专题八 电场（原卷版）
考点
要求
考点解读及预测
静电现象
Ⅰ
1.考查方式
本章内容在高考中单独命题较多，有选择题也有计算题．选择题主要考查对基本概念和物理模型的理解，如电场的分布特点、电势、电势能的理解；计算题主要考查带电粒子在电场中的运动，常与牛顿运动定律、功能关系、能量守恒综合考查．
2．命题趋势
常与实际生活、科学研究联系密切出题，通过新的情景或新的素材如喷墨打印机、静电除尘、示波管、加速器等进行命题考查.
电荷 电荷守恒定律
Ⅰ
.点电荷 库仑定律
Ⅰ
.静电场 电场线 电势能 电势 等势面
Ⅰ
.电场强度 点电荷的场强 电势差
Ⅱ
匀强电场中电势差和电场强度的关系
Ⅰ
带电粒子在匀强电场中的运动
Ⅱ
电容 电容器
Ⅰ
1.三个物理量的判断方法
判断场强强弱
①根据电场线或等势面的疏密判断
②根据公式E＝k和场强叠加原理判断
判断电势的高低
①根据电场线的方向判断
②由UAB＝和UAB＝φA－φB判断
③根据电场力做功(或电势能)判断
判断电势能大小
①根据Ep＝qφ判断
②根据ΔEp＝－W电，由电场力做功判断
一、电场的性质 : (1)电场的叠加。(2)等量电荷或不等量电荷的电场的分布与电场强度、电势、电势能的大小比较。(3)电场力做功与电势能的改变之间的关系。
电场中的各个物理量形成及相互转化关系
二、与平行板电容器有关的电场问题:平行电容器板间电场强度、电势、带电粒子电势能等问题。
1．必须记住的三个公式
C＝、C＝、E＝。
2．必须明确的两个关键点
(1)电路处于接通状态时，电容器两极板间电压不变。
(2)电路处于断开状态时，电容器两极板间的带电荷量不变。
带电粒子在电场中的运动 :
本考点是高考重点和热点。考向涉及类平抛运动中粒子运动轨迹、受力、能量转化，以及与动能定理综合的相关问题。
1．带电粒子在电场中的加速
(1)匀强电场中，v0与E平行时，优先用功能关系求解，若不行，则用牛顿第二定律和运动学公式。
(2)非匀强电场中，只能用功能关系求解。
2．带电粒子在匀强电场中的偏转(v0垂直于E的方向)，如图所示
(1)沿v0方向的匀速直线运动。
(2)垂直于v0方向的匀加速直线运动。
①加速度a＝＝；
②偏转距离y＝at2＝2x＝L,y＝；
③速度偏向角
tan φ＝＝ x＝L,tan φ＝；
④位移偏向角
tan θ＝＝ x＝L,tan θ＝；
⑤两个重要的结论
a．位移偏向角θ和速度偏向角φ满足tan φ＝2tan θ；
b．射出极板时粒子的速度反向延长线过粒子水平位移的中点。
解决带电粒子在电场中运动问题的基本思路及注意问题
四、电场中功能关系的应用
本考点是高考的重点，考查方向主要有：
(1)电场力做功与能量转化的关系。
(2)动能定理、牛顿运动定律的综合应用。
处理电场中功能关系问题的“2点注意”
(1)电场力做功与路径无关，可运用动能定理对全程列式。
(2)在运用动能定理处理电学问题时应注意运动过程的选取，特别应注意电场力和摩擦力做功的特点。
一、电场的性质
【典例】．1[多选]如图所示，水平线上的O点放置一点电荷，图中画出电荷周围对称分布的几条电场线。以水平线上的某点O′为圆心画一个圆，与电场线分别相交于a、b、c、d、e，则下列说法正确的是( )
A．b、e两点的电场强度相同
B．a点电势低于c点电势
C．b、c两点间电势差等于e、d两点间电势差
D．电子沿圆周由d到b，电场力做正功
【解析】 电场强度是矢量，由题图看出，b、e两点电场强度的大小相等，但方向不同，A错误；根据沿着电场线电势逐渐降低可知，离点电荷O越远，电势越低，故a点电势低于c点电势，故B正确；根据对称性可知，b、c两点间电势差与e、d两点间电势差相等，故C正确；d点电势高于b点电势，由Ep＝qφ＝－eφ，则知电子在d点的电势能小于在b点的电势能，根据功能关系可知，电子沿圆周由d到b，电场力做负功，故D错误。
【答案】 BC
2、如图2所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN。下列判断正确的是( )
A.vM
C.φM<φN，EpM【解析】由粒子的轨迹知电场力的方向偏向右，因粒子带负电，故电场线方向偏向左，由沿电场线方向电势降低，可知φN<φM，EpMvN。综上所述，选项D正确。
【答案】D
3．图甲是某电场中的一条竖直方向的电场线，A、B是这条电场线上的两点，若将一带负电的小球从A点自由释放，小球沿电场线从A到B运动过程中的速度随时间变化图线如图乙，比较A、B两点电势φ的高低和电场强度E的大小，并比较该小球在A、B两点的电势能Ep大小和电场力F大小，可得( )
A．φA＞φB B．EA＜EB
C．EpA＞EpB D．FA＜FB
[解题关键]
(1)题干中“竖直方向的电场线”说明：带电小球受到的电场力沿竖直方向。
(2)题干中“一带负电的小球”说明：小球重力不可忽略。
【解析】 由图乙知小球从A到B做加速度减小的加速运动，所以小球所受的电场力方向必定竖直向上，小球带负电，则电场线方向竖直向下，沿电场线方向电势降低，所以φA＜φB，故A错误；小球的加速度逐渐减小，由牛顿第二定律得qE－mg＝ma，则知E逐渐减小，即有EA＞EB，故B错误；电场力对小球做正功，其电势能减小，则有EpA＞EpB，故C正确；根据公式F＝qE可知FA＞FB，故D错误。
【答案】C
【规律方法】电场强度、电势、电势能的判断方法
1．电场强度：(1)根据电场线的疏密程度进行判断；(2)根据等势面的疏密程度进行判断；(3)根据E＝进行判断。
2．电势：(1)沿电场线方向电势逐渐降低；(2)若q和Wab已知，由Uab＝判定。
3．电势能：(1)电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大；(2)正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势高的地方电势能反而小。
二、电场中的图象问题
【典例】1．空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随x变化的图象如图所示，x1和－x1为x轴上对称的两点。下列说法正确的是( )
A．x1处场强大于－x1处场强
B．若电子从x1处由静止释放后向x轴负方向运动，到达－x1点时速度为零
C．电子在x1处的电势能大于在－x1处的电势能
D．x1点的电势比－x1点的电势高
【解析】从图象可以看出，x1处场强与－x1处场强等大、反向，故A错误；由于x1和－x1两点关于x轴对称，且电场强度的大小也相等，故从O点到x1和从O点到－x1电势降落相等，故x1和－x1两点的电势相等，D错误；电子从x1处由静止释放后，若向O点运动，O点的电势最高，电子在O点电势能最小，动能最大，速度最大，由于x1处与－x1点处电势相同，故电子到达－x1点时速度还为零，B正确；x1和－x1两点的电势相等，电子在x1处的电势能等于在－x1处的电势能，C错误。
【答案】B
2、(多选)(2017·全国卷Ⅰ，20)在一静止点电荷的电场中，任一点的电势φ与该点到点电荷的距离r的关系如图4所示。电场中四个点a、b、c和d的电场强度大小分别为Ea、Eb、Ec和Ed。点a到点电荷的距离ra与点a的电势φa已在图中用坐标(ra，φa)标出，其余类推。现将一带正电的试探电荷由a点依次经b、c点移动到d点，在相邻两点间移动的过程中，电场力所做的功分别为Wab、Wbc和Wcd。下列选项正确的是( )
A.Ea∶Eb＝4∶1 B.Ec∶Ed＝2∶1
C.Wab∶Wbc＝3∶1 D.Wbc∶Wcd＝1∶3
【解析】由图可知，a、b、c、d到点电荷的距离分别为1 m、2 m、3 m、6 m，根据点电荷的场强公式E＝k可知，＝＝，＝＝，故选项A正确，B错误；电场力做功W＝qU，a与b、b与c、c与d之间的电势差分别为3 V、1 V、1 V，所以＝，＝，故选项C正确，D错误。
【答案】AC
3、(多选)(2017·江苏单科·8)在x轴上有两个点电荷q1、q2，其静电场的电势φ在x轴上分布如图8所示．下列说法正确的有( )
A．q1和q2带有异种电荷
B．x1处的电场强度为零
C．负电荷从x1移到x2，电势能减小
D．负电荷从x1移到x2，受到的电场力增大
【解析】由题图可知，两点电荷q1和q2带有异种电荷，A正确；在φx图象中，图象切线的斜率大小表示电场强度大小，则x1处的电场强度不为零，B错误；且有x1到x2电场强度逐渐减小，负电荷受到的电场力逐渐减小，D错误；由Ep＝φq可知，负电荷在电势高处的电势能小，则负电荷从x1移到x2，电势能减小，C正确．
【答案】AC
【规律方法】(1)v－t图象：根据v－t图象的速度变化、斜率变化(即加速度的变化)，确定电荷所受电场力的方向与电场力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化．
(2)φ－x图象：①电场强度的大小等于φ－x图线的斜率大小，电场强度为零处，φ－x图线存在极值，其切线的斜率为零．②在φ－x图象中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向．③在φ－x图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断．
(3)E－x图象：根据E－x图象中E的正负确定电场强度的方向，再在草纸上画出对应电场线的方向，根据E的大小变化，确定电场的强弱分布．
三、平行板电容器的动态分析
【典例3】(多选)如图3所示，电路中平行板电容器C不带电．下列说法正确的有( )
A．闭合S瞬间，电流计G中有a→b方向的电流
B．闭合S后，增大C两极板间距离的过程中，电流计G中有a→b方向的电流
C．闭合S后再断开，增大C两极板间距离，极板间电场强度保持不变
D．闭合S后再断开，在C两极板间插入电介质，极板间电势差变小
【思路点拔】搞清是二种情况的哪一种，确定是Ｑ不变还是Ｕ不变。
【解析】开关闭合时，电容器充电，电流计中有a→b方向的电流，选项A正确；根据C＝，d增加，C减小，根据C＝，C减小，电容器与电源相连，U不变，Q减小，要放电，电流计G中有b→a方向的电流，选项B错误；与电源断开，Q不变，E＝＝，电场强度不变，选项C正确；断开电源，Q不变，插入电介质，C增加，C＝，所以U减小，选项D正确．
【答案】ACD
【规律方法】1．两类典型问题
(1)电容器始终与恒压电源相连，电容器两极板间的电势差U保持不变．
(2)电容器充电后与电源断开，电容器两极板所带的电荷量Q保持不变．
2．动态分析思路
(1)U不变
①根据C＝＝先分析电容的变化，再分析Q的变化．
②根据E＝分析场强的变化．
③根据UAB＝E·d分析某点电势变化．
(2)Q不变
①根据C＝＝先分析电容的变化，再分析U的变化．
②根据E＝＝分析场强变化．
四、带电粒子在电场中的运动
【典例4】．如图所示，真空中水平放置的两个相同极板Y和Y′长为L，相距为d，足够大的竖直屏与两板右侧相距b。在两板间加上可调偏转电压UYY′，一束质量为m、带电荷量为＋q的粒子(不计重力)从两板左侧中点A以初速度v0沿水平方向射入电场且能穿出。
(1)证明粒子飞出电场后的速度方向的反向延长线交于两板间的中心O点；
(2)求两板间所加偏转电压UYY′的范围。
【思路点拔】(1)题干中“可调偏转电压UYY′”说明：UYY′可以大于零，也可以小于零，粒子在电场中既可以向上极板偏转，也可以向下极板偏转。
(2)题干中“从两板左侧中点A以初速度v0沿水平方向射入电场且能穿出”说明：粒子在电场中的最大偏转位移为。
【解析】(1)设粒子在电场中的加速度大小为a，离开偏转电场时偏转距离为y，沿电场方向的速度为vy，偏转角为θ，其反向延长线通过O点，O点与板右端的水平距离为x，如图所示，则有
y＝at2
L＝v0t
vy＝at
tan θ＝＝
联立解得x＝
即粒子飞出电场后的速度方向的反向延长线交于两板间的中心O点。
(2)由牛顿第二定律得qE＝ma
又U＝Ed
联立解得y＝
当y＝时，U＝
则两板间所加电压的范围为－≤UYY′≤。
【答案】(1)见解析 (2)－≤UYY′≤
【规律方法】解决带电粒子在电场中运动问题的基本思路及注意问题
五、电场中功能关系的应用
【典例5】．一绝缘“?”形杆由两段相互平行的足够长的水平直杆PQ、MN和一半径为R的光滑半圆环MAP组成，固定在竖直平面内，其中MN杆是光滑的，PQ杆是粗糙的。现将一质量为m的带正电荷的小环套在MN杆上，小环所受的电场力为重力的。
(1)若将小环由D点静止释放，则刚好能到达P点，求DM间的距离；
(2)若将小环由M点右侧5R处静止释放，设小环与PQ杆间的动摩擦因数为μ，小环所受最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，求小环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功。
【思路点拔】
【解析】(1)设DM间距离为x，对小环从D点到P点过程由动能定理得
qEx－2mgR＝0－0
又有qE＝mg
解得x＝4R
(2)若μ≥，则μmg≥qE
设小环到达P点右侧距离P点x1处静止，由动能定理得qE(5R－x1)－2mgR－μmgx1＝0
解得x1＝
若μ≥，则整个运动过程中克服摩擦力所做的功
Wf＝μmgx1＝
若μ<，则μmg小环经过往复运动，最后停在P点，全过程由动能定理得qE·5R－2mgR－Wf＝0
解得Wf＝mgR
【答案】(1)4R (2)若μ≥，Wf＝ 若μ<，Wf＝mgR
【规律方法】处理电场中功能关系问题的“2点注意”
(1)电场力做功与路径无关，可运用动能定理对全程列式。
(2)在运用动能定理处理电学问题时应注意运动过程的选取，特别应注意电场力和摩擦力做功的特点。
一、单项选择题
1.如图所示，电场中的一簇电场线关于y轴对称分布，O点是坐标原点，M、N、P、Q是以O为圆心的一个圆周上的四个点，其中M、N在y轴上，Q点在x轴上，则( )
A．M点电势比P点电势高
B．OM间的电势差等于NO间的电势差
C．一正电荷在O点的电势能小于在Q点的电势能
D．将一负电荷从M点移到P点，电场力做正功
2．一平行板电容器充电后与电源断开，负极板接地。两板间有一个正试探电荷固定在P点，如图所示，以C表示电容器的电容、E表示两板间的场强、φ表示P点的电势，W表示正电荷在P点的电势能，若正极板保持不动，将负极板缓慢向右平移一小段距离l0的过程中，各物理量与负极板移动距离x的关系图象中正确的是( )
3．(2015·山东高考)直角坐标系xOy中，M、N两点位于x轴上，G、H两点坐标如图。M、N两点各固定一负点电荷，一电量为Q的正点电荷置于O点时，G点处的电场强度恰好为零。静电力常量用k表示。若将该正点电荷移到G点，则H点处场强的大小和方向分别为( )
A.，沿y轴正向 B.，沿y轴负向
C.，沿y轴正向 D.，沿y轴负向
4．如图所示，平行板电容器与恒压电源连接，电子以速度v0垂直于电场线方向射入并穿过平行板间的电场，若仅使电容器上极板上移，设电容器极板上所带电荷量为Q，电子穿出平行板时在垂直于板面方向偏移的距离为y，以下说法正确的是( )
A．Q减少，y不变 B．Q减少，y减小
C．Q增大，y减小 D．Q增大，y增大
5、α粒子快速通过氢分子中心，其轨迹垂直于两核的连线，两核的距离为d，如图6所示。假定α粒子穿过氢分子中心时两氢核几乎不移动，同时忽略分子中电子的电场，则当α粒子在靠近氢分子过程中下列说法正确的是( )
A.加速度一定变大 B.加速度一定减小
C.电势能越来越大 D.电势能越来越小
二、多项选择题
6．(2015·江苏高考)两个相同的负电荷和一个正电荷附近的电场线分布如图所示。c是两负电荷连线的中点，d点在正电荷的正上方，c、d到正电荷的距离相等，则( )
A．a点的电场强度比b点的大
B．a点的电势比b点的高
C．c点的电场强度比d点的大
D．c点的电势比d点的低
7．(2018·石榴高中月考)如图7所示，一带正电的小球向右水平抛入范围足够大的匀强电场，电场方向水平向左，不计空气阻力，则小球( )
A．做直线运动
B．做曲线运动
C．速率先减小后增大
D．速率先增大后减小
8、一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图3所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是( )
A.电场强度的大小为2.5 V/cm
B.坐标原点处的电势为1 V
C.电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D.电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
9.(多选)(2017·淮阴中学月考)如图8所示，在真空中有质子、氘核和α粒子都从O点静止释放，经过相同加速电场和偏转电场后，打在同一与OO′垂直的荧光屏上，使荧光屏上出现亮点；已知质子、氘核和α粒子质量之比为1∶2∶4，电荷量之比为1∶1∶2，粒子重力不计．下列说法中正确的是( )
A．质子、氘核和α粒子在偏转电场中运动时间相同
B．三种粒子出偏转电场时的速度相同
C．在荧光屏上将只出现1个亮点
D．偏转电场对质子、氘核和α粒子做功之比为1∶1∶2
10．(多选)如图10甲所示，两水平金属板间距为d，板间电场强度的变化规律如图乙所示．t＝0时刻，质量为m的带电微粒以初速度v0沿中线射入两板间，0～时间内微粒匀速运动，T时刻微粒恰好经金属板边缘飞出．微粒运动过程中未与金属板接触．重力加速度的大小为g.关于微粒在0～T时间内运动的描述，正确的是( )
A．末速度大小为v0
B．末速度沿水平方向
C．重力势能减少了mgd
D．克服电场力做功为mgd
11. (多选)一带正电的粒子只在电场力作用下沿x轴正向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图8所示，其中0～x2段是对称的曲线，x2～x3段是直线段，则正确的是( )
A.x1、x2、x3处电势φ1、φ2、φ3的关系为φ3＞φ2＞φ1＞0
B.在x的正半轴，电场方向都沿x轴正方向
C.粒子在0～x1段受到的电场力方向沿x轴正方向，做加速运动
D.x2～x3段的电场是匀强电场
三、非选择题
12、如图6-3-9所示，在两条平行的虚线内存在着宽度为L、场强为E的匀强电场，在与右侧虚线相距也为L处有一与电场平行的屏。现有一电荷量为＋q、质量为m的带电粒子(重力不计)，以垂直于电场线方向的初速度v0射入电场中，v0方向的延长线与屏的交点为O。试求：
图6-3-9
(1)粒子从射入到打到屏上所用的时间；
(2)粒子刚射出电场时的速度方向与初速度方向间夹角的正切值tan α；
(3)粒子打到屏上的点P到O点的距离x。
13．如图9所示，在距足够长的光滑绝缘水平直线轨道上方h高度的P点，固定电荷量为＋Q的点电荷，一质量为m、带电荷量为＋q的物块(可视为质点)，从轨道上的A点以初速度v0沿轨道向右运动，当运动到P点正下方B点时速度为v。已知点电荷产生的电场在A点的电势为φ(取无穷远处的电势为零)，PA连线与水平轨道的夹角为60°，试求：
(1)物块在A点时受在A点到轨道的支持力大小；
(2)点电荷＋Q产生的电场在B点的电势。
14．(2015·安徽高考)在xOy平面内，有沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E(图中未画出)，由A点斜射出质量为m、带电荷量为＋q的粒子，B和C是粒子运动轨迹上的两点，如图所示，其中l0为常数。粒子所受重力忽略不计。求：
(1)粒子从A到C过程中电场力对它做的功；
(2)粒子从A到C过程所经历的时间；
(3)粒子经过C点时的速率。
15、如图4所示，一竖直且光滑绝缘的直圆筒底部放置一可视为点电荷的场源电荷A，其电荷量Q＝＋4×10－3 C，场源电荷A形成的电场中各点的电势表达式为φ＝，其中k为静电力常量，r为空间某点到场源电荷A的距离，现有一质量为m＝0.1 kg的带正电的小球B，它与A球间的距离为a＝0.4 m，此时小球B处于平衡状态，且小球B在场源电荷A形成的电场中具有的电势能的表达式为Ep＝k，其中r为A与B之间的距离。另一质量为m的不带电绝缘小球C从距离B的上方H＝0.8 m处自由下落，落在小球B上立刻与小球B粘在一起以2 m/s的速度向下运动，它们到达最低点后又向上运动，向上运动到达的最高点为P(g取10 m/s2，k＝9×109 N·m2/C2)。求：
(1)小球C与小球B碰撞前的速度v0的大小？小球B的电荷量q为多少？
(2)小球C与小球B一起向下运动的过程中，最大速度为多少？
专题八 电场（解析版）
考点
要求
考点解读及预测
静电现象
Ⅰ
1.考查方式
本章内容在高考中单独命题较多，有选择题也有计算题．选择题主要考查对基本概念和物理模型的理解，如电场的分布特点、电势、电势能的理解；计算题主要考查带电粒子在电场中的运动，常与牛顿运动定律、功能关系、能量守恒综合考查．
2．命题趋势
常与实际生活、科学研究联系密切出题，通过新的情景或新的素材如喷墨打印机、静电除尘、示波管、加速器等进行命题考查.
电荷 电荷守恒定律
Ⅰ
.点电荷 库仑定律
Ⅰ
.静电场 电场线 电势能 电势 等势面
Ⅰ
.电场强度 点电荷的场强 电势差
Ⅱ
匀强电场中电势差和电场强度的关系
Ⅰ
带电粒子在匀强电场中的运动
Ⅱ
电容 电容器
Ⅰ
1.三个物理量的判断方法
判断场强强弱
①根据电场线或等势面的疏密判断
②根据公式E＝k和场强叠加原理判断
判断电势的高低
①根据电场线的方向判断
②由UAB＝和UAB＝φA－φB判断
③根据电场力做功(或电势能)判断
判断电势能大小
①根据Ep＝qφ判断
②根据ΔEp＝－W电，由电场力做功判断
一、电场的性质 : (1)电场的叠加。(2)等量电荷或不等量电荷的电场的分布与电场强度、电势、电势能的大小比较。(3)电场力做功与电势能的改变之间的关系。
电场中的各个物理量形成及相互转化关系
二、与平行板电容器有关的电场问题:平行电容器板间电场强度、电势、带电粒子电势能等问题。
1．必须记住的三个公式
C＝、C＝、E＝。
2．必须明确的两个关键点
(1)电路处于接通状态时，电容器两极板间电压不变。
(2)电路处于断开状态时，电容器两极板间的带电荷量不变。
带电粒子在电场中的运动 :
本考点是高考重点和热点。考向涉及类平抛运动中粒子运动轨迹、受力、能量转化，以及与动能定理综合的相关问题。
1．带电粒子在电场中的加速
(1)匀强电场中，v0与E平行时，优先用功能关系求解，若不行，则用牛顿第二定律和运动学公式。
(2)非匀强电场中，只能用功能关系求解。
2．带电粒子在匀强电场中的偏转(v0垂直于E的方向)，如图所示
(1)沿v0方向的匀速直线运动。
(2)垂直于v0方向的匀加速直线运动。
①加速度a＝＝；
②偏转距离y＝at2＝2x＝L,y＝；
③速度偏向角
tan φ＝＝ x＝L,tan φ＝；
④位移偏向角
tan θ＝＝ x＝L,tan θ＝；
⑤两个重要的结论
a．位移偏向角θ和速度偏向角φ满足tan φ＝2tan θ；
b．射出极板时粒子的速度反向延长线过粒子水平位移的中点。
解决带电粒子在电场中运动问题的基本思路及注意问题
四、电场中功能关系的应用
本考点是高考的重点，考查方向主要有：
(1)电场力做功与能量转化的关系。
(2)动能定理、牛顿运动定律的综合应用。
处理电场中功能关系问题的“2点注意”
(1)电场力做功与路径无关，可运用动能定理对全程列式。
(2)在运用动能定理处理电学问题时应注意运动过程的选取，特别应注意电场力和摩擦力做功的特点。
一、电场的性质
【典例】．1[多选]如图所示，水平线上的O点放置一点电荷，图中画出电荷周围对称分布的几条电场线。以水平线上的某点O′为圆心画一个圆，与电场线分别相交于a、b、c、d、e，则下列说法正确的是( )
A．b、e两点的电场强度相同
B．a点电势低于c点电势
C．b、c两点间电势差等于e、d两点间电势差
D．电子沿圆周由d到b，电场力做正功
【解析】 电场强度是矢量，由题图看出，b、e两点电场强度的大小相等，但方向不同，A错误；根据沿着电场线电势逐渐降低可知，离点电荷O越远，电势越低，故a点电势低于c点电势，故B正确；根据对称性可知，b、c两点间电势差与e、d两点间电势差相等，故C正确；d点电势高于b点电势，由Ep＝qφ＝－eφ，则知电子在d点的电势能小于在b点的电势能，根据功能关系可知，电子沿圆周由d到b，电场力做负功，故D错误。
【答案】 BC
2、如图2所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN。下列判断正确的是( )
A.vMC.φM<φN，EpM【解析】由粒子的轨迹知电场力的方向偏向右，因粒子带负电，故电场线方向偏向左，由沿电场线方向电势降低，可知φN<φM，EpMvN。综上所述，选项D正确。
【答案】D
3．图甲是某电场中的一条竖直方向的电场线，A、B是这条电场线上的两点，若将一带负电的小球从A点自由释放，小球沿电场线从A到B运动过程中的速度随时间变化图线如图乙，比较A、B两点电势φ的高低和电场强度E的大小，并比较该小球在A、B两点的电势能Ep大小和电场力F大小，可得( )
A．φA＞φB B．EA＜EB
C．EpA＞EpB D．FA＜FB
[解题关键]
(1)题干中“竖直方向的电场线”说明：带电小球受到的电场力沿竖直方向。
(2)题干中“一带负电的小球”说明：小球重力不可忽略。
【解析】 由图乙知小球从A到B做加速度减小的加速运动，所以小球所受的电场力方向必定竖直向上，小球带负电，则电场线方向竖直向下，沿电场线方向电势降低，所以φA＜φB，故A错误；小球的加速度逐渐减小，由牛顿第二定律得qE－mg＝ma，则知E逐渐减小，即有EA＞EB，故B错误；电场力对小球做正功，其电势能减小，则有EpA＞EpB，故C正确；根据公式F＝qE可知FA＞FB，故D错误。
【答案】C
【规律方法】电场强度、电势、电势能的判断方法
1．电场强度：(1)根据电场线的疏密程度进行判断；(2)根据等势面的疏密程度进行判断；(3)根据E＝进行判断。
2．电势：(1)沿电场线方向电势逐渐降低；(2)若q和Wab已知，由Uab＝判定。
3．电势能：(1)电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大；(2)正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势高的地方电势能反而小。
二、电场中的图象问题
【典例】1．空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随x变化的图象如图所示，x1和－x1为x轴上对称的两点。下列说法正确的是( )
A．x1处场强大于－x1处场强
B．若电子从x1处由静止释放后向x轴负方向运动，到达－x1点时速度为零
C．电子在x1处的电势能大于在－x1处的电势能
D．x1点的电势比－x1点的电势高
【解析】从图象可以看出，x1处场强与－x1处场强等大、反向，故A错误；由于x1和－x1两点关于x轴对称，且电场强度的大小也相等，故从O点到x1和从O点到－x1电势降落相等，故x1和－x1两点的电势相等，D错误；电子从x1处由静止释放后，若向O点运动，O点的电势最高，电子在O点电势能最小，动能最大，速度最大，由于x1处与－x1点处电势相同，故电子到达－x1点时速度还为零，B正确；x1和－x1两点的电势相等，电子在x1处的电势能等于在－x1处的电势能，C错误。
【答案】B
2、(多选)(2017·全国卷Ⅰ，20)在一静止点电荷的电场中，任一点的电势φ与该点到点电荷的距离r的关系如图4所示。电场中四个点a、b、c和d的电场强度大小分别为Ea、Eb、Ec和Ed。点a到点电荷的距离ra与点a的电势φa已在图中用坐标(ra，φa)标出，其余类推。现将一带正电的试探电荷由a点依次经b、c点移动到d点，在相邻两点间移动的过程中，电场力所做的功分别为Wab、Wbc和Wcd。下列选项正确的是( )
A.Ea∶Eb＝4∶1 B.Ec∶Ed＝2∶1
C.Wab∶Wbc＝3∶1 D.Wbc∶Wcd＝1∶3
【解析】由图可知，a、b、c、d到点电荷的距离分别为1 m、2 m、3 m、6 m，根据点电荷的场强公式E＝k可知，＝＝，＝＝，故选项A正确，B错误；电场力做功W＝qU，a与b、b与c、c与d之间的电势差分别为3 V、1 V、1 V，所以＝，＝，故选项C正确，D错误。
【答案】AC
3、(多选)(2017·江苏单科·8)在x轴上有两个点电荷q1、q2，其静电场的电势φ在x轴上分布如图8所示．下列说法正确的有( )
A．q1和q2带有异种电荷
B．x1处的电场强度为零
C．负电荷从x1移到x2，电势能减小
D．负电荷从x1移到x2，受到的电场力增大
【解析】由题图可知，两点电荷q1和q2带有异种电荷，A正确；在φx图象中，图象切线的斜率大小表示电场强度大小，则x1处的电场强度不为零，B错误；且有x1到x2电场强度逐渐减小，负电荷受到的电场力逐渐减小，D错误；由Ep＝φq可知，负电荷在电势高处的电势能小，则负电荷从x1移到x2，电势能减小，C正确．
【答案】AC
【规律方法】(1)v－t图象：根据v－t图象的速度变化、斜率变化(即加速度的变化)，确定电荷所受电场力的方向与电场力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化．
(2)φ－x图象：①电场强度的大小等于φ－x图线的斜率大小，电场强度为零处，φ－x图线存在极值，其切线的斜率为零．②在φ－x图象中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向．③在φ－x图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断．
(3)E－x图象：根据E－x图象中E的正负确定电场强度的方向，再在草纸上画出对应电场线的方向，根据E的大小变化，确定电场的强弱分布．
三、平行板电容器的动态分析
【典例3】(多选)如图3所示，电路中平行板电容器C不带电．下列说法正确的有( )
A．闭合S瞬间，电流计G中有a→b方向的电流
B．闭合S后，增大C两极板间距离的过程中，电流计G中有a→b方向的电流
C．闭合S后再断开，增大C两极板间距离，极板间电场强度保持不变
D．闭合S后再断开，在C两极板间插入电介质，极板间电势差变小
【思路点拔】搞清是二种情况的哪一种，确定是Ｑ不变还是Ｕ不变。
【解析】开关闭合时，电容器充电，电流计中有a→b方向的电流，选项A正确；根据C＝，d增加，C减小，根据C＝，C减小，电容器与电源相连，U不变，Q减小，要放电，电流计G中有b→a方向的电流，选项B错误；与电源断开，Q不变，E＝＝，电场强度不变，选项C正确；断开电源，Q不变，插入电介质，C增加，C＝，所以U减小，选项D正确．
【答案】ACD
【规律方法】1．两类典型问题
(1)电容器始终与恒压电源相连，电容器两极板间的电势差U保持不变．
(2)电容器充电后与电源断开，电容器两极板所带的电荷量Q保持不变．
2．动态分析思路
(1)U不变
①根据C＝＝先分析电容的变化，再分析Q的变化．
②根据E＝分析场强的变化．
③根据UAB＝E·d分析某点电势变化．
(2)Q不变
①根据C＝＝先分析电容的变化，再分析U的变化．
②根据E＝＝分析场强变化．
四、带电粒子在电场中的运动
【典例4】．如图所示，真空中水平放置的两个相同极板Y和Y′长为L，相距为d，足够大的竖直屏与两板右侧相距b。在两板间加上可调偏转电压UYY′，一束质量为m、带电荷量为＋q的粒子(不计重力)从两板左侧中点A以初速度v0沿水平方向射入电场且能穿出。
(1)证明粒子飞出电场后的速度方向的反向延长线交于两板间的中心O点；
(2)求两板间所加偏转电压UYY′的范围。
【思路点拔】(1)题干中“可调偏转电压UYY′”说明：UYY′可以大于零，也可以小于零，粒子在电场中既可以向上极板偏转，也可以向下极板偏转。
(2)题干中“从两板左侧中点A以初速度v0沿水平方向射入电场且能穿出”说明：粒子在电场中的最大偏转位移为。
【解析】(1)设粒子在电场中的加速度大小为a，离开偏转电场时偏转距离为y，沿电场方向的速度为vy，偏转角为θ，其反向延长线通过O点，O点与板右端的水平距离为x，如图所示，则有
y＝at2
L＝v0t
vy＝at
tan θ＝＝
联立解得x＝
即粒子飞出电场后的速度方向的反向延长线交于两板间的中心O点。
(2)由牛顿第二定律得qE＝ma
又U＝Ed
联立解得y＝
当y＝时，U＝
则两板间所加电压的范围为－≤UYY′≤。
【答案】(1)见解析 (2)－≤UYY′≤
【规律方法】解决带电粒子在电场中运动问题的基本思路及注意问题
五、电场中功能关系的应用
【典例5】．一绝缘“?”形杆由两段相互平行的足够长的水平直杆PQ、MN和一半径为R的光滑半圆环MAP组成，固定在竖直平面内，其中MN杆是光滑的，PQ杆是粗糙的。现将一质量为m的带正电荷的小环套在MN杆上，小环所受的电场力为重力的。
(1)若将小环由D点静止释放，则刚好能到达P点，求DM间的距离；
(2)若将小环由M点右侧5R处静止释放，设小环与PQ杆间的动摩擦因数为μ，小环所受最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，求小环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功。
【思路点拔】
【解析】(1)设DM间距离为x，对小环从D点到P点过程由动能定理得
qEx－2mgR＝0－0
又有qE＝mg
解得x＝4R
(2)若μ≥，则μmg≥qE
设小环到达P点右侧距离P点x1处静止，由动能定理得qE(5R－x1)－2mgR－μmgx1＝0
解得x1＝
若μ≥，则整个运动过程中克服摩擦力所做的功
Wf＝μmgx1＝
若μ<，则μmg小环经过往复运动，最后停在P点，全过程由动能定理得qE·5R－2mgR－Wf＝0
解得Wf＝mgR
【答案】(1)4R (2)若μ≥，Wf＝ 若μ<，Wf＝mgR
【规律方法】处理电场中功能关系问题的“2点注意”
(1)电场力做功与路径无关，可运用动能定理对全程列式。
(2)在运用动能定理处理电学问题时应注意运动过程的选取，特别应注意电场力和摩擦力做功的特点。
一、单项选择题
1.如图所示，电场中的一簇电场线关于y轴对称分布，O点是坐标原点，M、N、P、Q是以O为圆心的一个圆周上的四个点，其中M、N在y轴上，Q点在x轴上，则( )
A．M点电势比P点电势高
B．OM间的电势差等于NO间的电势差
C．一正电荷在O点的电势能小于在Q点的电势能
D．将一负电荷从M点移到P点，电场力做正功
【解析】由图象可知，场源电荷必然在O点以下的y轴上，电场线与等势面处处正交，沿电场线方向电势降低最快，则过P点的等势面对应的电势较高，选项A错误；电场线密处，等差等势面也越密，因此NO之间的电势差较大，选项B错误；过O点的等势面与x轴相切，过Q点的等势面与x轴相交，所以O点的电势比Q点高，由Ep＝qφ可知，正电荷在O点的电势能大于在Q点的电势能，选项C错误；用同样的办法做等势面，MP之间的电势差小于零，将负电荷从M点移到P点，电场力做正功，选项D正确。
【答案】D
2．一平行板电容器充电后与电源断开，负极板接地。两板间有一个正试探电荷固定在P点，如图所示，以C表示电容器的电容、E表示两板间的场强、φ表示P点的电势，W表示正电荷在P点的电势能，若正极板保持不动，将负极板缓慢向右平移一小段距离l0的过程中，各物理量与负极板移动距离x的关系图象中正确的是( )
【解析】由平行板电容器的电容C＝可知A错；在电容器两极板所带电荷量一定的情况下，U＝，E＝＝，与d无关，则B错；在负极板接地的情况下，φ＝φ0－El0，则C项正确；正电荷在P点的电势能W＝qφ＝q(φ0－El0)，显然D错。
【答案】C
3．(2015·山东高考)直角坐标系xOy中，M、N两点位于x轴上，G、H两点坐标如图。M、N两点各固定一负点电荷，一电量为Q的正点电荷置于O点时，G点处的电场强度恰好为零。静电力常量用k表示。若将该正点电荷移到G点，则H点处场强的大小和方向分别为( )
A.，沿y轴正向 B.，沿y轴负向
C.，沿y轴正向 D.，沿y轴负向
【解析】处于O点的正点电荷在G点处产生的场强E1＝k，方向沿y轴负向；又因为G点处场强为零，所以M、N处两负点电荷在G点共同产生的场强E2＝E1＝k，方向沿y轴正向；根据对称性，M、N处两负点电荷在H点共同产生的场强E3＝E2＝k，方向沿y轴负向；将该正点电荷移到G处，该正点电荷在H点产生的场强E4＝k，方向沿y轴正向，所以H点的场强E＝E3－E4＝，方向沿y轴负向。
【答案】B
4．如图所示，平行板电容器与恒压电源连接，电子以速度v0垂直于电场线方向射入并穿过平行板间的电场，若仅使电容器上极板上移，设电容器极板上所带电荷量为Q，电子穿出平行板时在垂直于板面方向偏移的距离为y，以下说法正确的是( )
A．Q减少，y不变 B．Q减少，y减小
C．Q增大，y减小 D．Q增大，y增大
【解析】上极板上移，两板间距增大，电容器电容减小，板间电场强度减小，由Q＝C·U可知，Q减小，C、D均错误；由y＝可知，因E减小，电子偏转距离y减小，故B正确，A错误。
【答案】B
5、α粒子快速通过氢分子中心，其轨迹垂直于两核的连线，两核的距离为d，如图6所示。假定α粒子穿过氢分子中心时两氢核几乎不移动，同时忽略分子中电子的电场，则当α粒子在靠近氢分子过程中下列说法正确的是( )
A.加速度一定变大 B.加速度一定减小
C.电势能越来越大 D.电势能越来越小
【解析】由题意可知，两个氢分子可视为等量的同种正电荷，其连线中点电场强度为零，无穷远处的电场强度也为零，因此在中点和无穷远之间有一点场强最大，但由于此位置不确定，因为α粒子靠近氢分子过程中电场力的变化不确定，所以加速度的变化不确定，A、B错误；α粒子在靠近中心连线时，由于电场力对α粒子做负功，因此其电势能逐渐增大，C正确。
【答案】C
二、多项选择题
6．(2015·江苏高考)两个相同的负电荷和一个正电荷附近的电场线分布如图所示。c是两负电荷连线的中点，d点在正电荷的正上方，c、d到正电荷的距离相等，则( )
A．a点的电场强度比b点的大
B．a点的电势比b点的高
C．c点的电场强度比d点的大
D．c点的电势比d点的低
【解析】根据电场线的分布图，a、b两点中，a点的电场线较密，则a点的电场强度较大，选项A正确。沿电场线的方向电势降低，a点的电势低于b点的电势，选项B错误。由于c、d关于正电荷对称，正电荷在c、d两点产生的电场强度大小相等、方向相反；两负电荷在c点产生的电场强度为0，在d点产生的电场强度方向向下，根据电场的叠加原理，c点的电场强度比d点的大，选项C正确。c、d两点中c点离负电荷的距离更小，c点电势比d点低，选项D正确。
【答案】ACD
7．(2018·石榴高中月考)如图7所示，一带正电的小球向右水平抛入范围足够大的匀强电场，电场方向水平向左，不计空气阻力，则小球( )
A．做直线运动
B．做曲线运动
C．速率先减小后增大
D．速率先增大后减小
【解析】小球受重力和电场力两个力作用，合力的方向与速度方向不在同一直线上，小球做曲线运动，故A错误，B正确；小球所受的合力与速度方向先成钝角，后成锐角，可知合力先做负功然后做正功，则速率先减小后增大，故C正确，D错误．
【答案】BC
8、一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图3所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是( )
A.电场强度的大小为2.5 V/cm
B.坐标原点处的电势为1 V
C.电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D.电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
【解析】如图所示，设a、c之间的d点电势与b点电势相同，则＝＝，所以d点的坐标为(3.5 cm，6 cm)，过c点作等势线bd的垂线，电场强度的方向由高电势指向低电势。由几何关系可得，cf的长度为3.6 cm，电场强度的大小E＝＝ V/cm＝2.5 V/cm，故选项A正确；因为Oacb是矩形，所以有Uac＝UOb ，可知坐标原点O处的电势为1 V ，故选项B正确；a点电势比b点电势低7 V，电子带负电，所以电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，故选项C错误；b点电势比c点电势低9 V，电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV，故选项D正确。
【答案】ABD
9.(多选)(2017·淮阴中学月考)如图8所示，在真空中有质子、氘核和α粒子都从O点静止释放，经过相同加速电场和偏转电场后，打在同一与OO′垂直的荧光屏上，使荧光屏上出现亮点；已知质子、氘核和α粒子质量之比为1∶2∶4，电荷量之比为1∶1∶2，粒子重力不计．下列说法中正确的是( )
A．质子、氘核和α粒子在偏转电场中运动时间相同
B．三种粒子出偏转电场时的速度相同
C．在荧光屏上将只出现1个亮点
D．偏转电场对质子、氘核和α粒子做功之比为1∶1∶2
【解析】在加速电场中，根据动能定理得：qU1＝mv－0，则进入偏转电场的速度v0＝ ，因为质子、氘核和α粒子的比荷之比为2∶1∶1，则初速度之比为∶1∶1，在偏转电场中运动时间t＝，则知时间之比为1∶∶，故A错误；在竖直方向上的分速度vy＝at＝，则出电场时的速度v＝＝，因为粒子的比荷不同，则速度的大小不同，故B错误；偏转位移y＝at2＝· ·＝，与粒子的电荷量和质量无关，则粒子的偏转位移相等，荧光屏上将只出现一个亮点，故C正确；偏转电场的电场力对粒子做功W＝qEy，因为E和y相同，电荷量之比为1∶1∶2，则电场力做功之比为1∶1∶2，故D正确．
【答案】CD
10．(多选)如图10甲所示，两水平金属板间距为d，板间电场强度的变化规律如图乙所示．t＝0时刻，质量为m的带电微粒以初速度v0沿中线射入两板间，0～时间内微粒匀速运动，T时刻微粒恰好经金属板边缘飞出．微粒运动过程中未与金属板接触．重力加速度的大小为g.关于微粒在0～T时间内运动的描述，正确的是( )
A．末速度大小为v0
B．末速度沿水平方向
C．重力势能减少了mgd
D．克服电场力做功为mgd
【解析】因0～时间内微粒匀速运动，故E0q＝mg；在～时间内，微粒只受重力作用，做平抛运动，在t＝时刻的竖直速度为vy1＝，水平速度为v0；在～T时间内，由牛顿第二定律得2E0q－mg＝ma，解得a＝g，方向向上，则在t＝T时刻，vy2＝vy1－g＝0，微粒的竖直速度减小到零，水平速度为v0，故A错误，B正确；0～T时间内，微粒的重力势能减少了ΔEp＝mg·＝mgd，选项C正确；从射入到射出，由动能定理得，mgd－W电＝0，可知克服电场力做功为mgd，选项D错误．
【答案】BC
11. (多选)一带正电的粒子只在电场力作用下沿x轴正向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图8所示，其中0～x2段是对称的曲线，x2～x3段是直线段，则正确的是( )
A.x1、x2、x3处电势φ1、φ2、φ3的关系为φ3＞φ2＞φ1＞0
B.在x的正半轴，电场方向都沿x轴正方向
C.粒子在0～x1段受到的电场力方向沿x轴正方向，做加速运动
D.x2～x3段的电场是匀强电场
【解析】由Ep＝qφ，q＞0且不变知φ与Ep同号且成正比，可得到φ－x图象如图所示，由于粒子只在电场力作用下沿x轴正向运动，说明电场线沿x轴。根据电场方向由电势高处指向电势低处，在0～x1段电场方向为＋x方向，粒子在该段受到的电场力方向沿＋x方向，做加速运动，x1～x3段电场方向沿－x方向，粒子做减速运动，选项A、C正确，B错误；又x2～x3段电势随距离x的变化是线性的，说明该处电场是恒定的，为匀强电场，选项D正确。
【答案】ACD
三、非选择题
12、如图6-3-9所示，在两条平行的虚线内存在着宽度为L、场强为E的匀强电场，在与右侧虚线相距也为L处有一与电场平行的屏。现有一电荷量为＋q、质量为m的带电粒子(重力不计)，以垂直于电场线方向的初速度v0射入电场中，v0方向的延长线与屏的交点为O。试求：
图6-3-9
(1)粒子从射入到打到屏上所用的时间；
(2)粒子刚射出电场时的速度方向与初速度方向间夹角的正切值tan α；
(3)粒子打到屏上的点P到O点的距离x。
【解析】(1)根据题意，粒子在垂直于电场线的方向上做匀速直线运动，所以粒子从射入到打到屏上所用的时间t＝
(2)粒子在电场的运动情况如图所示。
设粒子射出电场时沿平行电场线方向的速度为vy，由牛顿第二定律得粒子在电场中的加速度为a＝
所以粒子刚射出电场时的速度方向与初速度方向间夹角的正切值为tan α＝＝
(3)如(2)中图所示，设粒子在电场中的偏转距离为y，则
y＝a2＝
又x＝y＋Ltan α
解得x＝
【答案】 (1) (2) (3)
13．如图9所示，在距足够长的光滑绝缘水平直线轨道上方h高度的P点，固定电荷量为＋Q的点电荷，一质量为m、带电荷量为＋q的物块(可视为质点)，从轨道上的A点以初速度v0沿轨道向右运动，当运动到P点正下方B点时速度为v。已知点电荷产生的电场在A点的电势为φ(取无穷远处的电势为零)，PA连线与水平轨道的夹角为60°，试求：
(1)物块在A点时受在A点到轨道的支持力大小；
(2)点电荷＋Q产生的电场在B点的电势。
【解析】(1)物块在A点受到点电荷的库仑力F＝
由几何关系可知P、A间距离r＝
设物块在A点时受到轨道的支持力大小为FN，由平衡条件有FN－mg－Fsin 60°＝0
解得FN＝mg＋
(2)设点电荷产生的电场在B点的电势为φB，由动能定理有q(φ－φB)＝mv2－mv
解得φB＝φ＋
【答案】(1)mg＋ (2)φ＋
14．(2015·安徽高考)在xOy平面内，有沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E(图中未画出)，由A点斜射出质量为m、带电荷量为＋q的粒子，B和C是粒子运动轨迹上的两点，如图所示，其中l0为常数。粒子所受重力忽略不计。求：
(1)粒子从A到C过程中电场力对它做的功；
(2)粒子从A到C过程所经历的时间；
(3)粒子经过C点时的速率。
【解析】(1)WAC＝qE(yA－yC)＝3qEl0
(2)根据抛体运动的特点，粒子在x方向做匀速直线运动，由对称性可知轨迹最高点D在y轴上，可令tAD＝tDB＝T，则
tBC＝T
由qE＝ma得a＝
又y0＝aT2
y0＋3l0＝a(2T)2
解得T＝
则A→C过程所经历的时间t＝3
15、如图4所示，一竖直且光滑绝缘的直圆筒底部放置一可视为点电荷的场源电荷A，其电荷量Q＝＋4×10－3 C，场源电荷A形成的电场中各点的电势表达式为φ＝，其中k为静电力常量，r为空间某点到场源电荷A的距离，现有一质量为m＝0.1 kg的带正电的小球B，它与A球间的距离为a＝0.4 m，此时小球B处于平衡状态，且小球B在场源电荷A形成的电场中具有的电势能的表达式为Ep＝k，其中r为A与B之间的距离。另一质量为m的不带电绝缘小球C从距离B的上方H＝0.8 m处自由下落，落在小球B上立刻与小球B粘在一起以2 m/s的速度向下运动，它们到达最低点后又向上运动，向上运动到达的最高点为P(g取10 m/s2，k＝9×109 N·m2/C2)。求：
(1)小球C与小球B碰撞前的速度v0的大小？小球B的电荷量q为多少？
(2)小球C与小球B一起向下运动的过程中，最大速度为多少？
【解析】(1)小球C自由下落H时获得速度v0，由机械能守恒得mgH＝mv
解得v0＝＝4 m/s
小球B在碰撞前处于平衡状态，对B球由平衡条件得
mg＝
代入数据得q＝×10－8 C≈4.4×10－9 C
(2)设当B和C向下运动的速度最大为vm时，与A相距x，对B和C整体，由平衡条件得2mg＝k
代入数据得x＝0.28 m
由能量守恒得
×2mv2＋＋2mga＝×2mv＋2mgx＋k
代入数据得vm＝2.2 m/s
【答案】(1)4 m/s 4.4×10－9 C (2)2.2 m/s
