2019备战高考数学全国真题精练（2016-2018）第2章 第5节 指数与指数函数

2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第2章 第5节 指数与指数函数（学生版）
备战基础·零风险
1．了解指数函数模型的实际背景．
2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图象．
4．体会指数函数是一类重要的函数模型.
根式的概念
根式的概念
符号表示
备注
如果xn＝ ，那么x叫做a的n次方根
n＞1且n∈N*
当n为奇数时，正数的n次方根是一个 ，负数的n次方根是一个 。
零的n次方根是零
当n为偶数时，正数的n次方根有 ，它们互为 。
负数没有偶次方根
两个重要公式
①＝n为偶数．
②()n＝ .
有理数指数幂
幂的有关概念
①零指数幂：a0＝ (a≠0)．
②负整数指数幂：a－p＝ (a≠0，p∈N*)；
③正分数指数幂：＝ (a＞0，m，n∈ N*，且n＞1)；
④负分数指数幂：＝ ＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂 ．
有理数指数幂的性质
①aras＝ (a＞0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ (a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝ (a＞0，b＞0，r∈Q)．
指数函数的图象与性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
值域
性质
过定点 。
当x＞0时， ；x＜0时，
.
当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时， .
在(－∞，＋∞)上是 .
在(－∞，＋∞)上是 .
备战方法·巧解题
规律
方法
1．“”与“n”的区别　当n为奇数时，或当n为偶数且a≥0时，＝a，当n为偶数，且a＜0时，＝－a，而()n＝a恒成立．
2．两点注意　一是指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论；
二是指数函数在同一直角坐标系中的图象与底数的大小关系，在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大.
3.进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．需注意下列问题：
(1)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示；(2)应用平方差、完全平方公式及apa－p＝1(a≠0)简化运算．
4. (1)对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解．
(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解．
5. (1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小．
(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，与前面所讲一般函数的求解方法一致，只需根据条件灵活选择即可.
6．判断指数函数图象的底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．
7．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．
8．画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
9．熟记指数函数y＝10x，y＝2x，y＝x，y＝x在同一坐标系中图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系．
备战练习·固基石
一、单选题
1.化简的结果为??????????????（???）
A.?a16????????????????????????????????????????B.?a8????????????????????????????????????????C.?a4????????????????????????????????????????D.?a2
2. 的分数指数幂表示为（?? ）
A.???????????????????????????????????????B.?a3??????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?都不对
3.当a＞0且a≠1时，函数y=ax﹣1+3的图像一定经过点（? ）
A.?（4，1）??????????????????????????B.?（1，4）??????????????????????????C.?（1，3）??????????????????????????D.?（﹣1，3）
4.
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?05.下列等式一定正确的是（?? ）
A.?2m?2n=2m+n????????????????B.?2m+2n=2m+n????????????????C.?lg（xy）=lgx+lgy????????????????D.?lnx2=2lnx
6.已知a＞0，b＞0，且ab=1，则函数f（x）=ax与函数g（x）=﹣logbx的图象可能是（?? ）
A.???????????B.??????????C.????????????D.?
7.函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）的图象恒过点（?? ）
A.?（0，0）???????????????????????????B.?（0，1）???????????????????????????C.?（1，0）???????????????????????????D.?（a，0）
8.某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y=10ekt ， 其中k为常数，t表示时间（单位：小时），y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为? （　　）
A.?640????????????????????????????????????B.?1280????????????????????????????????????C.?2560????????????????????????????????????D.?5120
9.设f（x）=2a2x﹣1，g（x）=x2+ax﹣1，若f（1）=g（1）且a≠1，则2a÷a2=（?? ）
A.?±2 ???????????????????????????????????B.?± ???????????????????????????????????C.?2 ???????????????????????????????????D.?
10.a=40.6 ， b=80.34 ， c=（ ）﹣0.9 ， 则a，b，c的大小关系为（?? ）
A.?a＞b＞c?????????????????????????????B.?b＞a＞c?????????????????????????????C.?c＞a＞b?????????????????????????????D.?c＞b＞a
11.函数 ， 关于x方程有三个不同实数解，则实数的取值范围为（????）
A.???????B.??????C.???????D.?
二、填空题
12.________
13.不论 为何值，函数 的图象一定经过点P，则点P的坐标为________.
14.已知x1﹣x﹣1=3，则x2+x﹣2等于________．（用数字作答）
15.已知函数f（x）=a2x﹣6+n（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P（m，2），则m﹣n=________．
16.定义区间 的长度为 ，已知函数 ?的定义域为[a，b]，值域为[1,9]，则区间[a，b]的长度的最大值为________，最小值为________．
17. 是不超过 的最大整数，则方程 满足 的所有实数解是________．
三、解答题
18.用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）；
（1） ；
（2） ；
（3） （m＞n）；
（4） ；
（5） ．
19.计算： ．
备战真题·勇闯天涯
1.（2017?新课标Ⅰ卷）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（　　）
A.?A∩B={x|x＜0}???????????????????????B.?A∪B=R???????????????????????C.?A∪B={x|x＞1}???????????????????????D.?A∩B=?
2.（2017?北京卷）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361 ， 而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080 ， 则下列各数中与 最接近的是（　　）（参考数据：lg3≈0.48）
A.?1033????????????????????????????????????B.?1053????????????????????????????????????C.?1073????????????????????????????????????D.?1093
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第2章 第5节 指数与指数函数（教师版）
备战基础·零风险
1．了解指数函数模型的实际背景．
2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图象．
4．体会指数函数是一类重要的函数模型.
根式的概念
根式的概念
符号表示
备注
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根
n＞1且n∈N*
当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数

零的n次方根是零
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数
±
负数没有偶次方根
两个重要公式
①＝n为偶数．
②()n＝a.
有理数指数幂
幂的有关概念
①零指数幂：a0＝1(a≠0)．
②负整数指数幂：a－p＝(a≠0，p∈N*)；
③正分数指数幂：＝(a＞0，m，n∈ N*，且n＞1)；
④负分数指数幂：＝ ＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．
有理数指数幂的性质
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
指数函数的图象与性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)
当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
备战方法·巧解题
规律
方法
1．“”与“n”的区别　当n为奇数时，或当n为偶数且a≥0时，＝a，当n为偶数，且a＜0时，＝－a，而()n＝a恒成立．
2．两点注意　一是指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论；
二是指数函数在同一直角坐标系中的图象与底数的大小关系，在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大.
3.进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．需注意下列问题：
(1)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示；(2)应用平方差、完全平方公式及apa－p＝1(a≠0)简化运算．
4. (1)对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解．
(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解．
5. (1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小．
(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，与前面所讲一般函数的求解方法一致，只需根据条件灵活选择即可.
6．判断指数函数图象的底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．
7．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．
8．画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
9．熟记指数函数y＝10x，y＝2x，y＝x，y＝x在同一坐标系中图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系．
备战练习·固基石
一、单选题
1.化简的结果为??????????????（???）
A.?a16????????????????????????????????????????B.?a8????????????????????????????????????????C.?a4????????????????????????????????????????D.?a2
【答案】C
【考点】方根与根式及根式的化简运算，根式与分数指数幂的互化及其化简运算
【解析】【解答】== ·= a4 ， 故选C。【分析】易错题，须细心计算。
2. 的分数指数幂表示为（?? ）
A.???????????????????????????????????????B.?a3??????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?都不对
【答案】C
【考点】分数指数幂
【解析】【解答】解： = = = = ． 故选C．【分析】从内到外依次将根号写成分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算性质化简．
3.当a＞0且a≠1时，函数y=ax﹣1+3的图像一定经过点（? ）
A.?（4，1）??????????????????????????B.?（1，4）??????????????????????????C.?（1，3）??????????????????????????D.?（﹣1，3）
【答案】B
【考点】指数函数的图像与性质
【解析】【解答】解：∵y=ax﹣1+3（a＞0且a≠1）， ∴当x﹣1=0，即x=1时，y=4，∴函数y=ax﹣1+3（a＞0且a≠1）的图像过定点（1，4）．故选B．【分析】利用指数型函数的性质，令x﹣1=0即可求得点的坐标．
4.
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?0【答案】B
【考点】指数函数的图像变换
【解析】【解答】图像向下移并且超过一个单位才能记过一三四象限，故a>1，m-1<-1所以选C【分析】指数函数图像经过一二象限，要经过第一三四象限必须下移超过1各单位，并且指数函数是增函数才可能不经过第二象限。
5.下列等式一定正确的是（?? ）
A.?2m?2n=2m+n????????????????B.?2m+2n=2m+n????????????????C.?lg（xy）=lgx+lgy????????????????D.?lnx2=2lnx
【答案】A
【考点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：由指数的运算性质可得：2m?2n=2m+n ， 故A正确，B错误；lg（xy）=lgx+lgy，在x，y同为负时不成立，故C错误；lnx2=2lnx，在x为负时不成立，故D错误；故答案为：A．【分析】根据指数式和对数式的运算性质记得出结果。
6.已知a＞0，b＞0，且ab=1，则函数f（x）=ax与函数g（x）=﹣logbx的图象可能是（?? ）
A.??????????B.??????????C.????????????D.?
【答案】B
【考点】指数函数的图像与性质
【解析】【解答】解：∵ab=1g（x）=﹣logbx=logax则函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）与g（x）=﹣logbx（b＞0且b≠1）互为反函数故函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）与g（x）=﹣logbx（b＞0且b≠1）的图象关于直线y=x对称故答案为：B．【分析】由指对函数的图像再集合反函数的性质即可得到结果。
7.函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）的图象恒过点（?? ）
A.?（0，0）???????????????????????????B.?（0，1）???????????????????????????C.?（1，0）???????????????????????????D.?（a，0）
【答案】B
【考点】指数函数的图像与性质
【解析】【解答】解：由指数函数的定义和性质可得，函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象恒过点（0，1），故选：B．【分析】根据指数函数的单调性和特殊点，函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象恒过点（0，1）．
8.某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y=10ekt ， 其中k为常数，t表示时间（单位：小时），y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为? （　　）
A.?640????????????????????????????????????B.?1280????????????????????????????????????C.?2560????????????????????????????????????D.?5120
【答案】B
【考点】指数函数的实际应用
【解析】【解答】解：设原来的细菌数为a由题意可得，在函数y=10ekt中，当t=1时，y=2a∴2a=10ek即当a=10时，ek=2y=10ekt=10?2t若t=7，则可得此时的细菌数为y=10×27=1280故选B【分析】由题意可得，在函数y=10ekt中，当t=1时，y=20，从而可求ek ， 然后利用所求函数解析式可求当t=7时的函数值
9.设f（x）=2a2x﹣1，g（x）=x2+ax﹣1，若f（1）=g（1）且a≠1，则2a÷a2=（?? ）
A.?±2 ???????????????????????????????????B.?± ???????????????????????????????????C.?2 ???????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】有理数指数幂的化简求值
【解析】【解答】解：∵f（1）=g（1），∴2a2﹣1=1+a﹣1，化为2a2﹣a﹣1=0，又a≠1，解得 ．2a÷a2= = ．故选：C．【分析】由f（1）=g（1），可解得a，即可得出．
10.a=40.6 ， b=80.34 ， c=（ ）﹣0.9 ， 则a，b，c的大小关系为（?? ）
A.?a＞b＞c?????????????????????????????B.?b＞a＞c?????????????????????????????C.?c＞a＞b?????????????????????????????D.?c＞b＞a
【答案】A
【考点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解：∵a=40.6=21.2 ， b=80.34=21.02 ， c=（ ）﹣0.9=20.9 ， 且f（x）=2x在R递增，∴a＞b＞c，故选：A．【分析】化简a，b，c，根据指数函数的性质判断其大小即可．
11.函数 ， 关于x方程有三个不同实数解，则实数的取值范围为（????）
A.??????B.???????C.???????D.?
【答案】D
【考点】指数函数的图像与性质
【解析】【分析】函数 ， 根据的图象，设 ， ∵关于的方程有有三个不同的实数解，即为有两个根，且一个在上，一个在上．设 ， ①当有一个根为时， ， ， 此时另一根为 ， 符合题意．②当没有根为时，则： ， 解得 ， 综上可得，的取值范围是 ．
二、填空题
12.________
【答案】
【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域
【解析】【解答】 【分析】要是二次根式有意义， ，利用指数函数值域y>0,求出 的x值。
13.不论 为何值，函数 的图象一定经过点P，则点P的坐标为________.
【答案】（2,2）
【考点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】当x=2时，f（1）=a2﹣2+1=a0+1=2，
∴函数 的图象一定经过定点（2,2）．
故答案为：（2,2）．
【分析】结合指数函数过定点，判断f(x)过定点问题，即可得出答案。
14.已知x1﹣x﹣1=3，则x2+x﹣2等于________．（用数字作答）
【答案】11
【考点】有理数指数幂的化简求值
【解析】【解答】解：∵x1﹣x﹣1=3， ∴（x1﹣x﹣1）2=x2+x﹣2﹣2=9，∴x2+x﹣2=11．故答案为：11．【分析】由（x1﹣x﹣1）2=x2+x﹣2﹣2，能求出x2+x﹣2的值．
15.已知函数f（x）=a2x﹣6+n（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P（m，2），则m﹣n=________．
【答案】2
【考点】指数函数的图像与性质
【解析】【解答】解：由函数f（x）=a2x﹣6+n（a＞0且a≠1）且的图象恒过定点P（m，2）知， 解得： ，则m﹣n=2．故答案为：2．【分析】本题考查指数函数的图象与性质，由指数函数y=ax图象的性质，我们知道y=ax的图象恒过（0，1）点．
16.定义区间 的长度为 ，已知函数 ?的定义域为[a，b]，值域为[1,9]，则区间[a，b]的长度的最大值为________，最小值为________．
【答案】4；2
【考点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】由 得x=0，由 得 ，故满足题意的定义域可以为 或 ，故区间[a，b] 的最大长度为4，最小长度为2．故答案为:4;2.【分析】已知函数的值域,求函数的定义域,由x=0时,函数取得最小值1,先求出使函数值为9时对应的x的值,分析得到可能的定义域,从而得到区间[a,b]的长度的最大最小值.
17. 是不超过 的最大整数，则方程 满足 的所有实数解是________．
【答案】 或
【考点】有理数指数幂的运算性质，有理数指数幂的化简求值
【解析】【解答】 时， ，当 时， ，则 ，所以 ，所以 ；当 时， ，则 ，所以 ，所以 ；故答案为: 或 。【分析】对x分类讨论得到[2x]的值,从而得到方程的解.
三、解答题
18.用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）；
（1） ；
（2） ；
（3） （m＞n）；
（4） ；
（5） ．
【答案】（1）解：∵a＞0，b＞0， ∴ = = （2）解：∵m＞0，∴ = （3）解：∵m＞n＞0，∴ = （4）解：∵a＞0，∴ = = （5）解：∵a＞0，∴ = = =
【考点】分数指数幂
【解析】【分析】结合公式 ，利用分数指数幂的性质和运算法则求解．
19.计算： ．
【答案】解： = =
【考点】分数指数幂
【解析】【分析】根据分数指数幂与根式之间的关系及指数的运算性质，我们分别计算出各项的值，代入即可得到答案．
备战真题·勇闯天涯
1.（2017?新课标Ⅰ卷）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（　　）
A.?A∩B={x|x＜0}???????????????????????B.?A∪B=R???????????????????????C.?A∪B={x|x＞1}???????????????????????D.?A∩B=?
【答案】A
【考点】并集及其运算，交集及其运算，指数函数的图像与性质
【解析】【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．
2.（2017?北京卷）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361 ， 而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080 ， 则下列各数中与 最接近的是（　　）（参考数据：lg3≈0.48）
A.?1033????????????????????????????????????B.?1053????????????????????????????????????C.?1073????????????????????????????????????D.?1093
【答案】D
【考点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：由题意：M≈3361 ， N≈1080 ， 根据对数性质有：3=10lg3≈100.48 ， ∴M≈3361≈（100.48）361≈10173 ， ∴ ≈ =1093 ， 故本题选：D．【分析】根据对数的性质：T= ，可得：3=10lg3≈100.48 ， 代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．