2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第2章 第9节 导数概念及其应用（学生版）
备战基础·零风险
1．了解导数概念的实际背景；
2．通过函数图象直观理解导数的几何意义；
3．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝的导数；
4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数[仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数]的导数.
导数的概念
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
定义
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或.
几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的 (瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为 ．
称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．
基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝ 。
f(x)＝sin x
f′(x)＝ 。
f(x)＝cos x
f′(x)＝ 。
f(x)＝ax
f′(x)＝ 。
f(x)＝ex
f′(x)＝ 。
f(x)＝logax
f′(x)＝ 。
f(x)＝ln x
f′(x)＝ 。
导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝ 。
(2)[f(x)·g(x)]′＝ 。．
(3)′＝ 。
复合函数的导数
设u＝v(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u处可导，则复合函数f[v(x)]在点x处可导，且f′(x)＝ 。
备战方法·巧解题
规律
方法
1．“过某点”与“在某点”的区别
曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点．
2．导数运算及切线的理解应注意的问题
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积).
1.(1)在解答过程中常见的错误有：①商的求导中，符号判定错误；②不能正确运用求导公式和求导法则．
(2)求函数的导数应注意：
①求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量；
②根式形式，先化为分数指数幂，再求导．
③复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．
2. (1)导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率．第(1)题要能从“切线平行于x轴”提炼出切线的斜率为0，进而构建方程，这是求解的关键，考查了分析问题和解决问题的能力．
(2)在求切线方程时，应先判断已知点Q(a，b)是否为切点，若已知点Q(a，b)不是切点，则应求出切点的坐标，利用切点坐标求出切线斜率，进而用切点坐标表示出切线方程．
3.(1)准确求切线的方程是求解的关键；恒成立的问题，要进行运用导数研究，体现出函数思想与转化思想的应用．
(2)当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，切线方程为x＝x0；当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解.
4．理解导数的概念时，要注意f′(x0)，(f(x0))′与f′(x)的区别：f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f′(x0)是f(x)在x＝x0处的导数值，是常量但不一定为0，(f(x0))′是常数一定为0，即(f(x0))′＝0.
5．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．
6．求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别．
7.(1)求曲线的切线方程应首先确定已知点是否为切点是求解的关键，分清过点P的切线与在点P处的切线的差异．
(2)熟练掌握基本初等函数的导数，导数的运算法则，正确进行求导运算．
备战练习·固基石
一、单选题
1.下列命题正确的是（?）
A.?=???????????B.?=??????????????C.??????????????????D.?
2.函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是(??? )
A.???????????????????B.? C.???????????????????D.?
3.点P(x,y)是曲线上的动点，曲线C在点P处的切线与x,y轴分别交于A,B两点，点O是坐标原点.给出三个结论：①|PA|=|PB|;②△OAB的周长有最小值；③曲线C上存在两点M,N，使得△OMN为等腰直角三角形.其中正确结论的个数是(?? )
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?0
4.函数y=f(x)，当自变量x由变化到时，函数y=f(x)的改变量为 （???）
A.?????? ??B.???? ?????C.??????????????????D.?
5.函数 的导数f'（x）=（?? ）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?x2+lnx
6.下列各式正确的是( ??)
A.? ?(a为常数)???????? ?B.???????????
?C.??????????? ?D.?
7.设函数f(x)=g(x)+x2 ， 曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f(x)在点(1,g(1))处切线的斜率为 (??? )
A.?2?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?4?????????????????????????????????????????D.?
8.设曲线在点处的切线与直线平行，则（???）
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
9.下列函数求导错误的是（?? ）
A.?（ ）′= ???????????????B.?（ ）′=﹣ ???????????????C.?（lnx）′= ???????????????D.?（e﹣x）′=e﹣x
10.已知函数f（x）（x∈R）满足f’(x)＞f（x），则（???? ）
A.?f（2）＜ f（0）???? ???B.?f（2）≤ f（0）???????
C.?f（2）＝ f（0）????? ??D.?f（2）＞ f（0）
11.f'（x）是函数f（x）的导函数，f''（x）是函数f'（x）的导函数．对于三次函数y=f（x），若方程f''（x0）=0，则点（ ）即为函数y=f（x）图象的对称中心．设函数f（x）= ，则f（ ）+f（ ）+f（ ）+…+f（ ）=（? ）
A.?1008???????????????????????????????????B.?2014???????????????????????????????????C.?2015???????????????????????????????????D.?2016
12.数学上称函数y=kx+b（k，b∈R，k≠0）为线性函数．对于非线性可导函数f（x），在点x0附近一点x的函数值f（x），可以用如下方法求其近似代替值：f（x）≈f（x0）+f'（x0）（x﹣x0）．利用这一方法， 的近似代替值（?? ）
A.?大于m???????????????????????B.?小于m???????????????????????C.?等于m???????????????????????D.?与m的大小关系无法确定
13.已知函数f（x）的导数为f′（x），且（x+1）f（x）+xf′（x）≥0对x∈[0，+∞）恒成立，则下列不等式一定成立的是（?? ）
A.?f（1）＜2ef（2）?????????????B.?ef（1）＜f（2）?????????????C.?f（1）＜0?????????????D.?ef（e）＜2f（2）
14.已知函数f（x）的导数为f′（x），且满足关系式f（x）=2x3+x2f'（1）+lnx，则f′（2）的值等于（ ）
A.?-??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?-7??????????????????????????????????????????D.?7
15.（2015·福建）若定义在R上的函数?满足?，其导函数?满足?，则下列结论中一定错误的是（????）
A.??????????????????B.??????????????????C.??????????????????D.?
16.已知g（x）=（ax﹣ ﹣2a）ex（a＞0），若存在x0∈（1，+∞），使得g（x0）+g'（x0）=0，则 的取值范围是（?? ）
A.?（﹣1，+∞）????????????????????B.?（﹣1，0）????????????????????C.?（﹣2，+∞）????????????????????D.?（﹣2，0）
17.已知 是函数 ( )的导函数，当 时， ，记 ，则（ ??）
A.??????????????????????????B.???????????????C.?????????????????????D.?
18.已知曲线 与 恰好存在两条公切线，则实数 的取值范围为(?? )
A.?????? ?B.????? C.????????? D.?
二、填空题
19.若曲线 与曲线 在 处的两条切线互相垂直，则实数 的值为________．
20.曲线 在 处的切线方程是________．
21.函数f（x）= ，则f′（ ）=________．
22.已知函数f（x）=﹣x3+ax2+b（a，b∈R）图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a的取值范围是________?
23.已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是 +2，f（1）+f′（1）=________．
24.对于三次函数 ，定义：设 是函数 的导数 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心.”请你将这一发现视为条件，若函数 ，则它的对称中心为________；并计算 ? ________．
25.设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是________．
三、解答题
26.求下列各函数的导数
（1）
（2）y=exsinx
（3）
（4）y=cos（2x+5）
27.求下列函数的导数
（1）y=（x+1）（x+2）（x+3）
（2） ．
备战真题·勇闯天涯
一、填空题
1.（2018?天津）已知函数f(x)=exlnx ， f?′(x)为f(x)的导函数，则f?′（1）的值为________．
2.（2016?天津）已知函数f（x）=（2x+1）ex ， f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为________．
二、解答题
3.（2016?全国）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．
（1）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第2章 第9节 导数概念及其应用（教师版）
备战基础·零风险
1．了解导数概念的实际背景；
2．通过函数图象直观理解导数的几何意义；
3．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝的导数；
4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数[仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数]的导数.
导数的概念
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
定义
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或.
几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．
基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
f′(x)＝axln_a(a>0)
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
复合函数的导数
设u＝v(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u处可导，则复合函数f[v(x)]在点x处可导，且f′(x)＝f′(u)·v′(x)．
备战方法·巧解题
规律
方法
1．“过某点”与“在某点”的区别
曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点．
2．导数运算及切线的理解应注意的问题
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积).
1.(1)在解答过程中常见的错误有：①商的求导中，符号判定错误；②不能正确运用求导公式和求导法则．
(2)求函数的导数应注意：
①求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量；
②根式形式，先化为分数指数幂，再求导．
③复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．
2. (1)导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率．第(1)题要能从“切线平行于x轴”提炼出切线的斜率为0，进而构建方程，这是求解的关键，考查了分析问题和解决问题的能力．
(2)在求切线方程时，应先判断已知点Q(a，b)是否为切点，若已知点Q(a，b)不是切点，则应求出切点的坐标，利用切点坐标求出切线斜率，进而用切点坐标表示出切线方程．
3.(1)准确求切线的方程是求解的关键；恒成立的问题，要进行运用导数研究，体现出函数思想与转化思想的应用．
(2)当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，切线方程为x＝x0；当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解.
4．理解导数的概念时，要注意f′(x0)，(f(x0))′与f′(x)的区别：f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f′(x0)是f(x)在x＝x0处的导数值，是常量但不一定为0，(f(x0))′是常数一定为0，即(f(x0))′＝0.
5．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．
6．求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别．
7.(1)求曲线的切线方程应首先确定已知点是否为切点是求解的关键，分清过点P的切线与在点P处的切线的差异．
(2)熟练掌握基本初等函数的导数，导数的运算法则，正确进行求导运算．
备战练习·固基石
一、单选题
1.下列命题正确的是（?）
A.?=?????????????????B.?=?????????????C.???????????????????????D.?
【答案】D
【考点】导数的运算
【解析】【分析】根据导数公式及导数的运算法则得正确.选D。
2.函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是(??? )
A.???????????????????B.? C.???????????????????D.?
【答案】B
【考点】函数的图象，导数的几何意义
【解析】【解答】因为， 所以表示的是两点连线的斜率，从图象上可以看出。选B. 【分析】导数的几何意义是经常考查的内容，要适当转化，灵活应用.
3.点P(x,y)是曲线上的动点，曲线C在点P处的切线与x,y轴分别交于A,B两点，点O是坐标原点.给出三个结论：①|PA|=|PB|;②△OAB的周长有最小值；③曲线C上存在两点M,N，使得△OMN为等腰直角三角形.其中正确结论的个数是(?? )
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?0
【答案】C
【考点】导数的几何意义，不等式的实际应用
【解析】【解答】设动点P(m，)（m＞0)，则y′=-， ∴f′(m)=-， ∴过动点P(m，)的切线方程为：y-=-(x-m)． ①分别令y=0，x=0，得A（2m，0)，B(0，)． 则|PA|=， |PB|=， ∴|PA|=|PB|，故①正确； ②由上面可知：△OAB的周长=2m++2≥2×2+2=4+2， 当且仅当m=， 即m=1时取等号．故△OAB的周长有最小值4+2， 即②正确． ③假设曲线C上存在两点M(a，)，N(b，)，不妨设0＜a＜b，∠OMN=90°． 则|ON|=|OM|，， 所以化为， 解得， 故假设成立．因此③正确． 故选C。 【分析】理解导数的几何意义、基本不等式的性质、两点间的距离公式及等腰直角三角形的性质是解题的关键．较难。
4.函数y=f(x)，当自变量x由变化到时，函数y=f(x)的改变量为 （???）
A.????????????B.????????????C.????????????????D.?
【答案】D
【考点】导数的几何意义
【解析】【解答】由题意，函数的改变量为， 故选D 【分析】掌握平均变化率的概念是解决此类问题的关键，属基础题
5.函数 的导数f'（x）=（?? ）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?x2+lnx
【答案】B
【考点】导数的运算
【解析】【解答】解：根据题意，函数 = +x﹣1 ， 则其导数f′（x）= ， 故选：B． 【分析】根据题意，将函数的解析式变形为f（x）= +x﹣1 ， 利用导数的计算公式求导即可得答案．
6.下列各式正确的是( ??)
A.? ?(a为常数)?????????? ?B.????????????
C.???????????? D.?
【答案】C
【考点】导数的运算
【解析】【解答】由基本的求导公式可得： ? ?(a为常数)；???? ； ??； . 故答案为：C 【分析】利用导数的运算法则即可得出．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
7.设函数f(x)=g(x)+x2 ， 曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f(x)在点(1,g(1))处切线的斜率为 (??? )
A.?2?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?4?????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】导数的几何意义
【解析】【解答】因为曲线在点处的切线方程为， 所以因为， 所以即曲线在点处切线的斜率为4. 【分析】导数的几何意义是高考中常考的内容，求切线方程时，分清是某点处的切线还是过某点的切线.
8.设曲线在点处的切线与直线平行，则（???）
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】导数的几何意义
【解析】【解答】根据题意，由于曲线在点（1，)处的切线与直线平行，那么说明了y’|?=2=2a,a=1,故可知答案为A,
9.下列函数求导错误的是（?? ）
A.?（ ）′= ???????????????B.?（ ）′=﹣ ???????????????C.?（lnx）′= ???????????????D.?（e﹣x）′=e﹣x
【答案】D
【考点】导数的运算
【解析】【解答】解：对于D，（e﹣x）′=﹣e﹣x ， 故选：D 【分析】根据导数的运算法则计算即可．
10.已知函数f（x）（x∈R）满足f’(x)＞f（x），则（???? ）
A.?f（2）＜ f（0）?????? ?B.?f（2）≤ f（0）???????
C.?f（2）＝ f（0）?????? ?D.?f（2）＞ f（0）
【答案】D
【考点】简单复合函数的导数
【解析】【解答】函数f（x）（x∈R）满足 ，则函数为指数函数，可设函数 ，则导函数 ，显然满足 ， ， ，显然 ，即 ，故答案为：D． 【分析】导函数大于原函数则说原函数为一个指数函数，通过设定一个指数函数（选择题可用的特殊值代入法），即可验证f（2）与e2f（0）的大小关系。
11.f'（x）是函数f（x）的导函数，f''（x）是函数f'（x）的导函数．对于三次函数y=f（x），若方程f''（x0）=0，则点（ ）即为函数y=f（x）图象的对称中心．设函数f（x）= ，则f（ ）+f（ ）+f（ ）+…+f（ ）=（? ）
A.?1008???????????????????????????????????B.?2014???????????????????????????????????C.?2015???????????????????????????????????D.?2016
【答案】D
【考点】导数的运算
【解析】【解答】解：依题意，得：f′（x）=x2﹣x+3，∴f″（x）=2x﹣1． 由f″（x）=0，即2x﹣1=0． ∴x= ， ∴f（ ）=1， ∴f（x）的对称中心为（ ，1） ∴f（1﹣x）+f（x）=2， ∴f（ ）+f（ ）+f（ ）+…+f（ ）=2016． 故选：D． 【分析】根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得函数f（x）的对称中心，得到f（1﹣x）+f（x）=2，即可得出．
12.数学上称函数y=kx+b（k，b∈R，k≠0）为线性函数．对于非线性可导函数f（x），在点x0附近一点x的函数值f（x），可以用如下方法求其近似代替值：f（x）≈f（x0）+f'（x0）（x﹣x0）．利用这一方法， 的近似代替值（?? ）
A.?大于m???????????????????????B.?小于m???????????????????????C.?等于m???????????????????????D.?与m的大小关系无法确定
【答案】A
【考点】导数的运算
【解析】【解答】解：根据题意，令f（x）= ，则f′（x）= ＞0， 取4.001附近的点x0=4，则有m的近似代替值为f（4）+ （4.001﹣4）=2+ ， ∵（2+ ）2=4+0.001+（ ）2＞4.001=m2 ， ∴2+ ＞m． 故选A． 【分析】令f（x）= ，根据定义计算近似值比较大小即可．
13.已知函数f（x）的导数为f′（x），且（x+1）f（x）+xf′（x）≥0对x∈[0，+∞）恒成立，则下列不等式一定成立的是（?? ）
A.?f（1）＜2ef（2）?????????????B.?ef（1）＜f（2）?????????????C.?f（1）＜0?????????????D.?ef（e）＜2f（2）
【答案】A
【考点】导数的运算，函数的单调性与导数的关系
【解析】【解答】解：构造函数F（x）=xexf （x），则F′（x）=ex[（x+1）f（x）+xf′（x）]≥0对x∈[0，+∞）恒成立， ∴函数F（x）=xexf （x）在[0，+∞）上单调递增， ∴F（1）＜F（2）， ∴f（1）＜2ef（2）， 故选A． 【分析】构造函数F（x）=xexf （x），则F′（x）=ex[（x+1）f（x）+xf′（x）]≥0对x∈[0，+∞）恒成立，得出函数F（x）=xexf （x）在[0，+∞）上单调递增，即可得出结论、
14.已知函数f（x）的导数为f′（x），且满足关系式f（x）=2x3+x2f'（1）+lnx，则f′（2）的值等于（ ）
A.?-??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?-7??????????????????????????????????????????D.?7
【答案】A
【考点】导数的加法与减法法则
【解析】【解答】解：由题意， f′（x）=6x2+2xf′（1）+ ， 则f′（1）=6+2f′（1）+1， 则f′（1）=﹣7； 故f′（2）=24+2×2×（﹣7）+ =﹣ ， 故选A． 【分析】由f′（x）=6x2+2xf′（1）+可得f′（1）=6+2f′（1）+1，从而求出f′（1），代入求f′（2）．
15.（2015·福建）若定义在R上的函数?满足?，其导函数?满足?，则下列结论中一定错误的是（????）
A.??????????????????B.??????????????????C.??????????????????D.?
【答案】C
【考点】函数的定义域及其求法，导数的运算
【解析】【解答】由已知条件，构造函数=-Kx，则=-k,故函数在R上单调递增，且＞0，故g（）＞g（0），所以，,所以结论中一定错误的是C，选项D无法判断；构造函数h(x)=f(x)-x,则h'(x)=f'(x)-1＞0，所以函数h(x)在R上单调递增，且，所以h()＞h(0),即f()-＞-1，选项A,B无法判断，故选C。 【分析】系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题。
16.已知g（x）=（ax﹣ ﹣2a）ex（a＞0），若存在x0∈（1，+∞），使得g（x0）+g'（x0）=0，则 的取值范围是（?? ）
A.?（﹣1，+∞）????????????????????B.?（﹣1，0）????????????????????C.?（﹣2，+∞）????????????????????D.?（﹣2，0）
【答案】A
【考点】导数的运算
【解析】【解答】解：∵g（x）=（ax﹣ ﹣2a）ex ， ∴g′（x）=（ +ax﹣ ﹣a）ex ， ∴由g（x）+g′（x）=0，整理得2ax3﹣3ax2﹣2bx+b=0． 存在x＞1，使g（x）+g′（x）=0成立， 等价于存在x＞1，2ax3﹣3ax2﹣2bx+b=0成立， ∵a＞0，∴ = ， 设u（x）= （x＞1）， 则u′（x）= ， ∵x＞1，∴u′（x）＞0恒成立， ∴u（x）在（1，+∞）上是增函数， ∴u（x）＞u（1）=﹣1， ∴ ＞﹣1，即 的取值范围为（﹣1，+∞）， 故选：A． 【分析】求出g（x）的导数，问题等价于存在x＞1，2ax3﹣3ax2﹣2bx+b=0成立，求出 = ，设u（x）= （x＞1），根据函数的单调性求出 的范围即可．
17.已知 是函数 ( )的导函数，当 时， ，记 ，则（ ??）
A.?????????? ???B.????? ?????C.????????????????? ?????D.?
【答案】C
【考点】简单复合函数的导数，利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设 ，则 ，所以当 时，函数 为单调递减函数，又 ，所以 ，则 ，即 . 故答案为：C.【分析】根据复合函数的求导法则及所给的不等关系，构建新的函数g（x）并判断其单调性，而a，b，c正是函数g（x）的函数值，从而可求得答案.
18.已知曲线 与 恰好存在两条公切线，则实数 的取值范围为(?? )
A.?????????B.???? ???C.?? ?D.?
【答案】B
【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解： 的导数为 的导数为 设与曲线 相切的切点为 与曲线 相切的切点为(s ， t)，则有公共切线斜率为 又 ，即有 ? ，即为 ，即有 则有 即为 令 则 ， 当 时， 递减，当 时， 递增，即有 处 取得极大值，也为最大值，且为 由恰好存在两条公切线，即s有两解，可得a的取值范围是 ， 故答案为：B． 【分析】分别对两个函数求导并设出两个切点的坐标，从而得到公切线的斜率，与切点处的导数建立等量关系得到a的表达式.对其求导，观察其单调性及极值即可得出a的范围.
二、填空题
19.若曲线 与曲线 在 处的两条切线互相垂直，则实数 的值为________．
【答案】
【考点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：：由y=ax3﹣x2+2x，得y′=3ax2﹣2x+2， ∴y′|x=1=3a， 由y=ex ， 得y′=ex ， ∴y′|x=1=e． ∵曲线C1：y=ax3﹣x2+2x与曲线C2：y=ex在x=1处的切线互相垂直， ∴3a?e=﹣1，解得：a=﹣ ． 故答案为：﹣ ． 【分析】在切点处的导数等于切线的斜率。
20.曲线 在 处的切线方程是________．
【答案】
【考点】导数的几何意义
【解析】【解答】 当自变量等于0时，函数值为2，故得到切线方程为： 。 故答案为： 。
【分析】本题利用导数的几何意义求出在x=0处的斜率，再将切点的横坐标代入曲线求出切点的纵坐标，从而求出切点坐标，再利用点斜式方程求出切线方程。
21.函数f（x）= ，则f′（ ）=________．
【答案】
【考点】导数的运算
【解析】【解答】解：f（x）= ，f′（x）= = ，
f′（ ）= = ，
故答案为： ．
【分析】由复合函数求导法则及导数的运算，求得f′（x），将x= ，代入f′（x），即可求得f′（ ）．
22.已知函数f（x）=﹣x3+ax2+b（a，b∈R）图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a的取值范围是________?
【答案】
【考点】导数的几何意义
【解析】【解答】由题意f′（x）=﹣3x2+2ax， 当x=时，f′（x）取到最大值，是 ． ∴ ， 解得 ． 故答案为： ． 【分析】函数f（x）=﹣x3+ax2+b（a，b∈R）图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，可得出函数的导数的最大值小于1．
23.已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是 +2，f（1）+f′（1）=________．
【答案】3
【考点】导数的运算
【解析】【解答】解：由已知切点在切线上，所以f（1）= ，切点处的导数为切线斜率，所以 ， 所以f（1）+f′（1）=3 故答案为：3 【分析】先将x=1代入切线方程可求出f（1），再由切点处的导数为切线斜率可求出f'（1）的值，最后相加即可．
24.对于三次函数 ，定义：设 是函数 的导数 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心.”请你将这一发现视为条件，若函数 ，则它的对称中心为________；并计算 ? ________．
【答案】；
【考点】导数的运算
【解析】【解答】解： ， ，由 得 ，又 ， ∴对称中心为 ， 从而 ， ∴ ? ? ． 故答案为 ，4034． 【分析】结合题目所定义的对称中心，计算出f(x)对称中心，建立等式，对所求式子首尾相加，即可得出答案。
25.设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是________．
【答案】（﹣1，0）∪（1，+∞）
【考点】导数的运算
【解析】【解答】解：设g（x）= ，则g（x）的导数为：g′（x）= ， ∵当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0， 即当x＞0时，g′（x）恒大于0， ∴当x＞0时，函数g（x）为增函数， ∵f（x）为奇函数 ∴函数g（x）为定义域上的偶函数 又∵g（﹣1）= =0， ∵f（x）＞0， ∴当x＞0时， ＞0，当x＜0时， ＜0， ∴当x＞0时，g（x）＞0=g（1），当x＜0时，g（x）＜0=g（﹣1）， ∴x＞1或﹣1＜x＜0 故使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣1，0）∪（1，+∞）， 故答案为：（﹣1，0）∪（1，+∞） 【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＞0成立，可判断函数g（x）为增函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，而不等式f（x）＞0等价于xg（x）＞0，分类讨论即可求出
三、解答题
26.求下列各函数的导数
（1）
（2）y=exsinx
（3）
（4）y=cos（2x+5）
【答案】（1）解： ，则y′=4﹣ （2）解：y=exsinx，则y′=exsinx+excosx （3）解： ，则y′= （4）解：y=cos（2x+5），则y′=﹣sin（2x+5）?（2x+5）′=﹣2sin（2x+5）
【考点】导数的运算
【解析】【分析】根据导数的运算法则和复合函数求导法则计算即可．
27.求下列函数的导数
（1）y=（x+1）（x+2）（x+3）
（2） ．
【答案】（1）解：y=（x+1）（x+2）（x+3）=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6， 则y′=3x2+12x+11 （2）解：
【考点】导数的运算
【解析】【分析】根据函数的导数公式分别进行计算即可．
备战真题·勇闯天涯
一、填空题
1.（2018?天津）已知函数f(x)=exlnx ， f?′(x)为f(x)的导函数，则f?′（1）的值为________．
【答案】e
【考点】导数的运算
【解析】【解答】解：∵ ∴ 【分析】先对 求导，再令导函数中x=1，则 可求出.
2.（2016?天津）已知函数f（x）=（2x+1）ex ， f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为________．
【答案】3
【考点】导数的运算
【解析】【解答】解：∵f（x）=（2x+1）ex ， ∴f′（x）=2ex+（2x+1）ex ， ∴f′（0）=2e0+（2×0+1）e0=2+1=3． 故答案为：3． 【分析】先求导，再带值计算．；本题考查了导数的运算法则，属于基础题．
二、解答题
3.（2016?全国）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．
（1）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．
【答案】（1）解：当a=4时，f（x）=（x+1）lnx﹣4（x﹣1）． f（1）=0，即点为（1，0）， 函数的导数f′（x）=lnx+（x+1）? ﹣4， 则f′（1）=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2， 即函数的切线斜率k=f′（1）=﹣2， 则曲线y=f（x）在（1，0）处的切线方程为y=﹣2（x﹣1）=﹣2x+2 （2）∵f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）， ∴f′（x）=1+ +lnx﹣a， ∴f″（x）= ， ∵x＞1，∴f″（x）＞0， ∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增， ∴f′（x）＞f′（1）=2﹣a． ①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0， ∴f（x）在（1，+∞）上单调递增， ∴f（x）＞f（1）=0，满足题意； ②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）=0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0 ， +∞）上单调递增， 由f（1）=0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意． 综上所述，a≤2．
【考点】简单复合函数的导数
【解析】【分析】（1）当a=4时，求出曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率，即可求出切线方程；（II）先求出f′（x）＞f′（1）=2﹣a，再结合条件，分类讨论，即可求a的取值范围．；本题主要考查了导数的应用，函数的导数与函数的单调性的关系的应用，导数的几何意义，考查参数范围的求解，考查学生分析解决问题的能力，有难度．
