2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第2章 第8节 函数与方程及应用（学生版）
备战基础·零风险
1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.
函数的零点
概念
对于函数y＝f(x)，把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
与方程的根的关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与 有交点?函数y＝f(x)有 ．
零点存在性定理
如果函数y＝f(x)满足：①在闭区间[a，b]上连续；② ；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一点提醒 函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根．
2．三个防范 一是严格把握零点存在性定理的条件；
二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；
三是函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一个零点.
3.(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
4. 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．
5.解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．
6．函数零点的判定常用的方法有：
(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)＝0.
7．研究方程f(x)＝g(x)的解，实质就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零点．
8．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．
备战练习·固基石
一、单选题
1.已知函数 ， 则的值等于（????）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?0
2.函数 在 上有唯一零点，则 的取值范围为（?? ）
A.???????????????? ????B.???????????? ??????C.???????????????????????????D.?
3.函数的零点所在区间是（???）
A.?（-，-2）?????????????????????????B.?（-2，-1）?????????????????????????C.?（1,2）?????????????????????????D.?（2，）
4.用二分法求函数f（x）的一个正实数零点时，经计算，f（0.64）＜0，f（0.72）＞0，f（0.68）＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为（?? ）
A.?0.68??????????????????????????????????????B.?0.72??????????????????????????????????????C.?0.7??????????????????????????????????????D.?0.6
5.函数f(x)=x3-4的零点所在的区间为（????）
A.?(-1,0)????????????????????????????????????B.?(0,1)????????????????????????????????????C.?(1,2)????????????????????????????????????D.?(2,3)
6.已知f（x）、g（x）均为[﹣1，3]上连续不断的曲线，根据下表能判断方程f（x）=g（x）有实数解的区间是（ ）
x
﹣1
0
1
2
3
f（x）
﹣0.677
3.011
5.432
5.980
7.651
g（x）
﹣0.530
3.451
4.890
5.241
6.892
A.?（﹣1，0）??????????????????????????B.?（1，2）?????????????????????????C.?（0，1）?????????????????????????D.?（2，3）
7.若 为奇函数，且 ?是函数 ?的一个零点，则下列函数中， 一定是其零点的函数是（?? ）
A.? ??B.??????
C.?? D.?
8.已知函数f（x）= ﹣kx2（k∈R）有四个不同的零点，则实数k的取值范围是（?? ）
A.?k＜0??????????????????????????????????B.?k＜1??????????????????????????????????C.?0＜k＜1??????????????????????????????????D.?k＞1
9.已知函数 ， 则=（ ）
A.?9??????? ???B.? ?????C.? ????D.?27
10.求下列函数的零点，可以采用二分法的是（ ）
A.?f（x）=????? ??B.?f（x）=tanx+2（﹣＜x＜）???????
C.?f（x）=cosx﹣1?????? ??D.?f（x）=|2x﹣3|
11.已知函数f（x）= ， 若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（ ）
A.?（1，2014）????????????????????B.?（1，2015）????????????????????C.?（2，2015）???????????????????D.?[2，2015]
12.定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数 ， ,的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（???）,
A.?a>b>c???????????????????????????????B.?c>b>a???????????????????????????????C.?a>c>b???????????????????????????????D.?b>a>c
13.已知函数 ，若 ，则实数 等于（???? ）
A.????????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?4
14.某医药研究所研发出一种新药，成年人按规定的剂量服用后，据检测，每毫升血液中的含药量y（mg）与时间t（h）之间的关系如图所示．据进一步测定，当每毫升血液中的含药量不少于0.25mg时，治疗疾病有效，则服药一次，治疗疾病有效的时间为（?? ）
A.?4 h???????????????????????????????????B.?4 ?h???????????????????????????????????C.?4 ?h???????????????????????????????????D.?5 h
15.已知f（x）=2sinx+cosx，若函数g（x）=f（x）﹣m在x∈（0，π）上有两个不同零点α、β，则cos（α+β）=（?? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
16.函数 恰有一个零点，则实数 的值为（?? ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
17.已知函数，则在上的零点个数为（ ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
18.某厂一月份的产值为15万元，第一季度的总产值是95万元，设月平均增长率为x ， 则可列方程为（? ） ??????
A.?95=15（1+x）2????????????????????????????????????????????????B.?15（1+x）3=95 C.?15（1+x）+15（1+x）2=95????????????????????????????D.?15+15（1+x）+15（1+x）2=95
19.对 ， 运算“”、“”定义为： ， ， 则下列各式其中不恒成立的是（????） ⑴????⑵ ⑶???⑷
A.?⑴、⑶?????????????????????????B.?⑵、⑷?????????????????????????C.?⑴、⑵、⑶?????????????????????????D.?⑴、⑵、⑶、⑷
二、填空题
20.函数f(x)＝x2－4x－5的零点是________．
21.函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．
22.已知函数 ?则 的值为________．
23.对于实数m，n，定义一种运算： ，已知函数f（x）=a*ax ， 其中0＜a＜1，若f（t﹣1）＞f（4t），则实数t的取值范围是________．
24.已知函数 .若命题：“ ，使 ”是真命题，则实数 的取值范围是________．
25.定义在 上的偶函数 ，当 时， ,若关于 的方程 恰好有6个不相等的实数根，则实数 的取值范围是________．
26.已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x． （i） 当a=2时，满足不等式f（x）＞0的x的取值范围为________； （ii） 若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为________．
27.已知函数 有六个不同零点，且所有零点之和为3，则 的取值范围为________．
28.某公司决定采用增加广告投入和技术改造投入两项措施来获得更大的收益．通过市场的预测发现，当对两项投入都不大于3百万元时，每投入x百万元广告费，增加的销售额可近似的用函数 （百万元）来计算；每投入x百万元技术改造费用，增加的销售额可近似的用函数 （百万元）来计算．如果现在该公司共投入3百万元，分别用于广告投入和技术改造投入，那么预测该公司可增加的最大收益为________百万元．（注：收益=销售额﹣投入）
三、解答题
29.某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台时，又需可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入（单位：万元）函数为：R（x）=5x﹣ x2（0≤x≤5），其中x是产品生产的数量（单位：百台）．
（1）将利润表示为产量的函数；
（2）年产量是多少时，企业所得利润最大？
30.经过市场调查，超市中的某种小商品在过去的近40天的日销售量（单位：件）与价格（单位：元）为时间 （单位：天）的函数，且日销售量近似满足 ，价格近似满足 .
（1）写出该商品的日销售额 （单位：元）与时间 （ ）的函数解析式并用分段函数形式表示该解析式（日销售额=销售量 商品价格）；
（2）求该种商品的日销售额 的最大值与最小值.
31.如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.
（1）设AD＝x（x≥1），ED＝y，求用x表示y的函数关系式；
（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明.
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）已知函数 ， .若 存在2个零点，则a的取值范围是(?? )
A.?????????????????????????????B.??????????????????????C.?????????????????????????D.?
2.（2018?卷Ⅰ）设函数 ,则满足f(x+1)A.?(-∞,-1]????????????????????????????????B.?(0,+∞)????????????????????????????????C.?(-1,0)????????????????????????????????D.?(-∞,0)
二、解答题
3.（2018?上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中 的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 （单位：分钟）， 而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族S的人均通勤时间 的表达式；讨论 的单调性，并说明其实际意义。
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第2章 第8节 函数与方程及应用（教师版）
备战基础·零风险
1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.
函数的零点
概念
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
与方程的根的关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
零点存在性定理
如果函数y＝f(x)满足：①在闭区间[a，b]上连续；②f(a)·f(b)＜0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一点提醒 函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根．
2．三个防范 一是严格把握零点存在性定理的条件；
二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；
三是函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一个零点.
3.(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
4. 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．
5.解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．
6．函数零点的判定常用的方法有：
(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)＝0.
7．研究方程f(x)＝g(x)的解，实质就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零点．
8．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．
备战练习·固基石
一、单选题
1.已知函数 ， 则的值等于（????）
A.??????????????????????????B.????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?0
【答案】C
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】 【分析】此类题目首要是根据函数各段自变量的取值范围将x值代入相应的解析式
2.函数 在 上有唯一零点，则 的取值范围为（?? ）
A.?????????????????B.?????????????????C.????????????????????D.?
【答案】C
【考点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】解：函数 为单调函数，且在 上有唯一零点， 故 ，解得 故答案为： 【分析】结合零点存在定理，端点函数值符号异号，即可得出答案。
3.函数的零点所在区间是（???）
A.?（-，-2）?????????????????????????B.?（-2，-1）?????????????????????????C.?（1,2）?????????????????????????D.?（2，）
【答案】B
【考点】函数的零点
【解析】【解答】f（-2）=3-2-log22＜0 f（-1）=3-1-log21=＞0 f（-2）·f（-1）＜0 f（x）=3x-log2（-x）在区间（-2，-1）有零点 故答案为：B 【分析】本题考查函数零点存在的条件，须满足两条：①在区间上图象连续不断；②端点处函数值异号．
4.用二分法求函数f（x）的一个正实数零点时，经计算，f（0.64）＜0，f（0.72）＞0，f（0.68）＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为（?? ）
A.?0.68??????????????????????????????????????B.?0.72??????????????????????????????????????C.?0.7??????????????????????????????????????D.?0.6
【答案】C
【考点】二分法求方程的近似解
【解析】【解答】解：由题意根据函数零点的判定定理可得，函数零点所在的区间为（0.68，0.72）， 则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值可以为0.7， 故选：C． 【分析】由题意根据函数零点的判定定理可得，函数零点所在的区间为（0.68，0.72），从而得出结论．
5.函数f(x)=x3-4的零点所在的区间为（????）
A.?(-1,0)????????????????????????????????????B.?(0,1)????????????????????????????????????C.?(1,2)????????????????????????????????????D.?(2,3)
【答案】C
【考点】函数的零点
【解析】【解答】由题意可知，函数是定义域内的增函数，其可知 F(1)=1-4=-3<0,f（2)=8-4=4>0,因此根据端点值函数值异号，那么可知零点的区间为（1，2)，因此选C. 【分析】对于函数零点所在区间的求解，主要是依据零点的定义，以及零点存在性定理的判定，结合已知函数是定义域内的增函数，那么来判定端点值的函数值是否为异号即可，属于基础题。
6.已知f（x）、g（x）均为[﹣1，3]上连续不断的曲线，根据下表能判断方程f（x）=g（x）有实数解的区间是（ ）
x
﹣1
0
1
2
3
f（x）
﹣0.677
3.011
5.432
5.980
7.651
g（x）
﹣0.530
3.451
4.890
5.241
6.892
A.?（﹣1，0）??????????????????????????B.?（1，2）?????????????????????????C.?（0，1）?????????????????????????D.?（2，3）
【答案】C
【考点】二分法的定义
【解析】【解答】解：设h（x）=f（x）﹣g（x），则 ∵h（0）=f（0）﹣g（0）=﹣0.44＜0，h（1）=f（1）﹣g（1）=0.532＞0， ∴h（x）的零点在区间（0，1）， 故选：C． 【分析】设h（x）=f（x）﹣g（x），利用h（0）=f（0）﹣g（0）=﹣0.44＜0，h（1）=f（1）﹣g（1）=0.532＞0，即可得出结论．
7.若 为奇函数，且 ?是函数 ?的一个零点，则下列函数中， 一定是其零点的函数是（?? ）
A.????B.???C.?????D.?
【答案】D
【考点】函数的零点
【解析】【解答】f(x)是奇函数,∴f(?x)=?f(x) 且x0是y=f(x)?ex的一个零点,∴ ,∴ ， 把?x0分别代入下面四个选项， A. ，故A错误； B. ，故B错误； C. ，故C不正确； D. ，故D正确。 故答案为：D. 【分析】利用函数的奇偶性结合函数的零点可得出f(x)的解析式，再根据题意把?x0代入上式验证即可得出结论。
8.已知函数f（x）= ﹣kx2（k∈R）有四个不同的零点，则实数k的取值范围是（?? ）
A.?k＜0??????????????????????????????????B.?k＜1??????????????????????????????????C.?0＜k＜1??????????????????????????????????D.?k＞1
【答案】D
【考点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】解：分别画出y= 与y=kx2的图象如图所示，当k＜0时，y=kx2的开口向下，此时与y= 只有一个交点，显然不符合题意， 当k=0时，此时与y= 只有一个交点，显然不符合题意， 当k＞0时，x≥0时， f（x）= ﹣kx2=0， 即kx3+2k2﹣x=0， 即x（kx2+2kx﹣1）=0，即x=0，或kx2+2kx﹣1=0， 此时有唯一的解，即△=4k2+4k=0，解得k=﹣1（舍去）， 当k＞0时，x＜0时， f（x）= ﹣kx2=0， 即kx3+2k2+x=0， kx2+2kx+1=0， 此时有两个解，即△=4k2﹣4k＞0，解得k＞1， 综上所述k＞1 故选：D． 【分析】分别画出y= 与y=kx2的图象如图，再分类讨论，根据方程根的个数即可求出．
9.已知函数 ， 则=（ ）
A.?9??????? ??B.?????? ?C.? ???D.?27
【答案】C
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】已知函数 ， 则=f（log2）=f（﹣3）=3﹣3= ．
故选：C．
【分析】直接利用分段函数，由里及外逐步求解即可．
10.求下列函数的零点，可以采用二分法的是（ ）
A.?f（x）=????? ??B.?f（x）=tanx+2（﹣＜x＜）???????
C.?f（x）=cosx﹣1??????? ?D.?f（x）=|2x﹣3|
【答案】A
【考点】二分法的定义
【解析】【解答】f（x）=x4不是单调函数，y≥0，不能用二分法求零点， f（x）=tanx+2是单调函数，y∈R，能用二分法求零点． f（x）=cosx﹣1不是单调函数，y≤0，不能用二分法求零点． f（x）=|2x﹣3|，不是单调函数y≥0，不能用二分法求零点． 故选：A． 【分析】求出函数的值域，即可判断选项的正误；
11.已知函数f（x）= ， 若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（ ）
A.?（1，2014）????????????????????B.?（1，2015）????????????????????C.?（2，2015）???????????????????D.?[2，2015]
【答案】C
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：作出函数的图象如图， 直线y=m交函数图象于如图， 不妨设a＜b＜c， 由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线x=对称， 因此a+b=1， 当直线y=m=1时，由log2014x=1， 解得x=2014，即x=2014， ∴若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等）， 由a＜b＜c可得1＜c＜2014， 因此可得2＜a+b+c＜2015， 即a+b+c∈（2，2015）． 故选：C． 【分析】根据题意，在坐标系里作出函数f（x）的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），确定a，b，c的大小，即可得出a+b+c的取值范围．
12.定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数 ， ,的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（???）,
A.?a>b>c???????????????????????????????B.?c>b>a???????????????????????????????C.?a>c>b???????????????????????????????D.?b>a>c
【答案】B
【考点】函数的零点
【解析】【解答】由得；由得， 则；由得， 则c=3． ∴， 故选B.
13.已知函数 ，若 ，则实数 等于（???? ）
A.????????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?4
【答案】C
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】 解： ?，
故答案为：C.
【分析】先把x=0代入第一段求出f(0)，再把x=2代入第二段求出f(2)即可解出实数a的值.
14.某医药研究所研发出一种新药，成年人按规定的剂量服用后，据检测，每毫升血液中的含药量y（mg）与时间t（h）之间的关系如图所示．据进一步测定，当每毫升血液中的含药量不少于0.25mg时，治疗疾病有效，则服药一次，治疗疾病有效的时间为（?? ）
A.?4 h???????????????????????????????????B.?4 ?h???????????????????????????????????C.?4 ?h???????????????????????????????????D.?5 h
【答案】C
【考点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】解：由已知图象，得y= ， 当0≤t≤1时，令4t≥ ，得 ≤t≤1； 当t＞1时，令（ ）t﹣3≥ ，得1＜t≤5． 综上可知 ≤t≤5，即治疗疾病有效的时间为5﹣ =4 （h）． 故选：C． 【分析】本小题选择分段函数模型解决．先由图得出服药后每毫升血液中的含药量的函数表达式，再利用所得函数式列出不等关系，通过解不等式即可求得服药一次治疗该疾病有效的时间．
15.已知f（x）=2sinx+cosx，若函数g（x）=f（x）﹣m在x∈（0，π）上有两个不同零点α、β，则cos（α+β）=（?? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】解：∵α、β是函数 g（x）=2sinx+cosx﹣m在（0，π）内的两个零点， 即α、β是方程2sinx+cosx=m在（0，π）内的两个解， ∴m=2sinα+cosα=2sinβ+cosβ，即 2sinα﹣2sinβ=cosβ﹣cosα， ∴2×2×cos ?sin =﹣2sin sin ，∴2cos =sin ， ∴tan =2，∴cos（α+β）= = =﹣ ， 故选：D． 【分析】由题意可得 m=2sinα+cosα=2sinβ+cosβ，即 2sinα﹣2sinβ=cosβ﹣cosα，运用和差化积公式和同角的基本关系式，计算即可得到所求．
16.函数 恰有一个零点，则实数 的值为（?? ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】函数的零点
【解析】【解答】∵函数 恰有一个零点 ∴方程 在 上有且只有一个根，即 在 上有且只有一个根 令 ，则 . 当 时， ，则 在 上单调递减； 当 时， ，则 在 上单调递增. ∴ 由题意可知，若使函数 恰有一个零点，则 . 故答案为：D. 【分析】函数 f ( x ) = x lnx+ x2?ax+2 恰有一个零点，可得方程 x lnx+ x2?ax+2= 0 在 ( 0 , + ∞ ) 上有且只有一个根，分离参数，构造函数，求导数，确定函数的单调性，求出函数的最小值，即可得出结论。
17.已知函数，则在上的零点个数为（ ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
【答案】B
【考点】函数的零点
【解析】【分析】令，则函数与函数的图像交点有2个，故选B.
18.某厂一月份的产值为15万元，第一季度的总产值是95万元，设月平均增长率为x ， 则可列方程为（? ） ??????
A.?95=15（1+x）2????????????????????????????????????????????????B.?15（1+x）3=95 C.?15（1+x）+15（1+x）2=95????????????????????????????D.?15+15（1+x）+15（1+x）2=95
【答案】D
【考点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】二月份的产值为：15（1+x），三月份的产值为：15（1+x）（1+x）=15（1+x）2 ， 故第一季度总产值为：15+15（1+x）+15（1+x）2=95． 故选D． 【分析】本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
19.对 ， 运算“”、“”定义为： ， ， 则下列各式其中不恒成立的是（????） ⑴????⑵ ⑶???⑷
A.?⑴、⑶?????????????????????????B.?⑵、⑷?????????????????????????C.?⑴、⑵、⑶?????????????????????????D.?⑴、⑵、⑶、⑷
【答案】B
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】由定义知若， 则， ；所以；若则， ， 所以；则⑴恒成立； 若， 则， ；所以；若则， ， 所以；则⑶恒成立； 若则， ， 所以， ；则⑵⑷不恒成立； 故正确答案B.
二、填空题
20.函数f(x)＝x2－4x－5的零点是________．
【答案】－1或5
【考点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】 x2－4x－5＝(x－5)(x＋1)＝0，∴x＝5或－1. 【分析】先求出函数对应的方程的根，从而得出函数零点。
21.函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．
【答案】－3
【考点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】设方程f(x)＝0的另一根为x ， 由根与系数的关系，得1＋x＝－＝－2， 故x＝－3，即另一个零点为－3. 【分析】根据韦达定理确定方程方程的解即可
22.已知函数 ?则 的值为________．
【答案】2
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】由函数的表达式可知：当 时， 当 时， 故答案为2
【分析】首先根据定义域将x=2代入到函数中的函数值为1，将x=1代入到函数中求解。
23.对于实数m，n，定义一种运算： ，已知函数f（x）=a*ax ， 其中0＜a＜1，若f（t﹣1）＞f（4t），则实数t的取值范围是________．
【答案】（﹣ ，2]
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：∵0＜a＜1，
∴当x≤1时，ax≥a，当x＞1时，a＞ax ，
∴f（x）= ．
∴f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，在（1，+∞）上为常数函数，
∵f（t﹣1）＞f（4t），
∴t﹣1＜4t≤1或t﹣1≤1＜4t，
解得﹣ ＜t≤ 或 ．
∴﹣ ．
故答案为：（﹣ ，2]．
【分析】求出f（x）的解析式，得出f（x）的单调性，根据单调性得出t﹣1和4t的大小关系，从而可得t的范围．
24.已知函数 .若命题：“ ，使 ”是真命题，则实数 的取值范围是________．
【答案】
【考点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】由题意 ，解得 ．【分析】由题意利用命题是真命题，即在（0,1)这个区间上函数存在零点，利用零点定理 f ( 0 ) f ( 1） < 0 成立即可解出a的取值范围。
25.定义在 上的偶函数 ，当 时， ,若关于 的方程 恰好有6个不相等的实数根，则实数 的取值范围是________．
【答案】
【考点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解： 函数 为定义在 上的偶函数，且 时， ?????? 绘制函数图象如下： 当 时，函数取得最大值 ；当 时，函数取得最小值 ； 要使关于 的方程 恰好有6个不相等的实数根， 令 ， 转化为 当 或 时，方程 没有实数根， 当 时，方程 有1个实数根，当 时，方程 有4个实数根，当 时，方程 有2个实数根， 则方程 必有两个根 、 ，且 ， ，又由韦达定理得， ， ， 即 .故答案为 . 【分析】首先根据题意作出函数的图像，通过观察可得出要使关于 x 的方程?+ a f ( x ) + b = 0 恰好有6个不相等的实数根,再对t进行分情况讨论再结合韦达定理即可求出a的取值范围。
26.已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x． （i） 当a=2时，满足不等式f（x）＞0的x的取值范围为________； （ii） 若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为________．
【答案】；
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：（i）当a=2时，f（x）=|2x﹣1|﹣x= ， ∵f（x）＞0， ∴ 或 ， 解得x＞1或x＜ ， 故不等式f（x）＞0的x的取值范围为（﹣∞， ）∪（1，+∞） （ii）函数f（x）的图象与x轴没有交点， ①当a≥1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象： 两函数的图象恒有交点， ②当0＜a＜1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象： 要使两个图象无交点，斜率满足：a﹣1≥﹣a， ∴a≥ ，故 ≤a＜1 ③当a≤0时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象： 两函数的图象恒有交点， 综上①②③知： ≤a＜1 故答案为：. ， 【分析】（i）化为分段函数，再解不等式即可， （ii）①）当a≥1②当0＜a＜1③当a≤0三种情况，画出f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象，利用图象确定有无交点．
27.已知函数 有六个不同零点，且所有零点之和为3，则 的取值范围为________．
【答案】
【考点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】根据题意，有 ，于是函数 关于 对称，结合所有的零点的平均数为 ，可得 ，此时问题转化为函数 ，在 上与直线 有 个公共点，此时 ，当 时，函数 的导函数 ，于是函数 单调递增，且取值范围是 ，当 时，函数 的导函数 ，考虑到 是 上的单调递增函数，且 ，于是 在 上有唯一零点，记为 ，进而函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在 处取得极小值 ，如图： 接下来问题的关键是判断 与 的大小关系，注意到， ，函数 ，在 上与直线 有 个公共点， 的取值范围是 ,故答案为 【分析】将x换为m-x，可得f（m-x）=f（x），故f（x）图像关于x=对称，即可求出m，再通过解绝对值不等式求出g（x）的最小值，即可求出a的取值范围.
28.某公司决定采用增加广告投入和技术改造投入两项措施来获得更大的收益．通过市场的预测发现，当对两项投入都不大于3百万元时，每投入x百万元广告费，增加的销售额可近似的用函数 （百万元）来计算；每投入x百万元技术改造费用，增加的销售额可近似的用函数 （百万元）来计算．如果现在该公司共投入3百万元，分别用于广告投入和技术改造投入，那么预测该公司可增加的最大收益为________百万元．（注：收益=销售额﹣投入）
【答案】
【考点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】解：设3百万元中技术改造投入为x（百万元），广告费投入为3﹣x（百万元），则广告收入带来的销售额增加值为﹣2（3﹣x）2+14（3﹣x）（百万元），技术改造投入带来的销售额增加值为﹣ x3+2x2+5x（百万元），
所以，投入带来的销售额增加值F（x）=﹣2（3﹣x）2+14（3﹣x）﹣ x3+2x2+5x．
整理上式得F（x）=﹣ x3+3x+24，
因为F′（x）=﹣x2+3，令F′（x）=0，解得x= 或x=﹣ （舍去），
当x∈[0， ），F′（x）＞0，当x∈（ ，3]时，F′（x）＜0，
所以，x= 时，F（x）取得最大值 百万元，
故答案为 ．
【分析】先计算投入带来的销售额增加值，再利用导数法，即可确定函数的最值．
三、解答题
29.某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台时，又需可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入（单位：万元）函数为：R（x）=5x﹣ x2（0≤x≤5），其中x是产品生产的数量（单位：百台）．
（1）将利润表示为产量的函数；
（2）年产量是多少时，企业所得利润最大？
【答案】（1）解：依题意，得： 利润函数G（x）=F（x）﹣R（x）=（5x﹣ x2）﹣（0.5+0.25x）=﹣ x2+4.75x﹣0.5? （其中0≤x≤5）； （2）利润函数G（x）=﹣ x2+4.75x﹣0.5（其中0≤x≤5）， 当x=4.75时，G（x）有最大值； 所以，当年产量为475台时，工厂所得利润最大．
【考点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】由题中提供的式子得出利润函数G（x）=F（x）﹣R（x）=（5x﹣ 1 2 x2）﹣（0.5+0.25x）=﹣ 1 2 x2+4.75x﹣0.5? （其中0≤x≤5），根据二次函数的最值，当x取对称轴时开口向下的有最大值。
30.经过市场调查，超市中的某种小商品在过去的近40天的日销售量（单位：件）与价格（单位：元）为时间 （单位：天）的函数，且日销售量近似满足 ，价格近似满足 .
（1）写出该商品的日销售额 （单位：元）与时间 （ ）的函数解析式并用分段函数形式表示该解析式（日销售额=销售量 商品价格）；
（2）求该种商品的日销售额 的最大值与最小值.
【答案】（1）解：由题意知 ，
（2）解：当 时， 在区间 上单调递减，故 ；
当 时， 在区间 单调递增，
在区间 单调递减，故 ?
【考点】分段函数的应用，函数最值的应用
【解析】【分析】（1）根据日销售额公式得知y = g ( t ) ? f ( t），根据绝对值得出分段函数解析式。 （2）由于函数为分段函数，首先当时，根据函数的单调性求出最值；当时，根据函数单调性求出最值；
31.如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.
（1）设AD＝x（x≥1），ED＝y，求用x表示y的函数关系式；
（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明.
【答案】（1）解：在 中， ① 又 ? ② ②代入①得 ， ∴ （2）解：如果 是水管 ， 当且仅当 ，即 时“=”成立，故 ，且 . 如果 是参观线路，记 ， 可知函数在 上递减，在 上递增， 故 ，∴ . 即 为 中线或 中线时， 最长
【考点】根据实际问题选择函数类型，函数最值的应用
【解析】【分析】(1)由三角形ADE的面积表示出AE,在三角形ADE中由余弦定理得到y关于x的函数式; (2)分别对E是灌溉水管和DE是参观线路,由均值不等式的函数单调性求出成本的最小值.
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）已知函数 ， .若 存在2个零点，则a的取值范围是(?? )
A.????????????????????????B.??????????????????????C.???????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】由g（x）=0得f（x）=-x-a，作出函数f（x）和y=-x-a的图象如图： 当直线y=-x-a的截距-a≤1，即a≥-1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点， 故实数a的取值范围是[-1，+∞）， 故答案为：C 【分析】作出分段函数的图象,函数g(x)有两个零点等价于f(x)的图象与直线y=-x-a有两个交点，结合图形得到a的范围.
2.（2018?卷Ⅰ）设函数 ,则满足f(x+1)A.?(-∞,-1]????????????????????????????????B.?(0,+∞)????????????????????????????????C.?(-1,0)????????????????????????????????D.?(-∞,0)
【答案】D
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】函数 图象如图： 满足f（x+1）﹤f（2x） 可得： 或 解得：(-∞,0) 故答案为：D 【分析】由分段函数的单调性将函数不等式去掉f(),得到关于x的不等式,解不等式求出x的范围.
二、解答题
3.（2018?上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中 的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 （单位：分钟）， 而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族S的人均通勤时间 的表达式；讨论 的单调性，并说明其实际意义。
【答案】（1）根据 分段通勤时间可知：当公交群体人的通勤时间少于自驾时间有下列不等式2x+ -90>40(300，(x-45)(x-20)>0，故x>45或x<20(舍)，综上100>x>45，即45【考点】分段函数的应用
【解析】【分析】本题主要考查实际应用题的理解，对于实际应用题，注重理解和阅读能力的考查，近几年高考卷加强了对于读题能力的考查。本题主要是讨论现实生活中的出勤问题，结合当前城市治理的热点问题，注意在思考和下结论的时候应该考虑实际情况。
