2019年备战高考数学全国各地真题精练（2014-2018）
第2章 第11节 定积分与微积分基本定理（学生版）
备战基础·零风险
1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．
2．了解微积分基本定理的含义.
定积分
定义
一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间
等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式：
如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：
其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限。
说明
（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是．
（2）用定义求定积分的一般方法是：
①分割：等分区间 ； ②近似代替：取点 ；
③求和： ； ④取极限： 。
几何意义
①当f(x)≥0时，定积分表示由直线 和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．(图1)
②当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，如图2所示，则定积分表示介于x轴．曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分曲边梯形面积的代数和，即＝ .
物理意义
变速运动路程； 变力做功
定积分的性质
性质1 。
性质2 。
性质3 。
性质4 。
微积分
基本定理
一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)．那么f(x)dx＝ ，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一种思想 定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”步骤解决“无限”问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”．定积分只与积分区间和被积函数有关，与积分变量无关．
2．一个定理 由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算.
3．两点提醒 一是重视定积分性质在求值中的应用．
二是区别定积分与曲边梯形面积间的关系，定积分可正、可负、也可以为0，是曲边梯形面积的代数和，但曲边梯形面积非负.
4. (1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．
(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．
(3)若y＝f(x)为奇函数，则＝0.
5.利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．
求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．
6.(1)利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式．
(2)定积分在物理方面的应用中要注意各种具体问题中含有的物理意义．防止实际问题的物理意义不明确，导致把物理问题转化为定积分时出现错误．
7．求定积分常用的方法
(1)利用微积分基本定理．
(2)运用定积分的几何意义(曲边梯形面积易求时)转化为求曲边梯形的面积．
8．定积分计算应注意的问题+
(1)利用微积分基本定理，关键是准确求出被积函数
的原函数，熟练掌握导数公式及求导法则，求导与积分互为逆运算．
(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限．
(3)面积非负，而定积分的结果可以为负．利用定积分求平面图形的面积时一定要准确转化，当图形的边界不同时，一定注意分情况讨论．
备战练习·固基石
一、单选题
1.直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ??)．
A.?4????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?2????????????????????????????????????????D.?
2.设函数 ， 若 ， 则x0=（???）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?2
3.曲线与坐标轴围成的面积是（???）
A.?4???????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?2
4.（?????）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
5.由曲线 ， 直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为(?? )
A.??????????????????????????????????????????B.?4?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?6
6.由直线 ， 曲线及轴所围图形的面积为(?? )
A.?3???????????????????????????????????????????B.?7???????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?
7.设,则下列关系式成立的是(??? )
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
8.若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为那么从3小时到6小时期间内的产量为( )
A.??????????????????????????????????B.???????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
9.若 ，且 ，则 的值为（???? ）
A.?2??????????????????????????????????????????B.?-1??????????????????????????????????????????C.?1??????????????????????????????????????????D.?-2
10.由直线y=x，y=﹣x+1，及x轴围成平面图形的面积为（?? ）
A.? ?[（1﹣y）﹣y]dy???????????????????????????????????????????B.? ?[（﹣x+1）﹣x]dx C.? ?[（1﹣y）﹣y]dy??????????????????????????????????????????D.? x﹣[（﹣x+1）]dx
11.由直线及曲线所围成的封闭的图形的面积为(??? )
A.??????????????????????????????????????B.?3???????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
12.定积分 （﹣3）dx等于（?? ）
A.?﹣3?????????????????????????????????????????B.?3?????????????????????????????????????????C.?﹣6?????????????????????????????????????????D.?6
13.如图所示，正弦曲线 ，余弦曲线 与两直线 ， 所围成的阴影部分的面积为（?? ）
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?
14.(x2＋2)dx＝(?? )
A.????????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?1
15.若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为a＝，那么从3小时到6小时期间内的产量为( )
A.???????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
16.一物体A以速度v=3t2+2（t的单位：s，v的单位：m/s），在一直线上运动，在此直线上在物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方8m处以v=8t（t的单位：s，v的单位：m/s）的速度与A同向运动，设ns后两物体相遇，则n的值为
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?4????????????????????????????????????D.?5
二、填空题
17. cosxdx=________．
18.直线y=4x与曲线y=x2围成的封闭区域面积为________．
19.如果f(x)dx＝1，f(x)dx＝－1，那么f(x)dx＝________．
20.利用定积分的几何意义，计算： ＝________.
21.设 ，则 =________．
22.若a= cosxdx，则（ + + ）4的展开式中常数项为________ ．
23.如图阴影部分是由曲线y= ，y2=x与直线x=2，y=0围成，则其面积为________．
24. （ ﹣2x）dx=________．
25.由定积分的几何意义可知 dx=________．
三、解答题
26.已知 ，求：
（1）
（2）
（3）
27.已知函数f（x）=﹣alnx+ +x（a≠0） （I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）））处的切线与直线x﹣2y=0垂直，求实数a的值； （Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性； （Ⅲ）当a∈（﹣∞，0）时，记函数f（x）的最小值为g（a），求证：g（a）≤﹣e﹣4 ．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2015·湖北）在区间的概率，为事件“”的概率，则（???）
A.?????????????????B.???????C.????????????????D.?
2.（2014?陕西）定积分 （2x+ex）dx的值为（?? ）
A.?e+2??????????????????????????????????????B.?e+1??????????????????????????????????????C.?e??????????????????????????????????????D.?e﹣1
3.（2014?山东）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（?? ）
A.?2 ???????????????????????????????????????B.?4 ???????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????D.?4
4.（2014?江西）若f（x）=x2+2 f（x）dx，则 f（x）dx=（?? ）
A.?﹣1????????????????????????????????????????B.?﹣ ????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?1
5.（2014?湖南）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且 f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（?? ）
A.?x= ?????????????????????????????????B.?x= ?????????????????????????????????C.?x= ?????????????????????????????????D.?x=
6.（2014?湖北）若函数f（x），g（x）满足 f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数： ①f（x）=sin x，g（x）=cos x； ②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1； ③f（x）=x，g（x）=x2 ， 其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（?? ）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
二、填空题
7.?（2015天津）曲线与直线所围成的封闭图形的面积为________ 。
8.（2015湖南）=________?.
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2014-2018）
第2章 第11节 定积分与微积分基本定理（教师版）
备战基础·零风险
1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．
2．了解微积分基本定理的含义.
定积分
定义
一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间
等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式：
如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：
其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限。
说明
（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是．
（2）用定义求定积分的一般方法是：
①分割：等分区间； ②近似代替：取点；
③求和：； ④取极限：
几何意义
①当f(x)≥0时，定积分表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．(图1)
②当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，如图2所示，则定积分表示介于x轴．曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分曲边梯形面积的代数和，即＝A1＋A3－A2.
物理意义
变速运动路程； 变力做功
定积分的性质
性质1
性质2 （其中k是不为0的常数）
性质3
性质4
微积分
基本定理
一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)．那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一种思想 定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”步骤解决“无限”问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”．定积分只与积分区间和被积函数有关，与积分变量无关．
2．一个定理 由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算.
3．两点提醒 一是重视定积分性质在求值中的应用．
二是区别定积分与曲边梯形面积间的关系，定积分可正、可负、也可以为0，是曲边梯形面积的代数和，但曲边梯形面积非负.
4. (1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．
(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．
(3)若y＝f(x)为奇函数，则＝0.
5.利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．
求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．
6.(1)利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式．
(2)定积分在物理方面的应用中要注意各种具体问题中含有的物理意义．防止实际问题的物理意义不明确，导致把物理问题转化为定积分时出现错误．
7．求定积分常用的方法
(1)利用微积分基本定理．
(2)运用定积分的几何意义(曲边梯形面积易求时)转化为求曲边梯形的面积．
8．定积分计算应注意的问题+
(1)利用微积分基本定理，关键是准确求出被积函数
的原函数，熟练掌握导数公式及求导法则，求导与积分互为逆运算．
(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限．
(3)面积非负，而定积分的结果可以为负．利用定积分求平面图形的面积时一定要准确转化，当图形的边界不同时，一定注意分情况讨论．
备战练习·固基石
一、单选题（
1.直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ??)．
A.?4????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.?2????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】定积分在求面积中的应用
【解析】【解答】先根据题意画出图形： 得到积分上限为 ，积分下限为 曲线 与直线 在第一象限内围成的封闭图形的面积为 而 故曲边梯形的面积为 故答案为：? 【分析】本题考查的是定积分求封闭图形面积的问题，找到积分上限和下限，然后代入定积分的公式上面直线减曲线求解即可。
2.设函数 ， 若 ， 则x0=（???）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?2
【答案】C
【考点】微积分基本定理
【解析】【解答】因为， ， 所以， 所以， ， 选C.
3.曲线与坐标轴围成的面积是（???）
A.?4???????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?2
【答案】C
【考点】定积分在求面积中的应用
【解析】【解答】根据图形的对称性，可得曲线y=cosx，x∈[0， ]与坐标轴围成的面积等于曲线y=cosx，x∈[0，]与坐标轴围成的面积的3倍，故可得结论。， 故答案为3，选C.
4.（?????）
A.?????????????????????????????????????????B.???????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】定积分
【解析】【解答】∵， 故选B
5.由曲线 ， 直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为(?? )
A.??????????????????????????????????????????B.?4?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?6
【答案】C
【考点】定积分，定积分在求面积中的应用
【解析】【解答】根据题意可知，与y=x-2的交点坐标为， 可知交点坐标为（4,2)，那么曲边梯形的面积为， 故选C。 【分析】解决该试题的关键是能确定出交点坐标，得到积分的上限和下限，同时能准确表示出被积函数的原函数问题。
6.由直线 ， 曲线及轴所围图形的面积为(?? )
A.?3???????????????????????????????????????????B.?7??????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】定积分在求面积中的应用
【解析】【解答】由题意画出图形，再利用定积分即可求得。根据题意，由于由直线， 曲线及轴所围图形的面积为， 故可知结论得到的答案为C
7.设,则下列关系式成立的是(??? )
A.???????????????????????B.??????????????????C.???????????????????????D.?
【答案】C
【考点】定积分
【解析】【解答】∵， ， ， ∴ ， ， 。因为， ， 所以。， ， 所以， 即， 所以， 选C 【分析】熟练掌握定积分的运算及指数幂的运算法则是解决此类问题的关键，属基础题
8.若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为那么从3小时到6小时期间内的产量为( )
A.?????????????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】定积分的简单应用
【解析】【解答】 故应选D． 【分析】产量的变化率是产量的导数，故产量是对产量变化率的积分
9.若 ，且 ，则 的值为（???? ）
A.?2??????????????????????????????????????????B.?-1??????????????????????????????????????????C.?1??????????????????????????????????????????D.?-2
【答案】A
【考点】定积分，定积分的简单应用
【解析】【解答】 ,所以 ， . 所以 . 又 . 所以 . 故答案为：A. 【分析】根据定积分和分段函数即可求出m的值．考查了定积分的计算和分段函数求函数值的问题．定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，知道定积分的含义.
10.由直线y=x，y=﹣x+1，及x轴围成平面图形的面积为（?? ）
A.? ?[（1﹣y）﹣y]dy???????????????????????????????????????????B.? ?[（﹣x+1）﹣x]dx C.? ?[（1﹣y）﹣y]dy??????????????????????????????????????????D.? x﹣[（﹣x+1）]dx
【答案】C
【考点】定积分在求面积中的应用
【解析】【解答】解：如图，由直线y=x，y=﹣x+1，及x轴围成平面图形是红色的部分，它和图中蓝色部分的面积相同， ∵蓝色部分的面积S=∫0 ?[（1﹣x）﹣x]dx， 即∫0 ?[（1﹣y）﹣y]dy． 故选C． 【分析】本题考查的定积分的简单应用，解决本题的关键是熟练进行图形的转换，掌握定积分几何意义，不难得到正确的答案．
11.由直线及曲线所围成的封闭的图形的面积为(??? )
A.??????????????????????????????????????B.?3????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】定积分在求面积中的应用
【解析】【解答】由定积分的几何意义，由直线及曲线所围成的封闭的图形的面积，实际上就是定积分， 故选B.
12.定积分 （﹣3）dx等于（?? ）
A.?﹣3?????????????????????????????????????????B.?3?????????????????????????????????????????C.?﹣6?????????????????????????????????????????D.?6
【答案】C
【考点】定积分
【解析】【解答】解：定积分 （﹣3）dx=﹣3x| =﹣6， 故选：C 【分析】根据定积分的计算法则计算即可．
13.如图所示，正弦曲线 ，余弦曲线 与两直线 ， 所围成的阴影部分的面积为（?? ）
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】定积分在求面积中的应用
【解析】【解答】由图形以及定积分的意义，得到所求封闭图形面积等价于 ，故选D. 【分析】作出图象，确定积分区间，再利用定积分几何意义即可求。
14.(x2＋2)dx＝(?? )
A.????????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?1
【答案】B
【考点】定积分
【解析】【解答】 ＝ ． 【分析】定积分的求解运用到微积分基本定理。
15.若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为a＝，那么从3小时到6小时期间内的产量为( )
A.???????????????????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】定积分的简单应用
【解析】【解答】， 故应选D． 【分析】对产量的变化率积分即可得到产量，考查定积分的实际意义，属于中档题
16.一物体A以速度v=3t2+2（t的单位：s，v的单位：m/s），在一直线上运动，在此直线上在物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方8m处以v=8t（t的单位：s，v的单位：m/s）的速度与A同向运动，设ns后两物体相遇，则n的值为
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?4????????????????????????????????????D.?5
【答案】C
【考点】定积分在求面积中的应用
【解析】 【分析】依题意得， , 选C.
二、填空题
17. cosxdx=________．
【答案】
【考点】定积分
【解析】【解答】解： cosxdx=sin| = ，
故答案为： ．
【分析】根据积分公式直接计算即可得到结论．
18.直线y=4x与曲线y=x2围成的封闭区域面积为________．
【答案】
【考点】定积分在求面积中的应用
【解析】【解答】解：联立方程组 ，解得 或 ， ∴S= （4x﹣x2）dx=（2x2﹣ ） = ． 故答案为 ． 【分析】联立方程组求出两曲线的交点坐标，根据定积分的几何意义求出面积．
19.如果f(x)dx＝1，f(x)dx＝－1，那么f(x)dx＝________．
【答案】-2
【考点】微积分基本定理
【解析】【解答】∵f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx ， ∴1＋f(x)dx＝－1．∴f(x)dx＝－2． 【分析】简单题，利用定积分的可加性即可解题
20.利用定积分的几何意义，计算： ＝________.
【答案】
【考点】定积分在求面积中的应用
【解析】【解答】由定积分的几何意义知，所求积分是图中阴影部分的面积． 易知AB＝ ，∠AOB＝ ，∴S＝ ×4π－ ×1× ＝ . 故答案为:. 【分析】由定积分的几何意义知,所求积分是图中阴影部分的面积．
21.设 ，则 =________．
【答案】
【考点】微积分基本定理
【解析】【解答】解：由于 ，定义当x∈[1，e]时，f（x）= ， 则 = = = = ， 故答案为 ． 【分析】由于函数f（x）为分段函数，则 = ，再根据微积分基本定理，即可得到定积分的值．
22.若a= cosxdx，则（ + + ）4的展开式中常数项为________ ．
【答案】
【考点】定积分
【解析】【解答】解：求定积分可得a= cosxdx=sinx =2，
∴（ + + ）4=（ + + ）4 ，
故展开式中的常数项为 ?（ ）2?（ ）2+ ? ? （ ）2+ （ ）4= +6+4=
故答案为：
【分析】求定积分可得a值，由二项式的知识可得．
23.如图阴影部分是由曲线y= ，y2=x与直线x=2，y=0围成，则其面积为________．
【答案】
【考点】定积分在求面积中的应用
【解析】【解答】解：由题意可得y= ，y2=x的交点为（ 1，1） 由积分的几何意义可得，S= dx+ dx = x +lnx = ． 故答案为： ． 【分析】先求出y= ，y2=x的交点，然后利用积分的几何意义可得，S= dx+ dx，结合积分基本定理可求
24. （ ﹣2x）dx=________．
【答案】
【考点】定积分
【解析】【解答】解： （ ﹣2x）dx
= （ ）dx﹣ 2xdx．
令 ，则（x﹣1）2+y2=1（y≥0），
表示的是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆．
∴ （ ）等于四分之一圆的面积，为 ．
又 2xdx= ．
∴ （ ﹣2x）dx= ．
故答案为： ．
【分析】由差的积分等于积分的差得到 （ ﹣2x）dx= （ ）dx﹣ 2xdx，然后由微积分基本定理求出 （ ）dx，求出定积分 2xdx，则答案可求．
25.由定积分的几何意义可知 dx=________．
【答案】2π
【考点】定积分
【解析】【解答】解：根据定积分的几何意义，则 dx表示圆心在原点，半径为2的圆的上半圆的面积， 故 dx= ×π×22=2π． 故答案为：2π． 【分析】本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y= 与x轴所围成的图形的面积即可．
三、解答题
26.已知 ，求：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）【解答】 （2）【解答】 （3）【解答】
【考点】定积分
【解析】【分析】定积分满足加法定律和数乘定律，即 ， （m为常数），简单题
27.已知函数f（x）=﹣alnx+ +x（a≠0） （I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）））处的切线与直线x﹣2y=0垂直，求实数a的值； （Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性； （Ⅲ）当a∈（﹣∞，0）时，记函数f（x）的最小值为g（a），求证：g（a）≤﹣e﹣4 ．
【答案】解：（I）由已知可知f（x）的定义域为{x|x＞0} ?f,(x)=-（x＞0） 根据题意可得，f′（1）=2×（﹣1）=﹣2 ∴﹣a﹣2a2+1=﹣2 ∴a=1或a=﹣ （II）∵?f,(x)=-= ①a＞0时，由f′（x）＞0可得x＞2a 由f′（x）＜0可得0＜x＜2a ∴f（x）在（2a，+∞）上单调递增，在（0，2a）上单调递减 ②当a＜0时， 由f′（x）＞0可得x＞﹣a 由f′（x）＜0可得0＜x＜﹣a ∴f（x）在（﹣a，+∞）上单调递增，在（0，﹣a）上单调递减 （III）由（II）可知，当a∈（﹣∞，0）时，函数f（x）的最小值f（﹣a） 故g（a）=f（﹣a）=﹣aln（﹣a）﹣3a 则g′（a）=﹣ln（﹣a）﹣4 令g′（a）=0可得﹣ln（﹣a）﹣4=0 ∴a=﹣e﹣4 当a变化时，g’（a），g（a）的变化情况如下表 ∴a=﹣e﹣4是g（a）在（﹣∞，0）上的唯一的极大值，从而是g（a）的最大值点 当a＜0时， g(a)max=g(-e-4)=﹣e﹣4 ∴a＜0时，g（a）≤﹣e﹣4 ．
【考点】微积分基本定理
【解析】【分析】（I）先求f（x）的定义域为{x|x＞0}，先对已知函数进行求导，由f′（1）=﹣2可求a （II）由 f,(x)=-= ， 通过比较﹣a与2a的大小解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，从而可求函数的单调区间 （III）由（II）可知，当a∈（﹣∞，0）时，函数f（x）的最小值f（﹣a），结合已知可求a，然后结合已知单调性可求g(a)max=g(-e-4)=﹣e﹣4 ， 从而可证
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2015·湖北）在区间的概率，为事件“”的概率，则（???）
A.????????????B.?????????????C.????????D.?
【答案】B
【考点】微积分基本定理，几何概型
【解析】? ? 【解答】由题意知，事件“”的概率为,事件“”的概率,其中,所以,故应选B. ? ?【分析】以几何概型为依托，融合定积分的几何意义、二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表示的区域等内容，充分体现了转化的数学思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生灵活运用基础知识解决实际问题的能力. ?
2.（2014?陕西）定积分 （2x+ex）dx的值为（?? ）
A.?e+2??????????????????????????????????????B.?e+1??????????????????????????????????????C.?e??????????????????????????????????????D.?e﹣1
【答案】C
【考点】定积分
【解析】【解答】解： （2x+ex）dx=（x2+ex） =（1+e）﹣（0+e0）=e． 故选：C． 【分析】根据微积分基本定理计算即可．
3.（2014?山东）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（?? ）
A.?2 ???????????????????????????????????????B.?4 ???????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????D.?4
【答案】D
【考点】定积分
【解析】【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0， 曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫ （4x﹣x3）dx， 而∫ （4x﹣x3）dx=（2x2﹣ x4）| =8﹣4=4， ∴曲边梯形的面积是4， 故选：D． 【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．
4.（2014?江西）若f（x）=x2+2 f（x）dx，则 f（x）dx=（?? ）
A.?﹣1????????????????????????????????????????B.?﹣ ????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?1
【答案】B
【考点】定积分
【解析】【解答】解：若 f（x）dx=﹣1，则：f（x）=x2﹣2， ∴x2﹣2=x2+2 （x2﹣2）dx=x2+2（ ） =x2﹣ ，显然A不正确； 若 f（x）dx=- ，则：f（x）=x2﹣ ， ∴x2﹣ =x2+2 （x2﹣ ）dx=x2+2（ ） =x2﹣ ，显然B正确； 若 f（x）dx= ，则：f（x）=x2+ ， ∴x2+ =x2+2 （x2+ ）dx=x2+2（ ） =x2+2，显然C不正确； 若 f（x）dx=1，则：f（x）=x2+2， ∴x2+2=x2+2 （x2+2）dx=x2+2（ ） =x2+ ，显然D不正确； 故选：B． 【分析】利用回代验证法推出选项即可．
5.（2014?湖南）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且 f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（?? ）
A.?x= ?????????????????????????????????B.?x= ?????????????????????????????????C.?x= ?????????????????????????????????D.?x=
【答案】A
【考点】定积分，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：∵函数f（x）=sin（x﹣φ）， f（x）dx=﹣cos（x﹣φ） =﹣cos（ ﹣φ）﹣[﹣cos（﹣φ）]= cosφ﹣ sinφ= cos（φ+ ）=0， ∴φ+ =kπ+ ，k∈z，即 φ=kπ+ ，k∈z，故可取φ= ，f（x）=sin（x﹣ ）． 令x﹣ =kπ+ ，求得 x=kπ+ ，k∈Z， 则函数f（x）的图象的一条对称轴为 x= ， 故选：A． 【分析】由 f（x）dx=0求得 cos（φ+ ）=0，故有 φ+ =kπ+ ，k∈z．可取φ= ，则f（x）=sin（x﹣ ）． 令x﹣ =kπ+ ，求得x的值，可得函数f（x）的图象的一条对称轴方程．
6.（2014?湖北）若函数f（x），g（x）满足 f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数： ①f（x）=sin x，g（x）=cos x； ②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1； ③f（x）=x，g（x）=x2 ， 其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（?? ）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
【答案】C
【考点】微积分基本定理
【解析】【解答】解：对于①： ?[sin x?cos x]dx= （ sinx）dx=﹣ cosx =0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数； 对于②： （x+1）（x﹣1）dx= （x2﹣1）dx=（ ） ≠0，∴f（x），g（x）不是区间[﹣1，1]上的一组正交函数； 对于③： x3dx=（ ） =0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数， ∴正交函数有2组， 故选：C． 【分析】利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论．
二、填空题
7.?（2015天津）曲线与直线所围成的封闭图形的面积为________ 。
【答案】
【考点】用定积分求简单几何体的体积
【解析】【解答】在同一坐标系内做出两个函数的图像，解译程组得两曲线的交点坐标为,由图可知峡谷曲线所围成的封闭图形的面积 【分析】本题主要考查定积分几何意义与运算能力，定积分的几何意义体现数形结合的典型示范，即考查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力。
8.（2015湖南）=________?.
【答案】0
【考点】定积分的简单应用
【解析】【解答】 【分析】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解。
