦的定义计算即可．
二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）
11.
【答案】
1
【考点】
特殊角的三角函数值
【解析】
将特殊角的三角函数值代入求解即可．
12.
【答案】
15
【考点】
解直角三角形的应用-方向角问题
【解析】
过??作????的垂线，交直线????于点??，分别在????△??????与????△??????中用式子表示????，从而求得????的值，即离小岛??最近的距离．
13.
【答案】
2:
5
:3
【考点】
解直角三角形
【解析】
先利用余弦的定义得到cos??=
????
????
=
2
3
，则可设????=2??，????=3??，再利用勾股定理计算出????，然后计算三角形三边的比．
14.
【答案】
4
5
【考点】
锐角三角函数的定义
【解析】
在直角△??????中利用勾股定理求得????的长，然后利用三角函数的定义求解．
15.
【答案】
4
3
【考点】
互余两角三角函数的关系
【解析】
根据所给的角的正弦值可得两条边的比，进而可得第三边长，tan??的值=∠??的对边与邻边之比．
16.
【答案】
69
【考点】
解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【解析】
根据坡度??=1:3，可得出tan??=
????
????
=
1
3
，继而代入数据可求出????的长．
17.
【答案】
7.2
【考点】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【解析】
根据题意分别在两个直角三角形中求得????和????的长后求差即可得到旗杆的高度．
18.
【答案】
6
3
【考点】
解直角三角形的应用
【解析】
利用所给
30
°
角的正切函数求解即可．
19.
【答案】
8
【考点】
解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【解析】
根据tan∠??????=
4
3
得出????，????的关系，根据勾股定理表示出????，再根据????=10，从而得出????的长．
20.
【答案】
(1+
3
)小时
【考点】
解直角三角形的应用-方向角问题
【解析】
作????⊥????于点??，根据题意得：∠??=
45
°
，∠??=
60
°
，然后分别在????△??????中和????△??????中，求得????和????，从而求得线段????的长，利用路程除以速度求得航行的时间．
三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，共计60分 ）
21.
【答案】
解：原式=
3
×
3
3
?
4×
3
2
2×
3
2
×1
=1?2=?1．
【考点】
特殊角的三角函数值
【解析】
把特殊角的三角函数值代入后进行二次根式的运算即可．
22.
【答案】
解：∵????⊥????，∴∠??????=
90
°
…∵sin??=
????
????
=
4
5
∴????=15．…∴????=9．…∴????=4．…∴tan??=
????
????
=3…
【考点】
解直角三角形
锐角三角函数的定义
【解析】
由sin??=
4
5
，????=12，根据三角函数可得????=15，根据勾股定理可得????=9，则????=4，再根据正切的定义求出tan??的值．
23.
【答案】
解：（1）∵????=????，∠??=
30
°
，∴∠??=∠??=
30
°
．????????????????????
/
∵∠??+∠??+∠??????=
180
°
，∴∠??????=
180
°
?∠???∠??=
180
°
?
30
°
?
30
°
=
120
°
．???????????????????????????
（2）∵????=????，????⊥????，∴????=2????．?????????????????????????在????△??????中，∠??=
30
°
，????=8，∴????=?????cos????????????????????????=8?cos
30
°
=8×
3
2
=4
3
．∴????=2????=8
3
(??)．?????????????
【考点】
解直角三角形的应用
【解析】
（1）根据等腰三角形的性质，可求得∠??的度数，再根据三角形内角和定理求解；
（2）根据等腰三角形的性质，????=2????．在直角△??????中，根据三角函数求得????的长．从而求解．
24.
【答案】
解：延长????交????的延长线于点??，则∠??=
30
°
，
/
∵∠??????=
45
°
，????⊥????，????=2?
2
米，∴????=????=2，在直角三角形??????中，????=
????
tan
30
°
=2?
3
米，∴????=????+????+????=(10+2?
3
)米，在直角三角形??????中，????=????×tan
30
°
=
10
3
3
+2≈7.77米．
【考点】
解直角三角形的应用
【解析】
构造∠??为直角，∠??为一内角的直角三角形，由????长易得????，????长，在直角三角形??????中利用
30
°
在正切值可求得????的长，那么可求得线段????的长，在直角三角形??????中利用
30
°
的正切值可求得电线杆????的高．
25.
【答案】
它与目标岛屿最近距离约为55海里．
【考点】
解直角三角形的应用-方向角问题
【解析】
过点??作????⊥????延长线于??．则直角△??????和直角△??????有公共边????，在两个直角三角形中，利用三角函数即可用????表示出????与????，根据????=?????????即可列方程，从而求得????的长，即为所求．
26.
【答案】
此山的高度????为(600
3
?250)米．
【考点】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【解析】
首先根据题意分析图形；作????⊥????于??，作????⊥????于??，构造两个直角三角形，分别求解可得????与????的值，再利用图形关系，进而可求出答案．
27.
【答案】
解：如图，过点??作????⊥????于点??．∵????=65米，tan∠??????=
????
????
=
5
12
，∴????:????:????=5:12:13，∴????=25米，????=60米，∴????=????=60米，∴????=?????tan
14
°
=60×0.25=15（米）．∴????=????=25?15=10（米）．
/
【考点】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【解析】
如图，过点??作????⊥????于点??．通过坡度的定义求得????:????:????=5:12:13，则易得????=25米，????=60米，所以利用矩形的性质和解直角△??????求得????的长度即可．
28.
【答案】
50．
（2）过点??作????⊥????于点??，设????=??，由题意得：????=????=??，则tan
60
°
=
????
????
，∴????=
??
3
，∴??+
??
3
=60，解得：??=90?30
3
，设船和舰在点??处相遇，海监船的速度为??海里/小时，过点??作????⊥????于点??，设????=??，由题意得：????=
2
??，????=2??，∴
2
??
20
=
2??
??
，解得：??=20
2
，答：我海监船??至少以20
2
海里/小时速度才能在此方向上拦截到菲律宾海警船??．
【考点】
解直角三角形的应用-方向角问题
【解析】
（1）利用点的坐标性质得出????的长，进而利用直角三角形外心的性质得出答案；
（2）利用方向角画出图形，进而利用锐角三角角函数关系得出即可．