专题十一 带电粒子在复合场中的运动（原卷版）
考点
要求
考点解读及预测
质谱仪和回旋加速器的工作原理
Ⅰ
1.考查方式
(1)带电粒子在有界匀强磁场中的临界问题，在组合场、复合场中的运动问题
(2)磁场与现代科学知识的综合应用
带电粒子在复合场中的运动
Ⅱ
一、带电粒子在复合场、组合场中的运动
1．复合场与组合场
(1)复合场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。
(2)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场分时间段或分区域交替出现。
2．分析思路
(1)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理．
(2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键．
(3)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题．
3．带电粒子在复合场、组合场中的常见运动
1）、当带电粒子在复合场中所受合力为零时，将处于静止状态或匀速直线运动状态
2）、当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动
3）、当带电粒子所受合力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线
4）、带电粒子可能依次通过几个情况不同的组合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成
二、带电粒子在复合场中运动的应用实例
装置
原理图
规律
质
谱
仪
粒子由静止被加速电场加速mv2＝qU，粒子在磁场中做匀速圆周运动qvB＝，则比荷＝
回旋加
速器
交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子在圆周运动过程中每次经过D形盒缝隙都会被加速。由qvB＝得Ekm＝
速度选
择器
若qv0B＝Eq，即v0＝，粒子做匀速直线运动
磁流体
发电机
等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电，两极电压为U时稳定，q＝qv0B，U＝Bdv0
霍尔
效应
当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差
三、基本构架
一、“磁偏转”和“电偏转”的区别
电偏转
磁偏转
偏转条件
带电粒子以v⊥E进入匀强电场
带电粒子以v⊥B进入匀强磁场
受力
FE＝qE，FE大小、方向不变，为恒力
FB＝qv0B大小不变，方向总指向圆心，方向变化，FB为变力
运动轨迹
抛物线
圆弧
物理规律
类平抛知识、牛顿第二定律
牛顿第二定律、向心力公式
运动规律
类平抛运动vx＝v0，
vy＝t，x＝v0t，
y＝t2
匀速圆周运动
r＝，T＝
运动时间
t＝
t＝T＝
做功情况
电场力既改变速度方向，也改变速度的大小，对电荷要做功
洛伦兹力只改变速度方向，不改变速度的大小，对电荷永不做功
物理图象
二、带电粒子在叠加场中的运动
1．三种场的比较
力的特点
功和能的特点
重力场
大小：G＝mg
方向：竖直向下
重力做功与路径无关
重力做功改变物体的重力势能
电场
大小：F＝qE
方向：正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反
电场力做功与路径无关
W＝qU
电场力做功改变电势能
磁场
大小：F＝qvB(v⊥B)
方向：可用左手定则判断
洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能
1）．是否考虑粒子重力
(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与静电力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。
(2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的，按题目要求处理。
(3)不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定是否要考虑重力。
2）．带电粒子在复合场中运动的三种情况
(1)当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时，根据受力平衡列方程求解。
(2)当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，应用牛顿定律结合圆周运动规律求解。
(3)当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。
一、带电粒子在复合场中运动的应用实例
【典例1】．如图所示是选择密度相同、大小不同的纳米粒子的一种装置。待选粒子带正电且电荷量与其表面积成正比，待选粒子从O1进入小孔时可认为速度为零，加速电场区域Ⅰ的板间电压为U，粒子通过小孔O2射入正交的匀强电场和匀强磁场区域Ⅱ，其中匀强磁场的磁感应强度大小为B，左右两极板间距为d，区域Ⅱ的出口小孔O3与O1、O2在同一竖直线上，若半径为r0、质量为m0、电荷量为q0的纳米粒子刚好能沿该直线通过，不计纳米粒子重力，则( )
A．区域Ⅱ的电场的场强大小与磁场的磁感应强度大小比值为
B．区域Ⅱ左右两极板的电势差U1＝Bd
C．若密度相同的纳米粒子的半径r＞r0，则它进入区域Ⅱ时仍将沿直线通过
D．若密度相同的纳米粒子的半径r＞r0，它进入区域Ⅱ时仍沿直线通过，则区域Ⅱ的电场强度与原电场强度之比为
【思路点拔】粒子由静止被加速电场加速mv2＝qU，粒子在磁场中做匀速圆周运动qvB＝，则比荷＝考查质谱仪问题。
【解析】设半径为r0的粒子加速后的速度为v，则有q0U＝m0v2，设区域Ⅱ内电场强度为E，由题意可知洛伦兹力等于电场力，即q0vB＝q0E，联立解得E＝B，则＝，区域Ⅱ左右两极板的电势差为Ed＝Bd，故A正确，B错误；若纳米粒子的半径r＞r0，设半径为r的粒子的质量为m、带电荷量为q、加速后的速度为v′，则m＝3m0，而q＝2q0，由mv′2＝qU，解得v′＝ ＝ v＜v，故粒子进入区域Ⅱ后受到的洛伦兹力变小，粒子向左偏转，故C错误；由于v′＝ v，由E＝Bv可得，区域Ⅱ的电场与原电场的电场强度之比为 ，故D正确。
【答案】AD
【规律方法】：搞清各种应用实例的原理是解决此类问题的关键。
二、带电粒子在复合场中的直线运动和圆周运动
【典例2】．(2016·天津高考)如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E＝5 N/C，同时存在着水平方向的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小B＝0.5 T。有一带正电的小球，质量m＝1×10－6 kg，电荷量q＝2×10－6 C，正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动，当经过P点时撤
掉磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象)，取g＝10 m/s2。求：
(1)小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向；
(2)从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t。
【思路点拔】解答本题时应从以下两点进行分析：
(1)小球做匀速直线运动时受到重力、电场力和洛伦兹力的作用，这三个力的合力为零。
(2)撤去磁场后小球做类平抛运动。
【解析】 (1)小球匀速直线运动时受力如图，其所受的三个力在同一平面内，合力为零，有qvB＝①
代入数据解得
v＝20 m/s②
速度v的方向与电场E的方向之间的夹角θ满足
tan θ＝③
代入数据解得
tan θ＝
θ＝60°。④
(2)撤去磁场，小球在重力与电场力的合力作用下做类平抛运动，设其加速度为a，有
a＝⑤
设撤掉磁场后小球在初速度方向上的分位移为x，有
x＝vt⑥
设小球在重力与电场力的合力方向上分位移为y，有
y＝at2⑦
a与mg的夹角和v与E的夹角相同，均为θ，又
tan θ＝⑧
联立④⑤⑥⑦⑧式，代入数据解得
t＝2 s≈3.5 s。⑨
【答案】(1)20 m/s，方向与电场方向成60°角斜向上(2)3.5 s
【规律方法】撤去磁场后，由于电场力垂直于竖直方向，它对竖直方向的分运动没有影响，以P点为坐标原点，竖直向上为正方向，小球在竖直方向上做匀减速运动，其初速度为
vy＝vsin θ
若使小球再次穿过P点所在的电场线，仅需小球的竖直方向上分位移为零，则有
vyt－gt2＝0
联立⑤⑥式，代入数据解得
t＝2 s≈3.5 s。
【典例3】．[多选]如图8-3-4所示，已知一带电小球在光滑绝缘的水平面上从静止开始经电压U加速后，水平进入互相垂直的匀强电场E和匀强磁场B的复合场中(E和B已知)，小球在此空间的竖直面内做匀速圆周运动，则( )
A．小球可能带正电
B．小球做匀速圆周运动的半径为r＝
C．小球做匀速圆周运动的周期为T＝
D．若电压U增大，则小球做匀速圆周运动的周期增加
【解析】小球在复合场中做匀速圆周运动，则小球受到的电场力和重力满足mg＝Eq，则小球带负电，A错误；因为小球做圆周运动的向心力为洛伦兹力，由牛顿第二定律和动能定理可得Bqv＝，Uq＝mv2，联立以上三式可得小球做匀速圆周运动的半径r＝ ，由T＝可以得出T＝，与电压U无关，B、C正确，D错误。
【答案】BC
三、带电粒子在组合场、叠加场、交变场中的运动
1、带电粒子在组合场中的运动
【典例4】．如图8-3-7所示，在坐标系xOy的第一、第三象限内存在相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里；第四象限内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。一带电荷量为＋q、质量为m的粒子，自y轴的P点沿x轴正方向射入第四象限，经x轴上的Q点进入第一象限，随即撤去电场。以后仅保留磁场。已知OP＝d，OQ＝2d，不计粒子重力。
(1)求粒子过Q点时速度的大小和方向。
(2)若磁感应强度的大小为一确定值B0，粒子将以垂直y轴的方向进入第二象限，求B0；
(3)若磁感应强度的大小为另一确定值，经过一段时间后粒子将再次经过Q点，且速度与第一次过Q点时相同，求该粒子相邻两次经过Q点所用的时间。
【思路点拔】(1)电场撤去前后粒子在第四象限做什么运动？
提示：撤去电场前粒子在第四象限做类平抛运动，撤去电场后做匀速直线运动。
(2)粒子在第一象限做什么运动？提示：粒子在磁场中做匀速圆周运动。
【解析】 粒子在电场中做类平抛运动，设粒子在电场中运动的时间为t0，加速度的大小为a，粒子的初速度为v0，过Q点时速度的大小为v，沿y轴方向分速度的大小为vy，速度与x轴正方向的夹角为θ，由牛顿第二定律得qE＝ma①
由运动学公式得d＝at②
2d＝v0t0③
vy＝at0④
v＝⑤
tan θ＝⑥
联立①②③④⑤⑥式得v＝2 ⑦
θ＝45°⑧
(2)设粒子做圆周运动的半径为R1，粒子在第一象限的运动轨迹如图甲所示，O1为圆心，由几何关系可知△QOO1为等腰直角三角形，得
R1＝2d⑨
由牛顿第二定律得
qvB0＝m⑩
联立⑦⑨⑩得B0＝ ?
(3)设粒子做圆周运动的半径为R2，由几何关系知粒子运动的轨迹如图乙所示，O2、O′2是粒子做圆周运动的圆心，Q、F、G、H是轨迹与坐标轴的交点，连接O2、O′2，由几何关系知，O2FGO′2和O2QHO′2均为矩形。由此知FQ、GH均为直径，QFGH也是矩形，又FH⊥GQ，可知QFGH为正方形，△QFO为等腰直角三角形，可知，粒子在第一、第三象限的轨迹均为半圆，得
2R2＝2d?
粒子在第二、第四象限的轨迹是长度相等的线段，得
FG＝HQ＝2R2?
设粒子相邻两次经过Q点所用的时间为t，
则有t＝?
联立⑦???式得
t＝(2＋π) ?
【答案】 (1)2 方向与x轴正方向成45°角斜向上 (2) (3)(2＋π)
【规律方法】
2、带电粒子在叠加场中的运动
【典例5】．如图8-3-9所示，两块水平放置、相距为d的长金属板接在电压可调的电源上。两板之间的右侧区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。将喷墨打印机的喷口靠近上板下表面，从喷口连续不断喷出质量均为m、水平速度均为v0、带相等电荷量的墨滴。调节电源电压至U，墨滴在电场区域恰能沿水平向右做匀速直线运动；进入电场、磁场共存区域后，最终垂直打在下板的M点。
(1)判断墨滴所带电荷的种类，并求其电荷量；
(2)求磁感应强度B的值；
(3)现保持喷口方向不变，使其竖直下移到两板中间的位置。为了使墨滴仍能到达下板M点，应将磁感应强度调至B′，则B′的大小为多少？
【思路点拔】(1)墨滴在电场区域做匀速直线运动，故受力平衡。
(2)墨滴在板间右侧区域做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力。
【解析】(1)墨滴在电场区域做匀速直线运动，有
q＝mg①
由①式得q＝②
由于电场方向向下，电荷所受静电力向上，可知墨滴带负电荷。
(2)墨滴垂直进入电、磁场共存区域，重力仍与静电力平衡，合力等于洛伦兹力，墨滴做匀速圆周运动，
有qv0B＝m③
考虑墨滴进入磁场和撞板的几何关系，可知墨滴在该区域恰完成四分之一圆周运动，则半径R＝d④
由②③④式得B＝⑤
(3)根据题设，墨滴运动轨迹如图所示，设圆周运动半径为R′，
有qv0B′＝m⑥
由图示可得R′2＝d2＋2⑦
解得R′＝d⑧
联立②⑥⑧式可得 B′＝
【答案】 (1)负电荷 (2) (3)
【规律方法】带电粒子在复合场中运动的分析方法
3、带电粒子在交变场中的周期性运动
【典例6】．如图所示，竖直平面(纸面)内，Ⅰ、Ⅱ区域有垂直于纸面、方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两磁场边界平行，与水平方向夹角为45°，两磁场间紧靠边界放置长为L，间距为d的平行金属板MN、PQ，磁场边界上的O点与PQ板在同一水平面上，直线O1O2到两平行板MN、PQ的距离相等，两板间存在如图乙所示的交变电场(取竖直向下为正方向)。质量为m、电量为＋q的粒子，t0时刻从O点沿垂直于OP竖直向上射入磁场，t＝时刻沿水平方向从点O1进入电场，并从O2点离开电场，不计粒子重力，求：
(1)粒子的初速度v0；
(2)粒子从点O进入Ⅰ磁场到射出Ⅱ磁场运动的总时间；
(3)若将粒子的速度提高一倍，仍从t0时刻由点O竖直向上射入，且交变电场的周期为T＝，要使粒子能够穿出电场，则电场强度大小E0满足的条件。
【思路点拔】
【解析】(1)粒子的运动轨迹如图中Oa所示，则r＝①
由牛顿第二定律得qv0B＝m②
解得v0＝
(2)粒子在磁场中的运动时间t1＝2×＝③
在电场中的运动时间t2＝＝④
两段电磁场外的时间t3＝＝⑤
总时间为t＝t1＋t2＋t3⑥
解得t＝
(3)粒子速度提高前后，两次在磁场Ⅰ中的运动时间相同，所以第二次进入电场时比第一次提前
Δt＝＝＝⑦
所以，粒子第二次是在t＝0时刻进入的电场。
第一次在电场中的轨迹如图甲所示。
设经过n个周期性的运动穿出电场，则
t＝＝nT⑧
解得n＝
设粒子第二次通过电场的时间为t′，则t′＝T⑨
粒子第二次在电场中的轨迹如图乙所示。
半个周期内的侧位移
y0＝·2⑩
要使粒子能够穿出电场，则ny0＜d
联立解得E0＜
【答案】(1) (2) (3)E＜
【规律方法】分析带电粒子在复合场中的运动的注意事项
(1)准确划分带电粒子运动过程中的不同运动阶段、不同运动形式，以及不同运动阶段、不同运动形式之间的转折点和临界点，只有明确粒子在某一阶段的运动形式后，才能确定解题所用到的物理规律。
(2)分析带电粒子在交变电场或磁场中的运动轨迹时，还要注意对称性的灵活应用。
四、组合场在科技中的应用
【典例6】． (2018·全国卷Ⅲ，24)如图8，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U加速后在纸面内水平向右运动，自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直。已知甲种离子射入磁场的速度大小为v1，并在磁场边界的N点射出；乙种离子在MN的中点射出；MN长为l。不计重力影响和离子间的相互作用。求
(1)磁场的磁感应强度大小；
(2)甲、乙两种离子的比荷之比。
【解析】 (1)设甲种离子所带电荷量为q1、质量为m1，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R1，磁场的磁感应强度大小为B，由动能定理有
q1U＝m1v①
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有q1v1B＝m1②
由几何关系知2R1＝l③
由①②③式得B＝④
(2)设乙种离子所带电荷量为q2、质量为m2，射入磁场的速度为v2，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R2。同理有
q2U＝m2v⑤
q2v2B＝m2⑥
由题给条件有2R2＝⑦
由①②③⑤⑥⑦式得，甲、乙两种离子的比荷之比为
∶＝1∶4⑧
【答案】(1) (2)1∶4
一、选择题(1～3题为单项选择题，4～6题为多项选择题)
1.质量为m的带电小球在正交的匀强电场、匀强磁场中做匀速圆周运动，轨道平面在竖直平面内，电场方向竖直向下，磁场方向垂直圆周所在平面向里，如图1所示，由此可知( )
A.小球带正电，沿顺时针方向运动
B.小球带负电，沿顺时针方向运动
C.小球带正电，沿逆时针方向运动
D.小球带负电，沿逆时针方向运动
2.为了通过实验研究PM2.5的相关性质，让一带电的PM2.5颗粒(重力不计)，垂直射入正交的匀强电场和匀强磁场区域，如图2所示，其中M、N为正对的平行带电金属板，观察发现它恰好做直线运动，则下列判断正确的是( )
A.M板一定带正电
B.PM2.5颗粒一定带正电
C.若仅使PM2.5颗粒的电荷量增大，颗粒一定向M板偏移
D.若仅使PM2.5颗粒的速度增大，颗粒一定向N板偏移
3.(2018·太原二模)质谱仪是一种测定带电粒子比荷和分析同位素的重要工具。图3中的铅盒A中的放射源放出大量的带正电粒子(可认为初速度为零)，从狭缝S1进入电压为U的加速电场区加速后，再通过狭缝S2从小孔G垂直于MN射入偏转磁场，该偏转磁场是以直线MN为切线、磁感应强度为B，方向垂直于纸面向外半径为R的圆形匀强磁场。现在MN上的F点(图中未画出)接收到该粒子，且GF＝R。则该粒子的比荷为(粒子的重力忽略不计)( )
A. B.
C. D.
4．如图所示，沿直线通过速度选择器的正离子从狭缝S射入磁感应强度为B2的匀强磁场中，偏转后出现的轨迹半径之比为R1∶R2＝1∶2，则下列说法正确的是( )
A．离子的速度之比为1∶2
B．离子的电荷量之比为1∶2
C．离子的质量之比为1∶2
D．以上说法都不对
5.如图所示，质量为m的带电滑块，沿绝缘斜面匀速下滑。当带电滑块滑到有着理想边界的、方向竖直向下的匀强电场区域时，滑块的运动状态为(静电力小于重力)( )
A．将减速下滑
B．将加速下滑
C．将断续匀速下滑
D．上述三种情况都有可能发生
6．如图所示，在xOy直角坐标系中，第Ⅰ象限内分布着方向垂直纸面向里的匀强磁场，第Ⅱ象限内分布着沿y轴负方向的匀强电场。初速度为零、带电荷量为q、质量为m的粒子经过电压为U的电场加速后，从x轴上的A点垂直x轴进入磁场区域，重力不计，经磁场偏转后过y轴上的P点且垂直于y轴进入电场区域，在电场中偏转并击中x轴上的C点。已知OA＝OC＝d。则磁感应强度B和电场强度E可表示为( )
A．B＝，E＝ B．B＝，E＝
C．B＝，E＝ D．B＝，E＝
二、多项选择题
7．(2015·江苏高考)一带正电的小球向右水平抛入范围足够大的匀强电场，电场方向水平向左。不计空气阻力，则小球( )
A．做直线运动 B．做曲线运动
C．速率先减小后增大 D．速率先增大后减小
8.(2018·东营三模)如图4所示，在真空中半径为r＝0.1 m的圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场及水平向左的匀强电场，磁感应强度B＝0.01 T，ab和cd是两条相互垂直的直径，一束带正电的粒子流连续不断地以速度v＝1×103 m/s从c点沿cd方向射入场区，粒子将沿cd方向做直线运动，如果仅撤去磁场，带电粒子经过a点，如果撤去电场，使磁感应强度变为原来的，不计粒子重力，下列说法正确的是( )
A.电场强度的大小为10 N/C
B.带电粒子的比荷为1×106 C/kg
C.撤去电场后，带电粒子在磁场中运动的半径为0.1 m
D.带电粒子在磁场中运动的时间为7.85×10－5 s
9.(2018·河南洛阳高三质检)如图6所示，带等量异种电荷的平行金属板a、b处于匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。不计重力的带电粒子沿OO′方向从左侧垂直于电磁场入射，从右侧射出a、b板间区域时动能比入射时小。要使粒子射出a、b板间区域时的动能比入射时大，可采用的措施是( )
A.适当减小两金属板的正对面积
B.适当增大两金属板的距离
C.适当减小匀强磁场的磁感应强度
D.使带电粒子的电性相反
10.(2018·山东泰安模拟)绝缘光滑斜面与水平面成α角，一质量为m、电荷量为－q的小球从斜面上高h处，以初速度为v0、方向与斜面底边MN平行射入，如图5所示。整个装置处在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向平行于斜面向上。已知斜面足够大，小球能够沿斜面到达底边MN。则下列判断正确的是( )
A.小球在斜面上做匀变速曲线运动
B.小球到达底边MN的时间t＝
C.匀强磁场磁感应强度的取值范围是B≤
D.匀强磁场磁感应强度的取值范围为B≤sin α
三计算题
11．如图所示，将一金属或半导体薄片垂直置于磁场中，并沿垂直磁场方向通入电流，则在导体中垂直于电流和磁场方向会产生一个电势差，这一现象称为霍尔效应，此电势差称为霍尔电势差。
(1)某长方体薄片霍尔元件，其中导电的是自由电子，薄片处在与其上表面垂直的匀强磁场中，在薄片的两个侧面a、b间通以如图所示的电流时，另外两侧面c、d间产生霍尔电势差UH，请判断图中c、d哪端的电势高；
(2)可以将(1)中的材料制成厚度为h、宽度为L的微小探头，测量磁感应强度，将探头放入磁感应强度为B0的匀强磁场中，a、b间通以大小为I的电流，测出霍尔电势差UH，再将探头放入待测磁场中，保持I变，测出霍尔电势差U′H，利用上述条件，求：此霍尔元件单位体积内自由电子的个数n(已知电子电荷量为e)；待测磁场的磁感应强度Bx和B0之间的关系式；
(3)对于特定的半导体材料，其单位体积内的载流子数目n和载流子所带电荷量q均为定值。在具体应用中，有UH＝KHIB，式中的KH称为霍尔元件灵敏度，一般要求KH越大越好，试通过计算说明为什么霍尔元件一般都做得很薄。
12、如图，绝缘粗糙的竖直平面MN左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，电场强度大小为E，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电的小滑块从A点由静止开始沿MN下滑，到达C点时离开MN做曲线运动。A、C两点间距离为h，重力加速度为g。
(1)求小滑块运动到C点时的速度大小vC；
(2)求小滑块从A点运动到C点过程中克服摩擦力做的功Wf；
(3)若D点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置，当小滑块运动到D点时撤去磁场，此后小滑块继续运动到水平地面上的P点。已知小滑块在D点时的速度大小为vD，从D点运动到P点的时间为t，求小滑块运动到P点时速度的大小vP。
13、如图所示，足够大的平行挡板A1、A2竖直放置，间距6L。两板间存在两个方向相反的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，以水平面MN为理想分界面，Ⅰ区的磁感应强度为B0，方向垂直纸面向外。A1、A2上各有位置正对的小孔S1、S2，两孔与分界面MN的距离均为L。质量为m、电荷量为＋q的粒子经宽度为d的匀强电场由静止加速后，沿水平方向从S1进入Ⅰ区，并直接偏转到MN上的P点，再进入Ⅱ区，P点与A1板的距离是L的k倍，不计重力，碰到挡板的粒子不予考虑。
(1)若k＝1，求匀强电场的电场强度E；
(2)若214、如图所示，在xOy平面内，以O1(0，R)为圆心、R为半径的圆形区域内有垂直平面向里的匀强磁场B1，x轴下方有一直线ab，ab与x轴相距为d，x轴与直线ab间区域有平行于y轴的匀强电场E，在ab的下方有一平行于x轴的感光板MN，ab与MN间区域有垂直于纸平面向外的匀强磁场B2。在0≤y≤2R的区域内，质量为m的电子从圆形区域左侧的任何位置沿x轴正方向以速度v0射入圆形区域，经过磁场B1偏转后都经过O点，然后进入x轴下方。已知x轴与直线ab间匀强电场场强大小E＝，ab与MN间磁场磁感应强度B2＝。不计电子重力。
(1)求圆形区域内磁场磁感应强度B1的大小？
(2)若要求从所有不同位置出发的电子都不能打在感光板MN上，MN与ab板间的最小距离h1是多大？
(3)若要求从所有不同位置出发的电子都能打在感光板MN上，MN与ab板间的最大距离h2是多大？当MN与ab板间的距离最大时，电子从O点到MN板，运动时间最长是多少？
15．如图甲所示，水平直线MN下方有竖直向上的匀强电场，现将一重力不计、＝106 C/kg的正电荷于电场中的O点由静止释放，经过×10－5 s后，电荷以v0＝1.5×104 m/s的速度通过MN进入其上方的匀强磁场，磁场与纸面垂直，磁感应强度B按图乙所示规律周期性变化(图乙中磁场以垂直纸面向外为正，以电荷第一次通过MN时为 t＝0 时刻)。求：
甲 乙
(1)匀强电场的电场强度E的大小；
(2)图乙中t＝×10－5 s时刻电荷与O点的水平距离；
(3)如果在O点右方d＝68 cm处有一垂直于MN的足够大的挡板，电荷从O点出发运动到挡板所需的时间。(sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80)
专题十一 带电粒子在复合场中的运动（解析版）
考点
要求
考点解读及预测
质谱仪和回旋加速器的工作原理
Ⅰ
1.考查方式
(1)带电粒子在有界匀强磁场中的临界问题，在组合场、复合场中的运动问题
(2)磁场与现代科学知识的综合应用
带电粒子在复合场中的运动
Ⅱ
一、带电粒子在复合场、组合场中的运动
1．复合场与组合场
(1)复合场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。
(2)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场分时间段或分区域交替出现。
2．分析思路
(1)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理．
(2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键．
(3)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题．
3．带电粒子在复合场、组合场中的常见运动
1）、当带电粒子在复合场中所受合力为零时，将处于静止状态或匀速直线运动状态
2）、当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动
3）、当带电粒子所受合力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线
4）、带电粒子可能依次通过几个情况不同的组合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成
二、带电粒子在复合场中运动的应用实例
装置
原理图
规律
质
谱
仪
粒子由静止被加速电场加速mv2＝qU，粒子在磁场中做匀速圆周运动qvB＝，则比荷＝
回旋加
速器
交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子在圆周运动过程中每次经过D形盒缝隙都会被加速。由qvB＝得Ekm＝
速度选
择器
若qv0B＝Eq，即v0＝，粒子做匀速直线运动
磁流体
发电机
等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电，两极电压为U时稳定，q＝qv0B，U＝Bdv0
霍尔
效应
当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差
三、基本构架
一、“磁偏转”和“电偏转”的区别
电偏转
磁偏转
偏转条件
带电粒子以v⊥E进入匀强电场
带电粒子以v⊥B进入匀强磁场
受力
FE＝qE，FE大小、方向不变，为恒力
FB＝qv0B大小不变，方向总指向圆心，方向变化，FB为变力
运动轨迹
抛物线
圆弧
物理规律
类平抛知识、牛顿第二定律
牛顿第二定律、向心力公式
运动规律
类平抛运动vx＝v0，
vy＝t，x＝v0t，
y＝t2
匀速圆周运动
r＝，T＝
运动时间
t＝
t＝T＝
做功情况
电场力既改变速度方向，也改变速度的大小，对电荷要做功
洛伦兹力只改变速度方向，不改变速度的大小，对电荷永不做功
物理图象
二、带电粒子在叠加场中的运动
1．三种场的比较
力的特点
功和能的特点
重力场
大小：G＝mg
方向：竖直向下
重力做功与路径无关
重力做功改变物体的重力势能
电场
大小：F＝qE
方向：正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反
电场力做功与路径无关
W＝qU
电场力做功改变电势能
磁场
大小：F＝qvB(v⊥B)
方向：可用左手定则判断
洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能
1）．是否考虑粒子重力
(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与静电力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。
(2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的，按题目要求处理。
(3)不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定是否要考虑重力。
2）．带电粒子在复合场中运动的三种情况
(1)当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时，根据受力平衡列方程求解。
(2)当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，应用牛顿定律结合圆周运动规律求解。
(3)当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。
一、带电粒子在复合场中运动的应用实例
【典例1】．如图所示是选择密度相同、大小不同的纳米粒子的一种装置。待选粒子带正电且电荷量与其表面积成正比，待选粒子从O1进入小孔时可认为速度为零，加速电场区域Ⅰ的板间电压为U，粒子通过小孔O2射入正交的匀强电场和匀强磁场区域Ⅱ，其中匀强磁场的磁感应强度大小为B，左右两极板间距为d，区域Ⅱ的出口小孔O3与O1、O2在同一竖直线上，若半径为r0、质量为m0、电荷量为q0的纳米粒子刚好能沿该直线通过，不计纳米粒子重力，则( )
A．区域Ⅱ的电场的场强大小与磁场的磁感应强度大小比值为
B．区域Ⅱ左右两极板的电势差U1＝Bd
C．若密度相同的纳米粒子的半径r＞r0，则它进入区域Ⅱ时仍将沿直线通过
D．若密度相同的纳米粒子的半径r＞r0，它进入区域Ⅱ时仍沿直线通过，则区域Ⅱ的电场强度与原电场强度之比为
【思路点拔】粒子由静止被加速电场加速mv2＝qU，粒子在磁场中做匀速圆周运动qvB＝，则比荷＝考查质谱仪问题。
【解析】设半径为r0的粒子加速后的速度为v，则有q0U＝m0v2，设区域Ⅱ内电场强度为E，由题意可知洛伦兹力等于电场力，即q0vB＝q0E，联立解得E＝B，则＝，区域Ⅱ左右两极板的电势差为Ed＝Bd，故A正确，B错误；若纳米粒子的半径r＞r0，设半径为r的粒子的质量为m、带电荷量为q、加速后的速度为v′，则m＝3m0，而q＝2q0，由mv′2＝qU，解得v′＝ ＝ v＜v，故粒子进入区域Ⅱ后受到的洛伦兹力变小，粒子向左偏转，故C错误；由于v′＝ v，由E＝Bv可得，区域Ⅱ的电场与原电场的电场强度之比为 ，故D正确。
【答案】AD
【规律方法】：搞清各种应用实例的原理是解决此类问题的关键。
二、带电粒子在复合场中的直线运动和圆周运动
【典例2】．(2016·天津高考)如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E＝5 N/C，同时存在着水平方向的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小B＝0.5 T。有一带正电的小球，质量m＝1×10－6 kg，电荷量q＝2×10－6 C，正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动，当经过P点时撤
掉磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象)，取g＝10 m/s2。求：
(1)小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向；
(2)从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t。
【思路点拔】解答本题时应从以下两点进行分析：
(1)小球做匀速直线运动时受到重力、电场力和洛伦兹力的作用，这三个力的合力为零。
(2)撤去磁场后小球做类平抛运动。
【解析】 (1)小球匀速直线运动时受力如图，其所受的三个力在同一平面内，合力为零，有qvB＝①
代入数据解得
v＝20 m/s②
速度v的方向与电场E的方向之间的夹角θ满足
tan θ＝③
代入数据解得
tan θ＝
θ＝60°。④
(2)撤去磁场，小球在重力与电场力的合力作用下做类平抛运动，设其加速度为a，有
a＝⑤
设撤掉磁场后小球在初速度方向上的分位移为x，有
x＝vt⑥
设小球在重力与电场力的合力方向上分位移为y，有
y＝at2⑦
a与mg的夹角和v与E的夹角相同，均为θ，又
tan θ＝⑧
联立④⑤⑥⑦⑧式，代入数据解得
t＝2 s≈3.5 s。⑨
【答案】(1)20 m/s，方向与电场方向成60°角斜向上(2)3.5 s
【规律方法】撤去磁场后，由于电场力垂直于竖直方向，它对竖直方向的分运动没有影响，以P点为坐标原点，竖直向上为正方向，小球在竖直方向上做匀减速运动，其初速度为
vy＝vsin θ
若使小球再次穿过P点所在的电场线，仅需小球的竖直方向上分位移为零，则有
vyt－gt2＝0
联立⑤⑥式，代入数据解得
t＝2 s≈3.5 s。
【典例3】．[多选]如图8-3-4所示，已知一带电小球在光滑绝缘的水平面上从静止开始经电压U加速后，水平进入互相垂直的匀强电场E和匀强磁场B的复合场中(E和B已知)，小球在此空间的竖直面内做匀速圆周运动，则( )
A．小球可能带正电
B．小球做匀速圆周运动的半径为r＝
C．小球做匀速圆周运动的周期为T＝
D．若电压U增大，则小球做匀速圆周运动的周期增加
【解析】小球在复合场中做匀速圆周运动，则小球受到的电场力和重力满足mg＝Eq，则小球带负电，A错误；因为小球做圆周运动的向心力为洛伦兹力，由牛顿第二定律和动能定理可得Bqv＝，Uq＝mv2，联立以上三式可得小球做匀速圆周运动的半径r＝ ，由T＝可以得出T＝，与电压U无关，B、C正确，D错误。
【答案】BC
三、带电粒子在组合场、叠加场、交变场中的运动
1、带电粒子在组合场中的运动
【典例4】．如图8-3-7所示，在坐标系xOy的第一、第三象限内存在相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里；第四象限内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。一带电荷量为＋q、质量为m的粒子，自y轴的P点沿x轴正方向射入第四象限，经x轴上的Q点进入第一象限，随即撤去电场。以后仅保留磁场。已知OP＝d，OQ＝2d，不计粒子重力。
(1)求粒子过Q点时速度的大小和方向。
(2)若磁感应强度的大小为一确定值B0，粒子将以垂直y轴的方向进入第二象限，求B0；
(3)若磁感应强度的大小为另一确定值，经过一段时间后粒子将再次经过Q点，且速度与第一次过Q点时相同，求该粒子相邻两次经过Q点所用的时间。
【思路点拔】(1)电场撤去前后粒子在第四象限做什么运动？
提示：撤去电场前粒子在第四象限做类平抛运动，撤去电场后做匀速直线运动。
(2)粒子在第一象限做什么运动？提示：粒子在磁场中做匀速圆周运动。
【解析】 粒子在电场中做类平抛运动，设粒子在电场中运动的时间为t0，加速度的大小为a，粒子的初速度为v0，过Q点时速度的大小为v，沿y轴方向分速度的大小为vy，速度与x轴正方向的夹角为θ，由牛顿第二定律得qE＝ma①
由运动学公式得d＝at②
2d＝v0t0③
vy＝at0④
v＝⑤
tan θ＝⑥
联立①②③④⑤⑥式得v＝2 ⑦
θ＝45°⑧
(2)设粒子做圆周运动的半径为R1，粒子在第一象限的运动轨迹如图甲所示，O1为圆心，由几何关系可知△QOO1为等腰直角三角形，得
R1＝2d⑨
由牛顿第二定律得
qvB0＝m⑩
联立⑦⑨⑩得B0＝ ?
(3)设粒子做圆周运动的半径为R2，由几何关系知粒子运动的轨迹如图乙所示，O2、O′2是粒子做圆周运动的圆心，Q、F、G、H是轨迹与坐标轴的交点，连接O2、O′2，由几何关系知，O2FGO′2和O2QHO′2均为矩形。由此知FQ、GH均为直径，QFGH也是矩形，又FH⊥GQ，可知QFGH为正方形，△QFO为等腰直角三角形，可知，粒子在第一、第三象限的轨迹均为半圆，得
2R2＝2d?
粒子在第二、第四象限的轨迹是长度相等的线段，得
FG＝HQ＝2R2?
设粒子相邻两次经过Q点所用的时间为t，
则有t＝?
联立⑦???式得
t＝(2＋π) ?
【答案】 (1)2 方向与x轴正方向成45°角斜向上 (2) (3)(2＋π)
【规律方法】
2、带电粒子在叠加场中的运动
【典例5】．如图8-3-9所示，两块水平放置、相距为d的长金属板接在电压可调的电源上。两板之间的右侧区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。将喷墨打印机的喷口靠近上板下表面，从喷口连续不断喷出质量均为m、水平速度均为v0、带相等电荷量的墨滴。调节电源电压至U，墨滴在电场区域恰能沿水平向右做匀速直线运动；进入电场、磁场共存区域后，最终垂直打在下板的M点。
(1)判断墨滴所带电荷的种类，并求其电荷量；
(2)求磁感应强度B的值；
(3)现保持喷口方向不变，使其竖直下移到两板中间的位置。为了使墨滴仍能到达下板M点，应将磁感应强度调至B′，则B′的大小为多少？
【思路点拔】(1)墨滴在电场区域做匀速直线运动，故受力平衡。
(2)墨滴在板间右侧区域做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力。
【解析】(1)墨滴在电场区域做匀速直线运动，有
q＝mg①
由①式得q＝②
由于电场方向向下，电荷所受静电力向上，可知墨滴带负电荷。
(2)墨滴垂直进入电、磁场共存区域，重力仍与静电力平衡，合力等于洛伦兹力，墨滴做匀速圆周运动，
有qv0B＝m③
考虑墨滴进入磁场和撞板的几何关系，可知墨滴在该区域恰完成四分之一圆周运动，则半径R＝d④
由②③④式得B＝⑤
(3)根据题设，墨滴运动轨迹如图所示，设圆周运动半径为R′，
有qv0B′＝m⑥
由图示可得R′2＝d2＋2⑦
解得R′＝d⑧
联立②⑥⑧式可得 B′＝
【答案】 (1)负电荷 (2) (3)
【规律方法】带电粒子在复合场中运动的分析方法
3、带电粒子在交变场中的周期性运动
【典例6】．如图所示，竖直平面(纸面)内，Ⅰ、Ⅱ区域有垂直于纸面、方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两磁场边界平行，与水平方向夹角为45°，两磁场间紧靠边界放置长为L，间距为d的平行金属板MN、PQ，磁场边界上的O点与PQ板在同一水平面上，直线O1O2到两平行板MN、PQ的距离相等，两板间存在如图乙所示的交变电场(取竖直向下为正方向)。质量为m、电量为＋q的粒子，t0时刻从O点沿垂直于OP竖直向上射入磁场，t＝时刻沿水平方向从点O1进入电场，并从O2点离开电场，不计粒子重力，求：
(1)粒子的初速度v0；
(2)粒子从点O进入Ⅰ磁场到射出Ⅱ磁场运动的总时间；
(3)若将粒子的速度提高一倍，仍从t0时刻由点O竖直向上射入，且交变电场的周期为T＝，要使粒子能够穿出电场，则电场强度大小E0满足的条件。
【思路点拔】
【解析】(1)粒子的运动轨迹如图中Oa所示，则r＝①
由牛顿第二定律得qv0B＝m②
解得v0＝
(2)粒子在磁场中的运动时间t1＝2×＝③
在电场中的运动时间t2＝＝④
两段电磁场外的时间t3＝＝⑤
总时间为t＝t1＋t2＋t3⑥
解得t＝
(3)粒子速度提高前后，两次在磁场Ⅰ中的运动时间相同，所以第二次进入电场时比第一次提前
Δt＝＝＝⑦
所以，粒子第二次是在t＝0时刻进入的电场。
第一次在电场中的轨迹如图甲所示。
设经过n个周期性的运动穿出电场，则
t＝＝nT⑧
解得n＝
设粒子第二次通过电场的时间为t′，则t′＝T⑨
粒子第二次在电场中的轨迹如图乙所示。
半个周期内的侧位移
y0＝·2⑩
要使粒子能够穿出电场，则ny0＜d
联立解得E0＜
【答案】(1) (2) (3)E＜
【规律方法】分析带电粒子在复合场中的运动的注意事项
(1)准确划分带电粒子运动过程中的不同运动阶段、不同运动形式，以及不同运动阶段、不同运动形式之间的转折点和临界点，只有明确粒子在某一阶段的运动形式后，才能确定解题所用到的物理规律。
(2)分析带电粒子在交变电场或磁场中的运动轨迹时，还要注意对称性的灵活应用。
四、组合场在科技中的应用
【典例6】． (2018·全国卷Ⅲ，24)如图8，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U加速后在纸面内水平向右运动，自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直。已知甲种离子射入磁场的速度大小为v1，并在磁场边界的N点射出；乙种离子在MN的中点射出；MN长为l。不计重力影响和离子间的相互作用。求
(1)磁场的磁感应强度大小；
(2)甲、乙两种离子的比荷之比。
【解析】 (1)设甲种离子所带电荷量为q1、质量为m1，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R1，磁场的磁感应强度大小为B，由动能定理有
q1U＝m1v①
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有q1v1B＝m1②
由几何关系知2R1＝l③
由①②③式得B＝④
(2)设乙种离子所带电荷量为q2、质量为m2，射入磁场的速度为v2，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R2。同理有
q2U＝m2v⑤
q2v2B＝m2⑥
由题给条件有2R2＝⑦
由①②③⑤⑥⑦式得，甲、乙两种离子的比荷之比为
∶＝1∶4⑧
【答案】(1) (2)1∶4
一、选择题(1～3题为单项选择题，4～6题为多项选择题)
1.质量为m的带电小球在正交的匀强电场、匀强磁场中做匀速圆周运动，轨道平面在竖直平面内，电场方向竖直向下，磁场方向垂直圆周所在平面向里，如图1所示，由此可知( )
A.小球带正电，沿顺时针方向运动
B.小球带负电，沿顺时针方向运动
C.小球带正电，沿逆时针方向运动
D.小球带负电，沿逆时针方向运动
【解析】根据题意，可知小球受到的电场力方向向上，大小等于重力，又电场方向竖直向下，可知小球带负电；已知磁场方向垂直圆周所在平面向里，带负电的小球受到的洛伦兹力指向圆心，小球一定沿顺时针方向运动，选项B正确。
【答案】B
2.为了通过实验研究PM2.5的相关性质，让一带电的PM2.5颗粒(重力不计)，垂直射入正交的匀强电场和匀强磁场区域，如图2所示，其中M、N为正对的平行带电金属板，观察发现它恰好做直线运动，则下列判断正确的是( )
A.M板一定带正电
B.PM2.5颗粒一定带正电
C.若仅使PM2.5颗粒的电荷量增大，颗粒一定向M板偏移
D.若仅使PM2.5颗粒的速度增大，颗粒一定向N板偏移
【解析】 由于颗粒做直线运动，故无论颗粒带何种电荷，电场力与洛伦兹力都是方向相反、大小相等的。根据左手定则，带正电颗粒受到的洛伦兹力向上，所以它受到的电场力向下，电场力与电场强度同向(带负电颗粒受到的洛伦兹力向下，所以它受到的电场力向上，电场力与电场强度反向)，所以M板一定带正电，PM2.5颗粒的电性不确定。根据电场力和洛伦兹力平衡，即qvB＝qE，得v＝，与颗粒的电荷量q无关；若使PM2.5颗粒的速度增大，则洛伦兹力增大，则电场力与洛伦兹力不平衡，出现偏转现象，因洛伦兹力方向不确定，则不一定向N板偏移。
【答案】A
3.(2018·太原二模)质谱仪是一种测定带电粒子比荷和分析同位素的重要工具。图3中的铅盒A中的放射源放出大量的带正电粒子(可认为初速度为零)，从狭缝S1进入电压为U的加速电场区加速后，再通过狭缝S2从小孔G垂直于MN射入偏转磁场，该偏转磁场是以直线MN为切线、磁感应强度为B，方向垂直于纸面向外半径为R的圆形匀强磁场。现在MN上的F点(图中未画出)接收到该粒子，且GF＝R。则该粒子的比荷为(粒子的重力忽略不计)( )
A. B.
C. D.
【解析】设粒子被加速后获得的速度为v，由动能定理有：qU＝mv2，粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径r＝，又qvB＝m，可求＝，选项C正确。
【答案】C
4．如图所示，沿直线通过速度选择器的正离子从狭缝S射入磁感应强度为B2的匀强磁场中，偏转后出现的轨迹半径之比为R1∶R2＝1∶2，则下列说法正确的是( )
A．离子的速度之比为1∶2
B．离子的电荷量之比为1∶2
C．离子的质量之比为1∶2
D．以上说法都不对
【解析】因为两粒子能沿直线通过速度选择器，则qvB1＝qE，即v＝，所以两离子的速度相同，选项A错误；根据R＝，则∶＝＝，选项B、C错误，D正确。
【答案】D
5.如图所示，质量为m的带电滑块，沿绝缘斜面匀速下滑。当带电滑块滑到有着理想边界的、方向竖直向下的匀强电场区域时，滑块的运动状态为(静电力小于重力)( )
A．将减速下滑
B．将加速下滑
C．将断续匀速下滑
D．上述三种情况都有可能发生
【解析】设斜面与水平方向的夹角为θ，则在滑块未进入电场区域时匀速下滑，有 mgsin θ＝μmgcos θ，得sin θ＝μcos θ；滑块进入电场区域后，将受到竖直方向上的静电力qE，若滑块带正电，有(mg＋qE)sin θ＝μ(mg＋qE)cos θ；若滑块带负电，有(mg－qE)sin θ＝μ(mg－qE)cos θ，所以只有选项C正确。
【答案】C
6．如图所示，在xOy直角坐标系中，第Ⅰ象限内分布着方向垂直纸面向里的匀强磁场，第Ⅱ象限内分布着沿y轴负方向的匀强电场。初速度为零、带电荷量为q、质量为m的粒子经过电压为U的电场加速后，从x轴上的A点垂直x轴进入磁场区域，重力不计，经磁场偏转后过y轴上的P点且垂直于y轴进入电场区域，在电场中偏转并击中x轴上的C点。已知OA＝OC＝d。则磁感应强度B和电场强度E可表示为( )
A．B＝，E＝ B．B＝，E＝
C．B＝，E＝ D．B＝，E＝
【解析】设带电粒子经电压为U的电场加速后速度为v，则qU＝mv2；带电粒子进入磁场后，洛伦兹力提供向心力，qBv＝，依题意可知r＝d，联立可解得B＝，带电粒子在电场中偏转，做类平抛运动，设经时间t从P点到达C点，由d＝vt，d＝t2，联立可解得E＝，B正确。
【答案】B
二、多项选择题
7．(2015·江苏高考)一带正电的小球向右水平抛入范围足够大的匀强电场，电场方向水平向左。不计空气阻力，则小球( )
A．做直线运动 B．做曲线运动
C．速率先减小后增大 D．速率先增大后减小
【解析】小球运动时受重力和电场力的作用，合力F方向与初速度v0方向不在一条直线上，小球做曲线运动，选项A错误，选项B正确。将初速度v0分解为垂直于F方向的v1和沿F方向的v2，根据运动与力的关系，v1的大小不变，v2先减小后反向增大，因此小球的速率先减小后增大，选项C正确，选项D错误。
【答案】BC
8.(2018·东营三模)如图4所示，在真空中半径为r＝0.1 m的圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场及水平向左的匀强电场，磁感应强度B＝0.01 T，ab和cd是两条相互垂直的直径，一束带正电的粒子流连续不断地以速度v＝1×103 m/s从c点沿cd方向射入场区，粒子将沿cd方向做直线运动，如果仅撤去磁场，带电粒子经过a点，如果撤去电场，使磁感应强度变为原来的，不计粒子重力，下列说法正确的是( )
A.电场强度的大小为10 N/C
B.带电粒子的比荷为1×106 C/kg
C.撤去电场后，带电粒子在磁场中运动的半径为0.1 m
D.带电粒子在磁场中运动的时间为7.85×10－5 s
【解析】粒子沿直线运动，则qvB＝Eq，解得E＝Bv＝0.01×103 N/C＝10 N/C，选项A正确；如果仅撤去磁场，则粒子在水平方向r＝··t2，竖直方向r＝vt，解得：＝＝ C/kg＝2×106 C/kg，选项B错误，撤去电场后，带电粒子在磁场中运动的半径为R＝＝ m＝0.1 m，选项C正确；带电粒子在磁场中运动的时间为t＝＝＝ s＝1.57×10－4 s，选项D错误。
【答案】 AC
9.(2018·河南洛阳高三质检)如图6所示，带等量异种电荷的平行金属板a、b处于匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。不计重力的带电粒子沿OO′方向从左侧垂直于电磁场入射，从右侧射出a、b板间区域时动能比入射时小。要使粒子射出a、b板间区域时的动能比入射时大，可采用的措施是( )
A.适当减小两金属板的正对面积
B.适当增大两金属板的距离
C.适当减小匀强磁场的磁感应强度
D.使带电粒子的电性相反
【解析】在这个复合场中，动能逐渐减小，说明合外力做负功，因洛伦兹力不做功，故电场力做负功，则电场力小于洛伦兹力。由E＝可知，当减小正对面积，Q不变，E增大，电场力变大，当电场力大于洛伦兹力时，粒子向电场力方向偏转，电场力做正功，射出时动能变大，选项A正确；当增大两板间距离时，场强不变，选项B错误；当减小磁感应强度时洛伦兹力减小，洛伦兹力可能小于电场力，选项C正确；当改变粒子电性时，其所受电场力、洛伦兹力大小不变，方向均反向，所以射出时动能仍然减小，选项D错误。
【答案】AC
10.(2018·山东泰安模拟)绝缘光滑斜面与水平面成α角，一质量为m、电荷量为－q的小球从斜面上高h处，以初速度为v0、方向与斜面底边MN平行射入，如图5所示。整个装置处在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向平行于斜面向上。已知斜面足够大，小球能够沿斜面到达底边MN。则下列判断正确的是( )
A.小球在斜面上做匀变速曲线运动
B.小球到达底边MN的时间t＝
C.匀强磁场磁感应强度的取值范围是B≤
D.匀强磁场磁感应强度的取值范围为B≤sin α
【解析】对小球进行受力分析，小球受重力、支持力和洛伦兹力，根据左手定则可知，洛伦兹力垂直斜面向上，即使速度发生变化，也不会影响重力沿斜面向下的分力的大小，由于重力沿斜面向下的分力即合外力不变，速度与合外力垂直，因此小球做匀变速曲线运动，故选项A正确；在斜面上，小球做类平抛运动，沿着斜面方向做初速度为零的匀加速直线运动，则小球的加速度a＝gsin α，再由运动学公式，球到达底边MN的时间t＝，故选项B正确；沿初速度v0方向，小球不受力，根据小球能够沿斜面到达底边MN，则小球受到的洛伦兹力范围是0≤qv0B≤mgcos α，磁感应强度的取值范围为0≤B≤cos α，故选项C正确，D错误。
【答案】ABC
三计算题
11．如图所示，将一金属或半导体薄片垂直置于磁场中，并沿垂直磁场方向通入电流，则在导体中垂直于电流和磁场方向会产生一个电势差，这一现象称为霍尔效应，此电势差称为霍尔电势差。
(1)某长方体薄片霍尔元件，其中导电的是自由电子，薄片处在与其上表面垂直的匀强磁场中，在薄片的两个侧面a、b间通以如图所示的电流时，另外两侧面c、d间产生霍尔电势差UH，请判断图中c、d哪端的电势高；
(2)可以将(1)中的材料制成厚度为h、宽度为L的微小探头，测量磁感应强度，将探头放入磁感应强度为B0的匀强磁场中，a、b间通以大小为I的电流，测出霍尔电势差UH，再将探头放入待测磁场中，保持I变，测出霍尔电势差U′H，利用上述条件，求：此霍尔元件单位体积内自由电子的个数n(已知电子电荷量为e)；待测磁场的磁感应强度Bx和B0之间的关系式；
(3)对于特定的半导体材料，其单位体积内的载流子数目n和载流子所带电荷量q均为定值。在具体应用中，有UH＝KHIB，式中的KH称为霍尔元件灵敏度，一般要求KH越大越好，试通过计算说明为什么霍尔元件一般都做得很薄。
【解析】(1)c端电势高。
(2)电子受到的洛伦兹力与电场力平衡，则
evB0＝eE
电场强度E＝
电流的微观表达式I＝nevLh
解得n＝
n为材料本身特性，故n＝
解得Bx＝B0
(3)由n＝得UH＝
则KH＝
霍尔灵敏度KH与元件厚度h成反比，h越小，KH值越大，所以霍尔元件一般都做得很薄。
【答案】(1)c端 (2) Bx＝B0 (3)见解析
12、如图，绝缘粗糙的竖直平面MN左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，电场强度大小为E，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电的小滑块从A点由静止开始沿MN下滑，到达C点时离开MN做曲线运动。A、C两点间距离为h，重力加速度为g。
(1)求小滑块运动到C点时的速度大小vC；
(2)求小滑块从A点运动到C点过程中克服摩擦力做的功Wf；
(3)若D点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置，当小滑块运动到D点时撤去磁场，此后小滑块继续运动到水平地面上的P点。已知小滑块在D点时的速度大小为vD，从D点运动到P点的时间为t，求小滑块运动到P点时速度的大小vP。
【解析】(1)小滑块沿MN运动过程，水平方向受力满足
qvB＋N＝qE①
小滑块在C点离开MN时
N＝0②
解得vC＝③
(2)由动能定理得
mgh－Wf＝mv－0④
解得Wf＝mgh－⑤
(3)如图，小滑块速度最大时，速度方向与电场力、重力的合力方向垂直。撤去磁场后小滑块将做类平抛运动，等效加速度为g′，
g′＝ ⑥
且v＝v＋g′2t2⑦
解得vP＝ ⑧
【答案】(1) (2)mgh－ (3)
13、如图所示，足够大的平行挡板A1、A2竖直放置，间距6L。两板间存在两个方向相反的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，以水平面MN为理想分界面，Ⅰ区的磁感应强度为B0，方向垂直纸面向外。A1、A2上各有位置正对的小孔S1、S2，两孔与分界面MN的距离均为L。质量为m、电荷量为＋q的粒子经宽度为d的匀强电场由静止加速后，沿水平方向从S1进入Ⅰ区，并直接偏转到MN上的P点，再进入Ⅱ区，P点与A1板的距离是L的k倍，不计重力，碰到挡板的粒子不予考虑。
(1)若k＝1，求匀强电场的电场强度E；
(2)若2【解析】(1)若k＝1，则有MP＝L，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系，该情况粒子的轨迹半径
R1＝L
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律知
qvB0＝m①
粒子在匀强电场中加速，根据动能定理有
qEd＝mv2②
联立解得E＝
(2)因为2由几何关系得R－(kL)2＝(R2－L)2③
又有qvB0＝m④
联立解得v＝
又因为6L－2kL＝2x⑤
根据几何关系有 ＝⑥
由R＝知，＝⑦
联立解得B＝
【答案】(1) (2)v＝ B＝
14、如图所示，在xOy平面内，以O1(0，R)为圆心、R为半径的圆形区域内有垂直平面向里的匀强磁场B1，x轴下方有一直线ab，ab与x轴相距为d，x轴与直线ab间区域有平行于y轴的匀强电场E，在ab的下方有一平行于x轴的感光板MN，ab与MN间区域有垂直于纸平面向外的匀强磁场B2。在0≤y≤2R的区域内，质量为m的电子从圆形区域左侧的任何位置沿x轴正方向以速度v0射入圆形区域，经过磁场B1偏转后都经过O点，然后进入x轴下方。已知x轴与直线ab间匀强电场场强大小E＝，ab与MN间磁场磁感应强度B2＝。不计电子重力。
(1)求圆形区域内磁场磁感应强度B1的大小？
(2)若要求从所有不同位置出发的电子都不能打在感光板MN上，MN与ab板间的最小距离h1是多大？
(3)若要求从所有不同位置出发的电子都能打在感光板MN上，MN与ab板间的最大距离h2是多大？当MN与ab板间的距离最大时，电子从O点到MN板，运动时间最长是多少？
【解析】(1)所有电子射入圆形区域后做圆周运动，轨道半径大小相等，设为r，当电子从位置y＝R处射入的电子经过O点进入x轴下方，则
r＝R
ev0B1＝m
解得B1＝
(2)设电子经电场加速后到达ab时速度大小为v，电子在ab与MN间磁场做匀速圆周运动轨道半径为r1，沿x轴负方向射入电场的电子离开电场进入磁场时速度方向与水平方向成θ角，则
eEd＝mv2－mv
r1＝
cos θ＝
如果电子在O点以速度v0沿x轴负方向射入电场，经电场偏转和磁场偏转后，不能打在感光板上，则所有电子都不能打在感光板上。恰好不能打在感光板上的电子在磁场中的圆轨道圆心为O2，如图甲所示。
则感光板与ab间的最小距离h1＝r1＋r1cos θ
v＝2v0，r1＝2d，θ＝60°
解得h1＝3d
(3)如果电子在O点沿x轴正方向射入电场，经电场偏转和磁场偏转后，能打在感光板上，则所有电子都能打在感光板上。恰好能打在感光板上的电子在磁场中的圆轨道圆心为O3，如图乙所示。
感光板与ab间的最大距离h2＝r1－r1cos θ
解得h2＝d
当感光板与ab间的距离最大为h2＝d时，所有从O点到MN板的电子中，沿x轴正方向射入电场的电子，运动时间最长。设该电子在匀强电场中运动的加速度为a，运动时间为t1，在磁场B2中运动周期为T，时间为t2，则
a＝，d＝at
T＝，t2＝T
运动最长时间tm＝t1＋t2
解得T＝，t1＝，t2＝
tm＝＋
【答案】(1) (2)3d (3)d ＋
15．如图甲所示，水平直线MN下方有竖直向上的匀强电场，现将一重力不计、＝106 C/kg的正电荷于电场中的O点由静止释放，经过×10－5 s后，电荷以v0＝1.5×104 m/s的速度通过MN进入其上方的匀强磁场，磁场与纸面垂直，磁感应强度B按图乙所示规律周期性变化(图乙中磁场以垂直纸面向外为正，以电荷第一次通过MN时为 t＝0 时刻)。求：
甲 乙
(1)匀强电场的电场强度E的大小；
(2)图乙中t＝×10－5 s时刻电荷与O点的水平距离；
(3)如果在O点右方d＝68 cm处有一垂直于MN的足够大的挡板，电荷从O点出发运动到挡板所需的时间。(sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80)
【解析】(1)电荷在电场中做匀加速直线运动，设其在电场中运动的加速度为a、时间为t1＝×10－5 s，有
v0＝at1①
Eq＝ma②
解得E＝≈7.2×103 N/C③
(2)当磁场垂直纸面向外时，磁感应强度大小B1＝0.3 T，电荷运动的半径
R1＝＝5 cm④
周期T1＝＝×10－5 s⑤
当磁场垂直纸面向里时，磁感应强度大小B2＝0.5 T，电荷运动的半径
R2＝＝3 cm⑥
周期T2＝＝×10－5 s⑦
0～×10－5 s内电荷运动轨迹如图a所示，
t＝×10－5 s时刻电荷与O点的水平距离
Δd＝2(R1－R2)＝4 cm⑧
