2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第2章 第10节 第二课时 函数的极值与最值（学生版）
备战基础·零风险
1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
函数的极值与最值
极值与导数
极大值
函数y＝f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，若在点x0附近左侧 ，右侧 ，则x0为函数的极大值点，f(x0)叫函数的极大值
极小值
函数y＝f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，若在点x0附近左侧 ，右侧 ，则x0为函数的极小值点，f(x0)叫函数的极小值
最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的 ．
②将函数y＝f(x)的各极值与 比较，其中 的一个是最大值， 的一个是最小值．
备战方法·巧解题
规律
方法
1.函数最值是个“整体”概念，而函数极值是个“局部”概念．极大值与极小值没有必然的大小关系．
2．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
3．注意：①函数的极值一定不会在定义域区间的端点取到．
②求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论．不可想当然认为极值就是最值
4. (1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．
(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
求导确定函数的极大值?求得c值?求得极大值、极小值、端点值?求得最值．
5.在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．
6．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，区分极值点与导数为0的点；含参数时，要讨论参数的大小．
7．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得．
备战练习·固基石
一、单选题
1.函数 的最小值（?? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?1????????????????????????????????????????C.?0????????????????????????????????????????D.?不存在
2.可导函数在闭区间的最大值必在（?????）取得
A.?极值点??????????????????????B.?导数为0的点??????????????????????C.?极值点或区间端点??????????????????????D.?区间端点
3.函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（ ?）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
4.对于函数f（x)与g(x)和区间D，如果存在 ， 使 ， 则称x0是函数f(x)与g(x)在区间D上的“友好点”．现给出两个函数： ①f(x)=x2 ， g(x)=2x-2； ② ， g(x)=x+2； ③ ， ； ④f(x)=lnx，g(x)=x， 则在区间上的存在唯一“友好点”的是（?）
A.?①②?????????????????????????????????????B.?③④?????????????????????????????????????C.?②③?????????????????????????????????????D.?①④
5.若函数在(0,1)内有极小值，则???????????????????（???）?
A.?00??????????????????????????????????D.?b<0.5
6.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( )．
A.?－1＜a＜2????????????????????B.?－3＜a＜6????????????????????C.?a＜－1或a＞2????????????????????D.?a＜－3或a＞6
7.已知函数 ，若f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是（?? ）
A.????????????????????B.?（﹣∞，0]??????????????????C.?[0， ﹣1]???????????????????D.?
8.已知函数f（x）= （x≠﹣a）在x=1时取得极值，则f（1）是函数f（x）的（?? ）
A.?极小值????????????B.?极大值????????????C.?可能是极大值也可能是极小值????????????D.?是极小值且也是最小值
9.若函数 在区间 内恰有一个极值点，则实数 的取值范围为（? ?）
A.??????????????????????????B.?????????????C.???????????????????????D.?
10.已知函数f（x）=x3+ax2+bx有两个极值点x1、x2 ， 且x1＜x2 ， 若x1+2x0=3x2 ， 函数g（x）=f（x）﹣f（x0），则g（x）（?? ）
A.?恰有一个零点??????????????????B.?恰有两个零点??????????????????C.?恰有三个零点??????????????????D.?至多两个零点
11.已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1 ， x2（x1＜x2）（?? ）
A.??????????????????????????????????????????B.? C.??????????????????????????????????????????D.?
12.定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（?? ）
A.?只有三个极大值点，无极小值点?????????????????????????B.?有两个极大值点，一个极小值点 C.?有一个极大值点，两个极小值点?????????????????????????D.?无极大值点，只有三个极小值点
13.如图所示，曲线是函数的大致图象，则等于（ ）
A.?????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
14.用max{a，b}表示a，b两数中的最大值，函数f（x）=max{ax ， }（a＞0，a≠1），若f（x）＞ 恒成立，则实数a的取值范围为（?? ）
A.?（0， ）????????????B.?（ ，1）??????????????????C.?（1， ）??????????????????D.?（ ，+∞）
15.设f(x)=ex-ax+ ， x已知斜率为k的直线与y=f(x)的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点，若对任意的a<一2，k>m恒成立，则m的最大值为（??????）
A.?-2+????????????????????????????????B.?-2-????????????????????????????????C.?2+????????????????????????????????D.?2+2
16.函数 ，对任意x1 ， x2∈（0，+∞），不等式（k+1）g（x1）≤kf（x2）（k＞0）恒成立，则实数k的取值范围是（?? ）
A.?[1，+∞）??????????????????????????B.?（2，+∞]??????????????????????????C.?（0，2）??????????????????????????D.?（0，1]
17.若存在一个实数 ，使得 成立，则称 为函数 的一个不动点，设函数 （ ， 为自然对数的底数），定义在 上的连续函数 满足 ，且当 时， .若存在 ，且 为函数 的一个不动点，则实数 的取值范围为（??? ）
A.??????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
18.已知关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ??）
A.????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
19.已知 ，若 恰有两个根 ,则 的取值范围是(??? )
A. B. C. D.
20.函数的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（???）
A.????????????????B.????????????????C.????????????????D.?
二、填空题
21.函数 的最大值是________。
22.若函数f（x）=x2+（a+3）x+lnx在区间（1，2）上存在唯一的极值点，则实数a的取值范围为________．
23.已知函数f（x）=x2﹣3x+lnx，则f（x）在区间[ ，2]上的最小值为________；当f（x）取到最小值时，x=________．
24.已知函数f（x）=2x3﹣3x2+1，对于区间上的任意x1 ， x2 ， |f（x1）﹣f（x2）|的最大值是________?
25.函数f（x）=xe﹣x ， x∈[0，4]的最小值是________．
26.函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为________?
27.已知函数f（x）=ex﹣ax在区间（0，1）上有极值，则实数a的取值范围是________
28.已知f（x）=ax+ ，g（x）=ex﹣3ax，a＞0，若对?x1∈（0，1），存在x2∈（1，+∞），使得方程f（x1）=g（x2）总有解，则实数a的取值范围为________．
29.若存在两个正实数 ， 使等式 成立（其中 ），则实数 的取值范围是________．
三、解答题
30.已知函数f（x）=alnx+ ， g（x）=x+lnx，其中a＞0，且x∈（0，+∞）．
（1）若a=1，求f（x）的最小值；
（2）若对任意x≥1，不等式f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
31.已知f（x）=xlnx，g（x）= ， 直线l：y=（k﹣3）x﹣k+2 （1）函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值 （2）若至少存在一个x0∈[1，e]使f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围 （3）设k∈Z，当x＞1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2016?四川）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（ ）
A.?﹣4?????????????????????????????????????????B.?﹣2?????????????????????????????????????????C.?4?????????????????????????????????????????D.?2
【答案】D
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：f′（x）=3x2﹣12； ∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0； ∴x=2是f（x）的极小值点； 又a为f（x）的极小值点； ∴a=2． 故选D． 【分析】可求导数得到f′（x）=3x2﹣12，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值；考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象．
二、填空题
2.（2018?江苏）若函数 在 内有且只有一个零点，则 在 上的最大值与最小值的和为________
【答案】-3
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解： 当a≤0时， ∴ 时，则在 为零点，舍去 当a＞0时， 递减， 递增，又 只有一个零点， ∴ 在 递增，（0,1）递减 最大值与最小值和为-3 【分析】先求导，根据a的不同值分类讨论，有且仅有一个零点，得到a=3，再分析 单调性，求出最值。
3.（2016?北京）函数f（x）= （x≥2）的最大值为________．
【答案】2
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】解： ； ∴f（x）在[2，+∞）上单调递减； ∴x=2时，f（x）取最大值2． 故答案为：2． 【分析】分离常数便可得到 ，根据反比例函数的单调性便可判断该函数在[2，+∞）上为减函数，从而x=2时f（x）取最大值，并可求出该最大值．；考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值的方法．
三、解答题
4.（2018?卷Ⅱ）已知函数
（1）若a=1,证明：当 时，
（2）若 在 只有一个零点，求 .
5.（2018?江苏）某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆 的一段圆弧 ( 为此圆弧的中点)和线段 构成,已知圆 的半径为40米,点 到 的距离为50米,先规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 .大棚Ⅱ内的地块形状为 要求 均在线段 上, 均在圆弧上,设 与 所成的角为θ
（1）用 θ 分别表示矩形 ABCD 和 ΔCDP 的面积,并确定 sinθ 的取值范围
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当 θ 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.
6.（2016?浙江）设函数f（x）=x3+ ，x∈[0，1]，证明：
（1）f（x）≥1﹣x+x2
（2）＜f（x）≤ ．
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第2章 第10节 第二课时 函数的极值与最值（学生版）
备战基础·零风险
1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
函数的极值与最值
极值与导数
极大值
函数y＝f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，若在点x0附近左侧 ，右侧 ，则x0为函数的极大值点，f(x0)叫函数的极大值
极小值
函数y＝f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，若在点x0附近左侧 ，右侧 ，则x0为函数的极小值点，f(x0)叫函数的极小值
最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的 ．
②将函数y＝f(x)的各极值与 比较，其中 的一个是最大值， 的一个是最小值．
备战方法·巧解题
规律
方法
1.函数最值是个“整体”概念，而函数极值是个“局部”概念．极大值与极小值没有必然的大小关系．
2．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
3．注意：①函数的极值一定不会在定义域区间的端点取到．
②求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论．不可想当然认为极值就是最值
4. (1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．
(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
求导确定函数的极大值?求得c值?求得极大值、极小值、端点值?求得最值．
5.在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．
6．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，区分极值点与导数为0的点；含参数时，要讨论参数的大小．
7．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得．
备战练习·固基石
一、单选题
1.函数 的最小值（?? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?1????????????????????????????????????????C.?0????????????????????????????????????????D.?不存在
2.可导函数在闭区间的最大值必在（?????）取得
A.?极值点??????????????????????B.?导数为0的点??????????????????????C.?极值点或区间端点??????????????????????D.?区间端点
3.函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（ ?）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
4.对于函数f（x)与g(x)和区间D，如果存在 ， 使 ， 则称x0是函数f(x)与g(x)在区间D上的“友好点”．现给出两个函数： ①f(x)=x2 ， g(x)=2x-2； ② ， g(x)=x+2； ③ ， ； ④f(x)=lnx，g(x)=x， 则在区间上的存在唯一“友好点”的是（?）
A.?①②?????????????????????????????????????B.?③④?????????????????????????????????????C.?②③?????????????????????????????????????D.?①④
5.若函数在(0,1)内有极小值，则???????????????????（???）?
A.?00??????????????????????????????????D.?b<0.5
6.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( )．
A.?－1＜a＜2????????????????????B.?－3＜a＜6????????????????????C.?a＜－1或a＞2????????????????????D.?a＜－3或a＞6
7.已知函数 ，若f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是（?? ）
A.????????????????????B.?（﹣∞，0]??????????????????C.?[0， ﹣1]???????????????????D.?
8.已知函数f（x）= （x≠﹣a）在x=1时取得极值，则f（1）是函数f（x）的（?? ）
A.?极小值????????????B.?极大值????????????C.?可能是极大值也可能是极小值????????????D.?是极小值且也是最小值
9.若函数 在区间 内恰有一个极值点，则实数 的取值范围为（? ?）
A.??????????????????????????B.?????????????C.???????????????????????D.?
10.已知函数f（x）=x3+ax2+bx有两个极值点x1、x2 ， 且x1＜x2 ， 若x1+2x0=3x2 ， 函数g（x）=f（x）﹣f（x0），则g（x）（?? ）
A.?恰有一个零点??????????????????B.?恰有两个零点??????????????????C.?恰有三个零点??????????????????D.?至多两个零点
11.已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1 ， x2（x1＜x2）（?? ）
A.??????????????????????????????????????????B.? C.??????????????????????????????????????????D.?
12.定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（?? ）
A.?只有三个极大值点，无极小值点?????????????????????????B.?有两个极大值点，一个极小值点 C.?有一个极大值点，两个极小值点?????????????????????????D.?无极大值点，只有三个极小值点
13.如图所示，曲线是函数的大致图象，则等于（ ）
A.?????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
14.用max{a，b}表示a，b两数中的最大值，函数f（x）=max{ax ， }（a＞0，a≠1），若f（x）＞ 恒成立，则实数a的取值范围为（?? ）
A.?（0， ）????????????B.?（ ，1）??????????????????C.?（1， ）??????????????????D.?（ ，+∞）
15.设f(x)=ex-ax+ ， x已知斜率为k的直线与y=f(x)的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点，若对任意的a<一2，k>m恒成立，则m的最大值为（??????）
A.?-2+????????????????????????????????B.?-2-????????????????????????????????C.?2+????????????????????????????????D.?2+2
16.函数 ，对任意x1 ， x2∈（0，+∞），不等式（k+1）g（x1）≤kf（x2）（k＞0）恒成立，则实数k的取值范围是（?? ）
A.?[1，+∞）??????????????????????????B.?（2，+∞]??????????????????????????C.?（0，2）??????????????????????????D.?（0，1]
17.若存在一个实数 ，使得 成立，则称 为函数 的一个不动点，设函数 （ ， 为自然对数的底数），定义在 上的连续函数 满足 ，且当 时， .若存在 ，且 为函数 的一个不动点，则实数 的取值范围为（??? ）
A.??????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
18.已知关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ??）
A.????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
19.已知 ，若 恰有两个根 ,则 的取值范围是(??? )
A. B. C. D.
20.函数的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（???）
A.????????????????B.????????????????C.????????????????D.?
二、填空题
21.函数 的最大值是________。
22.若函数f（x）=x2+（a+3）x+lnx在区间（1，2）上存在唯一的极值点，则实数a的取值范围为________．
23.已知函数f（x）=x2﹣3x+lnx，则f（x）在区间[ ，2]上的最小值为________；当f（x）取到最小值时，x=________．
24.已知函数f（x）=2x3﹣3x2+1，对于区间上的任意x1 ， x2 ， |f（x1）﹣f（x2）|的最大值是________?
25.函数f（x）=xe﹣x ， x∈[0，4]的最小值是________．
26.函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为________?
27.已知函数f（x）=ex﹣ax在区间（0，1）上有极值，则实数a的取值范围是________
28.已知f（x）=ax+ ，g（x）=ex﹣3ax，a＞0，若对?x1∈（0，1），存在x2∈（1，+∞），使得方程f（x1）=g（x2）总有解，则实数a的取值范围为________．
29.若存在两个正实数 ， 使等式 成立（其中 ），则实数 的取值范围是________．
三、解答题
30.已知函数f（x）=alnx+ ， g（x）=x+lnx，其中a＞0，且x∈（0，+∞）．
（1）若a=1，求f（x）的最小值；
（2）若对任意x≥1，不等式f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
31.已知f（x）=xlnx，g（x）= ， 直线l：y=（k﹣3）x﹣k+2 （1）函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值 （2）若至少存在一个x0∈[1，e]使f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围 （3）设k∈Z，当x＞1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2016?四川）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（ ）
A.?﹣4?????????????????????????????????????????B.?﹣2?????????????????????????????????????????C.?4?????????????????????????????????????????D.?2
【答案】D
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：f′（x）=3x2﹣12； ∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0； ∴x=2是f（x）的极小值点； 又a为f（x）的极小值点； ∴a=2． 故选D． 【分析】可求导数得到f′（x）=3x2﹣12，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值；考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象．
二、填空题
2.（2018?江苏）若函数 在 内有且只有一个零点，则 在 上的最大值与最小值的和为________
【答案】-3
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解： 当a≤0时， ∴ 时，则在 为零点，舍去 当a＞0时， 递减， 递增，又 只有一个零点， ∴ 在 递增，（0,1）递减 最大值与最小值和为-3 【分析】先求导，根据a的不同值分类讨论，有且仅有一个零点，得到a=3，再分析 单调性，求出最值。
3.（2016?北京）函数f（x）= （x≥2）的最大值为________．
【答案】2
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】解： ； ∴f（x）在[2，+∞）上单调递减； ∴x=2时，f（x）取最大值2． 故答案为：2． 【分析】分离常数便可得到 ，根据反比例函数的单调性便可判断该函数在[2，+∞）上为减函数，从而x=2时f（x）取最大值，并可求出该最大值．；考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值的方法．
三、解答题
4.（2018?卷Ⅱ）已知函数
（1）若a=1,证明：当 时，
（2）若 在 只有一个零点，求 .
5.（2018?江苏）某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆 的一段圆弧 ( 为此圆弧的中点)和线段 构成,已知圆 的半径为40米,点 到 的距离为50米,先规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 .大棚Ⅱ内的地块形状为 要求 均在线段 上, 均在圆弧上,设 与 所成的角为θ
（1）用 θ 分别表示矩形 ABCD 和 ΔCDP 的面积,并确定 sinθ 的取值范围
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当 θ 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.
6.（2016?浙江）设函数f（x）=x3+ ，x∈[0，1]，证明：
（1）f（x）≥1﹣x+x2
（2）＜f（x）≤ ．
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第2章 第10节 第二课时 函数的极值与最值（教师版）
备战基础·零风险
1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
函数的极值与最值
极值与导数
极大值
函数y＝f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，若在点x0附近左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则x0为函数的极大值点，f(x0)叫函数的极大值
极小值
函数y＝f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，若在点x0附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则x0为函数的极小值点，f(x0)叫函数的极小值
最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
备战方法·巧解题
规律
方法
1.函数最值是个“整体”概念，而函数极值是个“局部”概念．极大值与极小值没有必然的大小关系．
2．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
3．注意：①函数的极值一定不会在定义域区间的端点取到．
②求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论．不可想当然认为极值就是最值
4. (1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．
(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
求导确定函数的极大值?求得c值?求得极大值、极小值、端点值?求得最值．
5.在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．
6．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，区分极值点与导数为0的点；含参数时，要讨论参数的大小．
7．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得．
备战练习·固基石
一、单选题
1.函数 的最小值（?? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?1????????????????????????????????????????C.?0????????????????????????????????????????D.?不存在
【答案】B
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】函数 ，求导得： . 当 单调递减； 当 单调递增. 所以 . 故答案为：B. 【分析】求导数，利用导数判定函数的单调性，根据函数的单调性求出函数的最小值即可.
2.可导函数在闭区间的最大值必在（?????）取得
A.?极值点??????????????????????B.?导数为0的点??????????????????????C.?极值点或区间端点??????????????????????D.?区间端点
【答案】C
【考点】利用导数研究函数的极值，导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】由导数求函数最值问题，可导函数在闭区间的最大值必在极值点或区间端点，可知答案是C。
3.函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（ ?）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
【答案】A
【考点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】函数的极小值点要满足， 在左侧附近， 右侧附近， 根据图像观察得有1个.故选A. 【分析】函数的极小（大)值点要满足， 在左侧附近（>0)，右侧附近(<0).
4.对于函数f（x)与g(x)和区间D，如果存在 ， 使 ， 则称x0是函数f(x)与g(x)在区间D上的“友好点”．现给出两个函数： ①f(x)=x2 ， g(x)=2x-2； ② ， g(x)=x+2； ③ ， ； ④f(x)=lnx，g(x)=x， 则在区间上的存在唯一“友好点”的是（?）
A.?①②?????????????????????????????????????B.?③④?????????????????????????????????????C.?②③?????????????????????????????????????D.?①④
【答案】D
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】对于①， 所以，存在唯一“友好点”?； 对于②，， 不符合?； 对于③，=， ， 函数在（0，+∞）上是单调减函数，当时，， 所以，存在， 使成立，但“友好点”不唯一； 对于④令得 令， 得所以，时，函数取得极大值，且为最大值，最大值为， 所以，存在存在唯一“友好点”；故在区间上的存在唯一“友好点”的是①④，选D.
5.若函数在(0,1)内有极小值，则???????????????????（???）?
A.?00??????????????????????????????????D.?b<0.5
【答案】A
【考点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】∵， ∴， 由题意在（0,1)上与x轴有交点，故， ∴， 故选A 【分析】熟练掌握导数的运算及极值的定义是解决此类问题的关键，属基础题
6.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( )．
A.?－1＜a＜2????????????????????B.?－3＜a＜6????????????????????C.?a＜－1或a＞2????????????????????D.?a＜－3或a＞6
【答案】D
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】因为f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，所以，有不等实根，， 解得，a＜－3或a＞6，故选D。 【分析】简单题，连续函数存在极值，函数的导数为零必有解。
7.已知函数 ，若f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是（?? ）
A.????????????????????B.?（﹣∞，0]???????????????????C.?[0， ﹣1]???????????????????D.?
【答案】A
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：令t=g（x），x∈[0，1]，则g′（x）=2xln2﹣2x 设g′（x0）=0，则函数在[0，x0]上单调递增，在[x0 ， 1]上单调递减， g（x）在x∈[0，1]上的值域为[1，g（x0）]，（g（x0）=2x0﹣x02＜2）． ∵f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立， ∴f（t）≤0，即 +（a﹣1） +a≤0， a≤ =2 ﹣1=h（t），t∈[1，g（x0）]， 则h（t）的最小值=2× ﹣1= ﹣1． ∴a≤ ﹣1． 故选：A． 【分析】令t=g（x），x∈[0，1]，则g′（x）=2xln2﹣2x．设g′（x0）=0，利用单调性可得：g（x）在x∈[0，1]上的值域为[1，g（x0）]，（g（x0）=2x0﹣x02）．由f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立，可得 +（a﹣1） +a≤0，a≤2 ﹣1=h（t），t∈[1，g（x0）]，即可得出．
8.已知函数f（x）= （x≠﹣a）在x=1时取得极值，则f（1）是函数f（x）的（?? ）
A.?极小值????????????B.?极大值????????C.?可能是极大值也可能是极小值???????D.?是极小值且也是最小值
【答案】A
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：f′（x）= ，函数f（x）= （x≠﹣a）在x=1时取得极值， 可得a=0，x∈（0，1），f′（x）＜0，函数是减函数， x∈（1，+∞），f′（x）＞0，函数是减函数， 故函数f（x）= 在x=1处取得极小值， 故选：A． 【分析】求出函数的导数，得到f′（0）=0，求出a的值即可．
9.若函数 在区间 内恰有一个极值点，则实数 的取值范围为（? ?）
A.??????????????????????B.??????????????????????C.?????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】由题意, ， 则 ， 即 ， 解得 ， 另外,当 时, 在区间(?1,1)恰有一个极值点 ， 当 时,函数 在区间(?1,1)没有一个极值点， 实数 的取值范围为 . 故答案为：B. 【分析】本题主要考查利用导数和函数的极值点之间的关系问题，主要利用数形结合和转化的数学思想方法。先根据题意中函数在区间（-1,1）内恰有一个极值点，可知 f ' ( ? 1 ) f ' ( 1 ) < 0 ，进而转化为解不等式的问题，然后再利用导数和极值点的关系求解a的取值范围。
10.已知函数f（x）=x3+ax2+bx有两个极值点x1、x2 ， 且x1＜x2 ， 若x1+2x0=3x2 ， 函数g（x）=f（x）﹣f（x0），则g（x）（?? ）
A.?恰有一个零点??????????????????B.?恰有两个零点??????????????????C.?恰有三个零点??????????????????D.?至多两个零点
【答案】B
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：f（x）=x3+ax2+bx，求导，f′（x）=3x2+2ax+b，由函数f（x）有两个极值点x1、x2 ， 则x1、x2是方程3x2+2ax+b=0的两个根，则x1+x2=﹣ ，x1x2= ， ∴a=﹣ ，① 由x1+2x0=3x2 ， 则x0= =x2+ ＞x2 ， 由函数图象可知：令f（x1）=f（x）的另一个解为m， 则x3+ax2+bx﹣f（x1）=（x﹣x1）2（x﹣m）， 则 ，则m=﹣a﹣2x1 ， 将①代入②整理得：m= ﹣2x1= =x0 ， ∴f（x）=f（m）=f（x0）， ∴g（x）只有两个零点，即x0和m， 故选：B． 【分析】由题意可知：x1、x2是方程3x2+2ax+b=0的两个根，由韦达定理可知：x1+x2=﹣ ，x1x2= ，由x1+2x0=3x2 ， x0= ＞0，令f（x1）=f（x）的另一个解为m，即可求得m=﹣a﹣2x1 ， 则f（x）=f（m）=f（x0），
11.已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1 ， x2（x1＜x2）（?? ）
A.??????????????????????????????????????????B.? C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：∵f′（x）=lnx+1﹣2ax，（x＞0） 令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1 ， x2?函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0． ． ①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去． ②当a＞0时，令g′（x）=0，解得x= ， ∵x ，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增； 时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减． ∴x= 是函数g（x）的极大值点，则 ＞0，即 ＞0， ∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即 ． 故当0＜a＜ 时，g（x）=0有两个根x1 ， x2 ， 且x1＜ ＜x2 ， 又g（1）=1﹣2a＞0， ∴x1＜1＜ ＜x2 ， 从而可知函数f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1 ， x2）上递增，在区间（x2 ， +∞）上递减． ∴f（x1）＜f（1）=﹣a＜0，f（x2）＞f（1）=﹣a＞﹣ ． 故选：D． 【分析】先求出f′（x），令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1 ， x2?函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．
12.定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（?? ）
A.?只有三个极大值点，无极小值点?????????????????????????B.?有两个极大值点，一个极小值点 C.?有一个极大值点，两个极小值点?????????????????????????D.?无极大值点，只有三个极小值点
【答案】C
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：F′（x）=f′（x）﹣g′（x）， 由图象得f′（x）和g′（x）有3个交点， 从左到右分分别令为a，b，c， 故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减， x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增， x∈（b，c）时，F′（x）＜0，F（x）递减， x∈（c，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增， 故函数F（x）有一个极大值点，两个极小值点， 故选：C． 【分析】根据函数的单调性结合函数的图象判断函数的极值点的个数即可．
13.如图所示，曲线是函数的大致图象，则等于（ ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】因为， 由图像知，， ， ?，所以， 所以， 由题意知是函数的极值.故有 是的根，所以， ， 则.选C. 【分析】本题考查一元二次方程根的分布，根与系数的关系，函数在某点取的极值的条件，以及求函数的导数．
14.用max{a，b}表示a，b两数中的最大值，函数f（x）=max{ax ， }（a＞0，a≠1），若f（x）＞ 恒成立，则实数a的取值范围为（?? ）
A.?（0， ）???????????????B.?（ ，1）??????????????C.?（1， ）??????????????????D.?（ ，+∞）
【答案】B
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】解：分别画出y=ax的图象，分0＜a＜1或a＞1，以及y= 的图象， 由图象可知，当a＞1时， 当a＞1时，f（x）=max{ax ， }=ax ， 由于f（x）＞0，在x∈R，故f（x）＞ 不恒成立，故不符合题意， 当0＜a＜1时，f（x）=max{ax ， }， 当 ＞ 时，解的x＞2时， 故当x＜2时，ax＞ ， ∴a2＞ ， 解得a＞ 故 ＜a＜1， 故选：B． 【分析】分别画出y=ax的图象，分0＜a＜1或a＞1，以及y= 的图象，分类讨论，即可求出a的取值范围．
15.设f(x)=ex-ax+ ， x已知斜率为k的直线与y=f(x)的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点，若对任意的a<一2，k>m恒成立，则m的最大值为（??????）
A.?-2+????????????????????????????????B.?-2-????????????????????????????????C.?2+????????????????????????????????D.?2+2
【答案】D
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】当时，在上是增函数..因为斜率为k的直线与y= (x)的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点，所以.又恒成立，所以.选D.
16.函数 ，对任意x1 ， x2∈（0，+∞），不等式（k+1）g（x1）≤kf（x2）（k＞0）恒成立，则实数k的取值范围是（?? ）
A.?[1，+∞）??????????????????????????B.?（2，+∞]??????????????????????????C.?（0，2）??????????????????????????D.?（0，1]
【答案】A
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=e2x+ ≥2 =2e， ∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x2）有最小值2e， ∵g（x）= ，∴g′（x）= ， 当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增， 当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减， ∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e， 则有x1、x2∈（0，+∞），f（x2）min=2e＞g（x1）max=e ∵（k+1）g（x1）≤kf（x2）（k＞0）， ∴ ≤ 恒成立且k＞0， ≤ ， ∴k≥1 故选：A． 【分析】利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，f（x）的最小值，得到关于k的不等式，解出即可．
17.若存在一个实数 ，使得 成立，则称 为函数 的一个不动点，设函数 （ ， 为自然对数的底数），定义在 上的连续函数 满足 ，且当 时， .若存在 ，且 为函数 的一个不动点，则实数 的取值范围为（??? ）
A.???????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】∵f（﹣x）+f（x）=x2
∴令F（x）=f（x）﹣ ，
∴f（x）﹣ =﹣f（﹣x）+ x2
∴F（x）=﹣F（﹣x），即F（x）为奇函数，
∵F′（x）=f′（x）﹣x，
且当x 0时，f′（x）＜x，
∴F′（x）＜0对x＜0恒成立，
∵F（x）为奇函数，
∴F（x）在R上单调递减，
∵f（x）+ ≥f（1﹣x）+x，
∴f（x）+ ﹣ ≥f（1﹣x）+x﹣ ，
即F（x）≥F（1﹣x），
∴x≤1﹣x，
x0≤ ，
∵ 为函数 的一个不动点
∴g（x0）=x0 ，
即h（x）= ?=0在（﹣∞， ]有解．
∵h′（x）=ex- ，
∴h（x）在R上单调递减．
∴h（x）min=h（ ）= ﹣a 即可，
∴a≥ ．
故答案为：B
【分析】解决本题需要理解给出的不动点的概念，即的不动点满足,从而转化为有解，从而需要求出的取值范围。要求的范围，则只能从f ( ? x ) + f ( x ) = x 2和? x ≤ 0 ?时，? f ′ ( x ) < x ?.若存在? x 0 ∈ { x | f ( x ) + 1 2 ≥ f ( 1 ? x ) + x }加以解决。
18.已知关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ??）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】由题意易知：a ，x>0 ∵ ∴ 即 ,又 ∴ 恒成立 ∴ ，即 故答案为：B
【分析】原不等式可变形为,即恒成立。利用导数分别求出左边的最大值为右边的最小值为1，所以<<1,即1 < a < e。
19.已知 ，若 恰有两个根 ,则 的取值范围是(??? )
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由题意 ，所以 ，从而 ，求导可得 ，当 时， ，当 时， ，所以函数在 ，
故答案为：B.
【分析】根据题意，将两个根分别代入函数，对两者分别取对数运算，将结果所求转化成一个未知数表示，由导数与极值的基本关系得到最大值，代入数据计算，即可得出答案。
20.函数的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（???）
A.????????????????B.????????????????C.????????????????D.?
【答案】D
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】因为， 所以令f'(x)=0解得x=-2或x=1,当a>0时，在x=-2处取得极大值，在x=1处取得极小值，所以需要,解得;当a<0时，在x=1处取得极大值，在x=-2处取得极小值，所以需要,解得,故答案选D
二、填空题
21.函数 的最大值是________。
【答案】
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】∵f（x）= ，∴f′（x）= ，
令f′（x）=0得x=e．
∵当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上为增函数，
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，则在（e，+∞）上为减函数，
∴fmax（x）=f（e）= ．
故答案为： 。
【分析】求导数，利用导数判定函数的单调性，结合函数的单调性求出最值即可.
22.若函数f（x）=x2+（a+3）x+lnx在区间（1，2）上存在唯一的极值点，则实数a的取值范围为________．
【答案】（﹣ ，﹣6）
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：f′（x）=2x+a+3+ = ， 若f（x）在（1，2）上存在唯一的极值点， 则f′（1）f′（2）＜0，即（a+6）（2a+15）＜0， 解得：﹣ ＜a＜﹣6， 故答案为：（﹣ ，﹣6）． 【分析】根据零点定理可得结果。
23.已知函数f（x）=x2﹣3x+lnx，则f（x）在区间[ ，2]上的最小值为________；当f（x）取到最小值时，x=________．
【答案】﹣2；1
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】解： = （x＞0）， 令f′（x）=0，得x= ，1， 当x 时，f′（x）＜0，x∈（1，2）时，f′（x）＞0， ∴f（x）在区间[ ，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增， ∴当x=1时，f（x）在区间[ ，2]上的最小值为f（1）=﹣2， 故答案为：﹣2，1． 【分析】求出函数的导数，求出函数的单调区间，求得函数的最小值．
24.已知函数f（x）=2x3﹣3x2+1，对于区间上的任意x1 ， x2 ， |f（x1）﹣f（x2）|的最大值是________?
【答案】5
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】对于区间上的任意x1 ， x2 ， |f（x1）﹣f（x2）|的最大值，等价于对于区间上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min的值，
∵函数f（x）=2x3﹣3x2+1，∴f′（x）=6x2﹣6x=6x（x﹣1），
∵x∈ ， ∴函数在[1，2]上单调递增，在[ ， 1]上单调递减，
∴f（x）max=f（2）=16﹣12+1=5，f（）=-+1= ， f（x）min=f（1）=0
∴f（x）max﹣f（x）min=5，
∴对于区间上的任意x1 ， x2 ， |f（x1）﹣f（x2）|的最大值是：5．
故答案为：5．
【分析】对于区间上的任意x1 ， x2求解|f（x1）﹣f（x2）|的最大值，等价于对于区间上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min的绝对值的最大值，利用导数确定函数的单调性，求最值，即可得出结论．
25.函数f（x）=xe﹣x ， x∈[0，4]的最小值是________．
【答案】0
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】解：函数f（x）=xe﹣x ， 可得f′（x）= ， 当x∈[0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（1，4]时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， ∵f（0）=0，f（4）= ＞0，∴当x=0时，f（x）有最小值，且f（0）=0． 故答案为：0． 【分析】先求出导函数f′（x），由f′（x）＞0和f′（x）＜0，求出x的取值范围，得出函数f（x）的单调区间，从而求出函数的最值．
26.函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为________?
【答案】（﹣4，11）
【考点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】对函数f（x）求导得 f′（x）=3x2﹣2ax﹣b， 又∵在x=1时f（x）有极值10， ∴f′（1）=3﹣2a﹣b=0，f（1）=1﹣a﹣b+a2=10， 解得，a=﹣4，b=11，或a=3，b=﹣3， 验证知，当a=3，b=﹣3时，在x=1无极值， 故答案为：（﹣4，11） 【分析】首先对f（x）求导，然后由题设在x=1时有极值10可得，f′（1）=0，f（1）=10．，解之即可求出a和b的值．
27.已知函数f（x）=ex﹣ax在区间（0，1）上有极值，则实数a的取值范围是________
【答案】（0，e）
【考点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：f（x）的定义域为R，且 f′（x）=ex﹣a． ①当a≤0时，f（x）=ex ， 故f（x）在R上单调递增，从而f（x）没有极大值，也没有极小值． ②当a＞0时，令f'（x）=0，得x=lna．f（x）和f′（x）的情况如下：
x
（﹣∞，lna）
lna
（lna，+∞）
f'（x）
﹣
0
+
f（x）
↘
↗
故f（x）的单调减区间为（﹣∞，lna）；单调增区间为（lna，+∞）． 从而f（x）的极小值为f（lna）=a﹣alna；没有极大值． ∵函数f（x）=ex﹣ax在区间（0，1）上有极值， ∴0＜lna＜1， ∴a∈（0，e）． 故答案为：（0，e）． 【分析】求导函数，确定函数的单调性，求出函数的极值，利用函数f（x）=ex﹣ax在区间（0，1）上有极值，即可求实数a的取值范围．
28.已知f（x）=ax+ ，g（x）=ex﹣3ax，a＞0，若对?x1∈（0，1），存在x2∈（1，+∞），使得方程f（x1）=g（x2）总有解，则实数a的取值范围为________．
【答案】[ ，+∞）
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】解：当x∈（0，1）时，f（x）=ax+ 为减函数， 由f（1）=2a得：f（x）的值域为（2a，+∞）， 若若对?x1∈（0，1），存在x2∈（1，+∞），使得方程f（x1）=g（x2）总有解， 则g（x）的值域B应满足（2a，+∞）?B， 令g′（x）=ex﹣3a=0，则ex=3a，即x=ln3a， 若ln3a≤1，即3a≤e， 此时g（x）＞g（1）=e﹣3a， 此时由e﹣3a≤2a得： ≤a≤ ， 若ln3a＞1，即3a＞e， g（x）在（1，ln3a）上为减函数，在（ln3a，+∞）上为增函数， 此时当x=ln3a时，函数取最小值3a（1﹣ln3a）＜0＜2a满足条件； 综上可得：实数a的取值范围为[ ，+∞） 故答案为：[ ，+∞）． 【分析】先求得x∈（0，1）时函数f（x）的值域，根据题意可得函数g（x）在（1，+∞）上的值域范围，即函数g（x）在（1，+∞）上的最小值必须小于0且小于2a，解不等式组即可求得实数a的取值范围.
29.若存在两个正实数 ， 使等式 成立（其中 ），则实数 的取值范围是________．
【答案】
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】解：由题意可得： ， 则 ， 令 ，构造函数 ， 则 ， 恒成立，则 单调递减， 当 时， ， 则当 时， ，函数 单调递增， 当 时， ，函数 单调递减， 则当 时， 取得最大值 ，据此有： 或 . 综上可得：实数 的取值范围是 . 【分析】对题目所给等式变形，令,构造函数g(x),结合导函数，判断其最大值，即可得出答案。
三、解答题
30.已知函数f（x）=alnx+ ， g（x）=x+lnx，其中a＞0，且x∈（0，+∞）．
（1）若a=1，求f（x）的最小值；
（2）若对任意x≥1，不等式f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
【答案】解：（1）a=1时，f（x）=lnx+，f′（x）=，
∴f′（x）＜0，可得0＜x＜1，f′（x）＞0，可得x＞1，
∴函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴x=1时，f（x）的最小值为1；
（2）对任意x≥1，不等式f（x）≤g（x）恒成立，即h（x）=f（x）﹣g（x）=（a﹣1）lnx+﹣x≤0恒成立，
∴h′（x）=﹣
0＜a≤3时，△≤0，则h′（x）≤0，即h（x）在[1，+∞）上单调递减，
∵h（1）=0，∴h（x）≤h（1）=0恒成立；
a＞3时，x2﹣（a﹣1）x+1=0的两根满足0＜x1＜1＜x2 ，
∴x∈（x2 ， +∞）时，x2﹣（a﹣1）x+1＞0，则h′（x）＞0，即h（x）在（x2 ， +∞）上单调递增，
∵h（1）=0，∴存在x∈（x2 ， +∞）使得h（x）＞h（1）=0，不合题意，
综上，0＜a≤3
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）求导数，确定函数的单调性，即可求f（x）的最小值；
???????????? （2）对任意x≥1，不等式f（x）≤g（x）恒成立，即h（x）=f（x）﹣g（x）=（a﹣1）lnx+﹣x≤0恒成立，对a分类讨论，确定函数的单调性，即可求实数a的取值范围.
31.已知f（x）=xlnx，g（x）= ， 直线l：y=（k﹣3）x﹣k+2 （1）函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值 （2）若至少存在一个x0∈[1，e]使f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围 （3）设k∈Z，当x＞1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．
【答案】【解答】（1）∵f′（x）=1+lnx， ∴f′（e）=1+lne=k﹣3 ∴k=5， （2）由于存在x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0）， 则ax02＞x0lnx0 ， ∴a＞ 设h（x）= 则h′（x）=， 当x∈[1，e]时，h′（x）≥0（仅当x=e时取等号） ∴h（x）在[1，e]上单调递增， ∴h（x）min=h（1）=0，因此a＞0． （3）由题意xlnx＞（k﹣3）x﹣k+2在x＞1时恒成立 即k＜， 设F（x）=， ∴F′（x）=， 令m（x）=x﹣lnx﹣2，则m′（x）=1﹣=＞0在x＞1时恒成立 所以m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0， 所以在（1，+∞）上存在唯一实数x0（x0∈（3，4））使m（x）=0 当1＜x＜x0时m（x）＜0即F′（x）＜0， 当x＞＜x0时m（x）＞0即F′（x）＞0， 所以F（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0 ， +∞）上单调递增， F（x）min=F（x0）===x0+2∈（5，6） 故k＜x0+2又k∈Z，所以k的最大值为5
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）先求导，根据导数的几何意义得到关于k的方程解得即可． （2）由于存在x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0），则kx0＞2lnx0?a＞ ， 只需要k大于h（x）=的最小值即可． （3）分离参数，得到k＜ ， 构造函数，求函数的最小值即可．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2016?四川）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（ ）
A.?﹣4?????????????????????????????????????????B.?﹣2?????????????????????????????????????????C.?4?????????????????????????????????????????D.?2
【答案】D
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：f′（x）=3x2﹣12； ∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0； ∴x=2是f（x）的极小值点； 又a为f（x）的极小值点； ∴a=2． 故选D． 【分析】可求导数得到f′（x）=3x2﹣12，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值；考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象．
二、填空题
2.（2018?江苏）若函数 在 内有且只有一个零点，则 在 上的最大值与最小值的和为________
【答案】-3
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解： 当a≤0时， ∴ 时，则在 为零点，舍去 当a＞0时， 递减， 递增，又 只有一个零点， ∴ 在 递增，（0,1）递减 最大值与最小值和为-3 【分析】先求导，根据a的不同值分类讨论，有且仅有一个零点，得到a=3，再分析 单调性，求出最值。
3.（2016?北京）函数f（x）= （x≥2）的最大值为________．
【答案】2
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】解： ； ∴f（x）在[2，+∞）上单调递减； ∴x=2时，f（x）取最大值2． 故答案为：2． 【分析】分离常数便可得到 ，根据反比例函数的单调性便可判断该函数在[2，+∞）上为减函数，从而x=2时f（x）取最大值，并可求出该最大值．；考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值的方法．
三、解答题
4.（2018?卷Ⅱ）已知函数
（1）若a=1,证明：当 时，
（2）若 在 只有一个零点，求 .
【答案】（1）a=1时,f（x）=ex-x2 欲证x≥0时，f（x）≥等价于证明： 令 则 ∴g（x）是（0，+∞）上的减函数， 所以g（x）≤g（0）=1，即 所以ex-x2≥1，即f（x）≥1 （2）当a﹥0时， ?? 令h’（x）=0? 解得x=2，h（2）= 当x∈（0,2），h’（x）﹤0，x∈（2，+∞），h’（x）﹥0； ∴h（x）在（0,2）单调递减， ∴在（2，+∞）单调递增. （i）0﹤a﹤ 时，h（2）=1- ﹥0，此时h（x）在（0，+∞）上无零点，不合题意； （ii）a= 时，h（2）=0，h（x）在（0，+∞）上只有一个零点，符合题意； （iii）a﹥ 时，h（0）=1﹥0，h（2）=1- ﹤0； 由（1）知：x﹥0，ex﹥x2+1? ∴ex= ﹥ 令 ﹥ax2 ， 解得：x﹥4 ，当b﹥4 时，eb﹥ ﹥ab2 取b满足b﹥2，且b﹥4 ，则 所以此时h（x）在（0，+∞）上有两个零点，不合题意； 综上：a= 时，f（x）在（0，+∞）上只有一个零点.
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）利用导数证明不等式；（2）运用函数零点，求参数的值.
5.（2018?江苏）某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆 的一段圆弧 ( 为此圆弧的中点)和线段 构成,已知圆 的半径为40米,点 到 的距离为50米,先规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 .大棚Ⅱ内的地块形状为 要求 均在线段 上, 均在圆弧上,设 与 所成的角为θ
（1）用 θ 分别表示矩形 ABCD 和 ΔCDP 的面积,并确定 sinθ 的取值范围
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当 θ 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.
【答案】（1）解： 当B，N重合时， 最小，此时 当C，P重合时， 最大，此时 ，所以 （2）解：设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t，乙种蔬菜面积总产值为3t∴ 其中 设 令 ， ∴ 当 当 ∴当 时，总产值y最大
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】由图形，根据三角函数值，求出面积由导数求出单调性即可
6.（2016?浙江）设函数f（x）=x3+ ，x∈[0，1]，证明：
（1）f（x）≥1﹣x+x2
（2）＜f（x）≤ ．
【答案】（1）证明：因为f（x）=x3+ ，x∈[0，1]， 且1﹣x+x2﹣x3= ， 所以 ≤ ， 所以1﹣x+x2﹣x3≤ ， 即f（x）≥1﹣x+x2； （2）证明：因为0≤x≤1，所以x3≤x， 所以f（x）=x3+ ≤x+ =x+ ﹣ + = + ≤ ； 由（1）得，f（x）≥1﹣x+x2= + ≥ ， 且f（ ）= + = ＞ ， 所以f（x）＞ ； 综上， ＜f（x）≤ ．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据题意，1﹣x+x2﹣x3= ，利用放缩法得 ≤ ，即可证明结论成立；（2）利用0≤x≤1时x3≤x，证明f（x）≤ ，再利用配方法证明f（x）≥ ，结合函数的最小值得出f（x）＞ ，即证结论成立．本题主要考查了函数的单调性与最值，分段函数等基础知识，也考查了推理与论证，分析问题与解决问题的能力，是综合性题目．
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第2章 第10节 第二课时 函数的极值与最值（教师版）
备战基础·零风险
1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
函数的极值与最值
极值与导数
极大值
函数y＝f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，若在点x0附近左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则x0为函数的极大值点，f(x0)叫函数的极大值
极小值
函数y＝f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，若在点x0附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则x0为函数的极小值点，f(x0)叫函数的极小值
最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
备战方法·巧解题
规律
方法
1.函数最值是个“整体”概念，而函数极值是个“局部”概念．极大值与极小值没有必然的大小关系．
2．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
3．注意：①函数的极值一定不会在定义域区间的端点取到．
②求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论．不可想当然认为极值就是最值
4. (1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．
(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
求导确定函数的极大值?求得c值?求得极大值、极小值、端点值?求得最值．
5.在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．
6．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，区分极值点与导数为0的点；含参数时，要讨论参数的大小．
7．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得．
备战练习·固基石
一、单选题
1.函数 的最小值（?? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?1????????????????????????????????????????C.?0????????????????????????????????????????D.?不存在
【答案】B
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】函数 ，求导得： . 当 单调递减； 当 单调递增. 所以 . 故答案为：B. 【分析】求导数，利用导数判定函数的单调性，根据函数的单调性求出函数的最小值即可.
2.可导函数在闭区间的最大值必在（?????）取得
A.?极值点??????????????????????B.?导数为0的点??????????????????????C.?极值点或区间端点??????????????????????D.?区间端点
【答案】C
【考点】利用导数研究函数的极值，导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】由导数求函数最值问题，可导函数在闭区间的最大值必在极值点或区间端点，可知答案是C。
3.函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（ ?）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
【答案】A
【考点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】函数的极小值点要满足， 在左侧附近， 右侧附近， 根据图像观察得有1个.故选A. 【分析】函数的极小（大)值点要满足， 在左侧附近（>0)，右侧附近(<0).
4.对于函数f（x)与g(x)和区间D，如果存在 ， 使 ， 则称x0是函数f(x)与g(x)在区间D上的“友好点”．现给出两个函数： ①f(x)=x2 ， g(x)=2x-2； ② ， g(x)=x+2； ③ ， ； ④f(x)=lnx，g(x)=x， 则在区间上的存在唯一“友好点”的是（?）
A.?①②?????????????????????????????????????B.?③④?????????????????????????????????????C.?②③?????????????????????????????????????D.?①④
【答案】D
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】对于①， 所以，存在唯一“友好点”?； 对于②，， 不符合?； 对于③，=， ， 函数在（0，+∞）上是单调减函数，当时，， 所以，存在， 使成立，但“友好点”不唯一； 对于④令得 令， 得所以，时，函数取得极大值，且为最大值，最大值为， 所以，存在存在唯一“友好点”；故在区间上的存在唯一“友好点”的是①④，选D.
5.若函数在(0,1)内有极小值，则???????????????????（???）?
A.?00??????????????????????????????????D.?b<0.5
【答案】A
【考点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】∵， ∴， 由题意在（0,1)上与x轴有交点，故， ∴， 故选A 【分析】熟练掌握导数的运算及极值的定义是解决此类问题的关键，属基础题
6.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( )．
A.?－1＜a＜2????????????????????B.?－3＜a＜6????????????????????C.?a＜－1或a＞2????????????????????D.?a＜－3或a＞6
【答案】D
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】因为f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，所以，有不等实根，， 解得，a＜－3或a＞6，故选D。 【分析】简单题，连续函数存在极值，函数的导数为零必有解。
7.已知函数 ，若f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是（?? ）
A.????????????????????B.?（﹣∞，0]???????????????????C.?[0， ﹣1]???????????????????D.?
【答案】A
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：令t=g（x），x∈[0，1]，则g′（x）=2xln2﹣2x 设g′（x0）=0，则函数在[0，x0]上单调递增，在[x0 ， 1]上单调递减， g（x）在x∈[0，1]上的值域为[1，g（x0）]，（g（x0）=2x0﹣x02＜2）． ∵f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立， ∴f（t）≤0，即 +（a﹣1） +a≤0， a≤ =2 ﹣1=h（t），t∈[1，g（x0）]， 则h（t）的最小值=2× ﹣1= ﹣1． ∴a≤ ﹣1． 故选：A． 【分析】令t=g（x），x∈[0，1]，则g′（x）=2xln2﹣2x．设g′（x0）=0，利用单调性可得：g（x）在x∈[0，1]上的值域为[1，g（x0）]，（g（x0）=2x0﹣x02）．由f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立，可得 +（a﹣1） +a≤0，a≤2 ﹣1=h（t），t∈[1，g（x0）]，即可得出．
8.已知函数f（x）= （x≠﹣a）在x=1时取得极值，则f（1）是函数f（x）的（?? ）
A.?极小值????????????B.?极大值????????C.?可能是极大值也可能是极小值???????D.?是极小值且也是最小值
【答案】A
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：f′（x）= ，函数f（x）= （x≠﹣a）在x=1时取得极值， 可得a=0，x∈（0，1），f′（x）＜0，函数是减函数， x∈（1，+∞），f′（x）＞0，函数是减函数， 故函数f（x）= 在x=1处取得极小值， 故选：A． 【分析】求出函数的导数，得到f′（0）=0，求出a的值即可．
9.若函数 在区间 内恰有一个极值点，则实数 的取值范围为（? ?）
A.??????????????????????B.??????????????????????C.?????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】由题意, ， 则 ， 即 ， 解得 ， 另外,当 时, 在区间(?1,1)恰有一个极值点 ， 当 时,函数 在区间(?1,1)没有一个极值点， 实数 的取值范围为 . 故答案为：B. 【分析】本题主要考查利用导数和函数的极值点之间的关系问题，主要利用数形结合和转化的数学思想方法。先根据题意中函数在区间（-1,1）内恰有一个极值点，可知 f ' ( ? 1 ) f ' ( 1 ) < 0 ，进而转化为解不等式的问题，然后再利用导数和极值点的关系求解a的取值范围。
10.已知函数f（x）=x3+ax2+bx有两个极值点x1、x2 ， 且x1＜x2 ， 若x1+2x0=3x2 ， 函数g（x）=f（x）﹣f（x0），则g（x）（?? ）
A.?恰有一个零点??????????????????B.?恰有两个零点??????????????????C.?恰有三个零点??????????????????D.?至多两个零点
【答案】B
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：f（x）=x3+ax2+bx，求导，f′（x）=3x2+2ax+b，由函数f（x）有两个极值点x1、x2 ， 则x1、x2是方程3x2+2ax+b=0的两个根，则x1+x2=﹣ ，x1x2= ， ∴a=﹣ ，① 由x1+2x0=3x2 ， 则x0= =x2+ ＞x2 ， 由函数图象可知：令f（x1）=f（x）的另一个解为m， 则x3+ax2+bx﹣f（x1）=（x﹣x1）2（x﹣m）， 则 ，则m=﹣a﹣2x1 ， 将①代入②整理得：m= ﹣2x1= =x0 ， ∴f（x）=f（m）=f（x0）， ∴g（x）只有两个零点，即x0和m， 故选：B． 【分析】由题意可知：x1、x2是方程3x2+2ax+b=0的两个根，由韦达定理可知：x1+x2=﹣ ，x1x2= ，由x1+2x0=3x2 ， x0= ＞0，令f（x1）=f（x）的另一个解为m，即可求得m=﹣a﹣2x1 ， 则f（x）=f（m）=f（x0），
11.已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1 ， x2（x1＜x2）（?? ）
A.??????????????????????????????????????????B.? C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：∵f′（x）=lnx+1﹣2ax，（x＞0） 令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1 ， x2?函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0． ． ①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去． ②当a＞0时，令g′（x）=0，解得x= ， ∵x ，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增； 时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减． ∴x= 是函数g（x）的极大值点，则 ＞0，即 ＞0， ∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即 ． 故当0＜a＜ 时，g（x）=0有两个根x1 ， x2 ， 且x1＜ ＜x2 ， 又g（1）=1﹣2a＞0， ∴x1＜1＜ ＜x2 ， 从而可知函数f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1 ， x2）上递增，在区间（x2 ， +∞）上递减． ∴f（x1）＜f（1）=﹣a＜0，f（x2）＞f（1）=﹣a＞﹣ ． 故选：D． 【分析】先求出f′（x），令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1 ， x2?函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．
12.定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（?? ）
A.?只有三个极大值点，无极小值点?????????????????????????B.?有两个极大值点，一个极小值点 C.?有一个极大值点，两个极小值点?????????????????????????D.?无极大值点，只有三个极小值点
【答案】C
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：F′（x）=f′（x）﹣g′（x）， 由图象得f′（x）和g′（x）有3个交点， 从左到右分分别令为a，b，c， 故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减， x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增， x∈（b，c）时，F′（x）＜0，F（x）递减， x∈（c，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增， 故函数F（x）有一个极大值点，两个极小值点， 故选：C． 【分析】根据函数的单调性结合函数的图象判断函数的极值点的个数即可．
13.如图所示，曲线是函数的大致图象，则等于（ ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】因为， 由图像知，， ， ?，所以， 所以， 由题意知是函数的极值.故有 是的根，所以， ， 则.选C. 【分析】本题考查一元二次方程根的分布，根与系数的关系，函数在某点取的极值的条件，以及求函数的导数．
14.用max{a，b}表示a，b两数中的最大值，函数f（x）=max{ax ， }（a＞0，a≠1），若f（x）＞ 恒成立，则实数a的取值范围为（?? ）
A.?（0， ）???????????????B.?（ ，1）??????????????C.?（1， ）??????????????????D.?（ ，+∞）
【答案】B
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】解：分别画出y=ax的图象，分0＜a＜1或a＞1，以及y= 的图象， 由图象可知，当a＞1时， 当a＞1时，f（x）=max{ax ， }=ax ， 由于f（x）＞0，在x∈R，故f（x）＞ 不恒成立，故不符合题意， 当0＜a＜1时，f（x）=max{ax ， }， 当 ＞ 时，解的x＞2时， 故当x＜2时，ax＞ ， ∴a2＞ ， 解得a＞ 故 ＜a＜1， 故选：B． 【分析】分别画出y=ax的图象，分0＜a＜1或a＞1，以及y= 的图象，分类讨论，即可求出a的取值范围．
15.设f(x)=ex-ax+ ， x已知斜率为k的直线与y=f(x)的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点，若对任意的a<一2，k>m恒成立，则m的最大值为（??????）
A.?-2+????????????????????????????????B.?-2-????????????????????????????????C.?2+????????????????????????????????D.?2+2
【答案】D
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】当时，在上是增函数..因为斜率为k的直线与y= (x)的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点，所以.又恒成立，所以.选D.
16.函数 ，对任意x1 ， x2∈（0，+∞），不等式（k+1）g（x1）≤kf（x2）（k＞0）恒成立，则实数k的取值范围是（?? ）
A.?[1，+∞）??????????????????????????B.?（2，+∞]??????????????????????????C.?（0，2）??????????????????????????D.?（0，1]
【答案】A
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=e2x+ ≥2 =2e， ∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x2）有最小值2e， ∵g（x）= ，∴g′（x）= ， 当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增， 当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减， ∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e， 则有x1、x2∈（0，+∞），f（x2）min=2e＞g（x1）max=e ∵（k+1）g（x1）≤kf（x2）（k＞0）， ∴ ≤ 恒成立且k＞0， ≤ ， ∴k≥1 故选：A． 【分析】利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，f（x）的最小值，得到关于k的不等式，解出即可．
17.若存在一个实数 ，使得 成立，则称 为函数 的一个不动点，设函数 （ ， 为自然对数的底数），定义在 上的连续函数 满足 ，且当 时， .若存在 ，且 为函数 的一个不动点，则实数 的取值范围为（??? ）
A.???????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】∵f（﹣x）+f（x）=x2
∴令F（x）=f（x）﹣ ，
∴f（x）﹣ =﹣f（﹣x）+ x2
∴F（x）=﹣F（﹣x），即F（x）为奇函数，
∵F′（x）=f′（x）﹣x，
且当x 0时，f′（x）＜x，
∴F′（x）＜0对x＜0恒成立，
∵F（x）为奇函数，
∴F（x）在R上单调递减，
∵f（x）+ ≥f（1﹣x）+x，
∴f（x）+ ﹣ ≥f（1﹣x）+x﹣ ，
即F（x）≥F（1﹣x），
∴x≤1﹣x，
x0≤ ，
∵ 为函数 的一个不动点
∴g（x0）=x0 ，
即h（x）= ?=0在（﹣∞， ]有解．
∵h′（x）=ex- ，
∴h（x）在R上单调递减．
∴h（x）min=h（ ）= ﹣a 即可，
∴a≥ ．
故答案为：B
【分析】解决本题需要理解给出的不动点的概念，即的不动点满足,从而转化为有解，从而需要求出的取值范围。要求的范围，则只能从f ( ? x ) + f ( x ) = x 2和? x ≤ 0 ?时，? f ′ ( x ) < x ?.若存在? x 0 ∈ { x | f ( x ) + 1 2 ≥ f ( 1 ? x ) + x }加以解决。
18.已知关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ??）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】由题意易知：a ，x>0 ∵ ∴ 即 ,又 ∴ 恒成立 ∴ ，即 故答案为：B
【分析】原不等式可变形为,即恒成立。利用导数分别求出左边的最大值为右边的最小值为1，所以<<1,即1 < a < e。
19.已知 ，若 恰有两个根 ,则 的取值范围是(??? )
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由题意 ，所以 ，从而 ，求导可得 ，当 时， ，当 时， ，所以函数在 ，
故答案为：B.
【分析】根据题意，将两个根分别代入函数，对两者分别取对数运算，将结果所求转化成一个未知数表示，由导数与极值的基本关系得到最大值，代入数据计算，即可得出答案。
20.函数的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（???）
A.????????????????B.????????????????C.????????????????D.?
【答案】D
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】因为， 所以令f'(x)=0解得x=-2或x=1,当a>0时，在x=-2处取得极大值，在x=1处取得极小值，所以需要,解得;当a<0时，在x=1处取得极大值，在x=-2处取得极小值，所以需要,解得,故答案选D
二、填空题
21.函数 的最大值是________。
【答案】
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】∵f（x）= ，∴f′（x）= ，
令f′（x）=0得x=e．
∵当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上为增函数，
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，则在（e，+∞）上为减函数，
∴fmax（x）=f（e）= ．
故答案为： 。
【分析】求导数，利用导数判定函数的单调性，结合函数的单调性求出最值即可.
22.若函数f（x）=x2+（a+3）x+lnx在区间（1，2）上存在唯一的极值点，则实数a的取值范围为________．
【答案】（﹣ ，﹣6）
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：f′（x）=2x+a+3+ = ， 若f（x）在（1，2）上存在唯一的极值点， 则f′（1）f′（2）＜0，即（a+6）（2a+15）＜0， 解得：﹣ ＜a＜﹣6， 故答案为：（﹣ ，﹣6）． 【分析】根据零点定理可得结果。
23.已知函数f（x）=x2﹣3x+lnx，则f（x）在区间[ ，2]上的最小值为________；当f（x）取到最小值时，x=________．
【答案】﹣2；1
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】解： = （x＞0）， 令f′（x）=0，得x= ，1， 当x 时，f′（x）＜0，x∈（1，2）时，f′（x）＞0， ∴f（x）在区间[ ，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增， ∴当x=1时，f（x）在区间[ ，2]上的最小值为f（1）=﹣2， 故答案为：﹣2，1． 【分析】求出函数的导数，求出函数的单调区间，求得函数的最小值．
24.已知函数f（x）=2x3﹣3x2+1，对于区间上的任意x1 ， x2 ， |f（x1）﹣f（x2）|的最大值是________?
【答案】5
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】对于区间上的任意x1 ， x2 ， |f（x1）﹣f（x2）|的最大值，等价于对于区间上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min的值，
∵函数f（x）=2x3﹣3x2+1，∴f′（x）=6x2﹣6x=6x（x﹣1），
∵x∈ ， ∴函数在[1，2]上单调递增，在[ ， 1]上单调递减，
∴f（x）max=f（2）=16﹣12+1=5，f（）=-+1= ， f（x）min=f（1）=0
∴f（x）max﹣f（x）min=5，
∴对于区间上的任意x1 ， x2 ， |f（x1）﹣f（x2）|的最大值是：5．
故答案为：5．
【分析】对于区间上的任意x1 ， x2求解|f（x1）﹣f（x2）|的最大值，等价于对于区间上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min的绝对值的最大值，利用导数确定函数的单调性，求最值，即可得出结论．
25.函数f（x）=xe﹣x ， x∈[0，4]的最小值是________．
【答案】0
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】解：函数f（x）=xe﹣x ， 可得f′（x）= ， 当x∈[0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（1，4]时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， ∵f（0）=0，f（4）= ＞0，∴当x=0时，f（x）有最小值，且f（0）=0． 故答案为：0． 【分析】先求出导函数f′（x），由f′（x）＞0和f′（x）＜0，求出x的取值范围，得出函数f（x）的单调区间，从而求出函数的最值．
26.函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为________?
【答案】（﹣4，11）
【考点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】对函数f（x）求导得 f′（x）=3x2﹣2ax﹣b， 又∵在x=1时f（x）有极值10， ∴f′（1）=3﹣2a﹣b=0，f（1）=1﹣a﹣b+a2=10， 解得，a=﹣4，b=11，或a=3，b=﹣3， 验证知，当a=3，b=﹣3时，在x=1无极值， 故答案为：（﹣4，11） 【分析】首先对f（x）求导，然后由题设在x=1时有极值10可得，f′（1）=0，f（1）=10．，解之即可求出a和b的值．
27.已知函数f（x）=ex﹣ax在区间（0，1）上有极值，则实数a的取值范围是________
【答案】（0，e）
【考点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：f（x）的定义域为R，且 f′（x）=ex﹣a． ①当a≤0时，f（x）=ex ， 故f（x）在R上单调递增，从而f（x）没有极大值，也没有极小值． ②当a＞0时，令f'（x）=0，得x=lna．f（x）和f′（x）的情况如下：
x
（﹣∞，lna）
lna
（lna，+∞）
f'（x）
﹣
0
+
f（x）
↘
↗
故f（x）的单调减区间为（﹣∞，lna）；单调增区间为（lna，+∞）． 从而f（x）的极小值为f（lna）=a﹣alna；没有极大值． ∵函数f（x）=ex﹣ax在区间（0，1）上有极值， ∴0＜lna＜1， ∴a∈（0，e）． 故答案为：（0，e）． 【分析】求导函数，确定函数的单调性，求出函数的极值，利用函数f（x）=ex﹣ax在区间（0，1）上有极值，即可求实数a的取值范围．
28.已知f（x）=ax+ ，g（x）=ex﹣3ax，a＞0，若对?x1∈（0，1），存在x2∈（1，+∞），使得方程f（x1）=g（x2）总有解，则实数a的取值范围为________．
【答案】[ ，+∞）
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】解：当x∈（0，1）时，f（x）=ax+ 为减函数， 由f（1）=2a得：f（x）的值域为（2a，+∞）， 若若对?x1∈（0，1），存在x2∈（1，+∞），使得方程f（x1）=g（x2）总有解， 则g（x）的值域B应满足（2a，+∞）?B， 令g′（x）=ex﹣3a=0，则ex=3a，即x=ln3a， 若ln3a≤1，即3a≤e， 此时g（x）＞g（1）=e﹣3a， 此时由e﹣3a≤2a得： ≤a≤ ， 若ln3a＞1，即3a＞e， g（x）在（1，ln3a）上为减函数，在（ln3a，+∞）上为增函数， 此时当x=ln3a时，函数取最小值3a（1﹣ln3a）＜0＜2a满足条件； 综上可得：实数a的取值范围为[ ，+∞） 故答案为：[ ，+∞）． 【分析】先求得x∈（0，1）时函数f（x）的值域，根据题意可得函数g（x）在（1，+∞）上的值域范围，即函数g（x）在（1，+∞）上的最小值必须小于0且小于2a，解不等式组即可求得实数a的取值范围.
29.若存在两个正实数 ， 使等式 成立（其中 ），则实数 的取值范围是________．
【答案】
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】解：由题意可得： ， 则 ， 令 ，构造函数 ， 则 ， 恒成立，则 单调递减， 当 时， ， 则当 时， ，函数 单调递增， 当 时， ，函数 单调递减， 则当 时， 取得最大值 ，据此有： 或 . 综上可得：实数 的取值范围是 . 【分析】对题目所给等式变形，令,构造函数g(x),结合导函数，判断其最大值，即可得出答案。
三、解答题
30.已知函数f（x）=alnx+ ， g（x）=x+lnx，其中a＞0，且x∈（0，+∞）．
（1）若a=1，求f（x）的最小值；
（2）若对任意x≥1，不等式f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
【答案】解：（1）a=1时，f（x）=lnx+，f′（x）=，
∴f′（x）＜0，可得0＜x＜1，f′（x）＞0，可得x＞1，
∴函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴x=1时，f（x）的最小值为1；
（2）对任意x≥1，不等式f（x）≤g（x）恒成立，即h（x）=f（x）﹣g（x）=（a﹣1）lnx+﹣x≤0恒成立，
∴h′（x）=﹣
0＜a≤3时，△≤0，则h′（x）≤0，即h（x）在[1，+∞）上单调递减，
∵h（1）=0，∴h（x）≤h（1）=0恒成立；
a＞3时，x2﹣（a﹣1）x+1=0的两根满足0＜x1＜1＜x2 ，
∴x∈（x2 ， +∞）时，x2﹣（a﹣1）x+1＞0，则h′（x）＞0，即h（x）在（x2 ， +∞）上单调递增，
∵h（1）=0，∴存在x∈（x2 ， +∞）使得h（x）＞h（1）=0，不合题意，
综上，0＜a≤3
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）求导数，确定函数的单调性，即可求f（x）的最小值；
???????????? （2）对任意x≥1，不等式f（x）≤g（x）恒成立，即h（x）=f（x）﹣g（x）=（a﹣1）lnx+﹣x≤0恒成立，对a分类讨论，确定函数的单调性，即可求实数a的取值范围.
31.已知f（x）=xlnx，g（x）= ， 直线l：y=（k﹣3）x﹣k+2 （1）函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值 （2）若至少存在一个x0∈[1，e]使f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围 （3）设k∈Z，当x＞1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．
【答案】【解答】（1）∵f′（x）=1+lnx， ∴f′（e）=1+lne=k﹣3 ∴k=5， （2）由于存在x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0）， 则ax02＞x0lnx0 ， ∴a＞ 设h（x）= 则h′（x）=， 当x∈[1，e]时，h′（x）≥0（仅当x=e时取等号） ∴h（x）在[1，e]上单调递增， ∴h（x）min=h（1）=0，因此a＞0． （3）由题意xlnx＞（k﹣3）x﹣k+2在x＞1时恒成立 即k＜， 设F（x）=， ∴F′（x）=， 令m（x）=x﹣lnx﹣2，则m′（x）=1﹣=＞0在x＞1时恒成立 所以m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0， 所以在（1，+∞）上存在唯一实数x0（x0∈（3，4））使m（x）=0 当1＜x＜x0时m（x）＜0即F′（x）＜0， 当x＞＜x0时m（x）＞0即F′（x）＞0， 所以F（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0 ， +∞）上单调递增， F（x）min=F（x0）===x0+2∈（5，6） 故k＜x0+2又k∈Z，所以k的最大值为5
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）先求导，根据导数的几何意义得到关于k的方程解得即可． （2）由于存在x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0），则kx0＞2lnx0?a＞ ， 只需要k大于h（x）=的最小值即可． （3）分离参数，得到k＜ ， 构造函数，求函数的最小值即可．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2016?四川）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（ ）
A.?﹣4?????????????????????????????????????????B.?﹣2?????????????????????????????????????????C.?4?????????????????????????????????????????D.?2
【答案】D
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：f′（x）=3x2﹣12； ∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0； ∴x=2是f（x）的极小值点； 又a为f（x）的极小值点； ∴a=2． 故选D． 【分析】可求导数得到f′（x）=3x2﹣12，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值；考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象．
二、填空题
2.（2018?江苏）若函数 在 内有且只有一个零点，则 在 上的最大值与最小值的和为________
【答案】-3
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解： 当a≤0时， ∴ 时，则在 为零点，舍去 当a＞0时， 递减， 递增，又 只有一个零点， ∴ 在 递增，（0,1）递减 最大值与最小值和为-3 【分析】先求导，根据a的不同值分类讨论，有且仅有一个零点，得到a=3，再分析 单调性，求出最值。
3.（2016?北京）函数f（x）= （x≥2）的最大值为________．
【答案】2
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】解： ； ∴f（x）在[2，+∞）上单调递减； ∴x=2时，f（x）取最大值2． 故答案为：2． 【分析】分离常数便可得到 ，根据反比例函数的单调性便可判断该函数在[2，+∞）上为减函数，从而x=2时f（x）取最大值，并可求出该最大值．；考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值的方法．
三、解答题
4.（2018?卷Ⅱ）已知函数
（1）若a=1,证明：当 时，
（2）若 在 只有一个零点，求 .
【答案】（1）a=1时,f（x）=ex-x2 欲证x≥0时，f（x）≥等价于证明： 令 则 ∴g（x）是（0，+∞）上的减函数， 所以g（x）≤g（0）=1，即 所以ex-x2≥1，即f（x）≥1 （2）当a﹥0时， ?? 令h’（x）=0? 解得x=2，h（2）= 当x∈（0,2），h’（x）﹤0，x∈（2，+∞），h’（x）﹥0； ∴h（x）在（0,2）单调递减， ∴在（2，+∞）单调递增. （i）0﹤a﹤ 时，h（2）=1- ﹥0，此时h（x）在（0，+∞）上无零点，不合题意； （ii）a= 时，h（2）=0，h（x）在（0，+∞）上只有一个零点，符合题意； （iii）a﹥ 时，h（0）=1﹥0，h（2）=1- ﹤0； 由（1）知：x﹥0，ex﹥x2+1? ∴ex= ﹥ 令 ﹥ax2 ， 解得：x﹥4 ，当b﹥4 时，eb﹥ ﹥ab2 取b满足b﹥2，且b﹥4 ，则 所以此时h（x）在（0，+∞）上有两个零点，不合题意； 综上：a= 时，f（x）在（0，+∞）上只有一个零点.
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）利用导数证明不等式；（2）运用函数零点，求参数的值.
5.（2018?江苏）某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆 的一段圆弧 ( 为此圆弧的中点)和线段 构成,已知圆 的半径为40米,点 到 的距离为50米,先规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 .大棚Ⅱ内的地块形状为 要求 均在线段 上, 均在圆弧上,设 与 所成的角为θ
（1）用 θ 分别表示矩形 ABCD 和 ΔCDP 的面积,并确定 sinθ 的取值范围
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当 θ 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.
【答案】（1）解： 当B，N重合时， 最小，此时 当C，P重合时， 最大，此时 ，所以 （2）解：设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t，乙种蔬菜面积总产值为3t∴ 其中 设 令 ， ∴ 当 当 ∴当 时，总产值y最大
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】由图形，根据三角函数值，求出面积由导数求出单调性即可
6.（2016?浙江）设函数f（x）=x3+ ，x∈[0，1]，证明：
（1）f（x）≥1﹣x+x2
（2）＜f（x）≤ ．
【答案】（1）证明：因为f（x）=x3+ ，x∈[0，1]， 且1﹣x+x2﹣x3= ， 所以 ≤ ， 所以1﹣x+x2﹣x3≤ ， 即f（x）≥1﹣x+x2； （2）证明：因为0≤x≤1，所以x3≤x， 所以f（x）=x3+ ≤x+ =x+ ﹣ + = + ≤ ； 由（1）得，f（x）≥1﹣x+x2= + ≥ ， 且f（ ）= + = ＞ ， 所以f（x）＞ ； 综上， ＜f（x）≤ ．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据题意，1﹣x+x2﹣x3= ，利用放缩法得 ≤ ，即可证明结论成立；（2）利用0≤x≤1时x3≤x，证明f（x）≤ ，再利用配方法证明f（x）≥ ，结合函数的最小值得出f（x）＞ ，即证结论成立．本题主要考查了函数的单调性与最值，分段函数等基础知识，也考查了推理与论证，分析问题与解决问题的能力，是综合性题目．
