专题十 磁场（原卷版）
考点
要求
考点解读及预测
磁场 磁感应强度 磁感线 磁通量
Ⅰ
1.考查方式
高考对本章内容考查命题频率极高，常以选择题和计算题两种形式出题，选择题一般考查磁场的基础知识和基础规律，一般难度不大；计算题主要是考查安培力、带电粒子在磁场中的运动与力学、电学、能量知识的综合应用，难度较大，较多是高考的压轴题．
2．命题趋势
(1)磁场的基础知识及规律的考查
(2)安培力、洛伦兹力的考查
(3)带电粒子在有界匀强磁场中的临界问题，
通电直导线和通电线圈周围磁场的方向
Ⅰ
安培力
Ⅱ
洛伦兹力
Ⅱ
带电粒子在匀强磁场中的运动
Ⅱ
一、磁场的性质与安培力
1．安培力大小
(1)当I⊥B时，F＝BIL.
(2)当I∥B时，F＝0.
注意：①当导线弯曲时，L是导线两端的有效直线长度(如图8所示)．
图8
②对于任意形状的闭合线圈，其有效长度均为零，所以通电后在匀强磁场中受到的安培力的矢量和为零．
2．安培力方向
用左手定则判断，注意安培力既垂直于B，也垂直于I，即垂直于B与I决定的平面．
3．安培力作用下平衡问题的分析思路
二、判定安培力作用下导体的运动
1．判定导体运动情况的基本思路
判定通电导体在安培力作用下的运动或运动趋势，首先必须弄清楚导体所在位置的磁场磁感线分布情况，然后利用左手定则准确判定导体的受力情况，进而确定导体的运动方向或运动趋势的方向。
2．五种常用判定方法
电流元法
分割为电流元安培力方向―→整段导体所受合力方向―→运动方向
特殊位置法
在特殊位置―→安培力方向―→运动方向
等效法
环形电流??小磁针
条形磁铁??通电螺线管??多个环形电流
结论法
同向电流互相吸引，反向电流互相排斥；两不平行的直线电流相互作用时，有转到平行且电流方向相同的趋势
转换研究对象法
定性分析磁体在电流磁场作用下如何运动或运动趋势的问题，可先分析电流在磁体磁场中所受的安培力，然后由牛顿第三定律，确定磁体所受电流磁场的作用力，从而确定磁体所受合力及运动方向
三、带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1、圆心、半径、时间的确定
基本思路
图例
说明
圆心的确定
①与速度方向垂直的直线过圆心
②弦的垂直平分线过圆心
P、M点速度垂线交点
P点速度垂线与弦的垂直平分线交点
半径的确定
利用平面几何知识求半径
常用解三角形法：例：(左图)R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝
运动时间的确定
利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间
①t＝T
②t＝
(1)速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ
(2)偏转角φ与弦切角α的关系：φ<180°时，φ＝2α；φ>180°时，φ＝360°－2α
2．带电粒子在有界匀强磁场中运动的几种常见情形
直线边界
粒子进出磁场具有对称性
平行边界
粒子运动存在临界条件
圆形边界
粒子沿径向射入的再沿径向射出
四 带电粒子在磁场中运动的多解问题
1. 带电粒子电性不确定
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，当粒子具有相同初速度时，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致多解。如图所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a，若带负电，其轨迹为b。
2. 磁场方向不确定
磁感应强度是矢量，如果题述条件只给出磁感应强度大小，而未说明磁感应强度方向，则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解。如图所示，带正电的粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b。
3. 临界状态不唯一
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°后从入射面边界反向飞出，如图所示，于是形成了多解。
五、“旋转圆”与“放缩圆”问题
1、“旋转圆”：确定的入射点O和速度大小v，不确定速度方向。在垂直于纸面的无限大的磁感应强度为B的匀强磁场中，在O点有一粒子源在纸面内，朝各个方向发射速度大小为v，质量为m，电荷量为＋q的带电粒子(重力不计)，这些带电粒子在匀强磁场中做同方向旋转匀速圆周运动。即将半径不变的圆周轨迹，以粒子的发射点为圆心旋转，各动态圆相交于O点。
2、“放缩圆”：确定入射点O和速度方向，不确定速度大。在垂直于纸面的无限大的磁感应强度为B的匀强磁场中，在O点有一粒子源在纸面内，沿同一方向发射速度为v，质量为m，电荷量为＋q的带电粒子(重力不计)，这些带电粒子在匀强磁场中做同方向旋转匀速圆周运动。即半径不同的圆周轨迹，都以粒子的发射速度方向为切线，各动态圆相交于O点。
一、磁场的性质与安培力
【典例1】．(多选)如图，三根相互平行的固定长直导线L1、L2和L3两两等距，均通有电流I，L1中电流方向与L2中的相同，与L3中的相反。下列说法正确的是( )
A．L1所受磁场作用力的方向与L2、L3所在平面垂直
B．L3所受磁场作用力的方向与L1、L2所在平面垂直
C．L1、L2和L3单位长度所受的磁场作用力大小之比为1∶1∶
D．L1、L2和L3单位长度所受的磁场作用力大小之比为∶∶1
【思路点拔】本题考查安培定则、磁感应强度的叠加等。首先根据安培定则判断各导线在其他位置的磁场方向，再结合矢量的合成法则，即可判断合磁场方向，最后根据左手定则确定导线在该位置所受磁场力的方向。
【解析】由安培定则可判断出L2在L1处产生的磁场(B21)方向垂直L1和L2的连线竖直向上，L3在L1处产生的磁场(B31)方向垂直L1和L3的连线指向右下方，根据磁场叠加原理，L3和L2在L1处产生的合磁场(B合1)方向如图1所示，根据左手定则可判断出L1所受磁场作用力的方向与L2和L3所在平面平行，选项A错误；同理，如图2所示，可判断出L3所受磁场(B合3)作用力的方向(竖直向上)与L1、L2所在平面垂直，选项B正确；同理，如图3所示，设一根长直导线在另一根导线处产生的磁场的磁感应强度大小为B，根据几何知识可知，B合1＝B，B合2＝B，B合3＝B，由安培力公式F＝BIL可知L1、L2和L3单位长度所受的磁场作用力大小之比为1∶1∶，选项C正确，D错误。
【答案】 BC
【规律方法】安培力作用下力学问题的处理方法
二、判定安培力作用下导体的运动
【典例2】．如图8-1-13所示，两平行金属导轨间的距离L＝0.40 m，金属导轨所在的平面与水平面夹角θ＝37°，在导轨所在平面内，分布着磁感应强度B＝0.50 T、方向垂直于导轨所在平面向上的匀强磁场。金属导轨的一端接有电动势E＝4.5 V、内阻r＝0.50 Ω的直流电源。现把一个质量m＝0.040 kg的导体棒ab放在金属导轨上，导体棒恰好静止。导体棒与金属导轨垂直且接触良好，导体棒与金属导轨接触的两点间的电阻R0＝2.5 Ω，金属导轨电阻不计，g取10 m/s2。已知sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80，求：
(1)通过导体棒的电流I；
(2)导体棒受到的安培力F安的大小；
(3)导体棒受到的摩擦力Ff。
【解析】(1)根据闭合电路欧姆定律得
I＝＝1.5 A，方向由b指向a。
(2)导体棒受到的安培力
F安＝BIL＝0.30 N
(3)导体棒受力如图所示，将重力沿平行于导轨平面方向分解，有
F1＝mgsin 37°＝0.24 N
F1＜F安，导体棒静止，根据平衡条件得
mgsin 37°＋Ff＝F安
解得Ff＝0.06 N，方向沿导轨平面向下。
【答案】(1)1.5 A 方向由b指向a (2)0.30 N (3)0.06 N 方向沿导轨平面向下
【规律方法】安培力作用下平衡问题的分析思路
三、带电粒子在匀强磁场中运动的处理方法
【典例3】．如图8-2-12，虚线OL与y轴的夹角θ＝60°，在此角范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子从左侧平行于x轴射入磁场，入射点为M。粒子在磁场中运动的轨道半径为R，粒子离开磁场后的运动轨迹与x轴交于P点(图中未画出)，且OP＝R。不计重力。求M点到O点的距离和粒子在磁场中运动的时间。
图8-2-12
【思路点拔】(1)粒子做圆周运动的圆心是否是O点，若不是，如何确定圆心的位置？
提示：圆心不一定在O点，但一定在y轴上。
(2)粒子从P点射出磁场时，速度朝什么方向？如何计算粒子在磁场中的运动时间？
提示：粒子的速度不一定与OL垂直，需运用几何知识和周期公式等求出其运动时间。
【解析】 根据题意，带电粒子进入磁场后做圆周运动，运动轨迹交虚线OL于A点，圆心为y轴上的C点，AC与y轴的夹角为α；粒子从A点射出后，运动轨迹交x轴于P点，与x轴的夹角为β，如图所示。有
qvB＝m
周期为T＝
由此得T＝
过A点作x、y轴的垂线，垂足分别为B、D。由图中几何关系得
AD＝Rsin α
OD＝
BP＝
OP＝AD＋BP
α＝β
由以上五式和题给条件得sin α＋cos α＝1
解得α＝30° 或α＝90°
设M点到O点的距离为h，h＝R－OC
根据几何关系OC＝CD－OD＝Rcos α－AD
利用以上两式和AD＝Rsin α得
h＝R－ Rcos(α＋30°)
解得 h＝R(α＝30°)
h＝R(α＝90°)
当α＝30°时，粒子在磁场中运动的时间为
t＝＝
当α＝90°时，粒子在磁场中运动的时间为
t＝＝
【答案】 R或R 或
【规律方法】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的程序解题法——三步法
1．画轨迹：即画出轨迹，确定圆心，用几何方法求半径。
2．找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，在磁场中运动的时间与周期相联系。
3．用规律：即用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式。
四 带电粒子在磁场中运动的多解问题
【典例4】． 如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界。现有质量为m，电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值可能是多少
【思路点拔】带电粒子垂直射入匀强磁场时，做匀速圆周运动，速度越大，粒子的轨迹半径越大，当轨迹恰好与边界NN?相切时，粒子恰好不能从边界NN?射出，根据几何知识求轨迹半径，再由牛顿第二定律求解粒子入射速率的最大值。由于题中没有说明带电粒子的电性，要分正负两种情况求解。
【解析】若q为正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN′相切的圆弧，轨道半径：
R＝
又d＝R－
解得v＝(2＋)
若q为负电荷，轨迹如图所示的下方与NN′相切的圆弧，则有：
R′＝
d＝R′＋
解得v′＝(2－)。
【答案】(2＋)(q为正电荷)或(2－)(q为负电荷)
【规律方法】带电粒子在磁场中运动多解问题的三种常见情况
1. 带电粒子电性不确定
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，当粒子具有相同初速度时，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致多解。如图所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a，若带负电，其轨迹为b。
2. 磁场方向不确定
磁感应强度是矢量，如果题述条件只给出磁感应强度大小，而未说明磁感应强度方向，则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解。如图所示，带正电的粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b。
3. 临界状态不唯一
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°后从入射面边界反向飞出，如图所示，于是形成了多解。
五、“旋转圆”与“放缩圆”问题
【典例5】．一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad宽为L，现从ad中点O垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为v0方向与ad边夹角为30°，如图所示。已知粒子的电荷量为q，质量为m（重力不计）。
求(1)若粒子带负电，且恰能从d点射出磁场，求v0的大小；
若粒子带正电，使粒子能从ab边射出磁场，求v0的取值范围以及此范围内粒子在磁场中运动时间t的范围；
【解析】(1)带电粒子在磁场中运动轨迹的边界情况如图中的轨迹Ⅰ、Ⅱ所示。
轨迹Ⅰ与ab边相切于P点，设运动速率为v1，
则有：R1＝，R1＋R1sin 30°＝
解得：v1＝
轨迹Ⅱ与cd边相切Q点，设运动速率为v2，则有：
R2－R2sin 30°＝，R2＝ 解得：v2＝
所以粒子从ab边上射出磁场时的v0满足：
(2)粒子在磁场中运动的最长时间对应轨迹Ⅲ，即粒子从ad边射出时运动时间最长，由对称性得：
t＝T＝·＝。
【答案】(1)【典例6】．如图5，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里，许多质量为m、带电荷量为＋q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域，不计重力，不计粒子间的相互作用，下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R＝，则下列图正确的是( )
图5
【解析】所有粒子的速率相等，由R＝可知所有粒子在磁场中圆周运动半径相同，由图可知，从O点水平向右射入的粒子恰好应为最右端边界，OA＝2r＝2R；随着粒子的速度方向偏转，粒子转动的轨迹圆可认为是以O点为圆心以2R为半径转动，则可得出符合题意的范围应为A.
【答案】A
【规律方法】第一类问题可以叫做“旋转圆”问题，即将半径不变的圆周轨迹，以粒子的发射点为圆心旋转，第二类问题可以叫做“放缩圆”问题，即半径不同的圆周轨迹，都以粒子的发射速度方向为切线。
1、图中a、b、c、d为四根与纸面垂直的长直导线，其横截面位于正方形的四个顶点上，导线中通有大小相同的电流，方向如图所示。一带正电的粒子从正方形中心O点沿垂直于纸面的方向向外运动，它所受洛伦兹力的方向是( )
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
2、如图所示，两平行光滑金属导轨CD、EF间距为L，与电动势为E0的电源相连，质量为m、电阻为R的金属棒ab垂直于导轨放置构成闭合回路，回路平面与水平面成θ角，回路其余电阻不计。为使ab棒静止，需在空间施加的匀强磁场磁感应强度的最小值及其方向分别为( )
A.，水平向右
B.，垂直于回路平面向上
C.，竖直向下
D.，垂直于回路平面向下
3．[多选](2018·肇庆模拟)如图甲所示，电流恒定的通电直导线MN，垂直平放在两条相互平行的水平光滑长导轨上，电流方向由M指向N，在两轨间存在着竖直磁场，取垂直纸面向里的方向为磁感应强度的正方向，当t＝0时导线恰好静止，若B按如图乙所示的余弦规律变化，下列说法正确的是( )
A．在最初的一个周期内，导线在导轨上往复运动
B．在最初的一个周期内，导线一直向左运动
C．在最初的半个周期内，导线的加速度先增大后减小
D．在最初的半个周期内，导线的速度先增大后减小
4、[多选]如图所示，台秤上放一光滑平板，其左边固定一挡板，一轻质弹簧将挡板和一条形磁铁连接起来，此时台秤读数为F1，现在磁铁上方中心偏左位置固定一导体棒，当导体棒中通以方向如图所示的电流后，台秤读数为F2，则以下说法正确的是( )
A．弹簧长度将变长 B．弹簧长度将变短
C．F1>F2 D．F15.(2017·常州市月考)如图所示的圆形区域里匀强磁场方向垂直于纸面向里，有一束速率各不相同的质子自A点沿半径方向射入磁场，则质子射入磁场的运动速率越大( )
A．其轨迹对应的圆心角越大
B．其在磁场区域运动的路程越大
C．其射出磁场区域时速度的偏向角越大
D．其在磁场中的运动时间越长
6.如图所示为一个有界的足够大的匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，一个不计重力的带正电的粒子，以某一速率v垂直磁场方向从O点进入磁场区域，粒子进入磁场时速度方向与磁场边界夹角为θ，下列有关说法正确的是( )
A．若θ一定，v越大，粒子在磁场中运动时间越长
B．粒子在磁场中运动时间与v有关，与θ大小无关
C．粒子在磁场中运动时间与θ有关，与v无关
D．若v一定，θ越大，粒子在磁场中运动时间越长
7.[多选](2018·山东潍坊实验中学检测)如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向垂直飞入横截面是一正方形的匀强磁场区域，下列判断正确的是( )
A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长
B．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大
C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线不一定重合
D．电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同
8. 平面OM和平面ON之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q>0)。粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两平面交点O的距离为( )
A. B. C. D.
9. 如图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B＝2.0×10－3 T，在x轴上距坐标原点L＝0.50 m的P处为离子的入射口，在y轴上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v＝3.5×104 m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L＝0.50 m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m，电量为q，不计其重力。则上述粒子的比荷(C/kg)是( )
A．3.5×107 B．4.9×107 C．5.3×107 D．7×107
[多选]如图所示，纸面内有宽为L水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m，电荷量为－q，速率为v0，不考虑粒子的重力及相互间的作用，要使粒子都汇聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是
( )
11.(2017皖南八校联考)如图所示，PQ和EF为水平放置的平行金属导轨，间距为l=1.0 m，导体棒ab跨放在导轨上，棒的质量为m=20 g，棒的中点用细绳经轻滑轮与物体c相连，物体c的质量M=30 g。在垂直导轨平面方向存在磁感应强度B=0.2 T的匀强磁场，磁场方向竖直向上，重力加速度g取10 m/s2。若导轨是粗糙的，且导体棒与导轨间的最大静摩擦力为导体棒ab重力的0.5倍，若要保持物体c静止不动，应该在棒中通入多大的电流?电流的方向如何?
12、(2018·天水模拟)如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，设垂直纸面向里的磁场方向为正方向。有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响。求：
(1)磁感应强度B0的大小；
(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。
13. 某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图所示。装置的长为L，上下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小均为B、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为d。装置右端有一收集板，M、N、P为板上的三点，M位于轴线OO′上，N、P分别位于下方磁场的上、下边界上。在纸面内，质量为m、电荷量为－q的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，方向与轴线成30°角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达P点。改变粒子入射速度的大小，可以控制粒子到达收集板上的位置。不计粒子的重力。
(1)求磁场区域的宽度h；
(2)欲使粒子到达收集板的位置从P点移到N点，求粒子入射速度的最小变化量Δv；
(3)欲使粒子到达M点，求粒子入射速度大小的可能值。
14.如图所示，在O≤x≤a、O≤y≤范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内。已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的：
(1)速度的大小；
(2)速度方向与y轴正方向夹角的正弦。
专题十 磁场（解析版）
考点
要求
考点解读及预测
磁场 磁感应强度 磁感线 磁通量
Ⅰ
1.考查方式
高考对本章内容考查命题频率极高，常以选择题和计算题两种形式出题，选择题一般考查磁场的基础知识和基础规律，一般难度不大；计算题主要是考查安培力、带电粒子在磁场中的运动与力学、电学、能量知识的综合应用，难度较大，较多是高考的压轴题．
2．命题趋势
(1)磁场的基础知识及规律的考查
(2)安培力、洛伦兹力的考查
(3)带电粒子在有界匀强磁场中的临界问题，
通电直导线和通电线圈周围磁场的方向
Ⅰ
安培力
Ⅱ
洛伦兹力
Ⅱ
带电粒子在匀强磁场中的运动
Ⅱ
一、磁场的性质与安培力
1．安培力大小
(1)当I⊥B时，F＝BIL.
(2)当I∥B时，F＝0.
注意：①当导线弯曲时，L是导线两端的有效直线长度(如图8所示)．
图8
②对于任意形状的闭合线圈，其有效长度均为零，所以通电后在匀强磁场中受到的安培力的矢量和为零．
2．安培力方向
用左手定则判断，注意安培力既垂直于B，也垂直于I，即垂直于B与I决定的平面．
3．安培力作用下平衡问题的分析思路
二、判定安培力作用下导体的运动
1．判定导体运动情况的基本思路
判定通电导体在安培力作用下的运动或运动趋势，首先必须弄清楚导体所在位置的磁场磁感线分布情况，然后利用左手定则准确判定导体的受力情况，进而确定导体的运动方向或运动趋势的方向。
2．五种常用判定方法
电流元法
分割为电流元安培力方向―→整段导体所受合力方向―→运动方向
特殊位置法
在特殊位置―→安培力方向―→运动方向
等效法
环形电流??小磁针
条形磁铁??通电螺线管??多个环形电流
结论法
同向电流互相吸引，反向电流互相排斥；两不平行的直线电流相互作用时，有转到平行且电流方向相同的趋势
转换研究对象法
定性分析磁体在电流磁场作用下如何运动或运动趋势的问题，可先分析电流在磁体磁场中所受的安培力，然后由牛顿第三定律，确定磁体所受电流磁场的作用力，从而确定磁体所受合力及运动方向
三、带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1、圆心、半径、时间的确定
基本思路
图例
说明
圆心的确定
①与速度方向垂直的直线过圆心
②弦的垂直平分线过圆心
P、M点速度垂线交点
P点速度垂线与弦的垂直平分线交点
半径的确定
利用平面几何知识求半径
常用解三角形法：例：(左图)R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝
运动时间的确定
利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间
①t＝T
②t＝
(1)速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ
(2)偏转角φ与弦切角α的关系：φ<180°时，φ＝2α；φ>180°时，φ＝360°－2α
2．带电粒子在有界匀强磁场中运动的几种常见情形
直线边界
粒子进出磁场具有对称性
平行边界
粒子运动存在临界条件
圆形边界
粒子沿径向射入的再沿径向射出
四 带电粒子在磁场中运动的多解问题
1. 带电粒子电性不确定
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，当粒子具有相同初速度时，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致多解。如图所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a，若带负电，其轨迹为b。
2. 磁场方向不确定
磁感应强度是矢量，如果题述条件只给出磁感应强度大小，而未说明磁感应强度方向，则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解。如图所示，带正电的粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b。
3. 临界状态不唯一
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°后从入射面边界反向飞出，如图所示，于是形成了多解。
五、“旋转圆”与“放缩圆”问题
1、“旋转圆”：确定的入射点O和速度大小v，不确定速度方向。在垂直于纸面的无限大的磁感应强度为B的匀强磁场中，在O点有一粒子源在纸面内，朝各个方向发射速度大小为v，质量为m，电荷量为＋q的带电粒子(重力不计)，这些带电粒子在匀强磁场中做同方向旋转匀速圆周运动。即将半径不变的圆周轨迹，以粒子的发射点为圆心旋转，各动态圆相交于O点。
2、“放缩圆”：确定入射点O和速度方向，不确定速度大。在垂直于纸面的无限大的磁感应强度为B的匀强磁场中，在O点有一粒子源在纸面内，沿同一方向发射速度为v，质量为m，电荷量为＋q的带电粒子(重力不计)，这些带电粒子在匀强磁场中做同方向旋转匀速圆周运动。即半径不同的圆周轨迹，都以粒子的发射速度方向为切线，各动态圆相交于O点。
一、磁场的性质与安培力
【典例1】．(多选)如图，三根相互平行的固定长直导线L1、L2和L3两两等距，均通有电流I，L1中电流方向与L2中的相同，与L3中的相反。下列说法正确的是( )
A．L1所受磁场作用力的方向与L2、L3所在平面垂直
B．L3所受磁场作用力的方向与L1、L2所在平面垂直
C．L1、L2和L3单位长度所受的磁场作用力大小之比为1∶1∶
D．L1、L2和L3单位长度所受的磁场作用力大小之比为∶∶1
【思路点拔】本题考查安培定则、磁感应强度的叠加等。首先根据安培定则判断各导线在其他位置的磁场方向，再结合矢量的合成法则，即可判断合磁场方向，最后根据左手定则确定导线在该位置所受磁场力的方向。
【解析】由安培定则可判断出L2在L1处产生的磁场(B21)方向垂直L1和L2的连线竖直向上，L3在L1处产生的磁场(B31)方向垂直L1和L3的连线指向右下方，根据磁场叠加原理，L3和L2在L1处产生的合磁场(B合1)方向如图1所示，根据左手定则可判断出L1所受磁场作用力的方向与L2和L3所在平面平行，选项A错误；同理，如图2所示，可判断出L3所受磁场(B合3)作用力的方向(竖直向上)与L1、L2所在平面垂直，选项B正确；同理，如图3所示，设一根长直导线在另一根导线处产生的磁场的磁感应强度大小为B，根据几何知识可知，B合1＝B，B合2＝B，B合3＝B，由安培力公式F＝BIL可知L1、L2和L3单位长度所受的磁场作用力大小之比为1∶1∶，选项C正确，D错误。
【答案】 BC
【规律方法】安培力作用下力学问题的处理方法
二、判定安培力作用下导体的运动
【典例2】．如图8-1-13所示，两平行金属导轨间的距离L＝0.40 m，金属导轨所在的平面与水平面夹角θ＝37°，在导轨所在平面内，分布着磁感应强度B＝0.50 T、方向垂直于导轨所在平面向上的匀强磁场。金属导轨的一端接有电动势E＝4.5 V、内阻r＝0.50 Ω的直流电源。现把一个质量m＝0.040 kg的导体棒ab放在金属导轨上，导体棒恰好静止。导体棒与金属导轨垂直且接触良好，导体棒与金属导轨接触的两点间的电阻R0＝2.5 Ω，金属导轨电阻不计，g取10 m/s2。已知sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80，求：
(1)通过导体棒的电流I；
(2)导体棒受到的安培力F安的大小；
(3)导体棒受到的摩擦力Ff。
【解析】(1)根据闭合电路欧姆定律得
I＝＝1.5 A，方向由b指向a。
(2)导体棒受到的安培力
F安＝BIL＝0.30 N
(3)导体棒受力如图所示，将重力沿平行于导轨平面方向分解，有
F1＝mgsin 37°＝0.24 N
F1＜F安，导体棒静止，根据平衡条件得
mgsin 37°＋Ff＝F安
解得Ff＝0.06 N，方向沿导轨平面向下。
【答案】(1)1.5 A 方向由b指向a (2)0.30 N (3)0.06 N 方向沿导轨平面向下
【规律方法】安培力作用下平衡问题的分析思路
三、带电粒子在匀强磁场中运动的处理方法
【典例3】．如图8-2-12，虚线OL与y轴的夹角θ＝60°，在此角范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子从左侧平行于x轴射入磁场，入射点为M。粒子在磁场中运动的轨道半径为R，粒子离开磁场后的运动轨迹与x轴交于P点(图中未画出)，且OP＝R。不计重力。求M点到O点的距离和粒子在磁场中运动的时间。
图8-2-12
【思路点拔】(1)粒子做圆周运动的圆心是否是O点，若不是，如何确定圆心的位置？
提示：圆心不一定在O点，但一定在y轴上。
(2)粒子从P点射出磁场时，速度朝什么方向？如何计算粒子在磁场中的运动时间？
提示：粒子的速度不一定与OL垂直，需运用几何知识和周期公式等求出其运动时间。
【解析】 根据题意，带电粒子进入磁场后做圆周运动，运动轨迹交虚线OL于A点，圆心为y轴上的C点，AC与y轴的夹角为α；粒子从A点射出后，运动轨迹交x轴于P点，与x轴的夹角为β，如图所示。有
qvB＝m
周期为T＝
由此得T＝
过A点作x、y轴的垂线，垂足分别为B、D。由图中几何关系得
AD＝Rsin α
OD＝
BP＝
OP＝AD＋BP
α＝β
由以上五式和题给条件得sin α＋cos α＝1
解得α＝30° 或α＝90°
设M点到O点的距离为h，h＝R－OC
根据几何关系OC＝CD－OD＝Rcos α－AD
利用以上两式和AD＝Rsin α得
h＝R－ Rcos(α＋30°)
解得 h＝R(α＝30°)
h＝R(α＝90°)
当α＝30°时，粒子在磁场中运动的时间为
t＝＝
当α＝90°时，粒子在磁场中运动的时间为
t＝＝
【答案】 R或R 或
【规律方法】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的程序解题法——三步法
1．画轨迹：即画出轨迹，确定圆心，用几何方法求半径。
2．找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，在磁场中运动的时间与周期相联系。
3．用规律：即用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式。
四 带电粒子在磁场中运动的多解问题
【典例4】． 如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界。现有质量为m，电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值可能是多少
【思路点拔】带电粒子垂直射入匀强磁场时，做匀速圆周运动，速度越大，粒子的轨迹半径越大，当轨迹恰好与边界NN?相切时，粒子恰好不能从边界NN?射出，根据几何知识求轨迹半径，再由牛顿第二定律求解粒子入射速率的最大值。由于题中没有说明带电粒子的电性，要分正负两种情况求解。
【解析】若q为正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN′相切的圆弧，轨道半径：
R＝
又d＝R－
解得v＝(2＋)
若q为负电荷，轨迹如图所示的下方与NN′相切的圆弧，则有：
R′＝
d＝R′＋
解得v′＝(2－)。
【答案】(2＋)(q为正电荷)或(2－)(q为负电荷)
【规律方法】带电粒子在磁场中运动多解问题的三种常见情况
1. 带电粒子电性不确定
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，当粒子具有相同初速度时，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致多解。如图所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a，若带负电，其轨迹为b。
2. 磁场方向不确定
磁感应强度是矢量，如果题述条件只给出磁感应强度大小，而未说明磁感应强度方向，则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解。如图所示，带正电的粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b。
3. 临界状态不唯一
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°后从入射面边界反向飞出，如图所示，于是形成了多解。
五、“旋转圆”与“放缩圆”问题
【典例5】．一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad宽为L，现从ad中点O垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为v0方向与ad边夹角为30°，如图所示。已知粒子的电荷量为q，质量为m（重力不计）。
求(1)若粒子带负电，且恰能从d点射出磁场，求v0的大小；
若粒子带正电，使粒子能从ab边射出磁场，求v0的取值范围以及此范围内粒子在磁场中运动时间t的范围；
【解析】(1)带电粒子在磁场中运动轨迹的边界情况如图中的轨迹Ⅰ、Ⅱ所示。
轨迹Ⅰ与ab边相切于P点，设运动速率为v1，
则有：R1＝，R1＋R1sin 30°＝
解得：v1＝
轨迹Ⅱ与cd边相切Q点，设运动速率为v2，则有：
R2－R2sin 30°＝，R2＝ 解得：v2＝
所以粒子从ab边上射出磁场时的v0满足：
(2)粒子在磁场中运动的最长时间对应轨迹Ⅲ，即粒子从ad边射出时运动时间最长，由对称性得：
t＝T＝·＝。
【答案】(1)【典例6】．如图5，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里，许多质量为m、带电荷量为＋q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域，不计重力，不计粒子间的相互作用，下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R＝，则下列图正确的是( )
图5
【解析】所有粒子的速率相等，由R＝可知所有粒子在磁场中圆周运动半径相同，由图可知，从O点水平向右射入的粒子恰好应为最右端边界，OA＝2r＝2R；随着粒子的速度方向偏转，粒子转动的轨迹圆可认为是以O点为圆心以2R为半径转动，则可得出符合题意的范围应为A.
【答案】A
【规律方法】第一类问题可以叫做“旋转圆”问题，即将半径不变的圆周轨迹，以粒子的发射点为圆心旋转，第二类问题可以叫做“放缩圆”问题，即半径不同的圆周轨迹，都以粒子的发射速度方向为切线。
1、图中a、b、c、d为四根与纸面垂直的长直导线，其横截面位于正方形的四个顶点上，导线中通有大小相同的电流，方向如图所示。一带正电的粒子从正方形中心O点沿垂直于纸面的方向向外运动，它所受洛伦兹力的方向是( )
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
【解析】带电粒子在磁场中受洛伦兹力，磁场为4根长直导线在O点产生的合磁场，根据安培定则，a在O点产生的磁场方向为水平向左，b在O点产生的磁场方向为竖直向上，c在O点产生的磁场方向为水平向左，d在O点产生的磁场方向竖直向下，所以合磁场方向水平向左。根据左手定则，带正电粒子在合磁场中所受洛伦兹力方向向下，故B正确。
【答案】：B
2、如图所示，两平行光滑金属导轨CD、EF间距为L，与电动势为E0的电源相连，质量为m、电阻为R的金属棒ab垂直于导轨放置构成闭合回路，回路平面与水平面成θ角，回路其余电阻不计。为使ab棒静止，需在空间施加的匀强磁场磁感应强度的最小值及其方向分别为( )
A.，水平向右
B.，垂直于回路平面向上
C.，竖直向下
D.，垂直于回路平面向下
【解析】对金属棒受力分析，受重力、支持力和安培力，如图所示；从图可以看出，当安培力沿斜面向上时，安培力最小，故安培力的最小值为：FA＝mgsin θ，故磁感应强度的最小值为B＝＝，根据欧姆定律，有E0＝IR，故B＝，故D正确。
【答案】D
3．[多选](2018·肇庆模拟)如图甲所示，电流恒定的通电直导线MN，垂直平放在两条相互平行的水平光滑长导轨上，电流方向由M指向N，在两轨间存在着竖直磁场，取垂直纸面向里的方向为磁感应强度的正方向，当t＝0时导线恰好静止，若B按如图乙所示的余弦规律变化，下列说法正确的是( )
A．在最初的一个周期内，导线在导轨上往复运动
B．在最初的一个周期内，导线一直向左运动
C．在最初的半个周期内，导线的加速度先增大后减小
D．在最初的半个周期内，导线的速度先增大后减小
【解析】当t＝0时，由左手定则可知，MN受到向右的作用力，根据F安＝BLI，由于B最大，故此时的安培力最大，则MN的加速度最大，随着时间的延长，磁感应强度B减小，故加速度减小，而MN的速度在增大，当B＝0时，加速度为0，速度最大，当B反向时，安培力也会反向，则加速度也反向，MN做减速运动，到半个周期时，MN减速到0，此时的加速度反向最大，然后MN再反向运动，到一个周期时MN又回到原出发的位置，故在最初的一个周期内，导线在导轨上往复运动，选项A正确，B错误；在最初的半个周期内，导线的加速度先减小后增大，而其速度则是先增大后减小，故选项C错误，D正确。
【答案】AD
4、[多选]如图所示，台秤上放一光滑平板，其左边固定一挡板，一轻质弹簧将挡板和一条形磁铁连接起来，此时台秤读数为F1，现在磁铁上方中心偏左位置固定一导体棒，当导体棒中通以方向如图所示的电流后，台秤读数为F2，则以下说法正确的是( )
A．弹簧长度将变长 B．弹簧长度将变短
C．F1>F2 D．F1【解析】如图甲所示，导体棒处的磁场方向指向右上方，根据左手定则可知，导体棒受到的安培力方向垂直于磁场方向指向右下方，根据牛顿第三定律，对条形磁铁受力分析，如图乙所示，所以FN1>FN2，即台秤示数F1>F2，在水平方向上，由于F′有向左的分力，磁铁压缩弹簧，所以弹簧长度变短。
【答案】选BC
5.(2017·常州市月考)如图所示的圆形区域里匀强磁场方向垂直于纸面向里，有一束速率各不相同的质子自A点沿半径方向射入磁场，则质子射入磁场的运动速率越大( )
A．其轨迹对应的圆心角越大
B．其在磁场区域运动的路程越大
C．其射出磁场区域时速度的偏向角越大
D．其在磁场中的运动时间越长
【解析】设磁场区域半径为R，质子轨迹圆心角为α，轨迹如图所示。质子在磁场中运动的时间为t＝，轨迹半径r＝Rcot，而r＝，质子速率v越大，则r越大，故α越小，t越小，故A、C、D错误；质子运动的轨迹为s＝rα＝α，r增大的比α减小的快，故速率越大，其在磁场区域运动的路程越大，故B正确。
【答案】B
6.如图所示为一个有界的足够大的匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，一个不计重力的带正电的粒子，以某一速率v垂直磁场方向从O点进入磁场区域，粒子进入磁场时速度方向与磁场边界夹角为θ，下列有关说法正确的是( )
A．若θ一定，v越大，粒子在磁场中运动时间越长
B．粒子在磁场中运动时间与v有关，与θ大小无关
C．粒子在磁场中运动时间与θ有关，与v无关
D．若v一定，θ越大，粒子在磁场中运动时间越长
【解析】粒子在磁场中的运动轨迹如图，由几何知识知，粒子离开磁场时转过的圆心角一定为2π－2θ，在A、B、C选项中，若θ一定，则有：t＝·＝·，可见粒子在磁场中运动的时间与v无关，与θ有关，故A、B错误，C正确；由上式可知若v一定，θ越大，粒子在磁场中运动的时间越短，D错误。
【答案】C
7.[多选](2018·山东潍坊实验中学检测)如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向垂直飞入横截面是一正方形的匀强磁场区域，下列判断正确的是( )
A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长
B．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大
C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线不一定重合
D．电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同
【解析】由t＝T知，电子在磁场中运动时间与轨迹对应的圆心角成正比，所以电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹线所对应的圆心角θ越大，电子飞入匀强磁场中做匀速圆周运动，由半径公式r＝知，轨迹半径与速率成正比，则电子的速率越大，在磁场中的运动轨迹半径越大，故A错误，B正确。由周期公式T＝知，周期与电子的速率无关，所以在磁场中的运动周期相同，若它们在磁场中运动时间相同，但轨迹不一定重合，比如：轨迹4与5，它们的运动时间相同，但它们的轨迹对应的半径不同，即它们的速率不同，故C正确，D错误。
【答案】BC
8. 平面OM和平面ON之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q>0)。粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两平面交点O的距离为( )
A. B. C. D.
【解析】如图所示，粒子在磁场中运动的轨道半径为R＝。设入射点为A，出射点为B，圆弧与ON的交点为P。由粒子运动的对称性及粒子的入射方向知，AB＝R。由几何图形知，AP＝ R，则AO＝ AP＝3R，所以OB＝4R＝。故选项D正确。
【答案】：D
9. 如图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B＝2.0×10－3 T，在x轴上距坐标原点L＝0.50 m的P处为离子的入射口，在y轴上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v＝3.5×104 m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L＝0.50 m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m，电量为q，不计其重力。则上述粒子的比荷(C/kg)是( )
A．3.5×107 B．4.9×107 C．5.3×107 D．7×107
【解析】设粒子在磁场中的运动半径为r，画出粒子的轨迹图如图所示。依题意MP连线即为该粒子在磁场中做匀速圆周运动的直径，由几何关系得r＝L，由洛伦兹力提供粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力，可得qvB＝，联立解得≈4.9×107 C/kg，故选项B正确。
【答案】：B
[多选]如图所示，纸面内有宽为L水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m，电荷量为－q，速率为v0，不考虑粒子的重力及相互间的作用，要使粒子都汇聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是
( )
【解析】由于带电粒子流的速度均相同，则当飞入A、C选项中的磁场时，它们的轨迹对应的半径均相同。B、D选项因为磁场是2B0，粒子在其中运动半径是在A、C中运动半径的一半。然而当粒子射入C、D两选项时，均不可能汇聚于同一点。所以只有A、B选项能汇聚于一点。
【答案】AB
11.(2017皖南八校联考)如图所示，PQ和EF为水平放置的平行金属导轨，间距为l=1.0 m，导体棒ab跨放在导轨上，棒的质量为m=20 g，棒的中点用细绳经轻滑轮与物体c相连，物体c的质量M=30 g。在垂直导轨平面方向存在磁感应强度B=0.2 T的匀强磁场，磁场方向竖直向上，重力加速度g取10 m/s2。若导轨是粗糙的，且导体棒与导轨间的最大静摩擦力为导体棒ab重力的0.5倍，若要保持物体c静止不动，应该在棒中通入多大的电流?电流的方向如何?
【解析】因导轨粗糙，设棒和导轨之间的最大静摩擦力为Ff。若BIl>Mg，则棒所受静摩擦力的方向与细绳的拉力方向相同，设此时电流为I1，即有：BI1l－Mg≤Ff=0.5mg
解得：
若BIlMg-BI2l≤Ff=0.5mg
解得：
即ab棒中的电流为1.0 A≤I≤2.0 A。
根据左手定则判断，棒中的电流方向应该由a到b。
【答案】1.0 A≤I≤2.0 A 电流方向应该由a到b
12、(2018·天水模拟)如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，设垂直纸面向里的磁场方向为正方向。有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响。求：
(1)磁感应强度B0的大小；
(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。
【解析】(1)正离子射入磁场，由洛伦兹力提供向心力，
即qv0B0＝，做匀速圆周运动的周期T0＝
联立两式得磁感应强度B0＝。
(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，离子的运动轨迹如图所示，两板之间正离子只运动一个周期即T0时，有r＝
当在两板之间正离子共运动n个周期，即nT0时，有r＝(n＝1,2,3…)
联立求解，得正离子的速度的可能值为
v0＝＝(n＝1,2,3，…)。
【答案】(1) (2)(n＝1,2,3，…)
13. 某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图所示。装置的长为L，上下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小均为B、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为d。装置右端有一收集板，M、N、P为板上的三点，M位于轴线OO′上，N、P分别位于下方磁场的上、下边界上。在纸面内，质量为m、电荷量为－q的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，方向与轴线成30°角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达P点。改变粒子入射速度的大小，可以控制粒子到达收集板上的位置。不计粒子的重力。
(1)求磁场区域的宽度h；
(2)欲使粒子到达收集板的位置从P点移到N点，求粒子入射速度的最小变化量Δv；
(3)欲使粒子到达M点，求粒子入射速度大小的可能值。
【解析】(1)设粒子在磁场中的轨迹半径为r，粒子运动轨迹如图
根据题意L＝3rsin 30°＋3dcos 30°
且h＝r(1－cos 30°)
解得h＝(L－d)(1－)
(2)设改变入射速度后粒子在磁场中的轨道半径为r′
m＝qvB，m＝qv′B
由题意知3rsin 30°＝4r′sin 30°
解得Δv＝v－v′＝(－d)
(3)设粒子经过上方磁场n次，由题意知L＝(2n＋2)dcos 30°＋(2n＋2)rnsin 30°
且m＝qvnB解得vn＝(－d)(1≤n＜－1，n取整数)
【答案】vn＝(－d)(1≤n＜－1，n取整数)
14.如图所示，在O≤x≤a、O≤y≤范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内。已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的：
(1)速度的大小；
(2)速度方向与y轴正方向夹角的正弦。
【解析】(1)设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律和洛伦兹力公式，
得qvB＝m①
由①得R＝②
可知半径R为定值。因为粒子速度方向不确定，所以粒子可能的运动轨迹为图虚线所示过O点的一系列动态圆。当得∠OCA＝③
