专题七 功能关系（原卷版）
考点
要求
考点解读及预测
功和功率
Ⅱ
考查热点：(1)(变力)做功和功率问题
(2)动能定理的应用
(3)机械能守恒的条件
(4)机械能守恒定律与平抛运动、圆周运动的综合
(5)功能关系与能量守恒
命题方式：选择题＋计算题。
复习策略：熟练利用动能定理、机械能守恒定律、功能关系、牛顿运动定律等知识处理综合问题。
动能和动能定理
Ⅱ
重力做功与重力势能
Ⅱ
功能关系、机械能守恒定律及其应用
Ⅱ
一、求变力做功的几种方法
1．用动能定理求变力做功
动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力功也适用于求变力做功。因使用动能定理可由动能的变化来求功，所以动能定理是求变力做功的首选。
2．用F -x图象求变力做功
在F -x图象中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。
3．化变力为恒力求变力做功
变力做功直接求解时，通常都比较复杂，但若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，可以用W＝Flcos α求解。此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。
4．用平均力求变力做功
在求解变力做功时，若物体受到的力的方向不变，而大小随位移是成线性变化的，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为＝的恒力作用，F1、F2分别为物体初、末态所受到的力，然后用公式W＝lcos α求此力所做的功。
5．利用微元法求变力做功
将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和。此法在中学阶段，常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。
二、功能关系的应用
1．对功能关系的进一步理解
(1)做功的过程是能量转化的过程。不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。
(2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现到不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数量上相等。
常见的几种功能关系：
2.在常见的功能关系中，动能定理应用尤为广泛.
(1)对于物体运动过程中不涉及加速度和时间，而涉及力和位移、速度的问题时，一般选择动能定理，尤其是曲线运动、多过程的直线运动等.
(2)如果物体只有重力和弹力做功而又不涉及物体运动过程中的加速度和时间，既可用机械能守恒定律，又可用动能定理求解.一般应用动能定理解题较为方便，因为这样可以省去判断机械能是否守恒和选定零势能面的麻烦.
三、能量守恒定律的应用
1. 应用能量守恒定律的基本思路
(1)某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量和增加量一定相等；
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
2．应用能量守恒定律解题的步骤
(1)分清有多少形式的能(动能、势能、内能等)发生变化。
(2)明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式。
(3)列出能量守恒关系式ΔE减＝ΔE增。
四、动力学和能量观点的综合应用
力学综合问题，涉及动力学、功能关系，解决此类问题关键要做好“四选择”
(1)当物体受到恒力作用发生运动状态的改变而且又涉及时间时，一般选择用动力学方法解题；
(2)当涉及功、能和位移时，一般选用动能定理、机械能守恒定律、功能关系或能量守恒定律解题，题目中出现相对位移时，应优先选择能量守恒定律；
(3)当涉及细节并要求分析力时，一般选择牛顿运动定律，对某一时刻的问题选择牛顿第二定律求解：
(4)复杂问题的分析一般需选择能量的观点、运动与力的观点综合解题.
考点一、变力做功问题
【典例1】如图所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体，开始时与物体相连接的绳与水平面间的夹角是α，当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为β。已知图中物体上表面距滑轮顶端的高度是h，求绳的拉力FT对物体所做的功。假定绳的质量、滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦不计。
【思路点拔】轻绳通过定滑轮拉物体的问题中，通过转换研究的对象，有时变力可化为恒力做功，可以用W＝Flcos α求解。
【解析】 设绳的拉力FT对物体做的功为W，力F所做的功为WF，由题图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力FT作用的绳端的位移的大小为
Δl＝l1－l2＝h(1/sin α－1/sin β)
WF＝FΔl
WF＝W
解得W＝Fh(1/sin α－1/sin β)
【答案】Fh(1/sin α－1/sin β)
【规律方法】
求解变力做功应注意的问题
考点二、机械能守恒定律的判断和应用
1.机械能守恒的判断方法
(1)利用机械能的定义判断(直接判断)：分析动能和势能的和是否变化.
(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒.
(3)用能量转化来判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体或系统机械能守恒.
【典例2】如图4所示，在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定，另一自由端恰好与水平线AB平齐，静止放于倾角为53°的光滑斜面上.一长为L＝9 cm的轻质细绳一端固定在O点，另一端系一质量为m＝1 kg的小球，将细绳拉至水平，使小球从位置C由静止释放，小球到达最低点D时，细绳刚好被拉断.之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩，最大压缩量为x＝5 cm.(取g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)求：
(1)细绳受到的拉力的最大值；
(2)D点到水平线AB的高度h；
(3)弹簧所获得的最大弹性势能Ep.
【思路点拔】圆周运动，平抛运动及机械能守恒综合问题
【解析】(1)小球由C到D，由机械能守恒定律得
mgL＝mv，解得v1＝①
在D点，由牛顿第二定律得F－mg＝m②
由①②解得F＝30 N
由牛顿第三定律知细绳受到的拉力的最大值为30 N.
(2)由D到A，小球做平抛运动v＝2gh③
tan 53°＝④
联立③④解得h＝16 cm
(3)小球从C点到将弹簧压缩到最短的过程中，小球与弹簧组成的系统的机械能守恒，即Ep＝mg(L＋h＋xsin 53°)，代入数据解得：Ep＝2.9 J.
【答案】(1)30 N (2)16 cm (3)2.9 J
【规律方法】
应用机械能守恒定律的基本思路
(1)选取研究对象——物体或系统.
(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒.
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初、末状态时的机械能.
(4)选取适当的机械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp)进行求解.
三、能量守恒定律的应用
【典例3】轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l.现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接.AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图5所示.物块P与AB间的动摩擦因数μ＝0.5.用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g.
(1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离；
(2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围.
【思路点拔】考查能量守恒，圆周运动的条件及平抛运动
【解析】(1)依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l时，质量为5m的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能.由机械能守恒定律知，弹簧长度为l时的弹性势能为
Ep＝5mgl ①
设P到达B点时的速度大小为vB，由能量守恒定律得
Ep＝mv＋μmg(5l－l) ②
联立①②式，并代入题给数据得
vB＝ ③
若P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P此时的速度大小v应满足
－mg≥0 ④
设P滑到D点时的速度为vD，由机械能守恒定律得
mv＝mv＋mg·2l ⑤
联立③⑤式得vD＝ ⑥
vD满足④式要求，故P能运动到D点，并从D点以速度vD水平射出.设P落回到轨道AB所需的时间为t，由运动学公式得
2l＝gt2 ⑦
P落回到AB上的位置与B点之间的距离为s＝vDt ⑧
联立⑥⑦⑧式得
s＝2l ⑨
(2)设P的质量为M，为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于零.由①②式可知
5mgl>μMg·4l ⑩
要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C.由机械能守恒定律有
MvB′2≤Mgl ?
Ep＝MvB′2＋μMg·4l ?
联立①⑩??式得
m≤M<m.
【答案】(1) 2l (2)m≤M<m
【规律方法】 应用能量守恒定律的基本思路
(1)某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量和增加量一定相等；
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
四、动力学和能量观点的综合应用
【典例4】如图7所示，光滑管状轨道ABC由直轨道AB和圆弧轨道BC组成，二者在B处相切并平滑连接，O为圆心，O、A在同一条水平线上，OC竖直，一直径略小于圆管直径的质量为m的小球，用细线穿过管道与质量为M的物块连接，将小球由A点静止释放，当小球运动到B处时细线断裂，小球继续运动.已知弧形轨道的半径为R＝ m，所对应的圆心角为53°，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g＝10 m/s2.
(1)若M＝5m，求小球在直轨道部分运动时的加速度大小.
(2)若M＝5m，求小球从C点抛出后下落高度h＝ m时到C点的水平位移.
(3)M、m满足什么关系时，小球能够运动到C点？
[思维规范流程]
步骤1：在直轨道部分，对小球、物块列牛顿第二定律方程
对小球：F－mgsin 53°＝ma ①
对物块：Mg－F＝Ma ②
得a＝7 m/s2 ③
步骤2：在直角△OAB中，由几何关系得xAB，由运动学方程，得vB
B到C，列机械能守恒方程
过C后，平抛运动分方向列方程
xAB＝ ④
vB＝＝2 m/s ⑤
B→C：
mv＝mv＋mgR(1－cos 53°) ⑥
过C点后：x＝vCt ⑦
h＝gt2 ⑧
得：x＝ m ⑨
步骤3：A→B：列系统机械能守恒方程
线断后，对球由B?C列动能定理关系式
A→B对(M，m)系统
(M＋m)v2＝MgxAB－mgxABsin 53° ⑩
B→C，小球恰好能到达C点时，vC＝0
－mgR(1－cos 53°)＝0－mv2 ?
得：M≥m ?
1.关于重力势能，下列说法中正确的是( )
A.物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B.物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C.一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了
D.重力势能的变化量与零势能面的选取无关
2.(多选)两实心小球甲和乙由同一种材料制成，甲球质量大于乙球质量.两球在空气中由静止下落，假设它们运动时受到的阻力与球的半径成正比，与球的速率无关.若它们下落相同的距离，则( )
A.甲球用的时间比乙球长
B.甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小
C.甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小
D.甲球克服阻力做的功大于乙球克服阻力做的功
3.弹弓是孩子们喜爱的弹射类玩具，其构造原理如图1所示，橡皮筋两端点A、B固定在把手上，橡皮筋处于ACB时恰好为原长状态，在C处(AB连线的中垂线上)放一固体弹丸，一手执把，另一手将弹丸拉至D点放手，弹丸就会在橡皮筋的作用下发射出去，打击目标.现将弹丸竖直向上发射，已知E是CD中点，则( )
A.从D到C过程中，弹丸的机械能守恒
B.从D到C过程中，弹丸的动能一直在增大
C.从D到C过程中，橡皮筋的弹性势能先增大后减小
D.从D到E过程橡皮筋对弹丸做功大于从E到C过程
4.如图2所示，A、B、C三个一样的滑块从粗糙斜面上的同一高度同时开始运动.A由静止释放；B的初速度方向沿斜面向下，大小为v0；C的初速度方向沿水平方向，大小为v0.斜面足够大，A、B、C运动过程中不会相碰，下列说法正确的是( )
A.A和C将同时滑到斜面底端
B.滑到斜面底端时，B的动能最大
C.滑到斜面底端时，C的重力势能减少最多
D.滑到斜面底端时，B的机械能减少最多
5.如图5所示，质量为m的物体沿斜上方以速度v0抛出后，能达到的最大高度为H，当它将要落到离地面高度为h的平台上时(不计空气阻力，取地面为参考平面)，下列判断正确的是( )
A.它的总机械能大于mv
B.它的总机械能为mgH
C.它的动能为mg(H－h)
D.它的动能为mv－mgh
6. 如图6所示，在高1.5 m的光滑平台上有一个质量为2 kg的小球被一细线拴在墙上，小球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧.当烧断细线时，小球被弹出，小球落地时的速度方向与水平方向成60°角，则弹簧被压缩时具有的弹性势能为(g＝10 m/s2)( )
A.10 J B.15 J
C.20 J D.25 J
7.如图7所示，某段滑雪雪道倾角为30°，总质量为m(包括雪具在内)的滑雪运动员从距底端高为h处的雪道上由静止开始匀加速下滑，加速度为g.在他从上向下滑到底端的过程中，下列说法中正确的是( )
A.运动员减少的重力势能全部转化为动能
B.运动员获得的动能为mgh
C.运动员克服摩擦力做功为mgh
D.下滑过程中系统减少的机械能为mgh
8.荡秋千是一种常见的休闲娱乐活动，也是我国民族运动会上的一个比赛项目.若秋千绳的长度约为2 m，荡到最高点时，秋千绳与竖直方向成60°角，如图4所示.人在从最高点到最低点的运动过程中，以下说法正确的是( )
A.最低点的速度大约为5 m/s
B.在最低点时的加速度为零
C.合外力做的功等于增加的动能
D.重力做功的功率逐渐增加
9.(多选)(2016·浙江理综·18)如图5所示为一滑草场.某条滑道由上下两段高均为h，与水平面倾角分别为45°和37°的滑道组成，滑草车与草地之间的动摩擦因数为μ.质量为m的载人滑草车从坡顶由静止开始自由下滑，经过上、下两段滑道后，最后恰好静止于滑道的底端(不计滑草车在两段滑道交接处的能量损失，sin37°＝0.6，cos 37°＝0.8).则( )
A.动摩擦因数μ＝
B.载人滑草车最大速度为
C.载人滑草车克服摩擦力做功为mgh
D.载人滑草车在下段滑道上的加速度大小为g
10.(多选)如图6，一固定容器的内壁是半径为R的半球面；在半球面水平直径的一端有一质量为m的质点P.它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为W.重力加速度大小为g.设质点P在最低点时，向心加速度的大小为a，容器对它的支持力大小为N，则( )
A.a＝ B.a＝
C.N＝ D.N＝
11.(多选)如图9所示，在一直立的光滑管内放置一轻质弹簧，上端O点与管口A的距离为2x0，一质量为m的小球从管口由静止下落，将弹簧压至最低点B，压缩量为x0，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
A.小球从接触弹簧开始，加速度一直减小
B.小球运动过程中最大速度大于2
C.弹簧劲度系数大于
D.弹簧最大弹性势能为3mgx0
12.(多选)如图7所示，竖直光滑杆固定不动，套在杆上的弹簧下端固定，将套在杆上的滑块向下压缩弹簧至离地高度h＝0.1 m处，滑块与弹簧不拴接.现由静止释放滑块，通过传感器测量到滑块的速度和离地高度h并作出滑块的Ek－h图象，其中高度从0.2 m上升到0.35 m范围内图象为直线，其余部分为曲线，以地面为零势能面，取g＝10 m/s2，由图象可知( )
A.小滑块的质量为0.2 kg
B.弹簧最大弹性势能为0.32 J
C.轻弹簧原长为0.2 m
D.小滑块的重力势能与弹簧的弹性势能总和最小为0.18 J
13.如图8所示，长为L的轻杆一端连着质量为m的小球，另一端用活动铰链固接于水平地面上的O点，初始时小球静止于地面上，边长为L、质量为M的正方体左侧静止于O点处.现在杆中点处施加一大小始终为(g为重力加速度)、方向始终垂直杆的拉力，经过一段时间后撤去F，小球恰好能到达最高点，忽略一切摩擦，试求：
(1)拉力所做的功；
(2)拉力撤去时小球的速度大小；
(3)若小球运动到最高点后由静止开始向右倾斜，求杆与水平面夹角为θ时(正方体和小球还未脱落)，正方体的速度大小.
14.如图9所示，虚线圆的半径为R，AC为光滑竖直杆，AB与BC构成直角的L形轨道，小球与AB、BC轨道间的动摩擦因数均为μ，A、B、C三点正好是圆上三点，而AC正好为该圆的直径，AB与AC的夹角为α.如果套在AC杆上的小球自A点静止释放，分别沿ABC轨道和AC直轨道运动，忽略小球滑过B处时的能量损耗.求：
(1)小球在AB轨道上运动的加速度；
(2)小球沿ABC轨道运动到达C点时的速率；
(3)若AB、BC、AC轨道均光滑，如果沿ABC轨道运动到达C点的时间与沿AC直轨道运动到达C点的时间之比为5∶3，求α的正切值.
15.如图15所示，一物体质量m＝2 kg，在倾角θ＝37°的斜面上的A点以初速度v0＝3 m/s下滑，A点距弹簧上端B的距离AB＝4 m.当物体到达B点后将弹簧压缩到C点，最大压缩量BC＝0.2 m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为D点，D点距A点的距离AD＝3 m.挡板及弹簧质量不计，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数μ；
(2)弹簧的最大弹性势能Epm.
专题七 功能关系（解析版）
考点
要求
考点解读及预测
功和功率
Ⅱ
考查热点：(1)(变力)做功和功率问题
(2)动能定理的应用
(3)机械能守恒的条件
(4)机械能守恒定律与平抛运动、圆周运动的综合
(5)功能关系与能量守恒
命题方式：选择题＋计算题。
复习策略：熟练利用动能定理、机械能守恒定律、功能关系、牛顿运动定律等知识处理综合问题。
动能和动能定理
Ⅱ
重力做功与重力势能
Ⅱ
功能关系、机械能守恒定律及其应用
Ⅱ
一、求变力做功的几种方法
1．用动能定理求变力做功
动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力功也适用于求变力做功。因使用动能定理可由动能的变化来求功，所以动能定理是求变力做功的首选。
2．用F -x图象求变力做功
在F -x图象中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。
3．化变力为恒力求变力做功
变力做功直接求解时，通常都比较复杂，但若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，可以用W＝Flcos α求解。此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。
4．用平均力求变力做功
在求解变力做功时，若物体受到的力的方向不变，而大小随位移是成线性变化的，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为＝的恒力作用，F1、F2分别为物体初、末态所受到的力，然后用公式W＝lcos α求此力所做的功。
5．利用微元法求变力做功
将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和。此法在中学阶段，常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。
二、功能关系的应用
1．对功能关系的进一步理解
(1)做功的过程是能量转化的过程。不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。
(2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现到不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数量上相等。
常见的几种功能关系：
2.在常见的功能关系中，动能定理应用尤为广泛.
(1)对于物体运动过程中不涉及加速度和时间，而涉及力和位移、速度的问题时，一般选择动能定理，尤其是曲线运动、多过程的直线运动等.
(2)如果物体只有重力和弹力做功而又不涉及物体运动过程中的加速度和时间，既可用机械能守恒定律，又可用动能定理求解.一般应用动能定理解题较为方便，因为这样可以省去判断机械能是否守恒和选定零势能面的麻烦.
三、能量守恒定律的应用
1. 应用能量守恒定律的基本思路
(1)某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量和增加量一定相等；
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
2．应用能量守恒定律解题的步骤
(1)分清有多少形式的能(动能、势能、内能等)发生变化。
(2)明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式。
(3)列出能量守恒关系式ΔE减＝ΔE增。
四、动力学和能量观点的综合应用
力学综合问题，涉及动力学、功能关系，解决此类问题关键要做好“四选择”
(1)当物体受到恒力作用发生运动状态的改变而且又涉及时间时，一般选择用动力学方法解题；
(2)当涉及功、能和位移时，一般选用动能定理、机械能守恒定律、功能关系或能量守恒定律解题，题目中出现相对位移时，应优先选择能量守恒定律；
(3)当涉及细节并要求分析力时，一般选择牛顿运动定律，对某一时刻的问题选择牛顿第二定律求解：
(4)复杂问题的分析一般需选择能量的观点、运动与力的观点综合解题.
考点一、变力做功问题
【典例1】如图所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体，开始时与物体相连接的绳与水平面间的夹角是α，当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为β。已知图中物体上表面距滑轮顶端的高度是h，求绳的拉力FT对物体所做的功。假定绳的质量、滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦不计。
【思路点拔】轻绳通过定滑轮拉物体的问题中，通过转换研究的对象，有时变力可化为恒力做功，可以用W＝Flcos α求解。
【解析】 设绳的拉力FT对物体做的功为W，力F所做的功为WF，由题图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力FT作用的绳端的位移的大小为
Δl＝l1－l2＝h(1/sin α－1/sin β)
WF＝FΔl
WF＝W
解得W＝Fh(1/sin α－1/sin β)
【答案】Fh(1/sin α－1/sin β)
【规律方法】
求解变力做功应注意的问题
考点二、机械能守恒定律的判断和应用
1.机械能守恒的判断方法
(1)利用机械能的定义判断(直接判断)：分析动能和势能的和是否变化.
(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒.
(3)用能量转化来判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体或系统机械能守恒.
【典例2】如图4所示，在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定，另一自由端恰好与水平线AB平齐，静止放于倾角为53°的光滑斜面上.一长为L＝9 cm的轻质细绳一端固定在O点，另一端系一质量为m＝1 kg的小球，将细绳拉至水平，使小球从位置C由静止释放，小球到达最低点D时，细绳刚好被拉断.之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩，最大压缩量为x＝5 cm.(取g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)求：
(1)细绳受到的拉力的最大值；
(2)D点到水平线AB的高度h；
(3)弹簧所获得的最大弹性势能Ep.
【思路点拔】圆周运动，平抛运动及机械能守恒综合问题
【解析】(1)小球由C到D，由机械能守恒定律得
mgL＝mv，解得v1＝①
在D点，由牛顿第二定律得F－mg＝m②
由①②解得F＝30 N
由牛顿第三定律知细绳受到的拉力的最大值为30 N.
(2)由D到A，小球做平抛运动v＝2gh③
tan 53°＝④
联立③④解得h＝16 cm
(3)小球从C点到将弹簧压缩到最短的过程中，小球与弹簧组成的系统的机械能守恒，即Ep＝mg(L＋h＋xsin 53°)，代入数据解得：Ep＝2.9 J.
【答案】(1)30 N (2)16 cm (3)2.9 J
【规律方法】
应用机械能守恒定律的基本思路
(1)选取研究对象——物体或系统.
(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒.
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初、末状态时的机械能.
(4)选取适当的机械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp)进行求解.
三、能量守恒定律的应用
【典例3】轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l.现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接.AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图5所示.物块P与AB间的动摩擦因数μ＝0.5.用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g.
(1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离；
(2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围.
【思路点拔】考查能量守恒，圆周运动的条件及平抛运动
【解析】(1)依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l时，质量为5m的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能.由机械能守恒定律知，弹簧长度为l时的弹性势能为
Ep＝5mgl ①
设P到达B点时的速度大小为vB，由能量守恒定律得
Ep＝mv＋μmg(5l－l) ②
联立①②式，并代入题给数据得
vB＝ ③
若P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P此时的速度大小v应满足
－mg≥0 ④
设P滑到D点时的速度为vD，由机械能守恒定律得
mv＝mv＋mg·2l ⑤
联立③⑤式得vD＝ ⑥
vD满足④式要求，故P能运动到D点，并从D点以速度vD水平射出.设P落回到轨道AB所需的时间为t，由运动学公式得
2l＝gt2 ⑦
P落回到AB上的位置与B点之间的距离为s＝vDt ⑧
联立⑥⑦⑧式得
s＝2l ⑨
(2)设P的质量为M，为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于零.由①②式可知
5mgl>μMg·4l ⑩
要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C.由机械能守恒定律有
MvB′2≤Mgl ?
Ep＝MvB′2＋μMg·4l ?
联立①⑩??式得
m≤M<m.
【答案】(1) 2l (2)m≤M<m
【规律方法】 应用能量守恒定律的基本思路
(1)某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量和增加量一定相等；
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
四、动力学和能量观点的综合应用
【典例4】如图7所示，光滑管状轨道ABC由直轨道AB和圆弧轨道BC组成，二者在B处相切并平滑连接，O为圆心，O、A在同一条水平线上，OC竖直，一直径略小于圆管直径的质量为m的小球，用细线穿过管道与质量为M的物块连接，将小球由A点静止释放，当小球运动到B处时细线断裂，小球继续运动.已知弧形轨道的半径为R＝ m，所对应的圆心角为53°，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g＝10 m/s2.
(1)若M＝5m，求小球在直轨道部分运动时的加速度大小.
(2)若M＝5m，求小球从C点抛出后下落高度h＝ m时到C点的水平位移.
(3)M、m满足什么关系时，小球能够运动到C点？
[思维规范流程]
步骤1：在直轨道部分，对小球、物块列牛顿第二定律方程
对小球：F－mgsin 53°＝ma ①
对物块：Mg－F＝Ma ②
得a＝7 m/s2 ③
步骤2：在直角△OAB中，由几何关系得xAB，由运动学方程，得vB
B到C，列机械能守恒方程
过C后，平抛运动分方向列方程
xAB＝ ④
vB＝＝2 m/s ⑤
B→C：
mv＝mv＋mgR(1－cos 53°) ⑥
过C点后：x＝vCt ⑦
h＝gt2 ⑧
得：x＝ m ⑨
步骤3：A→B：列系统机械能守恒方程
线断后，对球由B?C列动能定理关系式
A→B对(M，m)系统
(M＋m)v2＝MgxAB－mgxABsin 53° ⑩
B→C，小球恰好能到达C点时，vC＝0
－mgR(1－cos 53°)＝0－mv2 ?
得：M≥m ?
1.关于重力势能，下列说法中正确的是( )
A.物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B.物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C.一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了
D.重力势能的变化量与零势能面的选取无关
【解析】物体的重力势能与参考面有关，同一物体在同一位置相对不同的参考面的重力势能不同，选项A错误；物体在零势能面以上，距零势能面的距离越大，重力势能越大；物体在零势能面以下，距零势能面的距离越大，重力势能越小，选项B错误；重力势能中的正、负号表示大小，－5 J的重力势能小于－3 J的重力势能，选项C错误；重力势能的变化量与零势能面的选取无关，选项D正确.
【答案】D
2.(多选)两实心小球甲和乙由同一种材料制成，甲球质量大于乙球质量.两球在空气中由静止下落，假设它们运动时受到的阻力与球的半径成正比，与球的速率无关.若它们下落相同的距离，则( )
A.甲球用的时间比乙球长
B.甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小
C.甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小
D.甲球克服阻力做的功大于乙球克服阻力做的功
【解析】小球的质量m＝ρ·πr3，由题意知m甲>m乙，ρ甲＝ρ乙，则r甲>r乙.空气阻力f＝kr，对小球由牛顿第二定律得，mg－f＝ma，则a＝＝g－＝g－，可得a甲>a乙，由h＝at2知，t甲v乙，故选项B正确；因f甲>f乙，由球克服阻力做的功Wf＝fh知，甲球克服阻力做的功较大，选项D正确.
【答案】BD
3.弹弓是孩子们喜爱的弹射类玩具，其构造原理如图1所示，橡皮筋两端点A、B固定在把手上，橡皮筋处于ACB时恰好为原长状态，在C处(AB连线的中垂线上)放一固体弹丸，一手执把，另一手将弹丸拉至D点放手，弹丸就会在橡皮筋的作用下发射出去，打击目标.现将弹丸竖直向上发射，已知E是CD中点，则( )
A.从D到C过程中，弹丸的机械能守恒
B.从D到C过程中，弹丸的动能一直在增大
C.从D到C过程中，橡皮筋的弹性势能先增大后减小
D.从D到E过程橡皮筋对弹丸做功大于从E到C过程
【解析】A项，从D到C除重力外还有弹簧弹力做动，弹丸的机械能不守恒，A错；B项，D到C的过程，先弹力大于重力，弹丸加速，后重力大于弹力，弹丸减速，所以弹丸的动能先增大后减小，B错；从D到C，橡皮筋的形变量一直减小，所以其弹性势能一直减小，C错误；D到E的弹簧弹力大于E到C的弹簧弹力，弹丸位移相等，所以从D到E过程橡皮筋对弹丸做的功大于从E到C过程橡皮筋对弹丸做的功，D正确.
【答案】D
4.如图2所示，A、B、C三个一样的滑块从粗糙斜面上的同一高度同时开始运动.A由静止释放；B的初速度方向沿斜面向下，大小为v0；C的初速度方向沿水平方向，大小为v0.斜面足够大，A、B、C运动过程中不会相碰，下列说法正确的是( )
A.A和C将同时滑到斜面底端
B.滑到斜面底端时，B的动能最大
C.滑到斜面底端时，C的重力势能减少最多
D.滑到斜面底端时，B的机械能减少最多
【解析】A、C两个滑块所受的滑动摩擦力大小相等，A所受滑动摩擦力沿斜面向上，C沿斜面向上的力是滑动摩擦力的分力，所以C沿斜面向下的加速度大于A的加速度，C先到达斜面底端，故A错误；重力做功相同，摩擦力对A、B做功相同，C克服摩擦力做功最大，而B有初速度，则滑到斜面底端时，B滑块的动能最大，故B正确；三个滑块下降的高度相同，重力势能减少相同，故C错误；滑动摩擦力做功与路程有关，C运动的路程最大，C克服摩擦力做功最大，机械能减少最多，故D错误.
【答案】B
5.如图5所示，质量为m的物体沿斜上方以速度v0抛出后，能达到的最大高度为H，当它将要落到离地面高度为h的平台上时(不计空气阻力，取地面为参考平面)，下列判断正确的是( )
A.它的总机械能大于mv
B.它的总机械能为mgH
C.它的动能为mg(H－h)
D.它的动能为mv－mgh
【解析】依题意分析可知，物体做抛体运动过程中机械能守恒.物体刚被抛出时的机械能为mv，故物体将要落到离地面高度为h的平台上时机械能一定为mv，选项A、B均错误.设物体将要落到离地面高度为h的平台上时动能为Ek，根据机械能守恒定律可得mv＝Ek＋mgh，解得Ek＝mv－mgh，故选项C错误，D正确.
【答案】D
6. 如图6所示，在高1.5 m的光滑平台上有一个质量为2 kg的小球被一细线拴在墙上，小球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧.当烧断细线时，小球被弹出，小球落地时的速度方向与水平方向成60°角，则弹簧被压缩时具有的弹性势能为(g＝10 m/s2)( )
A.10 J B.15 J
C.20 J D.25 J
【解析】由2gh＝v－0得：vy＝，即vy＝ m/s，落地时，由tan 60°＝可得：v0＝＝ m/s，由机械能守恒定律得Ep＝mv，可求得：Ep＝10 J，故A正确.
【答案】A
7.如图7所示，某段滑雪雪道倾角为30°，总质量为m(包括雪具在内)的滑雪运动员从距底端高为h处的雪道上由静止开始匀加速下滑，加速度为g.在他从上向下滑到底端的过程中，下列说法中正确的是( )
A.运动员减少的重力势能全部转化为动能
B.运动员获得的动能为mgh
C.运动员克服摩擦力做功为mgh
D.下滑过程中系统减少的机械能为mgh
【答案】D
8.荡秋千是一种常见的休闲娱乐活动，也是我国民族运动会上的一个比赛项目.若秋千绳的长度约为2 m，荡到最高点时，秋千绳与竖直方向成60°角，如图4所示.人在从最高点到最低点的运动过程中，以下说法正确的是( )
A.最低点的速度大约为5 m/s
B.在最低点时的加速度为零
C.合外力做的功等于增加的动能
D.重力做功的功率逐渐增加
【解析】秋千在下摆过程中，受到的绳子拉力不做功，机械能守恒，则得：mgL(1－cos 60°)＝mv2，解得：v＝＝ m/s＝2 m/s，A错误；在最低点合力指向圆心，加速度不为零，B错误；根据动能定理，合外力做的功等于增加的动能，C正确；P＝mgv⊥，由于在竖直方向上的速度从最高点到最低点过程中先增大后减小，故重力做功的功率先增大后减小，D错误.
【答案】C
9.(多选)(2016·浙江理综·18)如图5所示为一滑草场.某条滑道由上下两段高均为h，与水平面倾角分别为45°和37°的滑道组成，滑草车与草地之间的动摩擦因数为μ.质量为m的载人滑草车从坡顶由静止开始自由下滑，经过上、下两段滑道后，最后恰好静止于滑道的底端(不计滑草车在两段滑道交接处的能量损失，sin37°＝0.6，cos 37°＝0.8).则( )
A.动摩擦因数μ＝
B.载人滑草车最大速度为
C.载人滑草车克服摩擦力做功为mgh
D.载人滑草车在下段滑道上的加速度大小为g
【解析】对滑草车从坡顶由静止滑下，到底端静止的全过程，得mg·2h－μmgcos 45°·－μmgcos 37°·＝0，解得μ＝，选项A正确；对经过上段滑道过程，根据动能定理得，mgh－μmgcos 45°·＝mv2，解得v＝ ，选项B正确；载人滑草车克服摩擦力做功为2mgh，选项C错误；载人滑草车在下段滑道上的加速度为a＝＝－g，即加速度大小为g，选项D错误.
【答案】AB
10.(多选)(2016·全国丙卷·20)如图6，一固定容器的内壁是半径为R的半球面；在半球面水平直径的一端有一质量为m的质点P.它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为W.重力加速度大小为g.设质点P在最低点时，向心加速度的大小为a，容器对它的支持力大小为N，则( )
A.a＝ B.a＝
C.N＝ D.N＝
【解析】质点P下滑过程中，重力和摩擦力做功，根据动能定理可得mgR－W＝mv2，根据公式a＝，联立可得a＝，A正确，B错误；在最低点重力和支持力的合力充当向心力，根据牛顿第二定律可得，N－mg＝ma，代入可得，N＝，C正确，D错误.
【答案】AC
11.(多选)如图9所示，在一直立的光滑管内放置一轻质弹簧，上端O点与管口A的距离为2x0，一质量为m的小球从管口由静止下落，将弹簧压至最低点B，压缩量为x0，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
A.小球从接触弹簧开始，加速度一直减小
B.小球运动过程中最大速度大于2
C.弹簧劲度系数大于
D.弹簧最大弹性势能为3mgx0
【解析】小球从接触弹簧开始，小球的加速度先减小，在小球的重力和弹力相等的时候，加速度最小等于零，此时速度最大，然后弹力开始大于小球重力，加速度方向变为向上，并逐渐增大，所以A选项错误；小球从A下落到O的过程中，机械能守恒，所以mg(2x0)＝mv2，所以小球在O点的速度为2，小球在O点的速度并不是最大，所以B选项正确；在B点小球受到的弹力大于重力，所以kx0>mg，解得k>，C选项正确；在小球从A下落到B的过程中，小球减少的重力势能全部转化的弹性势能，所以D选项正确.
【答案】BCD
12.(多选)如图7所示，竖直光滑杆固定不动，套在杆上的弹簧下端固定，将套在杆上的滑块向下压缩弹簧至离地高度h＝0.1 m处，滑块与弹簧不拴接.现由静止释放滑块，通过传感器测量到滑块的速度和离地高度h并作出滑块的Ek－h图象，其中高度从0.2 m上升到0.35 m范围内图象为直线，其余部分为曲线，以地面为零势能面，取g＝10 m/s2，由图象可知( )
A.小滑块的质量为0.2 kg
B.弹簧最大弹性势能为0.32 J
C.轻弹簧原长为0.2 m
D.小滑块的重力势能与弹簧的弹性势能总和最小为0.18 J
【解析】从0.2 m上升到0.35 m的范围内，ΔEk＝－ΔEp＝－mgΔh，图线的斜率绝对值为：k＝＝＝－2 N＝－mg，所以：m＝0.2 kg，故A正确；根据能的转化与守恒可知，当滑块上升至最大高度时，增加的重力势能即为弹簧最大弹性势能，所以Epm＝mgΔh＝0.2×10×(0.35－0.1) J＝0.5 J，故B错误；在Ek－h图象中，图线的斜率表示滑块所受的合外力，由于高度从0.2 m上升到0.35 m范围内图象为直线，其余部分为曲线，说明滑块从0.2 m上升到0.35 m范围内所受作用力为恒力，所以h＝0.2 m，滑块与弹簧分离，弹簧的原长为0.2 m，故C正确；由图可知，当h＝0.18 m时的动能最大；在滑块整个运动过程中，系统的动能、重力势能和弹性势能之间相互转化，因此动能最大时，滑块的重力势能与弹簧的弹性势能总和最小，根据能的转化和守恒可知，Epmin＝E－Ekm＝Epm＋mgh－Ekm＝0.5 J＋0.2×10×0.1 T－0.32 J＝0.38 J，故D错误.
【答案】AC
13.如图8所示，长为L的轻杆一端连着质量为m的小球，另一端用活动铰链固接于水平地面上的O点，初始时小球静止于地面上，边长为L、质量为M的正方体左侧静止于O点处.现在杆中点处施加一大小始终为(g为重力加速度)、方向始终垂直杆的拉力，经过一段时间后撤去F，小球恰好能到达最高点，忽略一切摩擦，试求：
(1)拉力所做的功；
(2)拉力撤去时小球的速度大小；
(3)若小球运动到最高点后由静止开始向右倾斜，求杆与水平面夹角为θ时(正方体和小球还未脱落)，正方体的速度大小.
【解析】(1)根据动能定理可得：WF－mgL＝0
力F所做的功为WF＝mgL
(2)设撤去F时，杆与水平面夹角为α，撤去F前，有：
WF＝×α＝mgL，
解得：α＝
根据动能定理有：mgL－mgLsin α＝mv2
得撤去F时小球的速度为：
v＝
(3)设杆与水平面夹角为θ时，杆的速度为v1，正方体的速度为v2，v2＝v1sin θ
系统机械能守恒有：mg(L－Lsin θ)＝mv＋Mv
解得：v2＝ .
【答案】(1)mgL (2)(3)
14.如图9所示，虚线圆的半径为R，AC为光滑竖直杆，AB与BC构成直角的L形轨道，小球与AB、BC轨道间的动摩擦因数均为μ，A、B、C三点正好是圆上三点，而AC正好为该圆的直径，AB与AC的夹角为α.如果套在AC杆上的小球自A点静止释放，分别沿ABC轨道和AC直轨道运动，忽略小球滑过B处时的能量损耗.求：
(1)小球在AB轨道上运动的加速度；
(2)小球沿ABC轨道运动到达C点时的速率；
(3)若AB、BC、AC轨道均光滑，如果沿ABC轨道运动到达C点的时间与沿AC直轨道运动到达C点的时间之比为5∶3，求α的正切值.
【解析】(1)从A到B，由牛顿第二定律得：mgcos α－μmgsin α＝ma
解得：a＝gcos α－μgsin α
(2)小球沿ABC轨道运动，从A到C，由动能定理可得：mv＝mg·2R－2μmg·2Rcos αsin α
解得：vC＝2
(3)设小球沿AC直导轨做自由落体运动，运动时间为t，则有：2R＝gt2
解得：t＝2
轨道均光滑，小球由A到B机械能守恒，设B点的速度为vB，
则有：mg·2R cos2α＝mv
解得：vB＝2 cos α
且依等时圆，tAB＝t，则B到C的时间为：tBC＝t－t＝t＝
以后沿BC直导轨运动的加速度为：a′＝gsin α，
且BC＝2Rsin α
故2Rsin α＝vBtBC＋a′t
代入数据得：tan α＝2.4.
【答案】(1)gcos α－μgsin α (2)2 (3)2.4
15.如图15所示，一物体质量m＝2 kg，在倾角θ＝37°的斜面上的A点以初速度v0＝3 m/s下滑，A点距弹簧上端B的距离AB＝4 m.当物体到达B点后将弹簧压缩到C点，最大压缩量BC＝0.2 m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为D点，D点距A点的距离AD＝3 m.挡板及弹簧质量不计，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数μ；
(2)弹簧的最大弹性势能Epm.
【解析】(1)物体从开始位置A点到最后D点的过程中，弹性势能没有发生变化，动能和重力势能减少，机械能的减少量为ΔE＝ΔEk＋ΔEp＝mv＋mglADsin 37°①
物体克服摩擦力产生的热量为
Q＝Ffx②
其中x为物体的路程，即x＝5.4 m③
Ff＝μmgcos 37°④
由能量守恒定律可得ΔE＝Q⑤
由①②③④⑤式解得μ≈0.52.
