2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第3章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
（学生版）
备战基础·零风险
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．
3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
正弦
sin(α±β)＝ .
余弦
cos(α?β)＝ .
正切
tan(α±β)＝ .
二倍角的正弦、余弦、正切公式
正弦
sin 2α＝ ..
余弦
cos 2α＝ ＝ ＝ .
正切
tan 2α＝ .
有关公式的逆用、变形等
正弦
1＋sin 2α＝ .，1－sin 2α＝ .，
sin α±cos α＝ .
余弦
cos2α＝ ，sin2α＝ .
正切
tan α±tan β＝ .
重要：函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，
可以化为f(α)＝ .，其中tan φ＝ ..
备战方法·巧解题
规律
方法
1.一个防范 运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用.
2. (1)技巧：①寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；
②正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；
③一些常规技巧：“1”的代换、和积互化等．
(2)常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．
3. (1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．
(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
4. (1)将f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin 2α，cos 2α化为关于正切tan α的关系式，为第(1)问铺平道路．
(2)把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．
5．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．
6．已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化．
7．熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形．
备战练习·固基石
一、单选题
1.计算 的结果等于（?? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
2.的值为（?）.
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
3.若 ，则 （?? ）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
4.已知则（?）
A.????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
5.1﹣2sin2 的值等于（?? ）
A.?0????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
6.若 ，则 =（??? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
7.的值为（???）
A.? ??????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.?3??????????????????????????????????????D.?
8.cos215°﹣sin215°的值为（?? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
9.sin7°cos37°﹣sin83°sin37°的值为（? ）
A.?﹣ ?????????????????????????????????????B.?﹣ ?????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
10.对任意的锐角α、β，下列不等关系中正确的是（????）
A.?sin(α+β)>sinα+sinβ?????????????????????????????????????????B.?sin(α+β)>cosα+cosβ C.?cos(α+β)< sinα+sinβ???????????????????????????????????????D.?cos(α+β)< cosα+cosβ
11.已知tan（﹣α）= ， 则tan（+α）=（ ）
A.??????? ?B.?- ????C.? ?????D.?-
12.设sin（ +θ）= ，则sin2θ=（?? ）
A.?﹣ ???????????????????????????????????????B.?﹣ ???????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
13.已知角 均为锐角，且cos = ，tan（ ? ）=? ，tan =（ ??）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?3
14.?（?）
A.?4??????????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
15.已知sin（x+）= ， 则cosx+cos（﹣x）的值为（ ）
A.?-???????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.?-???????????????????????????????????????D.?
16.已知 ， 则＝（?）
A.?－?????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
17.sin15°+cos15°的值为（ ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
18.=（?? ）
A.?﹣ ?????????????????????????????????????B.?﹣ ?????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
19.在自然界中，存在着大量的周期函数，比如声波，若两个声波随时间的变化规律分别为： ， 则这两个声波合成后即的振幅为（???）
A.?3????????????????????????????????????????B.?6????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
二、填空题
20.已cosθ= ，则cos2θ=________．
21.计算：cos215°﹣sin215°=________．
22.已知sin（﹣x）= ， 则sin2x的值为________?
23.已知cosθ=﹣ ，θ∈（ ，π），则cos（ ﹣θ）=________．
24.设 ， ，则 = ________．
25.已知 ，则 ?________．
26.若α，β∈（0， ），sin（α﹣ ）= ，sin（ ﹣β）=﹣ ，则cos 的值等于________．
27.若α+β= 则（1﹣tanα）（1﹣tanβ）的值为________．
28.对于函数f（x）= （sinx+cosx）﹣ |cos﹣sinx|，下列说法正确的是________ ①当且仅当2kπ＜x＜2kπ+ （k∈Z）时，f（x）＞0； ②当且仅当x=2kπ+ （k∈Z）时，该函数取得最大值； ③该函数的值域是[﹣1，1]； ④该函数是以π为最小正周期的周期函数．
29.在△ABC中，已知a=8，b=5，S△ABC=12，则cos2C=________
三、解答题
30.已知α是第二象限角，且 ， （Ⅰ）求cos2α的值； （Ⅱ）求的值．
31.在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA= ， tan（A﹣B）=﹣ ．
求tanB的值；
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅲ）若 ，则 =（ ??）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?- ????????????????????????????????????????D.?-
2.（2017·山东）已知cosx= ，则cos2x=（ ）
A.?﹣ ???????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.?﹣ ???????????????????????????????????????D.?
二、填空题
3.（2018?卷Ⅱ）已知 ，则tan =________
4.（2018?卷Ⅱ）已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0则sin（α+β）=________。
5.（2017?江苏）若tan（α﹣ ）= ．则tanα=________．
6.（2016?浙江）已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=________，b=________．
7.（2016?全国）已知θ是第四象限角，且sin（θ+ ）= ，则tan（θ﹣ ）=________．
8.（2016?四川） =________ ．
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第3章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
（教师版）
备战基础·零风险
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．
3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
正弦
sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β.
余弦
cos(α?β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β.
正切
tan(α±β)＝.
二倍角的正弦、余弦、正切公式
正弦
sin 2α＝2sin_αcos_α.
余弦
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
正切
tan 2α＝.
有关公式的逆用、变形等
正弦
1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝sin.
余弦
)cos2α＝，sin2α＝.
正切
tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)．
重要：函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝.
备战方法·巧解题
规律
方法
1.一个防范 运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用.
2. (1)技巧：①寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；
②正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；
③一些常规技巧：“1”的代换、和积互化等．
(2)常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．
3. (1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．
(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
4. (1)将f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin 2α，cos 2α化为关于正切tan α的关系式，为第(1)问铺平道路．
(2)把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．
5．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．
6．已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化．
7．熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形．
备战练习·固基石
一、单选题
1.计算 的结果等于（?? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】两角和与差的正弦函数
【解析】【解答】 故答案为：A 【分析】由正弦函数的两角和公式,代入数据计算，即可得出答案。
2.的值为（?）.
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】二倍角的正弦
【解析】【解答】根据题意，由于二倍角的正弦公式可知， 故可知答案为A. 【分析】主要是考查了二倍角的正弦公式的逆用，属于基础题。
3.若 ，则 （?? ）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】两角和与差的余弦函数，二倍角的余弦
【解析】【解答】 ? ? 故答案为：D. 【分析】由条件利用诱导公式求得sin（-）= ， 再利用两角和的余弦公式求得cos的值.
4.已知则（?）
A.???????????????????????????????????B.????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】二倍角的余弦
【解析】【解答】。故选Ｄ。 【分析】在三角恒等变换中，要用到的公式比较多，平时要多做一些题目去巩固这些公式。
5.1﹣2sin2 的值等于（?? ）
A.?0????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】二倍角的余弦
【解析】【解答】解：1﹣2sin2 =cos（2× ）=cos = ． 故选：C． 【分析】直接利用二倍角的余弦公式，特殊角的三角函数值即可化简得答案．
6.若 ，则 =（??? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】两角和与差的正切函数
【解析】解答：由 所以 .故选C. 分析：由题观察所给条件直接利用和角公式展开解方程即可得到所求角的正切.
7.的值为（???）
A.? ??????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.?3??????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】两角和与差的正切函数
【解析】【解答】 【分析】本题主要用到了公式的变形
8.cos215°﹣sin215°的值为（?? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】两角和与差的余弦函数
【解析】【解答】解：cos215°﹣sin215°=cos2×15°=cos30°= ． 故选C 【分析】将所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．
9.sin7°cos37°﹣sin83°sin37°的值为（? ）
A.?﹣ ?????????????????????????????????????B.?﹣ ?????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】两角和与差的正弦函数
【解析】【解答】解：sin7°cos37°﹣sin83°sin37° =sin7°cos37°﹣cos7°sin37° =sin（7°﹣37°） =sin（﹣30°） =﹣sin30° =﹣ ． 故选：B． 【分析】利用诱导公式，两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解．
10.对任意的锐角α、β，下列不等关系中正确的是（????）
A.?sin(α+β)>sinα+sinβ?????????????????????????????????????????B.?sin(α+β)>cosα+cosβ C.?cos(α+β)< sinα+sinβ???????????????????????????????????????D.?cos(α+β)< cosα+cosβ
【答案】D
【考点】两角和与差的余弦函数，两角和与差的正弦函数
【解析】【分析】对于AB中的α，β可以分别令为30°，60°则知道A，B均不成立，对于C中的α，β可以令他们都等于15°，则知道C不成立， cos（α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ 故选D 【点评】解决该试题的关键是A,BC可以运用特殊值法来验证，而对于D我们可以用放缩法给出证明。cos（α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ
11.已知tan（﹣α）= ， 则tan（+α）=（ ）
A.? ??B.?- ?????C.? ???D.?-
【答案】B
【考点】两角和与差的正切函数
【解析】【解答】解：∵tan（﹣α）= ， 则tan（+α）=﹣tan[π﹣（+α）]=﹣tan（﹣α）=﹣ ，
故选：B．
【分析】由条件利用诱导公式，两角和的正切公式，求得要求式子的值．
12.设sin（ +θ）= ，则sin2θ=（?? ）
A.?﹣ ???????????????????????????????????????B.?﹣ ???????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】二倍角的正弦
【解析】【解答】解：∵sin（ +θ）= ， ∴ （sinθ+cosθ）= ， ∴两边平方，可得： （1+sin2θ）= ， 解得：sin2θ=﹣ ， 故选：B． 【分析】将已知由两角和的正弦公式展开可得 （sinθ+cosθ）= ，两边平方可得 （1+sin2θ）= ，即可得解．
13.已知角 均为锐角，且cos = ，tan（ ? ）=? ，tan =（ ??）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?3
【答案】D
【考点】两角和与差的正切函数
【解析】【解答】∵角 ， 均为锐角，且cos = ，∴sin = ?= ， tan = ，又tan（ ? ）= = =? ，∴tan =3， 故答案为：D． 【分析】首先由同角三角函数的基本关系式求出sin α的值，再由已知条件由两角和差的正切公式代入数值求出tan β的值即可。
14.?（?）
A.?4??????????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】两角和与差的正弦函数，二倍角的正弦
【解析】【解答】.
15.已知sin（x+）= ， 则cosx+cos（﹣x）的值为（ ）
A.?-???????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.?-???????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】两角和与差的余弦函数
【解析】【解答】解：cosx+cos（﹣x）=cosx+cosx+sinx=cosx+sinx=sin（x+）= ， 故选：B． 【分析】根据两角和差的余弦公式和正弦公式计算即可．
16.已知 ， 则＝（?）
A.?－?????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】二倍角的正弦
【解析】【解答】因为， 所以<0，=－， 故选A。 【分析】基础题，涉及正弦、余弦函数的和积互化问题，往往通过平方实现。
17.sin15°+cos15°的值为（ ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】二倍角的正弦
【解析】【解答】sin15°+cos15°=（sin15°+cos15°） =（sin15°cos45°+cos15°sin45°） =sin（15°+45°）=sin60° =×= ． 故选C． 【分析】把原式通过两角和的正弦函数公式化简为一个角的一个三角函数的形式，然后利用特殊角的三角函数值求解即可。
18.=（?? ）
A.?﹣ ?????????????????????????????????????B.?﹣ ?????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】两角和与差的正弦函数
【解析】【解答】解： = = =sin30°= ． 故选C 【分析】将原式分子第一项中的度数47°=17°+30°，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，合并约分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．
19.在自然界中，存在着大量的周期函数，比如声波，若两个声波随时间的变化规律分别为： ， 则这两个声波合成后即的振幅为（???）
A.?3????????????????????????????????????????B.?6????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】两角和与差的余弦函数，两角和与差的正弦函数
【解析】【解答】由题知=， 提取得=， 将分别看成， ， 则=， 由两角和正弦公式得=， 由振幅的概念知，振幅为.∵===， ∴振幅为， 故选C.
二、填空题
20.已cosθ= ，则cos2θ=________．
【答案】-
【考点】二倍角的余弦
【解析】【解答】解：由二倍角的余弦公式可得 cos2θ=2cos2θ﹣1=2× ﹣1=﹣ ，
故答案为﹣ ．
【分析】直接利用二倍角的余弦公式可得 cos2θ=2cos2θ﹣1，运算求得结果．
21.计算：cos215°﹣sin215°=________．
【答案】
【考点】二倍角的余弦
【解析】【解答】解：由二倍角的余弦公式可得，
cos215°﹣sin215°=cos30°= ．
故答案为： ．
【分析】由二倍角的余弦公式可得 cos215°﹣sin215°=cos30°，从而得到结果．
22.已知sin（﹣x）= ， 则sin2x的值为________?
【答案】
【考点】二倍角的正弦
【解析】【解答】sin2x=cos（﹣2x）=1﹣2sin2（﹣x）= 故答案为 【分析】利用诱导公式和两角和公式对sin2x化简整理，然后把sin（﹣x）=代入即可得到答案．
23.已知cosθ=﹣ ，θ∈（ ，π），则cos（ ﹣θ）=________．
【答案】
【考点】两角和与差的余弦函数
【解析】【解答】解：∵cosθ=﹣ ，θ∈（ ，π），∴sinθ= = ， 则cos（ ﹣θ）=cos cosθ+sin sinθ= ?（﹣ ）+ ? = ， 故答案为： ． 【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sinθ的值，再利用两角和差的余弦公式求得cos（ ﹣θ）的值．
24.设 ， ，则 = ________．
【答案】
【考点】二倍角的正弦
【解析】【解答】因为 ， 所以 ? 因此 = ? . 【分析】利用二倍角的正弦公式求得cosα的值，根据特殊角的三角值可得α的值，再利用诱导公式求得tan（π-2α）的值．
25.已知 ，则 ?________．
【答案】
【考点】二倍角的正弦
【解析】【解答】 ?， 两边平方得： ?，则 . 【分析】由条件式，两边平方，再利用同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．
26.若α，β∈（0， ），sin（α﹣ ）= ，sin（ ﹣β）=﹣ ，则cos 的值等于________．
【答案】
【考点】两角和与差的余弦函数，两角和与差的正弦函数
【解析】【解答】解：∵α，β∈（0， ），
∴﹣ ＜α﹣ ＜ ，﹣ ＜ ﹣β＜ ，
又∵sin（α﹣ ）= ，sin（ ﹣β）=﹣ ，
∴cos（α﹣ ）= ，cos（ ﹣β）= ，
∴cos =cos[（α﹣ ）﹣（ ﹣β）]
=cos（α﹣ ）cos（ ﹣β）+sin（α﹣ ）sin（ ﹣β）
= =
故答案为：
【分析】由题意可得cos（α﹣ ）= ，cos（ ﹣β）= ，而cos =cos[（α﹣ ）﹣（ ﹣β）]=cos（α﹣ ）cos（ ﹣β）+sin（α﹣ ）sin（ ﹣β），代值计算可得．
27.若α+β= 则（1﹣tanα）（1﹣tanβ）的值为________．
【答案】2
【考点】两角和与差的正切函数
【解析】【解答】解：若α+β= ，则tan（α+β）=﹣1= ， ∴tanα+tanβ=tanαtanβ﹣1． ∴（1﹣tanα）（1﹣tanβ）=1﹣tanα﹣tanβ+tanαtanβ=1﹣（tanαtanβ﹣1）+tanαtanβ=2， 故答案为：2． 【分析】由题意可得tan（α+β）=﹣1= ，即tanα+tanβ=tanαtanβ﹣1，代入（1﹣tanα）（1﹣tanβ）的展开式，化简可得结果．
28.对于函数f（x）= （sinx+cosx）﹣ |cos﹣sinx|，下列说法正确的是________ ①当且仅当2kπ＜x＜2kπ+ （k∈Z）时，f（x）＞0； ②当且仅当x=2kπ+ （k∈Z）时，该函数取得最大值； ③该函数的值域是[﹣1，1]； ④该函数是以π为最小正周期的周期函数．
【答案】①
【考点】两角和与差的正弦函数
【解析】【解答】解：当sinx≥cosx时，f（x）= （sinx+cosx）+ （cos﹣sinx）=cosx； 当sinx＜cosx时，f（x）= （sinx+cosx）﹣ （cos﹣sinx）=sinx； 即f（x）= = ， ?作图如下： 由图可知，彩色区域为一个周期内（从﹣ ～ ）的图象， 当且仅当2kπ＜x＜2kπ+ （k∈Z）时，f（x）＞0，即①正确； 当且仅当x=2kπ+ （k∈Z）时，该函数取得最大值，故B错误； 该函数的值域是[﹣1， ]，故③错误； 该函数是以2π为最小正周期的周期函数，故④错误． 综上所述，①正确． 故答案为：①． 【分析】通过分段后，易得f（x）= ，作出其图象，对四个选项逐一分析即可．
29.在△ABC中，已知a=8，b=5，S△ABC=12，则cos2C=________
【答案】
【考点】二倍角的余弦
【解析】【解答】解：在△ABC中，∵a=8，b=5，S△ABC=12= absinC= sinC，
∴sinC= ，
∴cos2C=1﹣2sin2C=1﹣2×（ ）2= ．
故答案为： ．
【分析】由已知利用三角形面积公式可求sinC的值，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．
三、解答题
30.已知α是第二象限角，且 ， （Ⅰ）求cos2α的值； （Ⅱ）求的值．
【答案】（Ⅰ）因为α是第二象限角，， 所以，cos2α=1-2sin2α=1-2x=- （Ⅱ）又α是第二象限角，故cosα= 所以=
【考点】两角和与差的正弦函数，二倍角的余弦
【解析】【分析】（Ⅰ）由条件利用二倍角的余弦公式求得cos2α的值． （Ⅱ）利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，再利用两角和的正弦公式求得的值．
31.在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA= ， tan（A﹣B）=﹣ ．
求tanB的值；
【答案】解：锐角三角形ABC中，sinA=，
∴cosA=，tanA=；
又tan（A﹣B）===﹣，
∴解得tanB=2；
【考点】两角和与差的正切函数
【解析】【分析】根据同角的三角函数关系求出tanA，再利用两角差的正切公式，即可求出tanB；
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅲ）若 ，则 =（ ??）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?- ????????????????????????????????????????D.?-
【答案】B
【考点】二倍角的余弦
【解析】【解答】 故答案为：B 【分析】由余弦倍角公式，转化为一倍角正弦.
2.（2017·山东）已知cosx= ，则cos2x=（ ）
A.?﹣ ???????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.?﹣ ???????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】二倍角的余弦
【解析】【解答】解：∵cosx= ，则cos2x=2× ﹣1= ． 故选：D． 【分析】利用倍角公式即可得出．
二、填空题
3.（2018?卷Ⅱ）已知 ，则tan =________
【答案】
【考点】两角和与差的正切函数
【解析】【解答】∵ 即 ∴ = 【分析】由两角差的正切公式展开即可求 。
4.（2018?卷Ⅱ）已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0则sin（α+β）=________。
【答案】-
【考点】两角和与差的正弦函数
【解析】【解答】∵ ① ② ①2+②2得： 1+1+2sin（α+β）=1 ∴sin（α+β）=- 故答案为：- 【分析】把两式平方相加即可。
5.（2017?江苏）若tan（α﹣ ）= ．则tanα=________．
【答案】 ?
【考点】两角和与差的正切函数
【解析】【解答】解：∵tan（α﹣ ）= = = ∴6tanα﹣6=tanα+1， 解得tanα= ， 故答案为： ． 【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可
6.（2016?浙江）已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=________，b=________．
【答案】；1
【考点】两角和与差的正弦函数
【解析】【解答】解：∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+ （ cos2x+ sin2x）+1= sin（2x+ ）+1，∴A= ，b=1，故答案为： ；1． 【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案．本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握公式是解题的关键．
7.（2016?全国）已知θ是第四象限角，且sin（θ+ ）= ，则tan（θ﹣ ）=________．
【答案】
【考点】两角和与差的正切函数
【解析】【解答】解：∵θ是第四象限角，∴ ，则 ，又sin（θ+ ）= ，∴cos（θ+ ）= ．∴cos（ ）=sin（θ+ ）= ，sin（ ）=cos（θ+ ）= ．则tan（θ﹣ ）=﹣tan（ ）=﹣ = ．故答案为：﹣ ． 【分析】由θ得范围求得θ+ 的范围，结合已知求得cos（θ+ ），再由诱导公式求得sin（ ）及cos（ ），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ﹣ ）的值．；本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
8.（2016?四川） =________ ．
【答案】
【考点】二倍角的余弦
【解析】【解答】解：cos2﹣sin2=cos（2× ）=cos = ． 故答案为： 【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值，即可得到所求式子的值．；此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．
