2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第3章 第3节 三角函数的图象与性质（学生版）
备战基础·零风险
1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．
2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在上的性质.
正弦、余弦、正切函数的图象与性质
(下表中k∈Z).
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
递增区间
递减区间
对称中心
对称轴
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一点提醒 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω>0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解．
2．三个防范 一是函数y＝sin x与y＝cos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且平行于y轴的直线，如y＝cos x的对称轴为x＝kπ，而不是x＝2kπ(k∈Z)．
二是对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，应在每个区间(k∈Z)内为增函数．
三是函数y＝sin x与y＝cos x的最大值为1，最小值为－1，不存在一个值使sin x＝.
3.(1)求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
(2)三角函数值域的不同求法
①利用sin x和cos x的值域直接求．
②把形如y＝asin x＋bcos x的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．
③利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域．
4. (1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ω x＋φ)的形式，则最小正周期为T＝；奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝Asin ωx或y＝Acos ωx＋b的形式．
(2)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可．
5. 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．
6．求三角函数的定义域应注意利用三角函数线或者三角函数图象．
7．判断函数奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，一偶则偶，同奇则奇．
8．三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．对复合函数单调区间的确定，应明确是对复合过程中的每一个函数而言，同增同减则为增，一增一减则为减．
9．求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．
备战练习·固基石
一、单选题
1.函数在区间恰有2个零点，则的取值范围是(?? )
A.???????????????????????????????B.??????????????????????C.???????????????????????????????D.?
2.函数f（x）=sin2x﹣cos2x的最小正周期是（?? ）
A.??????????????????????????????????????????B.?π?????????????????????????????????????????C.?2π?????????????????????????????????????????D.?4π
3.函数 ? 在 内至少出现 次最大值，则 的最小值为（??? ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
4.使函数?为增函数的区间是（???）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
5.函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象与 的图象的对称轴相同，则f（x）的一个递增区间为（ ）
A.?????????????????????????B.???????????????????C.?????????????????????????D.?
6.已知方程 =k在（0，+∞）上有两个不同的解α，β（α＜β），则下面结论正确的是（?? ）
A.?tan（α+ ）= ?????????????????????????????????????????B.?tan（α+ ）= C.?tan（β+ ）= ?????????????????????????????????????????D.?tan（β+ ）=
7.已知函数 ， 若且在区间上有最小值，无最大值，则的值为（???）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
8.关于函数f（x）=3sinx，g（x）=3+cosx的奇偶性的说法正确的是（ ）
A.?f（x），g（x）都是偶函数????????????????????????????????B.?f（x），g（x）都是奇函数 C.?f（x）是偶函数，g（x）是奇函数??????????????????????D.?f（x）是奇函数，g（x）是偶函数
9.函数y=cos（2x+）的图象的一条对称轴方程是（ ）
A.?x=-???????????????????????????????????B.?x=-???????????????????????????????????C.?x=???????????????????????????????????D.?x=π
10.函数的部分图象如图所示，点A、B是最高点，点C是最低点．若△ABC是直角三角形，则w的值为（???）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
11.下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（ ）
A.?y=sin2x+cos2x ??B.?y=sin2xcos2x C.?y=cos（4x+） ?D.?y=
12.设A是△ABC中的最小角，且cosA= ， 则实数a的取值范围是（ ）
A.?a≥3????????????????????????????????B.?a＞﹣1????????????????????????????????C.?﹣1＜a≤3????????????????????????????????D.?a＞0
13.函数y=sin（2x﹣ ）的一条对称轴是（? ）
A.?x= ?????????????????????????????????B.?x= ?????????????????????????????????C.?x= ?????????????????????????????????D.?x=
14.函数y=tan(2x+)的图象的对称中心是（ ）
A.????????B.??????C.????????D.?
15.若函数f（x）=1+sinx﹣x在区间[﹣6，6]上的值域是[n，m]，则n+m=（?? ）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?6
16.函数的周期是? （）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
二、填空题
17.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是________.
18.若f（x）=2sin（ωx+Φ）+m，对任意实数t都有 ， 且 ， 则实数m的值等于________?
19.下列命题：
①函数y=sin（2x+）的单调减区间为[kπ+ ， kπ+]，k∈Z；
②函数y=cos2x﹣sin2x图象的一个对称中心为（ ， 0）；
③函数y=sin（x﹣）在区间[﹣ ， ]上的值域为[﹣ ， ]；
④函数y=cosx的图象可由函数y=sin（x+）的图象向右平移个单位得到；
⑤若方程sin（2x+）﹣a=0在区间[0，]上有两个不同的实数解x1 ， x2 ， 则x1+x2= ．
其中正确命题的序号为
________?
20.函数 的最小正周期为________．
21.关于函数f（x）=4sin（2x+），（x∈R）有下列命题：
（1）y=f（x）是以2π为最小正周期的周期函数；
（2）y=f（x）可改写为y=4cos（2x﹣）；
（3）y=f（x）的图象关于（﹣ ， 0）对称；
（4）y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称；
其中真命题的序号为________
22.下列函数中，最小正周期为π 且图象关于原点对称的函数是________ ①y=cos（2x+ ）? ②y=sin（2x+ ）③y=sin2x+cos2x? ④y=sinx+cosx．
23.已知函数f（x）=2sin（+2），如果存在实数x1 ， x2使得对任意的实数，都有f（x1）≤f（x2），则|x1﹣x2|的最小值是________?
24.函数的最小正周期为________?
25.已知函数f（x）=sinx．若存在x1 ， x2 ， ，xm满足0≤x1＜x2＜＜xm≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|++|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12（m≥2，m∈N*），则m的最小值为________．
26.函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线 ，则φ=________，y=f（x）的单调增区间是________．
三、解答题
27.求函数y=cos2x+2sinx﹣2值域．
28.已知函数
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递减区间．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则（ ??）
A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4
2.（2017?新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+ ），则下列结论错误的是（??? ）
A.?f（x）的一个周期为﹣2π???????????????????????????????????B.?y=f（x）的图象关于直线x= 对称 C.?f（x+π）的一个零点为x= ?????????????????????????????D.?f（x）在（ ，π）单调递减
3.（2017?新课标Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+ ）的最小正周期为（??? ）
A.?4π?????????????????????????????????????????B.?2π?????????????????????????????????????????C.?π?????????????????????????????????????????D.?
4.（2016?浙江）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（ ）
A.?与b有关，且与c有关??????????????????????????????????????????B.?与b有关，但与c无关 C.?与b无关，且与c无关??????????????????????????????????????????D.?与b无关，但与c有关
5.（2016?全国）已知函数 为 的零点， 为 图像的对称轴，且 在 单调，则 的最大值为（ ）
A.?11???????????????????????????????????????????B.?9???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?5
二、填空题
6.（2018?江苏）已知函数 的图像关于直线 对称,则 的值是________.
7.（2018?卷Ⅲ）函数 在 的零点个数为________．
8.（2018?北京）设函数f(x)= ，若 对任意的实数x都成立，则 的最小值为________
9.（2016?江苏）定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是________.
10.（2016?上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣ ）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为________．
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第3章 第3节 三角函数的图象与性质（教师版）
备战基础·零风险
1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．
2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在上的性质.
正弦、余弦、正切函数的图象与性质
(下表中k∈Z).
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
[2kπ－π，2kπ]
递减区间
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
对称轴
x＝kπ＋
x＝kπ
无
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一点提醒 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω>0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解．
2．三个防范 一是函数y＝sin x与y＝cos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且平行于y轴的直线，如y＝cos x的对称轴为x＝kπ，而不是x＝2kπ(k∈Z)．
二是对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，应在每个区间(k∈Z)内为增函数．
三是函数y＝sin x与y＝cos x的最大值为1，最小值为－1，不存在一个值使sin x＝.
3.(1)求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
(2)三角函数值域的不同求法
①利用sin x和cos x的值域直接求．
②把形如y＝asin x＋bcos x的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．
③利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域．
4. (1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ω x＋φ)的形式，则最小正周期为T＝；奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝Asin ωx或y＝Acos ωx＋b的形式．
(2)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可．
5. 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．
6．求三角函数的定义域应注意利用三角函数线或者三角函数图象．
7．判断函数奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，一偶则偶，同奇则奇．
8．三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．对复合函数单调区间的确定，应明确是对复合过程中的每一个函数而言，同增同减则为增，一增一减则为减．
9．求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．
备战练习·固基石
一、单选题
1.函数在区间恰有2个零点，则的取值范围是(?? )
A.???????????????????????????????B.??????????????????????C.????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】要满足函数在区间恰有2个零点，需， 所以。选B. 【分析】此题我们可以结合图像来分析，这个更形象，更直观。函数?的周期公式为：?；函数的周期公式为：。注意两个函数周期公式的区别.
2.函数f（x）=sin2x﹣cos2x的最小正周期是（?? ）
A.??????????????????????????????????????????B.?π?????????????????????????????????????????C.?2π?????????????????????????????????????????D.?4π
【答案】B
【考点】三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】解：函数f（x）=sin2x﹣cos2x= cos（2x+ ） 所以函数f（x）=sin2x﹣cos2x的最小正周期是：T= =π 故选B． 【分析】利用两角差和的余弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求出函数的最小正周期．
3.函数 ? 在 内至少出现 次最大值，则 的最小值为（??? ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】正弦函数的图象
【解析】【解答】解：函数 （k＞0）在[0，6]内至少出现3次最大值，则k取最小值时， 函数 （k＞0）在[0，6]内正好包含 个周期， ∴ ，求得k= . 故答案为：A 【分析】函数 y = sin x （k＞0）在[0，6]内至少出现3次最大值，则k取最小值时，函数 （k＞0）在[0，6]内正好包含 个周期，即可得出结论。
4.使函数?为增函数的区间是（???）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】正弦函数的单调性
【解析】【解答】令， ∴， 令K=-1得， 故函数函数?为增函数的区间是， 故选C 【分析】熟练掌握三角函数的单调性是解决此类问题的关键，属基础题
5.函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象与 的图象的对称轴相同，则f（x）的一个递增区间为（ ）
A.???????????????????????B.????????????????????C.?????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】正弦函数的单调性
【解析】【解答】解：函数 ， 化简可得：g（x）=cos2（x﹣ ）+2=cos（2x﹣ ）+2=sin（2x﹣ ）+2=sin（2x+ ）+2． ∵f（x）与g（x）的对称轴相同， 0＜φ＜π． ∴ω=2，φ= ． 那么f（x）=sin（2x+ ）， 令 ，k∈Z． 得： ≤x≤ ， 当k=0时，可得f（x）的一个递增区间为[ ， ]． 故答案为：B． 【分析】整理已知函数的式子根据题意f（x）与g（x）的对称轴相同即可得出ω和φ的值进而可得出f（x）的解析式，即可求出其递增区间。
6.已知方程 =k在（0，+∞）上有两个不同的解α，β（α＜β），则下面结论正确的是（?? ）
A.?tan（α+ ）= ?????????????????????????????????????????B.?tan（α+ ）= C.?tan（β+ ）= ?????????????????????????????????????????D.?tan（β+ ）=
【答案】D
【考点】余弦函数的图象
【解析】【解答】解：方程 =k在（0，+∞）上有两个不同的解α，β（α＜β）， 所以直线y=kx与y=|cosx|在（ ，π）内相切，且切于点（β，cosβ）． 再根据 =﹣sinβ，可得tanβ=﹣ ， ∴tan（β+ ）= = ， 故选：D． 【分析】利用x的范围化简方程，通过方程的解转化为 函数的图象的交点问题，利用相切求出β的正切值，通过两角和的正切函数求解即可．
7.已知函数 ， 若且在区间上有最小值，无最大值，则的值为（???）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】正弦函数的对称性
【解析】【解答】， 的图象关于对称，在区间上有最小值，无最大值，， 令的， 选C.
8.关于函数f（x）=3sinx，g（x）=3+cosx的奇偶性的说法正确的是（ ）
A.?f（x），g（x）都是偶函数????????????????????????????????B.?f（x），g（x）都是奇函数 C.?f（x）是偶函数，g（x）是奇函数??????????????????????D.?f（x）是奇函数，g（x）是偶函数
【答案】D
【考点】正弦函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数f（x）=3sinx，因为f（﹣x）=3sin（﹣x）=﹣3sinx=﹣f（x），所以f（x）是奇函数； g（﹣x）=3+cos（﹣x）=3+cosx=g（x），g（x）是偶函数， 故选：D． 【分析】直接利用三角函数的奇偶性判断即可．
9.函数y=cos（2x+）的图象的一条对称轴方程是（ ）
A.?x=-???????????????????????????????????B.?x=-???????????????????????????????????C.?x=???????????????????????????????????D.?x=π
【答案】B
【考点】余弦函数的对称性
【解析】【解答】解：由2x+=kπ，得x=- ， k∈Z， 当k=0时，x=﹣ ， 故x=﹣是函数的一条对称轴， 故选：B． 【分析】根据余弦函数的对称性即可得到结论．
10.函数的部分图象如图所示，点A、B是最高点，点C是最低点．若△ABC是直角三角形，则w的值为（???）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】结合三角函数的对称性可知三角形是等腰直角三角形，结合平面几何性质?故选B。 【分析】中函数周期
11.下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（ ）
A.?y=sin2x+cos2x? ?B.?y=sin2xcos2x C.?y=cos（4x+） D.?y=
【答案】D
【考点】三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】函数y=sin2x+cos2x=sin（2x+）的周期为=π，且为非奇非偶函数；
函数y=sin2xcos2x=sin4x的周期为= ， 且为奇函数；
函数y=cos（4x+）=sin4x的周期为= ， 且为奇函数；
函数y=sin22x﹣cos22x=﹣cos4x的周期为= ， 且为偶函数；
故选：D
【分析】根据三角函数的奇偶性和周期性分别进行判断即可得到结论．
12.设A是△ABC中的最小角，且cosA= ， 则实数a的取值范围是（ ）
A.?a≥3????????????????????????????????B.?a＞﹣1????????????????????????????????C.?﹣1＜a≤3????????????????????????????????D.?a＞0
【答案】A
【考点】余弦函数的定义域和值域
【解析】【解答】解：∵A是△ABC中的最小角， ∴由三角形的内角和定理得 0°＜A≤60°， ∴≤cosA＜1， 即≤＜1， 该不等式可化为， 由①得，﹣≥0， 即≥0； 解得a＜﹣1，或a≥3； 由②得，﹣1＜0， 即＜0， 解得a＞﹣1； ∴不等式组的解集为{a|a≥3}． 故选：A． 【分析】根据题意得 0°＜A≤60°，即≤cosA＜1，求出a的取值范围．
13.函数y=sin（2x﹣ ）的一条对称轴是（? ）
A.?x= ?????????????????????????????????B.?x= ?????????????????????????????????C.?x= ?????????????????????????????????D.?x=
【答案】B
【考点】正弦函数的图象
【解析】【解答】解：对于函数y=sin（2x﹣ ），令2x﹣ =kπ+ ，求得x= + ，k∈Z， 可得它的图象的一条对称轴是x= ， 故选：B． 【分析】利用正弦函数的图象的对称性，求得y=sin（2x﹣ ）的一条对称轴．
14.函数y=tan(2x+)的图象的对称中心是（ ）
A.?????B.??????C.????????D.?
【答案】D
【考点】正切函数的奇偶性与对称性
【解析】【解答】解：令 2x+= ， k∈z，求得 x=﹣ ， k∈z． 故函数y=tan(2x+)的图象的对称中心是（﹣ ， 0），k∈z， 故选D． 【分析】令 2x+= ， k∈z，求得x，可得函数y=tan(2x+)的图象的对称中心的坐标．
15.若函数f（x）=1+sinx﹣x在区间[﹣6，6]上的值域是[n，m]，则n+m=（?? ）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?6
【答案】C
【考点】正弦函数的图象
【解析】【解答】解：∵f（x）=1+sinx﹣x ∴f（﹣x）=1﹣sinx+x f（x）+f（﹣x）=2…① 又本题中f（x）=1+sinx﹣x 在区间[﹣6，6]上的值域为[m，n]， 即无论x取什么样的实数都应有最大值与最小值的和是一个确定的值， ∴可令x=k，故m+n=f（k）+f（﹣k）． 由①知，m+n=f（k）+f（﹣k）=2． 故选C 【分析】本题要求的是函数最大值与最小值的和，由函数的解析式，可通过研究函数的对称性来探究解题的思路，故可先求出f（﹣x），再与函数f（x）=1+sinx﹣x进行比较，总结规律，再由本题中所求的m+n的值是一个定值，采用特殊值法求出答案．
16.函数的周期是? （）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】三角函数的周期性及其求法
【解析】【分析】此题考查三角函数周期，直接套公式，属基础题. 【解答】由正弦函数最小正周期计算公式， 可知所求函数周期为.选D。
二、填空题
17.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是________.
【答案】7
【考点】正弦函数的图象，余弦函数的图象
【解析】【解答】画出函数图象草图，共7个交点． 【分析】画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象即可得到答案
18.若f（x）=2sin（ωx+Φ）+m，对任意实数t都有 ， 且 ， 则实数m的值等于________?
【答案】﹣3或1
【考点】正弦函数的对称性
【解析】【解答】解：∵f（t+）=f（﹣t）， 用﹣t替换上式中的t，得f（t）=f（﹣t）， ∴f（x）=2sin（ωx+Φ）+m的图象关于直线x=对称， ∴y=f（x）在对称轴x=处取到最值， ∵f（）=﹣1， ∴2+m=﹣1或﹣2+m=﹣1， 解得：m=﹣3或m=1， 故答案为：﹣3或1． 【分析】由f（t+）=f（﹣t）?f（t）=f（﹣t）?f（x）=2sin（ωx+Φ）+m的图象关于直线x=对称，从而可求得实数m的值．
19.下列命题：
①函数y=sin（2x+）的单调减区间为[kπ+ ， kπ+]，k∈Z；
②函数y=cos2x﹣sin2x图象的一个对称中心为（ ， 0）；
③函数y=sin（x﹣）在区间[﹣ ， ]上的值域为[﹣ ， ]；
④函数y=cosx的图象可由函数y=sin（x+）的图象向右平移个单位得到；
⑤若方程sin（2x+）﹣a=0在区间[0，]上有两个不同的实数解x1 ， x2 ， 则x1+x2= ．
其中正确命题的序号为
________?
【答案】①②⑤
【考点】正弦函数的单调性，正弦函数的对称性
【解析】【解答】①令+kπ，k∈Z，，故①正确
②y=+kπ，
k=0时函数的一个对称中心（ ， 0）②正确
③y=结合正弦函数的图象可得﹣≤y≤1，③错误
④由函数y=sin（x+）的图象向右平移个单位得到y=sinx的图象，故④错误
⑤令y=sin（2x+），当x， 若使方程有两解，则两解关于x=对称，
则x1+x2= ， 故⑤正确
故答案为：①②⑤
【分析】①令+2kπ可求
②利用两角和的余弦公式化简可得y=， 求出函数的对称中心
③由结合正弦函数的图象可求函数的值域
④根据函数的图象平移法则：左加右减的平移法则可得
⑤根据正弦函数的图象结合函数的对称性可得。
20.函数 的最小正周期为________．
【答案】1
【考点】正弦函数的图象
【解析】【解答】对于 ， ， 函数 是函数 , 轴上方的图象不动将 轴下方的图象向上对折得到的，故 ，故答案为 .【分析】利用绝对值的几何意义可知f ( x ) = | sin π x | 是函数 f ( x ) = sin π x , x 轴上方的图象不动将 x 轴下方的图象向上对折得到的，所以周期减半。
21.关于函数f（x）=4sin（2x+），（x∈R）有下列命题：
（1）y=f（x）是以2π为最小正周期的周期函数；
（2）y=f（x）可改写为y=4cos（2x﹣）；
（3）y=f（x）的图象关于（﹣ ， 0）对称；
（4）y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称；
其中真命题的序号为________
【答案】（2）（3）
【考点】三角函数的周期性及其求法，正弦函数的对称性
【解析】【解答】函数f（x）=4sin（2x+），
∴T==π，故（1）不正确，
∵f（x）=4sin（2x+）=4cos（﹣2x﹣）=4cos（2x﹣），
故（2）正确，
把x=﹣代入解析式得到函数值是0，故（3）正确，（4）不正确，
综上可知（2）（3）两个命题正确，
故答案为：（2）（3）．
【分析】根据所给的函数解析式，代入求周期的公式求出周期，得到（1）不正确，利用诱导公式转化得到（2）正确，把所给的对称点代入解析式，根据函数值得到（3）正确而（4）不正确．
22.下列函数中，最小正周期为π 且图象关于原点对称的函数是________ ①y=cos（2x+ ）? ②y=sin（2x+ ）③y=sin2x+cos2x? ④y=sinx+cosx．
【答案】①
【考点】三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】解：①y=cos（2x+ ）函数的周期为：π，函数化为 y=﹣sin2x是奇函数，图象关于原点对称， 所以①正确；②y=sin（2x+ ）函数的周期为：π，函数化为 y=﹣cos2x是偶函数，图象关于y轴对称，不正确；③y=sin2x+cos2x，函数的周期为：π，函数化为 y= sin（2x+ ）不是奇函数，图象不关于原点对称，不正确；④y=sinx+cosx．函数的周期为：2π，不满足题意，不正确； 故答案为：①． 【分析】判断函数的周期性以及函数的奇偶性，即可得到结果．
23.已知函数f（x）=2sin（+2），如果存在实数x1 ， x2使得对任意的实数，都有f（x1）≤f（x2），则|x1﹣x2|的最小值是________?
【答案】4π
【考点】三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】解：∵存在实数x1 ， x2使得对任意的实数，都有f（x1）≤f（x2），
∴x1、x2是函数f（x）对应的最小、最大值的x，
故|x1﹣x2|一定是的整数倍；
∵函数f（x）=2sin（+2）的最小正周期T==8π，
∴|x1﹣x2|=n×=4nπ（n＞0，且n∈Z），
∴|x1﹣x2|的最小值为4π；
故答案为：4π．
【分析】先根据f（x1）≤f（x2）对任意实数x成立，进而可得到x1、x2是函数f（x）对应的最大、最小值的x，得到|x1﹣x2|一定是的整数倍，然后求出函数f（x）=2sin（+2）的最小正周期，根据|x1﹣x2|=n×=4nπ可求出求出最小值．
24.函数的最小正周期为________?
【答案】2π
【考点】正切函数的周期性
【解析】【解答】解：T==2π? 故答案为2π 【分析】根据函数y=tanx的最小正周期为π，进而可求得函数的最小正周期．
25.已知函数f（x）=sinx．若存在x1 ， x2 ， ，xm满足0≤x1＜x2＜＜xm≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|++|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12（m≥2，m∈N*），则m的最小值为________．
【答案】8
【考点】正弦函数的图象
【解析】【解答】解：∵y=sinx对任意xi ， xj（i，j=1，2，3，，m），都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f（x）max﹣f（x）min=2， 要使m取得最小值，尽可能多让xi（i=1，2，3，，m）取得最高点， 考虑0≤x1＜x2＜＜xm≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|++|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12， 按下图取值即可满足条件， ∴m的最小值为8． 故答案为：8． 【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意xi ， xj（i，j=1，2，3，，m），都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让xi（i=1，2，3，，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值．
26.函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线 ，则φ=________，y=f（x）的单调增区间是________．
【答案】﹣ ；[ +kπ， +kπ]，k∈Z
【考点】正弦函数的图象
【解析】【解答】解：∵函数f（x）=sin（2x+φ）图象的一条对称轴是直线 ，
∴2× +φ= +π，k∈Z，
∴φ= +kπ，k∈Z；
又﹣π＜φ＜0，
∴φ=﹣ ，
∴y=f（x）=sin（2x﹣ ）；
令﹣ +2kπ≤2x﹣ ≤ +2kπ，k∈Z，
∴ +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z，
∴y=f（x）的单调增区间为[ +kπ， +kπ]，k∈Z．
故答案为：﹣ ，[ +kπ， +kπ]，k∈Z．
【分析】根据题意，利用函数f（x）图象的一条对称轴求出φ的值，再根据正弦函数的图象与性质求出y=f（x）的单调增区间．
三、解答题
27.求函数y=cos2x+2sinx﹣2值域．
【答案】解：∵y=cos2x+2sinx﹣2 =1﹣sin2x+2sinx﹣2 =﹣（sinx﹣1）2 ， ∵﹣1≤sin≤1， ∴﹣2≤sin﹣1≤0， ∴（sinx﹣1）2∈[0，4]，﹣（sinx﹣1）2∈[﹣4，0]． ∴函数y=cos2x+2sinx﹣2值域为[﹣4，0]．
【考点】正弦函数的定义域和值域
【解析】【分析】将y=cos2x+2sinx﹣2中的cos2x用1﹣sin2x替换，再配方，利用正弦函数的性质即可．
28.已知函数
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递减区间．
【答案】（1）解：∵ = = = = = ， 所以，函数f（x）的最小正周期是 （2）解：由2kπ+ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，求得kπ+ ≤x≤kπ+ ， 可得函数的减区间为[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z
【考点】三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．（2）利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递减区间．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则（ ??）
A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4
【答案】B
【考点】三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】解： = = 。
∴ ，
故答案为：B.
【分析】由二倍角余弦公式将函数为一个角的三角函数的形式,再求周期与最值.
2.（2017?新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+ ），则下列结论错误的是（??? ）
A.?f（x）的一个周期为﹣2π???????????????????????????????????B.?y=f（x）的图象关于直线x= 对称 C.?f（x+π）的一个零点为x= ?????????????????????????????D.?f（x）在（ ，π）单调递减
【答案】D
【考点】三角函数的周期性及其求法，余弦函数的图象，余弦函数的单调性，余弦函数的对称性
【解析】【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确， B．当x= 时，cos（x+ ）=cos（ + ）=cos =cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x= 对称，故B正确， C当x= 时，f（ +π）=cos（ +π+ ）=cos =0，则f（x+π）的一个零点为x= ，故C正确， D．当 ＜x＜π时， ＜x+ ＜ ，此时余弦函数不是单调函数，故D错误， 故选：D 【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．
3.（2017?新课标Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+ ）的最小正周期为（??? ）
A.?4π?????????????????????????????????????????B.?2π?????????????????????????????????????????C.?π?????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】解：函数f（x）=sin（2x+ ）的最小正周期为： =π． 故选：C． 【分析】利用三角函数周期公式，直接求解即可．
4.（2016?浙江）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（ ）
A.?与b有关，且与c有关??????????????????????????????????????????B.?与b有关，但与c无关 C.?与b无关，且与c无关??????????????????????????????????????????D.?与b无关，但与c有关
【答案】B
【考点】三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】解：∵设函数f（x）=sin2x+bsinx+c， ∴c是图象的纵坐标增加了c，横坐标不变，故周期与c无关， 当b=0时，f（x）=sin2x+bsinx+c=﹣ cos2x+ +c的最小正周期为T= =π，当b≠0时，f（x）=﹣ cos2x+bsinx+ +c， ∵y=cos2x的最小正周期为π，y=bsinx的最小正周期为2π， ∴f（x）的最小正周期为2π， 故f（x）的最小正周期与b有关， 故选：B 【分析】根据三角函数的图象和性质即可判断．本题考查了三额角函数的最小正周期，关键掌握三角函数的图象和性质，属于中档题．
5.（2016?全国）已知函数 为 的零点， 为 图像的对称轴，且 在 单调，则 的最大值为（ ）
A.?11???????????????????????????????????????????B.?9???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?5
【答案】B
【考点】正弦函数的对称性
【解析】【解答】解：∵x=﹣ 为f（x）的零点，x= 为y=f（x）图象的对称轴， ∴ ，即 ，（n∈N） 即ω=2n+1，（n∈N） 即ω为正奇数， ∵f（x）在（ ， ）则 ﹣ = ≤ ，即T= ≥ ，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣ +φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤ ，∴φ=﹣ ，此时f（x）在（ ， ）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣ +φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤ ，∴φ= ，此时f（x）在（ ， ）单调，满足题意； 故ω的最大值为9， 故选：B. 【分析】正弦函数的对称性.根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣ 为f（x）的零点，x= 为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（ ， ）单调，可得ω的最大值．本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．
二、填空题
6.（2018?江苏）已知函数 的图像关于直线 对称,则 的值是________.
【答案】
【考点】正弦函数的图象
【解析】【解答】解： 【分析】将 作整体看，正弦对称轴方程为 ，解出 ，由 的范围，得出 的值。
7.（2018?卷Ⅲ）函数 在 的零点个数为________．
【答案】3
【考点】余弦函数的图象
【解析】【解答】 ，因为 则 共三个零点，填3 【分析】先求出 整体范围，再在该范围内余弦值为零的零点共三个.
8.（2018?北京）设函数f(x)= ，若 对任意的实数x都成立，则 的最小值为________
【答案】
【考点】余弦函数的对称性
【解析】【解答】解： 又 >0,∴ 。 故答案为： 【分析】将 代入，由余弦的对称轴方程，求出 ，又 >0，则 可求出。
9.（2016?江苏）定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是________.
【答案】7
【考点】正弦函数的图象，余弦函数的图象
【解析】【解答】画出函数图象草图，共7个交点． 【分析】画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象即可得到答案
10.（2016?上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣ ）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为________．
【答案】4
【考点】三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】解：∵对于任意实数x都有2sin（3x﹣ ）=asin（bx+c），∴必有|a|=2， 若a=2，则方程等价为sin（3x﹣ ）=sin（bx+c），则函数的周期相同，若b=3，此时C= ，若b=﹣3，则C= ，若a=﹣2，则方程等价为sin（3x﹣ ）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），若b=﹣3，则C= ，若b=3，则C= ，综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3， ），（2，﹣3， ），（﹣2，﹣3， ），（﹣2，3， ），共有4组， 故答案为：4． 【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同．；本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．
