2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第2章 第10节 第三课时 导数的综合应用（学生版）
备战基础·零风险
1．利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；
2．会利用导数解决某些简单的实际问题.
导数的综合应用
生活中的优化问题
通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．
利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
导数在研究方程(不等式)中的应用
研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究
备战方法·巧解题
规律
方法
1．两个转化 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2．两点注意 一是注意实际问题中函数定义域，由实际问题的意义和解析式共同确定．
二是在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么可直接根据实际意义判定是最大值还是最小值．若在开区间内有极值，则一定有最优解.
3. 在解答题时，可转化为判定f(x)＝b有两个实根时实数b应满足的条件，并注意g(x)的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数y＝f(x)的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．
(2)该类问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一.
4.证明抓住两点：一是转化为证明当m＝a时，f(x)>0；二是依据f′(x0)＝0，准确求f(x)的最小值．
(2)对于该类问题，可从不等式的结构特点出发，构造函数，借助导数确定函数的性质，借助单调性或最值实现转化．
5.求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.
6．理解极值与最值的区别，极值是局部概念，最值是整体概念．
7．利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．
8．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．
备战练习·固基石
一、单选题
1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)=0,当x>0时，有成立，则不等式x2f(x)>0的解集是（??????）
A.?????????????????????????????????????????B.? C.????????????????????????????????????D.?
2.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0,当x>0时，有恒成立，则不等式的解集是(??? )
A.?(-2,0) ∪(2,+∞)???????????????B.?(-2,0) ∪(0,2)???????????????C.?(-∞,-2)∪(2,+∞)???????????????D.?(-∞,-2)∪(0,2)
3.三次函数当是有极大值4，当是有极小值0，且函数过原点，则此函数是（ ????）
A.?????B.?????C.??????D.?
4.已知f(x)为R上的可导函数，且均有f(x)>f'(x)，则有（???）
A.?e2013f(-2013)e2013f(0)??????????????B.?e2013f(-2013)f(0),f(2013)>e2013f(0)??????????????D.?e2013f(-2013)>f(0),f(2013)5.设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能的是（?? ）
A.?????B.?????C.????????D.?
6.设函数f（x）=+lnx，则（ ）
A.?x=为f（x）的极小值点????????????????????????????????????B.?x=2为f（x）的极大值点 C.?x=为f（x）的极大值点????????????????????????????????????D.?x=2为f（x）的极小值点
7.已知函数f(x),g(x)是定义在R上可导函数，满足f'(x)g(x)-f(x)g'(x)<0，且f(x)>0,g(x)>0，对时。下列式子正确的是（???）
A.?f(c)g(a)f(a)g(c)????????B.?f(a)g(a)f(b)g(b)????????C.?f(b)g(a)f(a)g(b)????????D.?f(c)g(b)f(b)g(c)
8.已知函数g（x）满足g（x）=g′（1）ex﹣1﹣g（0）x+ ， 且存在实数x0使得不等式2m﹣1≥g（x0）成立，则m的取值范围为（ ）
A.?（﹣∞，2]????????????????????????B.?（﹣∞，3]?????????????????????????C.?[1，+∞）?????????????????????????D.?[0，+∞）
9.设是定义在R上的可导函数，且满足 ， 对于任意的正数 ， 下面不等式恒成立的是（???）
A.??????????????B.??????????????C.??????????????D.?
10.若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是
A.???????????????????????B.??????????????C.???????????????????????D.?
11.已知f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A.???????????????????????????????B.? C.???????????????????????D.?
12.函数的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（???）
A.????????????????B.???????????????C.????????????????D.?
13.若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（? ）
A.??????????????????????????????B.??????????????????C.??????????????????????????????D.?
14.已知 是定义在区间 上的函数， 是 的导函数，且 ， ，则不等式 的解集是（??? ）
A.?????????????????????????????????B.??????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
15.若对任意的实数 ，函数 在 上都是增函数，则实数 的取值范围是（?? ）
A.??????????????????B.???????????????????C.??????????????????????????D.?
二、填空题
16.设函数 ．若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程为________．
17.函数y=x3+x的递增区间是________．
18.已知函数 ，则 的极大值为________．
19.若函数 在其定义域的一个子区间 上不是单调函数，则实数 的取值范围________．
20.已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x）且y=f（x+1）为偶函数，f（2）=1，则不等式f（x）＜ex的解集为________?
21.设f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣2）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是________．
22.设直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论： ①abc的取值范围是（0，4）； ②a2+b2+c2为定值；③a+b+c=6 其中正确结论的为________
23.已知函数 是定义在 上的奇函数， ， ，则不等式 的解集是________．
三、解答题
24.已知函数 .
（1）求 的最大值；
（2）当 时，函数 有最小值. 记 的最小值为 ，求函数 的值域.
25.已知函数f（x）=xlnx+ax﹣x2（a∈R）．
（1）若函数f（x）在[e，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；
（2）若对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞﹣x2+（k+a﹣1）x﹣k恒成立，求正整数k的值．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）设函数 ，若 为奇函数，则曲线y=f(x)在点（0，0）处的切线方程为（?? ）
A.?y=-2x???????????????????????????????????B.?y=-x???????????????????????????????????C.?y=2x???????????????????????????????????D.?y=x
2.（2016?全国）若函数f（x）=x﹣ sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（ ）
A.?[﹣1，1]???????????????????????B.?[﹣1， ]???????????????????????C.?[﹣ ， ]???????????????????????D.?[﹣1，﹣ ]
3.（2016?四川）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（ ）
A.?﹣4?????????????????????????????????????????B.?﹣2?????????????????????????????????????????C.?4?????????????????????????????????????????D.?2
4.（2016?山东）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（ ）
A.?y=sinx??????????????????????????????????B.?y=lnx??????????????????????????????????C.?y=ex??????????????????????????????????D.?y=x3
5.（2016?四川）设直线l1 ， l2分别是函数f（x）= 图象上点P1 ， P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1 ， l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（ ）
A.?（0，1）????????????????????????B.?（0，2）????????????????????????C.?（0，+∞）????????????????????????D.?（1，+∞）
二、填空题
6.（2018?卷Ⅱ）曲线 在点 处的切线方程为________.
7.（2018?卷Ⅱ）曲线 在点 处的切线方程为________.
8.（2016?全国）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是________．
9.（2016?全国）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+2）的切线，则b=________。
10.（2016?全国）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是________．
11.（2016?北京）函数f（x）= （x≥2）的最大值为________．
三、解答题
12.（2018?卷Ⅰ）已知函数
（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在两个极值点 ，证明：
13.（2018?卷Ⅰ）已知函数f(x)=aex-lnx-1
（1）设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间
（2）证明:当a≥ 时,f(x)≥0
14.（2018?浙江）已知函数f(x)= ?lnx ． （Ⅰ）若f(x)在x=x1 ， x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8?8ln2； （Ⅱ）若a≤3?4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．
15.（2018?天津）已知函数 ， ，其中a>1. （Ⅰ）求函数 的单调区间； （Ⅱ）若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行，证明 ； （Ⅲ）证明当 时，存在直线l ， 使l是曲线 的切线，也是曲线 的切线.
16.（2018?卷Ⅱ）已知函数
（1）若a=3，求 的单调区间
（2）证明： 只有一个零点
17.（2018?卷Ⅱ）已知函数
（1）若a=1,证明：当 时，
（2）若 在 只有一个零点，求 .
18.（2017?北京卷）已知函数f（x）=excosx﹣x．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[0， ]上的最大值和最小值．
19.（2016?全国）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记f（x）的最大值为A．
（1）求f′（x）；
（2）求A；
（3）证明：|f′（x）|≤2A．
20.（2016?天津）设函数f（x）=x3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在极值点x0 ， 且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0 ， 求证：x1+2x0=0；
（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于 ．
21.（2016?山东）设f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．
（1）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；
（2）已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．
22.（2016?北京）设函数f(x)=x ?+bx，曲线y=f(x)在点 (2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4，
（1）求a,b的值；?
（2）求f(x)的单调区间。
23.（2016?山东）已知f（x）=a（x﹣lnx）+ ，a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+ 对于任意的x∈[1，2]成立．
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第2章 第10节 第三课时 导数的综合应用（教师版）
备战基础·零风险
1．利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；
2．会利用导数解决某些简单的实际问题.
导数的综合应用
生活中的优化问题
通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．
利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
导数在研究方程(不等式)中的应用
研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究
备战方法·巧解题
规律
方法
1．两个转化 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2．两点注意 一是注意实际问题中函数定义域，由实际问题的意义和解析式共同确定．
二是在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么可直接根据实际意义判定是最大值还是最小值．若在开区间内有极值，则一定有最优解.
3. 在解答题时，可转化为判定f(x)＝b有两个实根时实数b应满足的条件，并注意g(x)的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数y＝f(x)的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．
(2)该类问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一.
4.证明抓住两点：一是转化为证明当m＝a时，f(x)>0；二是依据f′(x0)＝0，准确求f(x)的最小值．
(2)对于该类问题，可从不等式的结构特点出发，构造函数，借助导数确定函数的性质，借助单调性或最值实现转化．
5.求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.
6．理解极值与最值的区别，极值是局部概念，最值是整体概念．
7．利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．
8．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．
备战练习·固基石
一、单选题
1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)=0,当x>0时，有成立，则不等式x2f(x)>0的解集是（??????）
A.?????????????????????????????????????????B.? C.????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为当x＞0时，有恒成立，即[恒成立，所以在（0，+∞)内单调递减．因为f（2)=0，所以在（0，2)内恒有＞0；在（2，+∞)内恒有＜0．又因为是定义在R上的奇函数，所以在（-∞，-2)内恒有＞0；在（-2，0)内恒有＜0．又不等式＞0的解集，即不等式＞0的解集．所以答案为（-∞，-2)∪（0，2)．故选B． 【分析】本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征
2.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0,当x>0时，有恒成立，则不等式的解集是(??? )
A.?(-2,0) ∪(2,+∞)???????????????B.?(-2,0) ∪(0,2)???????????????C.?(-∞,-2)∪(2,+∞)???????????????D.?(-∞,-2)∪(0,2)
【答案】D
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为当x＞0时，有恒成立，即[]′＜0恒成立，所以在（0，+∞)内单调递减．因为f（2)=0，所以在（0，2)内恒有f（x)＞0；在（2，+∞)内恒有f（x)＜0．又因为f（x)是定义在R上的奇函数，所以在（-∞，-2)内恒有f（x)＞0；在（-2，0)内恒有f（x)＜0．又不等式x2f（x)＞0的解集，即不等式f（x)＞0的解集．所以答案为（-∞，-2)∪（0，2)．故选D． 【分析】本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征。
3.三次函数当是有极大值4，当是有极小值0，且函数过原点，则此函数是（ ????）
A.??????B.?????C.?? ?D.?
【答案】B
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】因为，三次函数当是有极大值4，当是有极小值0，且函数过原点，所以，当， 时，导函数值为0，所以，选B。
4.已知f(x)为R上的可导函数，且均有f(x)>f'(x)，则有（???）
A.?e2013f(-2013)e2013f(0)??????????????B.?e2013f(-2013)f(0),f(2013)>e2013f(0)??????????????D.?e2013f(-2013)>f(0),f(2013)【答案】D
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为均有， 即， 构造函数， 则， 所以为R上的单调递减函数，所以， 即， 所以。 【分析】做本题的关键是构造函数。属于中档题。
5.设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能的是（?? ）
A.?????B.??????C.??????D.?
【答案】C
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由导函数的图象可知，函数在 ， 单调递增；在 ， 单调递减，在 ， 单调递增，故C符合题意.故答案为：C . 【分析】根据导数与函数单调性的关系：f（x）0时，f（x）单调递减；f（x）0时，f（x）单调递减即可画出函数f（x）的草图.
6.设函数f（x）=+lnx，则（ ）
A.?x=为f（x）的极小值点????????????????????????????????????B.?x=2为f（x）的极大值点 C.?x=为f（x）的极大值点????????????????????????????????????D.?x=2为f（x）的极小值点
【答案】D
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：f′（x）=﹣+= ， 当0＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时f′（x）＞0， 所以x=2为f（x）的极小值点， 故选：D． 【分析】求导数f′（x），令f′（x）=0，得x=2可判断在2左右两侧导数符号，由极值点的定义可得结论．
7.已知函数f(x),g(x)是定义在R上可导函数，满足f'(x)g(x)-f(x)g'(x)<0，且f(x)>0,g(x)>0，对时。下列式子正确的是（???）
A.?f(c)g(a)f(a)g(c)????????B.?f(a)g(a)f(b)g(b)????????C.?f(b)g(a)f(a)g(b)????????D.?f(c)g(b)f(b)g(c)
【答案】D
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】函数是定义在R上可导函数，满足， 则说明了函数， 且有， 那么可知，在定义域内递减，， ， 等价于， 故选D. 【分析】解决的关键是对于导数不等式表示的含义的准确理解，属于基础题。
8.已知函数g（x）满足g（x）=g′（1）ex﹣1﹣g（0）x+ ， 且存在实数x0使得不等式2m﹣1≥g（x0）成立，则m的取值范围为（ ）
A.?（﹣∞，2]????????????????????????B.?（﹣∞，3]?????????????????????????C.?[1，+∞）?????????????????????????D.?[0，+∞）
【答案】C
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】解：∵g（x）=g′（1）ex﹣1﹣g（0）x+ ， ∴g′（x）=g′（1）ex﹣1﹣g（0）+x， ∴g′（1）=g′（1）﹣g（0）+1，解得：g（0）=1， g（0）=g′（1）e﹣1 ， 解得：g′（1）=e， ∴g（x）=ex﹣x+x2 ， ∴g′（x）=ex﹣1+x，g″（x）=ex+1＞0， ∴g′（x）在R递增，而g′（0）=0， ∴g′（x）＜0在（﹣∞，0）恒成立，g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立， ∴g（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增， ∴g（x）min=g（0）=1， 若存在实数x0使得不等式2m﹣1≥g（x0）成立， 只需2m﹣1≥g（x）min=1即可，解得：m≥1， 故选：C． 【分析】分别求出g（0），g′（1），求出g（x）的表达式，求出g（x）的导数，得到函数的单调区间，求出g（x）的最小值，问题转化为只需2m﹣1≥g（x）min=1即可，求出m的范围即可．
9.设是定义在R上的可导函数，且满足 ， 对于任意的正数 ， 下面不等式恒成立的是（???）
A.??????????????B.??????????????C.??????????????D.?
【答案】C
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】构造函数， 则， ∴在R内单调递减，所以， 即：， ∴.
10.若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是
A.?????????????????B.??????????????C.???????????????????????D.?
【答案】B
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】在区间内是增函数，在区间内恒成立，由，故
11.已知f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A.???????????????????????????????B.? C.???????????????????????D.?
【答案】D
【考点】函数的单调性与导数的关系
【解析】【解答】解：不可能正确的是D． 因为把上面的作为函数：在最左边单调递增，其导数应为大于0，但是其导函数的值小于0，故不正确； 同样把下面的作为函数，中间一段是减函数，导函数应该小于0，也不正确．因此D不正确． 故选：D． 【分析】本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．
12.函数的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（???）
A.????????????????B.????????????????C.????????????????D.?
【答案】D
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】因为， 所以令f'(x)=0解得x=-2或x=1,当a>0时，在x=-2处取得极大值，在x=1处取得极小值，所以需要,解得;当a<0时，在x=1处取得极大值，在x=-2处取得极小值，所以需要,解得,故答案选D
13.若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（? ）
A.?????????????????????????B.???????????????????????C.??????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】利用导数研究函数的单调性，导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】∵ 在 上单调递增， ∴ 在 上恒成立， ∵ >0在 上恒成立， ∴ 0在 上恒成立， ∴a(sinx?cosx) sinx+cosx在 上恒成立 ∴ ， 设g(x)= ， ∴ ， ∵x∈ ，∴2x∈( ,π)，∴0g( )=1， ∴a 1， 故答案为：A. 【分析】函数在区间上单调递增,等价于其导数不小于0在区间上恒成立,分离变量,构造函数g(x),由导数求函数的最值得到a的范围.
14.已知 是定义在区间 上的函数， 是 的导函数，且 ， ，则不等式 的解集是（??? ）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】函数的单调性与导数的关系
【解析】【解答】解：引入函数 ，则 ? ， ，
，又 ， 函数 在区间 上单调递增，又 ，不等式“ ”等价于“ ”，即 ，又 ，又 函数 在区间 上单调递增， ，解得 ，又函数 的定义域为 ，得 ，解得 ，故不等式 的解集是 ，
故答案为：D.
【分析】构造函数 g ( x ),由条件得到函数g(x)在区间 (, + ∞ ) 上单调递增,则不等式等价于,从而求出x的范围.
15.若对任意的实数 ，函数 在 上都是增函数，则实数 的取值范围是（?? ）
A.???????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】利用导数研究函数的单调性，导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】∵ 在R上都是增函数， ∴ 在R上恒成立， ∴ ， ， 令y=t?lnt,则 ， ∴(0,1)上,y′<0,(1,+∞)上,y′>0， ∴t=1时,ymin=1， ∴ 的最小值为 ， ∴a? ， 故选：A. 【分析】函数f(x)在R上总是增函数，等价于其导函数大于或等于0对R上的x恒成立，再对a与x分离参数，通过求函数的最值得到a的范围。
二、填空题
16.设函数 ．若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程为________．
【答案】
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为函数 是奇函数，
所以 ，从而得到 ，即，
所以 ，所以 ，所以切点坐标是 ，
因为 ，所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
故答案是 .
【分析】根据函数为奇函数，求出a值，结合导数的几何意义，求导数即可求出切线斜率，根据点斜式，即可求出切线方程.
17.函数y=x3+x的递增区间是________．
【答案】（﹣∞，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：根据题意，函数y=x3+x， 其导数y′=3x2+1＞0， 则函数y=x3+x在R为增函数，则其递增区间是（﹣∞，+∞）， 故答案为：（﹣∞，+∞）． 【分析】根据题意，由函数的解析式对其求导，分析可得其导数y′=3x2+1＞0，由导数与函数的单调性之间的关系，分析可得答案．
18.已知函数 ，则 的极大值为________．
【答案】
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】
?，因此 ， 时取极大值
【分析】先求f′(1)的值，再利用导数可求f ( x ) 的极大值.
19.若函数 在其定义域的一个子区间 上不是单调函数，则实数 的取值范围________．
【答案】
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】 ， ，令 得 ,由题意 ，∴ ，又 , ，∴ ,即实数 的取值范围 【分析】掌握导数的计算及运用解决此类问题的关键，解题时不要忘掉定义域的限制
20.已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x）且y=f（x+1）为偶函数，f（2）=1，则不等式f（x）＜ex的解集为________?
【答案】（0，+∞）
【考点】函数的单调性与导数的关系
【解析】【解答】解：∵y=f（x+1）为偶函数 ∴y=f（x+1）的图象关于x=0对称 ∴y=f（x）的图象关于x=1对称 ∴f（2）=f（0） 又∵f（2）=1 ∴f（0）=1 设（x∈R），则 又∵f′（x）＜f（x） ∴f′（x）﹣f（x）＜0 ∴g′（x）＜0 ∴y=g（x）单调递减 ∵f（x）＜ex 即g（x）＜1 又 ∴g（x）＜g（0） ∴x＞0 故答案为：（0，+∞） 【分析】首先构造函数， 研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解
21.设f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣2）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是________．
【答案】（﹣2，0）∪（2，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设g（x）= ，则g（x）的导数为： g′（x）= ， ∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＞0成立， 即当x＞0时，g′（x）＞0， ∴当x＞0时，函数g（x）为增函数， 又∵g（﹣x）= = = =g（x）， ∴函数g（x）为定义域上的偶函数， ∴x＜0时，函数g（x）是减函数， 又∵g（﹣2）= =0=g（2）， ∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（2），解得：x＞2， x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（﹣2），解得：x＞﹣2， ∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣2，0）∪（2，+∞）． 故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）． 【分析】构造函数g（x），利用g（x）的导数判断函数g（x）的单调性与奇偶性，求出不等式的解集即可．
22.设直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论： ①abc的取值范围是（0，4）； ②a2+b2+c2为定值；③a+b+c=6 其中正确结论的为________
【答案】①②③
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】设y=f（x）=x（x﹣3）2=x3﹣6x2+9x，则f′（x）=3x2﹣12x+9， 令f′（x）=0，解得x=1或x=3； 当x＜1或x＞3时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0； ∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数； 当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=4，当x=3时，f（x）取得极小值f（3）=0； 作出函数f（x）的图象如图所示： ∵直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2有三个交点，由图象知0＜t＜4，①正确； 令g（x）=x（x﹣3）2﹣t=x3﹣6x2+9x﹣t，则a，b，c是g（x）=0的三个实根． ∴x3﹣6x2+9x﹣t=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）， 即x3﹣6x2+9x﹣t=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc， ∴a+b+c=6，ab+bc+ac=9，abc=t，③正确； ∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）=18，∴②正确； 综上，正确的命题序号是①②③． 故答案为：①②③． 【分析】本题的重点是利用导数研究函数单调性极值，进而得出函数的大致图象。再根据图象以及三个选项逐一考查得出答案。
23.已知函数 是定义在 上的奇函数， ， ，则不等式 的解集是________．
【答案】
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设函数 则 ? ， 当 时， ， 的单调递增区间为 ， ? ，则函数 为偶函数， 单调递减区间为 ， ， 所以当 时， ，当 时， ； 当 时， ；当 时， ， 因为不等式 的解集等价于 ， 而当 或 时， ， 故不等式 的解集 或 ， 即不等式 的解集是 . 【分析】构造函数，求导数，结合题中条件确定函数的单调性，根据单调性解不等式即可.
三、解答题
24.已知函数 .
（1）求 的最大值；
（2）当 时，函数 有最小值. 记 的最小值为 ，求函数 的值域.
【答案】（1）解：f′(x)＝ （x＞0），
当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
所以当x＝e时，f(x)取得最大值f(e)＝
（2）解：g′(x)＝lnx－ax＝x( －a)，由（1）及x∈(0，e]得：
当a＝ 时， －a≤0，g′(x)≤0，g(x)单调递减，
当x＝e时，g(x)取得最小值g(e)＝h(a)＝－ .
当a∈[0， )，f(1)＝0≤a，f(e)＝ ＞a，
所以存在t∈[1，e)，g′(t)＝0且lnt＝at，
当x∈(0，t)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，当x∈(t，e]时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，
所以g(x)的最小值为g(t)＝h(a).
令h(a)＝G(t)＝ －t，
因为G′(t)＝ ＜0，所以G(t)在[1，e)单调递减，此时G(t)∈(－ ，－1].
综上，h(a)∈[－ ，－1]
【考点】函数的单调性与导数的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】（1）通过对函数进行求导，求出其导数方程，判断函数的单调性，从而求出函数的最大值。 （2）通过求出g′(x)，由（1）可知x的取值范围，对a的取值进行讨论分别求出函数的单调性和最值。
25.已知函数f（x）=xlnx+ax﹣x2（a∈R）．
（1）若函数f（x）在[e，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；
（2）若对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞﹣x2+（k+a﹣1）x﹣k恒成立，求正整数k的值．
【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx+ax﹣x2（a∈R）可知x＞0，有：f′（x）=lnx+1+a﹣2x，
∵函数f（x）在区间[e，+∞） 上为减函数，
∴当x∈[e，+∞）时，f′（x）≤0，即lnx+1+a﹣2x≤0在区间[e，+∞）上恒成立，
∴a≤2x﹣lnx﹣1在x∈[e，+∞） 上恒成立．
令g（x）=2x﹣lnx﹣1，，当时，g′（x）≥0，g（x）单增； 时，g′（x）≤0，g（x）单减．
∴x∈[e，+∞）时，g（x）min=g（e）=2e﹣2∴a≤2e﹣2．????????????????
（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞﹣x2+（k+a﹣1）x﹣k恒成立，
即k（x﹣1）＜xlnx+x恒成立．
∵x∈（1，+∞），∴x﹣1＞0．
则问题转化为?对任意x∈（1，+∞）恒成立，
设函数，则，
再设m（x）=x﹣lnx﹣2，则．
∵x∈（1，+∞），∴m'（x）＞0，
则m（x）=x﹣lnx﹣2在x∈（1，+∞）上为增函数，
∵m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，
∴?x0∈（3，4），使m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0．
∴当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，h（x）＜0；
当x∈（x0 ， +∞）时，m（x）＞0，h（x）＞0???????
∴在x∈（1，x0）上递减，在x∈（x0 ， +∞）上递增．
∴h（x）的最小值为．
∵m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，∴ln（x0）+1=x0﹣1，代入函数，得h（x0）=x0 ，
∵x0∈（3，4），且k＜h（x），对任意x∈（1，+∞）恒成立，
∴k＜h（x）min=x0 ， ∴k≤3，
∴k的值为1，2，3．???????????????????????????????????????????????????
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，利用函数f（x）在区间[e，+∞） 上为减函数，f′（x）≤0，即lnx+1+a﹣2x≤0在区间[e，+∞）上恒成立，推出a≤2x﹣lnx﹣1在x∈[e，+∞） 上恒成立．构造新函数求出新函数的最小值，推出结果．
???????????? （Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞﹣x2+（k+a﹣1）x﹣k恒成立，转化为k（x﹣1）＜xlnx+x恒成立．
问题转化为?对任意x∈（1，+∞）恒成立，构造新函数，求解新函数的最小值，然后求解k的值为1，2，3。 ???????????????????????????
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）设函数 ，若 为奇函数，则曲线y=f(x)在点（0，0）处的切线方程为（?? ）
A.?y=-2x???????????????????????????????????B.?y=-x???????????????????????????????????C.?y=2x???????????????????????????????????D.?y=x
【答案】D
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：∵ ，且 是奇函数， ∴a-1=0 a=1， . ∴ . ∴y-0=x-0 y=x . 故答案为：D. 【分析】由函数f(x)是奇函数，求出a=1得到函数的解析式，再由导数的几何意义求在点(0，0)处的切线方程。
2.（2016?全国）若函数f（x）=x﹣ sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（ ）
A.?[﹣1，1]???????????????????????B.?[﹣1， ]???????????????????????C.?[﹣ ， ]???????????????????????D.?[﹣1，﹣ ]
【答案】C
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数f（x）=x﹣ sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣ cos2x+acosx， 由题意可得f′（x）≥0恒成立，即为1﹣ cos2x+acosx≥0，即有 ﹣ cos2x+acosx≥0， 设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0， 当t=0时，不等式显然成立； 当0＜t≤1时，3a≥4t﹣ ，由4t﹣ 在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣ ；当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣ ，由4t﹣ 在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤ ．综上可得a的范围是[﹣ ， ]． 故选：C． 【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0恒成立，设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，对t讨论，分t=0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围．；本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题．
3.（2016?四川）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（ ）
A.?﹣4?????????????????????????????????????????B.?﹣2?????????????????????????????????????????C.?4?????????????????????????????????????????D.?2
【答案】D
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：f′（x）=3x2﹣12； ∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0； ∴x=2是f（x）的极小值点； 又a为f（x）的极小值点； ∴a=2． 故选D． 【分析】可求导数得到f′（x）=3x2﹣12，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值；考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象．
4.（2016?山东）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（ ）
A.?y=sinx??????????????????????????????????B.?y=lnx??????????????????????????????????C.?y=ex??????????????????????????????????D.?y=x3
【答案】A
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1， 当y=sinx时，y′=cosx，满足条件； 当y=lnx时，y′= ＞0恒成立，不满足条件； 当y=ex时，y′=ex＞0恒成立，不满足条件； 当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件； 故选：A 【分析】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．；本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．
5.（2016?四川）设直线l1 ， l2分别是函数f（x）= 图象上点P1 ， P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1 ， l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（ ）
A.?（0，1）????????????????????????B.?（0，2）????????????????????????C.?（0，+∞）????????????????????????D.?（1，+∞）
【答案】A
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设P1（x1 ， y1），P2（x2 ， y2）（0＜x1＜1＜x2），当0＜x＜1时，f′（x）= ，当x＞1时，f′（x）= ，∴l1的斜率 ，l2的斜率 ， ∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0， ∴ ，即x1x2=1．直线l1： ，l2： ． 取x=0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2）， |AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2． 联立两直线方程可得交点P的横坐标为x= ，∴ |AB|?|xP|= = ．∵函数y=x+ 在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，∴ ，则 ，∴ ． ∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）． 故选：A． 【分析】设出点P1 ， P2的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l1与l2的斜率，由两直线垂直求得P1 ， P2的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围．；本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了数学转化思想方法，属中档题．
二、填空题
6.（2018?卷Ⅱ）曲线 在点 处的切线方程为________.
【答案】y=2x-2
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 ∴在点（0,0）处的切线方程为：y=2（x-1）=2x-2 故答案为：y=2x-2 【分析】由曲线在某点处的导数的几何意义，得切线的斜率，由点斜式写出切线方程。
7.（2018?卷Ⅱ）曲线 在点 处的切线方程为________.
【答案】y=2x
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】y=2ln（x+1） ∴在点（0,0）处的切线方程为：y=2x 故答案为：y=2x 【分析】由曲线在某点处的导数的几何意义，得切线的斜率，由点斜式写出切线方程。
8.（2016?全国）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是________．
【答案】2x+y+1=0
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x）， 当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有 x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）= ﹣3， 可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2， 则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1）， 即为2x+y+1=0． 故答案为：2x+y+1=0． 【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题．
9.（2016?全国）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+2）的切线，则b=________。
【答案】
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 的切线为： （设切点横坐标为 ） 的切线为： ∴ 解得 ? ∴ 【分析】先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可
10.（2016?全国）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是________．
【答案】y=2x
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x， 设x＞0，则﹣x＜0， ∴f（x）=f（﹣x）=ex﹣1+x， 则f′（x）=ex﹣1+1， f′（1）=e0+1=2． ∴曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y﹣2=2（x﹣1）． 即y=2x． 故答案为：y=2x． 【分析】由已知函数的奇偶性结合x≤0时的解析式求出x＞0时的解析式，求出导函数，得到f′（1），然后代入直线方程的点斜式得答案．；本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了函数解析式的求解及常用方法，是中档题．
11.（2016?北京）函数f（x）= （x≥2）的最大值为________．
【答案】2
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】解： ； ∴f（x）在[2，+∞）上单调递减； ∴x=2时，f（x）取最大值2． 故答案为：2． 【分析】分离常数便可得到 ，根据反比例函数的单调性便可判断该函数在[2，+∞）上为减函数，从而x=2时f（x）取最大值，并可求出该最大值．；考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值的方法．
三、解答题
12.（2018?卷Ⅰ）已知函数
（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在两个极值点 ，证明：
【答案】（1）解： 的定义域为 ， . 若 ，则 ，当且仅当 ， 时 ，所以 在 单调递减. 若 ，令 得， 或 . 当 时， ； 当 时， .所以 在 单调递减，在 单调递增. （2）解：由（1）知， 存在两个极值点当且仅当 . 由于 的两个极值点 满足 ，所以 ，不妨设 ，则 . 由于 ， 所以 等价于 . 设函数 ， 由（1）知， 在 单调递减，又 ，从而当 时， . 所以 ， 即 .
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)求出函数的导数,对a分类讨论研究函数的单调性;(2)当函数f(x)存在两个极值点时,则函数有导数有两个异号零点即导方程有两个相异实根,求出a的范围,不等式左边即相当于函数的导数,从而证明不等式.
13.（2018?卷Ⅰ）已知函数f(x)=aex-lnx-1
（1）设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间
（2）证明:当a≥ 时,f(x)≥0
【答案】（1）解： ∵x=2是 极值点，∴ ∴ 又 在 ∴ 在 ，又 在 ∴ 在 ，又 所以 时， ， 当 时， ， 综上所述 ， ， （2）解：∵ 当 时， ∴ 令 同理 在 又 ∴ 时， ， ， ， ∴ 即 时，
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】求出函数的导数,由x=2是函数f(x)的极值点求出a的值,再由导数研究函数的单调区间;从而证明不等式.
14.（2018?浙江）已知函数f(x)= ?lnx ． （Ⅰ）若f(x)在x=x1 ， x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8?8ln2； （Ⅱ）若a≤3?4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．
【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的导函数 ， 由 得 ， 因为 ，所以 ． 由基本不等式得 ． 因为 ，所以 ． 由题意得 ． 设 ， 则 ， 所以
x
（0，16）
16
（16，+∞）
g'（x）
-
0
+
g（x）
↘
2-4ln2
↗
所以g（x）在[256，+∞）上单调递增 故 ， 即 ． （Ⅱ）令m= ，n= ，则 f（m）–km–a>|a|+k–k–a≥0， f（n）–kn–a< ≤ <0， 所以，存在x0∈（m ， n）使f（x0）=kx0+a ， 所以，对于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点． 由f（x）=kx+a得 ． 设h（x）= ， 则h′（x）= ， 其中g（x）= ． 由（Ⅰ）可知g（x）≥g（16），又a≤3–4ln2， 故–g（x）–1+a≤–g（16）–1+a=–3+4ln2+a≤0， 所以h′（x）≤0，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，因此方程f（x）–kx–a=0至多1个实根． 综上，当a≤3–4ln2时，对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．
【考点】函数的单调性与导数的关系，利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】解题的关键是掌握利用导数研究函数的单调性 ， 导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力.
15.（2018?天津）已知函数 ， ，其中a>1. （Ⅰ）求函数 的单调区间； （Ⅱ）若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行，证明 ； （Ⅲ）证明当 时，存在直线l ， 使l是曲线 的切线，也是曲线 的切线.
【答案】解：（Ⅰ）∵h(x)= ， 令 0, 。 由a>1，则h(x)在 递减，在 递增。 （Ⅱ）证明：由 ，则 在点 处切线斜率为 ，由 ，则 在点 处切线斜率为 又 = 两边取以a为底的对称， 则 ， ∴ 。 （Ⅲ）证明：曲线 在点 切线 ， 曲线 在点 处切线 ， 要证明当 时，存在直线l,使l是曲线 的切线，也是曲线 的切线，只需证明当 时，存在 ，使得 ， 重合。即需证明： 当 时， ， 由 得： 代入 得： ③， 因此 ，关于 方程③存在实数解即可。 设 ， 则 时， 存在零点， ， 时， ， 时， 又 ， ， ,而 ， ∴ 在 ， ∴ 。 ∵ ， ∴ -1. ∴ = 。 下面证明存在实数t,使得 。 ， 当 时：有 = 。 ∴存在t，使得 ， ∴ 时，存在 。
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】( Ⅰ)导数运算，找到导函数的零点。(Ⅱ)（i）利用导函数意义，证明切线斜率相导。(ii)先将题意转化为方程③有解，再构造函数证明 有零点。
16.（2018?卷Ⅱ）已知函数
（1）若a=3，求 的单调区间
（2）证明： 只有一个零点
【答案】（1）当a=3时， 当f’（x）﹥0时?? 或 f’（x）﹤0时， ∴ 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 （2）由于 ﹥0，所以 =0等价于 设 ，则 仅当x=0时， =0，所以 在 单调递增，故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点 又 ， 故f（x）有一个零点 综上所述，f（x）只有一个零点
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）导数的应用，求单调性；（2）函数的零点.
17.（2018?卷Ⅱ）已知函数
（1）若a=1,证明：当 时，
（2）若 在 只有一个零点，求 .
【答案】（1）a=1时,f（x）=ex-x2 欲证x≥0时，f（x）≥等价于证明： 令 则 ∴g（x）是（0，+∞）上的减函数， 所以g（x）≤g（0）=1，即 所以ex-x2≥1，即f（x）≥1 （2）当a﹥0时， ?? 令h’（x）=0? 解得x=2，h（2）= 当x∈（0,2），h’（x）﹤0，x∈（2，+∞），h’（x）﹥0； ∴h（x）在（0,2）单调递减， ∴在（2，+∞）单调递增. （i）0﹤a﹤ 时，h（2）=1- ﹥0，此时h（x）在（0，+∞）上无零点，不合题意； （ii）a= 时，h（2）=0，h（x）在（0，+∞）上只有一个零点，符合题意； （iii）a﹥ 时，h（0）=1﹥0，h（2）=1- ﹤0； 由（1）知：x﹥0，ex﹥x2+1? ∴ex= ﹥ 令 ﹥ax2 ， 解得：x﹥4 ，当b﹥4 时，eb﹥ ﹥ab2 取b满足b﹥2，且b﹥4 ，则 所以此时h（x）在（0，+∞）上有两个零点，不合题意； 综上：a= 时，f（x）在（0，+∞）上只有一个零点.
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）利用导数证明不等式；（2）运用函数零点，求参数的值.
18.（2017?北京卷）已知函数f（x）=excosx﹣x．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[0， ]上的最大值和最小值．
【答案】（1）解：函数f（x）=excosx﹣x的导数为f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1， 可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e0（cos0﹣sin0）﹣1=0， 切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1）， 曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1； （2）解：函数f（x）=excosx﹣x的导数为f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1， 令g（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1， 则g（x）的导数为g′（x）=ex（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2ex?sinx， 当x∈[0， ]，可得g′（x）=﹣2ex?sinx≤0， 即有g（x）在[0， ]递减，可得g（x）≤g（0）=0， 则f（x）在[0， ]递减， 即有函数f（x）在区间[0， ]上的最大值为f（0）=e0cos0﹣0=1； 最小值为f（ ）=e cos ﹣ =﹣ ．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1.）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程； （2.）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间[0， ]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值．
19.（2016?全国）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记f（x）的最大值为A．
（1）求f′（x）；
（2）求A；
（3）证明：|f′（x）|≤2A．
【答案】（1）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx （2）当a≥1时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2． 当0＜a＜1时，f（x）等价为f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1， 令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1， 则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2， 且当t= 时，g（t）取得极小值，极小值为g（ ）=﹣ ﹣1=﹣ ， 令﹣1＜ ＜1，得a＜ （舍）或a＞ ．因此A=3a﹣2 g（﹣1）=a，g（1）=3a+2，a＜3a+2，∴t=1时，g（t）取得最大值，g（1）=3a+2，即f（x）的最大值为3a+2． 综上可得：t=1时，g（t）取得最大值，g（1）=3a+2，即f（x）的最大值为3a+2． ∴A=3a+2． ①当0＜a≤ 时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|， ∴A=2﹣3a， ②当 ＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（ ）， 又|g（ ）﹣g（﹣1）|= ＞0， ∴A=|g（ ）|= ， 综上，A= ． （3）证明：由（1）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|， 当0＜a≤ 时，|f′（x）|≤1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A， 当 ＜a＜1时，A= = + + ≥1， ∴|f′（x）|≤1+a≤2A， 当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A， 综上：|f′（x）|≤2A．
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）； （2）讨论a的取值，利用分类讨论的数学，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解； （3）由（1），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A． 本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，利用函数单调性和导数的关系，以及换元法，转化法转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
20.（2016?天津）设函数f（x）=x3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在极值点x0 ， 且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0 ， 求证：x1+2x0=0；
（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于 ．
【答案】（1）解：若f（x）=x3﹣ax﹣b，则f′（x）=3x2﹣a， 分两种情况讨论： ①、当a≤0时，有f′（x）=3x2﹣a≥0恒成立， 此时f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）， ②、当a＞0时，令f′（x）=3x2﹣a=0，解得x=- 或x= ， 当x＞ 或x＜﹣ 时，f′（x）=3x2﹣a＞0，f（x）为增函数， 当﹣ ＜x＜ 时，f′（x）=3x2﹣a＜0，f（x）为减函数， 故f（x）的增区间为（﹣∞，﹣ ），（ ，+∞），减区间为（﹣ ， ） （2）解：若f（x）存在极值点x0 ， 则必有a＞0，且x0≠0， 由题意可得，f′（x）=3x2﹣a，则x02= ， 进而f（x0）=x03﹣ax0﹣b=﹣ x0﹣b， 又f（﹣2x0）=﹣8x03+2ax0﹣b=﹣ x0+2ax0﹣b=f（x0）， 由题意及（Ⅰ）可得：存在唯一的实数x1 ， 满足f（x1）=f（x0），其中x1≠x0 ， 则有x1=﹣2x0 ， 故有x1+2x0=0； （3）解：设g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值M，max{x，y}表示x、y两个数的最大值， 下面分三种情况讨论： ①当a≥3时，﹣ ≤﹣1＜1≤ ， 由（I）知f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减， 所以f（x）在区间[﹣1，1]上的取值范围是[f（1），f（﹣1）]， 因此M=max{|f（1）|，|f（﹣1）|}=max{|1﹣a﹣b|，|﹣1+a﹣b|} =max{|a﹣1+b|，|a﹣1﹣b|}= ， 所以M=a﹣1+|b|≥2 ②当 a＜3时， ， 由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（﹣1）≥ =f（ ），f（1）≤ = ， 所以f（x）在区间[﹣1，1]上的取值范围是[f（ ），f（﹣ ）]， 因此M=max{|f（ ）|，|f（﹣ ）|}=max{| |，| |} =max{| |，| |}= ， ③当0＜a＜ 时， ， 由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（﹣1）＜ =f（ ），f（1）＞ = ， 所以f（x）在区间[﹣1，1]上的取值范围是[f（﹣1），f（1）]， 因此M=max{|f（﹣1）|，|f（1）|}=max{|﹣1+a﹣b|，|1﹣a﹣b|} =max{|1﹣a+b|，|1﹣a﹣b|}=1﹣a+|b|＞ ， 综上所述，当a＞0时，g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求出f（x）的导数，讨论a≤0时f′（x）≥0，f（x）在R上递增；当a＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间； （2）由条件判断出a＞0，且x0≠0，由f′（x0）=0求出x0 ， 分别代入解析式化简f（x0），f（﹣2x0），化简整理后可得证； （3）设g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值M，根据极值点与区间的关系对a分三种情况讨论，运用f（x）单调性和前两问的结论，求出g（x）在区间上的取值范围，利用a的范围化简整理后求出M，再利用不等式的性质证明结论成立． 本题考查导数的运用：求单调区间和最值，不等式的证明，注意运用分类讨论的思想方法和转化思想，考查分析法在证明中的应用，以及化简整理、运算能力，属于难题．
21.（2016?山东）设f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．
（1）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；
（2）已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：∵f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x， ∴g（x）=f′（x）=lnx﹣2ax+2a，x＞0， g′（x）= ﹣2a= ， 当a≤0，g′（x）＞0恒成立，即可g（x）的单调增区间是（0，+∞）； 当a＞0，当x＞ 时，g′（x）＜0，函数为减函数， 当0＜x＜ ，g′（x）＞0，函数为增函数， ∴当a≤0时，g（x）的单调增区间是（0，+∞）； 当a＞0时，g（x）的单调增区间是（0， ），单调减区间是（ ，+∞） （2）解：∵f（x）在x=1处取得极大值，∴f′（1）=0， ①当a≤0时，f′（x）单调递增， 则当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在x=1处取得极小值，不合题意， ②当0＜a＜ 时， ＞1，由（1）知，f（x）在（0， ）内单调递增， 当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当1＜x＜ 时，f′（x）＞0， ∴f（x）在（0，1）内单调递减，在（1， ）内单调递增，即f（x）在x=1处取得极小值，不合题意． ③当a= 时， =1，f′（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 则当x＞0时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意． ④当a＞ 时，0＜ ＜1， 当 ＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， ∴当x=1时，f（x）取得极大值，满足条件． 综上实数a的取值范围是a＞ ．
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）先求出g（x）=f′（x）的解析式，然后求函数的导数g′（x），利用函数单调性和导数之间的关系即可求g（x）的单调区间；（2）分别讨论a的取值范围，根据函数极值的定义，进行验证即可得到结论．；本题主要考查导数的综合应用，考查函数的单调性，极值和导数的关系，要求熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、把问题等价转化等是解题的关键．综合性较强，难度较大．
22.（2016?北京）设函数f(x)=x ?+bx，曲线y=f(x)在点 (2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4，
（1）求a,b的值；?
（2）求f(x)的单调区间。
【答案】（1）解： ∴ ∵曲线 在点 处的切线方程为 ∴ ， 即 ① ?? ?② 由①②解得： ， （2）解：∵a=2，b=e； ∴f（x）=xe2﹣x+ex， ∴f′（x）=e2﹣x﹣xe2﹣x+e=（1﹣x）e2﹣x+e， f″（x）=﹣e2﹣x﹣（1﹣x）e2﹣x=（x﹣2）e2﹣x ， 由f″（x）＞0得x＞2，由f″（x）＜0得x＜2， 即当x=2时，f′（x）取得极小值f′（2）=（1﹣2）e2﹣2+e=e﹣1＞0， ∴f′（x）＞0恒成立， 即函数f（x）是增函数， 即f（x）的单调区间是（﹣∞，+∞）．
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求函数的导数，根据导数的几何意义求出函数的切线斜率以及f（2），建立方程组关系即可求a，b的值；（2）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求f（x）的单调区间．
23.（2016?山东）已知f（x）=a（x﹣lnx）+ ，a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+ 对于任意的x∈[1，2]成立．
【答案】（1）解：由f（x）=a（x﹣lnx）+ ， 得f′（x）=a（1﹣ ）+ = = = （x＞0）． 若a≤0，则ax2﹣2＜0恒成立， ∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数， 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数； 当a＞0，若0＜a＜2，当x∈（0，1）和（ ，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数， 当x∈（1， ）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数； 若a=2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数； 若a＞2，当x∈（0， ）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数， 当x∈（ ，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数 （2）解：∵a=1， 令F（x）=f（x）﹣f′（x）=x﹣lnx ﹣1 =x﹣lnx+ ． ∵ex＞1+x， ∴x＞ln（1+x）， ∴ex﹣1＞x，则x﹣1＞lnx， ∴F（x）＞ = ． 令φ（x）= ，则φ′（x）= = （x∈[1，2]）． ∴φ（x）在[1，2]上为减函数，则φ（x）? ， ∴F（x）＞ 恒成立． 即f（x）＞f′（x）+ 对于任意的x∈[1，2]成立
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】（1）求出原函数的导函数，然后对a分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性； （2）构造函数F（x）=f（x）﹣f′（x），求导后利用不等式x﹣1＞lnx放缩，得到F（x）＞ = ．令φ（x）= ，利用导数可得φ（x）在[1，2]上为减函数，得到F（x）＞ 恒成立．由此可得f（x）＞f′（x）+ 对于任意的x∈[1，2]成立． 本题考查利用导数加以函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是压轴题．
