2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第10节 第一课时 利用导数研究函数的单调性
（学生版）
备战基础·零风险
1．了解函数单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
函数的导数与单调性的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内 ．
(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内 ．
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是 ．
备战方法·巧解题
规律
方法
1.f′(x)>0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件
2.求单调区间时应遵循定义域优先的原则
3. (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，把所求问题转化为求函数的最小值问题．
(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
4．注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想．
备战练习·固基石
一、单选题
1.“f(x)在[a,b]上为单调函数”是“函数f(x)在[a,b]上有最大值和最小值”的(??? )?
A.?充分非必要条件???????????B.?必要非充分条件?????????????C.?充要条件?????????????D.?既不充分也非必要条件
2.设函数. 若当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（???）.
A.????????????????????????????????B.??????????????????????C.????????????????????????????????D.?
3.已知函数的图像与x轴恰有两个公共点，则c＝( )
A.?－2或2???????????????????????????????B.?－9或3???????????????????????????????C.?－1或1???????????????????????????????D.?－3或1
4.已知函数,设F（x)=f(x+4)，且函数F(x)的零点均在区间[a,b](aA.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
5.在?上（???）
A.?是增函数???????????????????????????B.?是减函数???????????????????????????C.?有最大值???????????????????????????D.?有最小值
6.已知为定义在上的可导函数，且对于恒成立，且为自然对数的底，则（??）
A.??????B.? C.??????D.?
7.已知定义在R上的奇函数f(x)，若f(x)的导函数f'(x)满足f'(x)A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
8.已知函数的图像与x轴恰有两个公共点，则m等于（??）
A.?-2或2??????????????????????????????????B.?-9或3??????????????????????????????????C.?-1或1??????????????????????????????????D.?-3或1
9.定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），f（0）=0．若对任意x∈R，都有f（x）＞f′（x）+1，则使得f（x）+ex＜1成立的x的取值范围为（?? ）
A.?（﹣∞，0）????????????????????B.?（﹣∞，1）????????????????????C.?（﹣1，+∞）????????????????????D.?（0，+∞）
10.如果函数y=f（x）的图象如图，那么导函数y=f′（x）的图象可能是（?? ）
A.???????????????????????????????????????B.? C.???????????????????????????????????????D.?
11.实数x，y满足y=2x2﹣4x+1，（0≤x≤1），则 的最大值为（?? ）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?1
12.函数f（x）的导函数为f′（x），对任意的x∈R都有3f′（x）＞f（x）成立，则（?? ）
A.?3f（3ln2）＞2f（3ln3）????????????????????????????????????B.?3f（3ln2）与2f（3ln3）的大小不确定 C.?3f（3ln2）=2f（3ln3）?????????????????????????????????????D.?3f（3ln2）＜2f（3ln3）
13.若函数 在区间 内单调递增，则实数 的取值范围是(??? )
A.????????????????????????B.?????????????????C.????????????????????????D.?
14.已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）＜f（x），且f（x+3）为偶函数，f（6）=1，则不等式f（x）＞ex的解集为（?? ）
A.?（﹣∞，0）?????????????????????B.?（0，+∞）?????????????????????C.?（1，+∞）?????????????????????D.?（4，+∞）
15.设函数 是偶函数 的导函数， 在区间 上的唯一零点为2，并且当 时， ，则使得 成立的 的取值范围是（??? ）
A. B. C. D.
16.已知对任意 不等式 恒成立（其中 ，是自然对数的底数），则实数 的取值范围是（???? ）
A.?????????????????????B.?????????????????C.????????????????????????????D.?
17.已知关于 的不等式 的解集中只有两个整数，则实数 的取值范围为（?? ）
A.?????????????????B.?????????????????C.?????????????????D.?
18.已知函数 ?满足 ，在下列不等关系中，一定成立的是（??? ）
A.???????????????B.????????????????C.???????????????????D.?
二、填空题
19.已知函数f（x）= 为R上的增函数，则实数a的取值范围是________．
20.函数y=x3+x的递增区间是________．
21.已知函数 ，则函数 的递减区间为________.
22.函数y=lnx﹣x的单调递增区间为________．
23.已知函数 ，对于 上的任意x1 ， x2 ， 有如下条件： ① ；②|x1|＞x2；③x1＞|x2|；④ ． 其中能使g（x1）＞g（x2）恒成立的条件序号是________．
24.函数y=x﹣2sinx在[0，π]上的递增区间是________．
25.已知函数f（x）= x3﹣ x2+2x+1，且f（x）在区间（﹣2，﹣1）内存在单调递减区间，则实数a的取值范围________．
26.若函数f（x）=x2﹣ex﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是________．
27.已知函数f（x）满足f（x）=f（﹣x），且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+f′（x）＜0，a=20.1?f（20.1），b=（ln2）f（ln2），c=（log2）f（log2），则a，b，c的大小关系是________?
28.若函数 在 上存在唯一的 ? 满足 ，那么称函数 是 上的“单值函数”.已知函数 是 ? 上的“单值函数”，当实数 取最小值时，函数 在 上恰好有两点零点，则实数 的取值范围是________．
29.设函数 是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为 ，且有 ，则不等式 的解集为________.
30.若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是________．
三、解答题
31.已知 为实数，函数 ，若 .
（1）求 的值。
（2）求函数 在 上的极值。
32.已知函数 在x=1处有极值10.
（1）求a、b的值；
（2）求 在 上的最大值与最小值.
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2016?全国）若函数f（x）=x﹣ sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（ ）
A.?[﹣1，1]?????????????????????B.?[﹣1， ]????????????????????C.?[﹣ ， ]?????????????????????D.?[﹣1，﹣ ]
二、解答题
2.（2018?浙江）已知函数f(x)= ?lnx ． （Ⅰ）若f(x)在x=x1 ， x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8?8ln2； （Ⅱ）若a≤3?4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．
3.（2016?北京）设函数f(x)=x ?+bx，曲线y=f(x)在点 (2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4，
（1）求a,b的值；?
（2）求f(x)的单调区间。
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第10节 第一课时 利用导数研究函数的单调性
（教师版）
备战基础·零风险
1．了解函数单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
函数的导数与单调性的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增．
(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减．
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．
备战方法·巧解题
规律
方法
1.f′(x)>0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件
2.求单调区间时应遵循定义域优先的原则
3. (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，把所求问题转化为求函数的最小值问题．
(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
4．注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想．
备战练习·固基石
一、单选题
1.“f(x)在[a,b]上为单调函数”是“函数f(x)在[a,b]上有最大值和最小值”的(??? )?
A.?充分非必要条件?????????????B.?必要非充分条件?????????????C.?充要条件?????????????D.?既不充分也非必要条件
【答案】A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由“在[a,b]上为单调函数”可以得出“函数在[a,b]上有最大值和最小值”，但是由“函数在[a,b]上有最大值和最小值”，得不出函数单调，不单调也一样有最大值和最小值，只要是闭区间上的连续函数都有最大值和最小值. 【分析】闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值，而与单调与否无关.
2.设函数. 若当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（???）.
A.?????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】奇偶性与单调性的综合，利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】∵。 设， 所以g(x)是递增的奇函数。 由f(msinθ)+f(1－m)>2， ∴f(msinθ)－1>1－f(1－m)，即g(msinθ)＞g(m－1) ∴msinθ＞m－1，∴1＞m(1－sinθ)。 因为0<θ＜时，， >1，而m＜， ∴m1.故选A。 【分析】中档题，抽象不等式问题，武威要利用函数的奇偶性、单调性，转化成具体不等式。恒成立问题，往往要通过“分离参数法”转化成求函数的最值问题。本题比较典型。
3.已知函数的图像与x轴恰有两个公共点，则c＝( )
A.?－2或2???????????????????????????????B.?－9或3???????????????????????????????C.?－1或1???????????????????????????????D.?－3或1
【答案】A
【考点】函数的单调性与导数的关系
【解析】【解答】求导函数可得y′=3（x+1)（x-1)，令y′＞0，可得x＞1或x＜-1；令y′＜0，可得-1＜x＜1；，∴函数在（-∞，-1)，（1，+∞)上单调增，（-1，1)上单调减，∴函数在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值，∵函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，∴极大值等于0或极小值等于0，∴1-3+c=0或-1+3+c=0，∴c=-2或2，故选A 【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．
4.已知函数,设F（x)=f(x+4)，且函数F(x)的零点均在区间[a,b](aA.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，函数的零点
【解析】【解答】本题实际上是求b－a的最小值。因为， 所以， 函数f(x)在其定义域是增函数；又因为f(－1)=……=， f(0)=1>0，所以f(x)=0的根-15.在?上（???）
A.?是增函数???????????????????????????B.?是减函数???????????????????????????C.?有最大值???????????????????????????D.?有最小值
【答案】A
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为， 所以函数在上是增函数。故选A。
6.已知为定义在上的可导函数，且对于恒成立，且为自然对数的底，则（??）
A.??????B.? C.??????D.?
【答案】A
【考点】函数的单调性与导数的关系
【解析】【解答】因为为定义在上的可导函数，且， 则说明单调递增，同时当x>0时，则 故选A.
7.已知定义在R上的奇函数f(x)，若f(x)的导函数f'(x)满足f'(x)A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】利用导数研究函数的单调性，不等式
【解析】【解答】令， 因为所以， 所以单调递减，因为函数是定义在上的奇函数，所以有， 所以该不等式转化为， 根据函数的单调性可知原不等式的解集为. 【分析】解决本题的关键是构造新函数解不等式，解题时注意转化思想的应用.
8.已知函数的图像与x轴恰有两个公共点，则m等于（??）
A.?-2或2??????????????????????????????????B.?-9或3??????????????????????????????????C.?-1或1??????????????????????????????????D.?-3或1
【答案】A
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求m的值，求导函数可得y′=3（x+1)（x-1),令y′＞0，可得x＞1或x＜-1；令y′＜0，可得-1＜x＜1；,∴函数在（-∞，-1)，（1，+∞)上单调增，（-1，1)上单调减,∴函数在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值,∵函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,∴极大值等于0或极小值等于0,∴1-3+c=0或-1+3+c=0,∴m=-2或2,故选A． 【分析】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用极大值等于0或极小值等于0．
9.定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），f（0）=0．若对任意x∈R，都有f（x）＞f′（x）+1，则使得f（x）+ex＜1成立的x的取值范围为（?? ）
A.?（﹣∞，0）????????????????????B.?（﹣∞，1）????????????????????C.?（﹣1，+∞）????????????????????D.?（0，+∞）
【答案】D
【考点】函数的单调性与导数的关系
【解析】【解答】解：构造函数：g（x）= ，g（0）= =﹣1． ∵对任意x∈R，都有f（x）＞f'（x）+1， ∴g′（x）= ＜0， ∴函数g（x）在R单调递减， 由f（x）+ex＜1化为：g（x）= ＜﹣1=g（0）， ∴x＞0． ∴使得f（x）+ex＜1成立的x的取值范围为（0，+∞）． 故选：D． 【分析】根据条件构造函数g（x）= ，由求导公式和法则求出g′（x），根据条件判断出g′（x）的符号，得到函数g（x）的单调性，由f（0）=0求出g（0）的值，将不等式进行转化后，利用g（x）的单调性可求出不等式的解集．
10.如果函数y=f（x）的图象如图，那么导函数y=f′（x）的图象可能是（?? ）
A.???????????????????????????????????????B.? C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】函数的单调性与导数的关系
【解析】【解答】解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负， 故选A． 【分析】由y=f（x）的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负．
11.实数x，y满足y=2x2﹣4x+1，（0≤x≤1），则 的最大值为（?? ）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?1
【答案】B
【考点】利用导数研究函数的单调性，导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：∵y=2x2﹣4x+1，（0≤x≤1）， ∴ = 令x﹣2=t（﹣2≤t≤﹣1），则x=t+2 ∴ = =2t+4﹣ ， 设f（t）=2t﹣ +4，f′（t）=2+ ＞0， ∴函数在[﹣2，﹣1]上，函数为增函数 ∴t=﹣1时，函数取得最大值f（﹣1）=3； 故选：B． 【分析】先将函数化简，再利用换元法，进而可确定函数在定义域内为单调增函数，从而可求函数的最大值．
12.函数f（x）的导函数为f′（x），对任意的x∈R都有3f′（x）＞f（x）成立，则（?? ）
A.?3f（3ln2）＞2f（3ln3）????????????????????????????????????B.?3f（3ln2）与2f（3ln3）的大小不确定 C.?3f（3ln2）=2f（3ln3）?????????????????????????????????????D.?3f（3ln2）＜2f（3ln3）
【答案】D
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令h（x）= ，则h′（x）= ， 因为对任意的x∈R都有3f′（x）＞f（x）成立，所以3f′（3lnx）＞f（3lnx）， 所以h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）上单调递增， 所以h（2）＜h（3），即 ＜ ， 所以3f（3ln2）＜2f（3ln3）． 故选D． 【分析】根据选项可构造函数h（x）= ，利用导数判断函数h（x）的单调性，进而可比较h（2）与h（3）的大小，从而得到答案．
13.若函数 在区间 内单调递增，则实数 的取值范围是(??? )
A.????????????????B.??????????????C.????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】函数的值域，函数的单调性与导数的关系
【解析】【解答】 ， 在 内恒成立，所以 ，由于 ，所以 ， ，所以 , 故答案为：D． 【分析】由已知得导函数在（,2）上恒为正，转化为恒成立问题求得a的范围.
14.已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）＜f（x），且f（x+3）为偶函数，f（6）=1，则不等式f（x）＞ex的解集为（?? ）
A.?（﹣∞，0）?????????????????????B.?（0，+∞）?????????????????????C.?（1，+∞）?????????????????????D.?（4，+∞）
【答案】A
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设g（x）= ，则g′（x）= ． ∵f′（x）＜f（x），∴g′（x）＜0．∴函数g（x）是R上的减函数， ∵函数f（x+3）是偶函数， ∴函数f（﹣x+3）=f（x+3），∴函数关于x=3对称，∴f（0）=f（6）=1， 原不等式等价为g（x）＞1，∴不等式f（x）＜ex等价g（x）＞1，即g（x）＞g（0）， ∵g（x）在R上单调递减，∴x＜0． ∴不等式f（x）＞ex的解集为（﹣∞，0）． 故答案为：A． 【分析】先构造函数g（x）=，利用导数可得g（x）的单调性，再利用函数的对称性可得g（0）=1，从而可求出不等式f（x）＞ex的解集．
15.设函数 是偶函数 的导函数， 在区间 上的唯一零点为2，并且当 时， ，则使得 成立的 的取值范围是（??? ）
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】函数的单调性与导数的关系，利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令g（x）=xf（x），g′（x）=xf′（x）+f（x），
当x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0，
∴g（x）在（﹣1，1）递减，
而g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=﹣xf（x）=﹣g（x），
∴g（x）在R是奇函数，
∵f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，
即g（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，
∴g（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，+∞）递增，
g（0）=0，g（2）=0，g（﹣2）=0，
如图示：
x≥0时，f（x）＜0，即xf（x）＜0，由图象得：0≤x＜2，
x＜0时，f（x）＜0，即xf（x）＞0，由图象得：﹣2＜x＜0，
综上：x∈（﹣2，2），
故答案为：A.
【分析】令g（x）=xf（x），判断出g（x）是R上的奇函数，利用函数的单调性与导数的关系判断函数的单调性，以及奇偶性求出f（x）＜0的解集即可．
16.已知对任意 不等式 恒成立（其中 ，是自然对数的底数），则实数 的取值范围是（???? ）
A.????????????????????B.?????????????????C.???????????????????D.?
【答案】A
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】由 得 在 上恒成立， 即 在 上恒成立． 令 ? ， 则 ， ∴当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减． ∴ ， ∴ ， ∴ . 故实数 的取值范围是 ． 故答案为：A． 【分析】对条件式子，两边取对数，分离常数a，利用导函数研究单调性即可求解．
17.已知关于 的不等式 的解集中只有两个整数，则实数 的取值范围为（?? ）
A.?????????????????B.???????????????C.?????????????????D.?
【答案】A
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，绝对值不等式的解法
【解析】【解答】依题意， ,令 ,则 , 令 ,则 ,则 在 上单调递增，又 ,∴存在 ，使得 ,∴ ， 即 ， 在 单调递增，当 , ,即 ， 在 单调递减，∵ , ,且当 时， ， 又 ， ， ， 故要使不等式 的解集中只有两个整数，a的取值范围应为 . 故答案为：A 【分析】构造函数h(x),用导数研究函数的单调性，求出最值，结合函数图象的变化趋式，求出不等式有两个整数解时，a的范围。
18.已知函数 ?满足 ，在下列不等关系中，一定成立的是（??? ）
A.????????????????B.????????????C.???????????????D.?
【答案】A
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由题得 ， ， 故答案为：A. 【分析】由题得 f ′ ( x ) ? f ( x ) < 0 ,构造函数g(x)=,则其为上的减函数,于是g(1)>g(2),整理得到A项正确.
二、填空题
19.已知函数f（x）= 为R上的增函数，则实数a的取值范围是________．
【答案】[2，5）
【考点】函数单调性的判断与证明，利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：∵函数f（x）= 为R上的增函数， ∴ ， 解得a∈[2，5）， 故答案为：[2，5） 【分析】本题考查的是增函数的定义若x120.函数y=x3+x的递增区间是________．
【答案】（﹣∞，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：根据题意，函数y=x3+x， 其导数y′=3x2+1＞0， 则函数y=x3+x在R为增函数，则其递增区间是（﹣∞，+∞）， 故答案为：（﹣∞，+∞）． 【分析】根据题意，由函数的解析式对其求导，分析可得其导数y′=3x2+1＞0，由导数与函数的单调性之间的关系，分析可得答案．
21.已知函数 ，则函数 的递减区间为________.
【答案】
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】 ，令 ，即 ， ，所以函数 的递减区间为 .【分析】函数的导函数小于0时求得的x的取值范围即为原函数的单调递减区间.
22.函数y=lnx﹣x的单调递增区间为________．
【答案】（0，1]
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为（0，+∞） y′= ﹣1= ，令y′≥0得0＜x≤1， 故函数的单调递增区间是（0，1]， 故答案为：（0，1]． 【分析】根据导函数的性质得出原函数的增区间。
23.已知函数 ，对于 上的任意x1 ， x2 ， 有如下条件： ① ；②|x1|＞x2；③x1＞|x2|；④ ． 其中能使g（x1）＞g（x2）恒成立的条件序号是________．
【答案】③④
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：∵g（x）= [（﹣x）2﹣cos（﹣x）]= [x2﹣cosx]=g（x），∴g（x）是偶函数，∴g（x）图象关于y轴对称， ∵g′（x）=x+ sinx＞0，x∈（0， ]，∴g（x）在（0， ]上是增函数，在[﹣ ，0）是减函数， 故③x1＞|x2|；④ 时，g（x1）＞g（x2）恒成立， 故答案为：③④． 【分析】根据题意可得需要比较与的大小因此首先利用定义判断函数是偶函数，图象关于y轴对称，再根据导数判断函数在 [ ? ，? ]内的单调性即可得到③④正确。
24.函数y=x﹣2sinx在[0，π]上的递增区间是________．
【答案】[ ，π]
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：y′=1﹣2cosx，由y′=0解得x= ，
当0≤x＜ 时，1﹣2cosx＜0，
∴函数y=x﹣2sinx在[0， ]上递减；
当 ＜x≤π时，1﹣2cosx＞0，
∴函数y=x﹣2sinx在[ ，π]上递增；
故答案为：[ ，π]．
【分析】先对函数y=x﹣2sinx求导，令导数为0得f′（ ）=0，在[0， ]与[ ，π]上探讨导函数的正负．
25.已知函数f（x）= x3﹣ x2+2x+1，且f（x）在区间（﹣2，﹣1）内存在单调递减区间，则实数a的取值范围________．
【答案】（﹣∞，﹣2 ）
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：f′（x）=x2﹣ax+2，
由题意得?x∈（﹣2，﹣1），
使得不等式f′（x）=x2﹣ax+2＜0成立，
即x∈（﹣2，﹣1）时，a＜（x+ ）max ，
令g（x）=x+ ，x∈（﹣2，﹣1），
则g′（x）=1﹣ = ，
令g′（x）＞0，解得：﹣2＜x＜﹣ ，
令g′（x）＜0，解得：﹣ ＜x＜﹣1，
故g（x）在（﹣2，﹣ ）递增，在（﹣ ，﹣1）递减，
故g（x）max=g（﹣ ）=﹣2 ，
故满足条件a的范围是（﹣∞，﹣2 ），
故答案为：（﹣∞，﹣2 ）．
【分析】求出函数的导数，问题转化为a＜（x+ ）max=﹣2 ，根据不等式的性质求出a的范围即可．
26.若函数f（x）=x2﹣ex﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是________．
【答案】（﹣∞，2ln2﹣2）
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣ex﹣ax， ∴f′（x）=2x﹣ex﹣a， ∵函数f（x）=x2﹣ex﹣ax在R上存在单调递增区间， ∴f′（x）=2x﹣ex﹣a＞0， 即a＜2x﹣ex有解， 令g′（x）=2﹣ex ， g′（x）=2﹣ex=0，x=ln2， g′（x）=2﹣ex＞0，x＜ln2， g′（x）=2﹣ex＜0，x＞ln2 ∴当x=ln2时，g（x）max=2ln2﹣2， ∴a＜2ln2﹣2即可． 故答案为：（﹣∞，2ln2﹣2） 【分析】根据题意可得a＜2x﹣ex有解，转化为g（x）=2x﹣ex ， a＜g（x）max ， 利用导数求出最值即可．
27.已知函数f（x）满足f（x）=f（﹣x），且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+f′（x）＜0，a=20.1?f（20.1），b=（ln2）f（ln2），c=（log2）f（log2），则a，b，c的大小关系是________?
【答案】c＞a＞b
【考点】函数的单调性与导数的关系
【解析】【解答】设函数h（x）=xf（x），有函数y=f（x）是R上的偶函数，y=x是奇函数，
得h（x）=xf（x）是函数R上的奇函数，
由x∈（﹣∞，0）时，h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0成立，
∴h（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，
∵3＞20.1＞1，0＜ln2＜1，
丨丨=3＞20.1＞ln2
即h（3）＞h（20.1）＞h（ln2）．
又a=20.1?f（20.1），b=ln（2）?f（ln2），c=（）?f（），
∴b＜a＜c
故答案为c＞a＞b
【分析】通过构造复合函数，求导，求符合函数单调性，通过单调性判断函数值的大小。
28.若函数 在 上存在唯一的 ? 满足 ，那么称函数 是 上的“单值函数”.已知函数 是 ? 上的“单值函数”，当实数 取最小值时，函数 在 上恰好有两点零点，则实数 的取值范围是________．
【答案】
【考点】利用导数研究函数的单调性，导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】 函数 是 ? ， 有唯一根，即 有唯一零点，当 时，有 且 有两个零点或没有零点，不可能只有一个零点， 只有 ，当 时， 在 ?上递增，可得 且 一定成立，即 有唯一零点，， 有唯一根，，即 合题意， 最小值为 ， ?时 在 上递减，在 上递增，要使 在 上恰有两个零点，则有 ，解得 ，即 的取值范围是 . 故答案为 .
【分析】按“单值函数”的定义,得到g ( x ) = 3 x2 ? 2 x ? a2+ a 有唯一零点,当a<1时,g ( x ) 有两个零点或没有零点，不可能只有一个零点,则当 a ≥ 1 时,函数g(x)有唯一零点,满足“单值函数”的定义,则a 的最小值为1,此时由f(x)在 [ 0 , 1 ] 上恰有两个零点,求出m的范围.
29.设函数 是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为 ，且有 ，则不等式 的解集为________.
【答案】
【考点】函数的单调性与导数的关系
【解析】【解答】由2f（x）+xf′（x）＞x2 ， （x＜0），
得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3 ，
即[x2f（x）]′＜x3＜0，
令F（x）=x2f（x），
则当x＜0时，
得F′（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数，
∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（﹣2）=4f（﹣2），
即不等式等价为F（x+2014）﹣F（﹣2）＞0，
∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数，
∴由F（x+2014）＞F（﹣2）得，x+2014＜﹣2，
即x＜﹣2016，
故答案为：
【分析】构造函数F（x）=x2f（x），利用已知条件判断出F（x）的单调性，目标不等式即F（x+2014）＞F（﹣2）。
30.若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是________．
【答案】
【考点】函数的单调性与导数的关系
【解析】【解答】欲使函数的值域为R，只需 能取遍所有正数，即最小值小于等于0．令 ， 所以f（x）在 递增，在 递减，故 ? ? 故答案为 .
【分析】只需真数能取遍所有正数，即最小值小于等于0。
三、解答题
31.已知 为实数，函数 ，若 .
（1）求 的值。
（2）求函数 在 上的极值。
【答案】（1）解： ， 得 （2）解：由（ ）知 ? 令 得 ? 当 变化时 的变化情况如下表：
x
(- ,-1)
-1
(-1,- )
-
(- ,1)
f’(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↑
极大值
↓
极小值
↑
由上表可知
【考点】导数的运算，利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）对f(x)求导，将x=-1代入导函数，计算a，即可得出答案。（2）结合导函数，判断导函数的正负，得出原函数的单调性，结合函数图像，即可得出答案。
32.已知函数 在x=1处有极值10.
（1）求a、b的值；
（2）求 在 上的最大值与最小值.
【答案】（1）解：由 得 或 , .(经检验符合) （2）解： , 由 得 . 在 上单调递减， 上单调递增， 又 的最大值为100，最小值为10
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）计算f(x)的导函数，结合极值，建立等式，即可得到答案。（2）结合导函数，判断[0,4]的单调性，计算最值，即可得到答案。
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2016?全国）若函数f（x）=x﹣ sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（ ）
A.?[﹣1，1]???????????????????????B.?[﹣1， ]???????????????????????C.?[﹣ ， ]???????????????????????D.?[﹣1，﹣ ]
【答案】C
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数f（x）=x﹣ sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣ cos2x+acosx， 由题意可得f′（x）≥0恒成立，即为1﹣ cos2x+acosx≥0，即有 ﹣ cos2x+acosx≥0， 设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0， 当t=0时，不等式显然成立； 当0＜t≤1时，3a≥4t﹣ ，由4t﹣ 在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣ ；当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣ ，由4t﹣ 在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤ ．综上可得a的范围是[﹣ ， ]． 故选：C． 【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0恒成立，设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，对t讨论，分t=0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围．；本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题．
二、解答题
2.（2018?浙江）已知函数f(x)= ?lnx ． （Ⅰ）若f(x)在x=x1 ， x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8?8ln2； （Ⅱ）若a≤3?4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．
【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的导函数 ， 由 得 ， 因为 ，所以 ． 由基本不等式得 ． 因为 ，所以 ． 由题意得 ． 设 ， 则 ， 所以
x
（0，16）
16
（16，+∞）
g'（x）
-
0
+
g（x）
↘
2-4ln2
↗
所以g（x）在[256，+∞）上单调递增 故 ， 即 ． （Ⅱ）令m= ，n= ，则 f（m）–km–a>|a|+k–k–a≥0， f（n）–kn–a< ≤ <0， 所以，存在x0∈（m ， n）使f（x0）=kx0+a ， 所以，对于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点． 由f（x）=kx+a得 ． 设h（x）= ， 则h′（x）= ， 其中g（x）= ． 由（Ⅰ）可知g（x）≥g（16），又a≤3–4ln2， 故–g（x）–1+a≤–g（16）–1+a=–3+4ln2+a≤0， 所以h′（x）≤0，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，因此方程f（x）–kx–a=0至多1个实根． 综上，当a≤3–4ln2时，对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．
【考点】函数的单调性与导数的关系，利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】解题的关键是掌握利用导数研究函数的单调性 ， 导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力.
3.（2016?北京）设函数f(x)=x ?+bx，曲线y=f(x)在点 (2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4，
（1）求a,b的值；?
（2）求f(x)的单调区间。
【答案】（1）解： ∴ ∵曲线 在点 处的切线方程为 ∴ ， 即 ① ?? ?② 由①②解得： ， （2）解：∵a=2，b=e； ∴f（x）=xe2﹣x+ex， ∴f′（x）=e2﹣x﹣xe2﹣x+e=（1﹣x）e2﹣x+e， f″（x）=﹣e2﹣x﹣（1﹣x）e2﹣x=（x﹣2）e2﹣x ， 由f″（x）＞0得x＞2，由f″（x）＜0得x＜2， 即当x=2时，f′（x）取得极小值f′（2）=（1﹣2）e2﹣2+e=e﹣1＞0， ∴f′（x）＞0恒成立， 即函数f（x）是增函数， 即f（x）的单调区间是（﹣∞，+∞）．
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求函数的导数，根据导数的几何意义求出函数的切线斜率以及f（2），建立方程组关系即可求a，b的值；（2）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求f（x）的单调区间．
