2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第3章 第6节 简单的三角恒等变换
（学生版）
备战基础·零风险
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．
3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
4．能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．
半角公式
用cos α表示sin2，cos2，tan2.
sin2＝ ；
cos2＝ ；
tan2＝ .
用cos α表示sin，cos，tan.
sin＝ ；
cos＝ ；
tan＝ .
用sin α，cos α表示tan.
tan＝ ＝ .
备战方法·巧解题
规律
方法
1．解决给值求值问题的方法及思路
(1)给值求值问题，其关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异，经过适当变换已知式或变换欲求式解题．
(2)给值求值的重要思想是建立已知式与欲求式之间的联系，应注意“配角”方法的应用．
2．三角函数化简的思路及原则：
(1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次．
(2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面加以考虑：
①运用公式之后能否出现特殊角；
②运用公式之后能否进行提取公因式，能否约分，能否合并或消项；
③运用公式之后能否使三角函数式结构更加简单，各种关系更加明显，从而为下一步选用公式进行变换创造条件．
(3)对于三角函数的和差化积，有时因为使用公式不同，或选择题的思路不同，化积结果可能不一致．
3.三角恒等式证明的五种常用方法：
(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简．
(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．
(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．
(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”．
(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．
4.三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k(或y＝Acos(ωx＋φ)＋k)的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质
5.三角恒等变换的常见形式
三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明．
(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．
(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．
(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．
备战练习·固基石
一、单选题
1. 的值为（ ??）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
2.把函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是(???? )
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
3.当 时，函数f（x）=sinx+ cosx的（?? ）
A.?最大值是1，最小值是﹣1???????????????????????????????????B.?最大值是1，最小值是﹣ C.?最大值是2，最小值是﹣2???????????????????????????????????D.?最大值是2，最小值是﹣1
4.已知 ， 且 ， 则的是（??????）
A.???????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
5.θ∈[0，π]， ， 则=（ ）
A.? ????????B.? ?????C.?7????? ??D.?
6.已知锐角α满足cos2α=cos（-α），则sin2α等于（ ）
A.? ????B.?- ????????????????C.????????????????????????????????????????D.?-
7.＝( ??)
A.?4?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.?－2?????????????????????????????????????????D.?－4
8.函数的一个单调递减区间是(?????? )
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
9.sin15°cos165°的值是（ ）
A.??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.?-??? ?D.?-
10.若函数 ， 则属于（ ）．
A.?????????????????????????????????B.??????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
11.sin75ocos30o-cos75osin30o的值为????????（???）
A.?1????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
12.将函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得到的图象关于坐标原点对称，则 的最小值是（?? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
二、填空题
13.已知f（x）=sinx+cosx+2sinxcosx，x∈[0， ），则f（x）的值域为________．
14.已知a，b均为正数且acos2θ+bsin2θ≤6，则cos2θ+sin2θ的最大值为________?
15.已知sin ·cos = ，则tan =________.
16.已知 ，则 的值为________
17.把cos3a+cos5a化为积的形式，其结果为________?
18.已知sin（α﹣ ）=m，则cos2（ π﹣α）﹣tan（kπ+α﹣ ）?cos（α﹣ π）=________．
19.方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为________．
20.化简=________?
三、解答题（
21.已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx．
（1）求的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期和最小值．
22.已知函数f（x）=2cos2 ﹣2 sin cos ﹣1，x∈R． （I）求使得取f（x）得最大值的x的取值集合； （II）若g（x）=x+f（x），求g（x）的单调递减区间．
23.已知sinx= ， 角x终边在第一象限，求tan的值．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2a= ,则|a-b|=（ ??）
A. B. C. D.1
2.（2016?山东）函数f（x）=（ sinx+cosx）（ cosx﹣sinx）的最小正周期是（ ）
A.??????????????????????????????????????????B.?π?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?2π
二、填空题
3.（2017?新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=________．
4.（2016?上海）方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为________．
三、解答题
5.（2017?北京卷）已知函数f（x）= cos（2x﹣ ）﹣2sinxcosx．（13分） （Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求证：当x∈[﹣ ， ]时，f（x）≥﹣ ．
6.（2017?浙江）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx（x∈R）． （Ⅰ）求f（ ）的值． （Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．
7.（2016?山东）设f（x）=2 sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 ．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（ ）的值．
8.（2016?天津）已知函数f(x)=4tanxsin( )cos( )- .
（1）求f(x)的定义域与最小正周期；
（2）讨论f(x)在区间[ ]上的单调性.
9.（2016?山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）= ．
（1）证明：a+b=2c；
（2）求cosC的最小值．
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第3章 第6节 简单的三角恒等变换
（教师版）
备战基础·零风险
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．
3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
4．能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．
半角公式
用cos α表示sin2，cos2，tan2.
sin2＝；
cos2＝；
tan2＝.
用cos α表示sin，cos，tan.
sin＝± ；
cos＝± ；
tan＝± .
用sin α，cos α表示tan.
tan＝＝.
备战方法·巧解题
规律
方法
1．解决给值求值问题的方法及思路
(1)给值求值问题，其关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异，经过适当变换已知式或变换欲求式解题．
(2)给值求值的重要思想是建立已知式与欲求式之间的联系，应注意“配角”方法的应用．
2．三角函数化简的思路及原则：
(1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次．
(2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面加以考虑：
①运用公式之后能否出现特殊角；
②运用公式之后能否进行提取公因式，能否约分，能否合并或消项；
③运用公式之后能否使三角函数式结构更加简单，各种关系更加明显，从而为下一步选用公式进行变换创造条件．
(3)对于三角函数的和差化积，有时因为使用公式不同，或选择题的思路不同，化积结果可能不一致．
3.三角恒等式证明的五种常用方法：
(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简．
(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．
(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．
(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”．
(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．
4.三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k(或y＝Acos(ωx＋φ)＋k)的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质
5.三角恒等变换的常见形式
三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明．
(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．
(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．
(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．
备战练习·固基石
一、单选题
1. 的值为（ ??）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】三角函数的积化和差公式
【解析】【解答】解： = 。 故答案为：A. 【分析】由和差角公式即可求得。
2.把函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是(???? )
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】【分析】因为， 所以的图象向左平移m（m＞0)个单位后得：g(x)=f(x+m)=2sin(x+m-)，因为g(x)=2sin(x+m-)的图象关于y轴对称，所以g(x)=2sin(x+m-)为偶函数，所以m-=kπ+， k∈Z，所以m=kπ+， k∈Z．因为m＞0，所以mmin=． 故选D． 【点评】若函数y=Asin（ωx+φ)为偶函数，则；若函数y=Asin（ωx+φ)为奇函数，则。
3.当 时，函数f（x）=sinx+ cosx的（?? ）
A.?最大值是1，最小值是﹣1???????????????????????????????????B.?最大值是1，最小值是﹣ C.?最大值是2，最小值是﹣2???????????????????????????????????D.?最大值是2，最小值是﹣1
【答案】D
【考点】三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】解：∵f（x）=sinx+ cosx =2（ sinx+ cosx） =2sin（x+ ）， ∵ ， ∴f（x）∈[﹣1，2]， 故选D 【分析】首先对三角函数式变形，提出2变为符合两角和的正弦公式形式，根据自变量的范围求出括号内角的范围，根据正弦曲线得到函数的值域．
4.已知 ， 且 ， 则的是（??????）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】由得，， 即， ， 可得， 因为， 故， 所以， ． 故选C.
5.θ∈[0，π]， ， 则=（ ）
A.? ? ???B.? ?????C.?7 ?????D.?
【答案】B
【考点】半角的三角函数
【解析】【解答】∵∴所以，
故选：B．
【分析】由条件利用二倍角公式求得cos?和sin的值，再利用同角三角函数的基本关系式求得的值。
6.已知锐角α满足cos2α=cos（-α），则sin2α等于（ ）
A.? ??B.?-???????? ??????????C.????????????????????????????????????????D.?-
【答案】A
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】【解答】∵cos2α=cos2α﹣sin2α=（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）；①
cos（﹣α）=（cosα+sinα）；②
∵锐角α满足cos2α=cos（-α），③
∴由①②③得，cosα﹣sinα= ，
两边平方整理得：1﹣sin2α=?sin2α= ．
故选：A．
【分析】先根据二倍角公式以及和差角公式对已知条件两边整理得cosα﹣sinα= ， 再两边平方即可得到结论。
7.＝( ??)
A.?4?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.?－2?????????????????????????????????????????D.?－4
【答案】D
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】解答： ＝ ＝ ＝ ＝－4，故选D. 分析：由题根据所给三角函数式子的特征结合三角函数公式进行恰当的化简计算即可.
8.函数的一个单调递减区间是(?????? )
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】半角的三角函数，三角函数的积化和差公式
【解析】【解答】因为， 由， 即函数的递减区间为， 故选C。 【分析】基础题，为研究三角函数的性质，往往需要将三角函数式“化一”，再讨论。
9.sin15°cos165°的值是（ ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?- ?D.?-
【答案】C
【考点】三角函数的积化和差公式
【解析】【解答】sin15°cos165°
=sin15°cos（180°﹣15°）
=﹣sin15°cos15°
=﹣sin30°
=﹣
故选C
【分析】先通过诱导公式使cos165°=﹣cos15°，再利用倍角公式求出结果。
10.若函数 ， 则属于（ ）．
A.?????????????????????????????????B.???????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】【解答】， 因为， 所以， 故， 所以， 即， 比较四个答案，可选Ｂ． 【分析】三角恒等变化，求角的范围．
11.sin75ocos30o-cos75osin30o的值为????????（???）
A.?1????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】三角函数的积化和差公式
【解析】【分析】， 选C。
12.将函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得到的图象关于坐标原点对称，则 的最小值是（?? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】y= ?=2（sinxcos ?+cosxsin ?）=2sin（x+ ?）． 将函数的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，得到y=2sin[（x﹣m）+ ?]=2sin（x+ ?﹣m）的图象． ∵平移后得到的图象关于坐标原点对称， ∴ ?﹣m=kπ（k∈Z），可得m= ?﹣kπ（k∈Z）， 取k=0，得到m的最小正值为 ． 故答案为：C 【分析】本题给出三角函数表达式，已知函数图象右移m个单位个图象关于原点对称，求平移的最小长度．着重考查了三角恒等变换公式、正弦函数的图象与性质和函数图象平移公式等知识，属于中档题．
二、填空题
13.已知f（x）=sinx+cosx+2sinxcosx，x∈[0， ），则f（x）的值域为________．
【答案】
【考点】三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】解：f（x）=sinx+cosx+2sinxcosx，x∈[0， ），
化简f（x）=（sinx+cosx）2+sinx+cosx﹣1
设sinx+cosx=t，
则t= sin（x ），
那么函数化简为：g（t）=t2+t﹣1．
∵x∈[0， ），
∴x ∈[ ， ），
所以： ．
∵函数g（t）=t2+t﹣1．
开口向上，对称轴t= ，
∴ 是单调递增．
当t=1时，g（t）取得最小值为1，
当t= 时，g（t）取得最大值为 ，
所以函数的值域为 ．
故答案为 ．
【分析】将函数化简，利用换元法，结合三角函数的图象及性质求出换元参数的范围，再求f（x）的值域．
14.已知a，b均为正数且acos2θ+bsin2θ≤6，则cos2θ+sin2θ的最大值为________?
【答案】
【考点】三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】由柯西不等式可得：（acos2θ+bsin2θ）（cos2θ+sin2θ）≥（cos2θ+sin2θ）2的 ∴ 故答案为： 【分析】由柯西不等式可得：（acos2θ+bsin2θ）（cos2θ+sin2θ）≥（cos2θ+sin2θ）2 ， 再由已知易求．
15.已知sin ·cos = ，则tan =________.
【答案】2或
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】【解答】解：由题意可得： ， 即： ，解得： 或 . 即tan =2或 . 【分析】利用“1”的换元法，,通过三角函数的化简计算，即可得出答案。
16.已知 ，则 的值为________
【答案】
【考点】弦切互化
【解析】【解答】由 得 ，所以 . 【分析】先求得 tan θ的值，再利用将所给式子化为关于 tan θ的式子，即可求得所给式子的值.
17.把cos3a+cos5a化为积的形式，其结果为________?
【答案】2cos4acosa
【考点】三角函数的和差化积公式
【解析】【解答】∵cos3a+cos5a=2coscos=2cos4acosa
故答案为：2cos4acosa
【分析】根据和差化积公式cosα+cosβ=2coscos可直接得到答案。
18.已知sin（α﹣ ）=m，则cos2（ π﹣α）﹣tan（kπ+α﹣ ）?cos（α﹣ π）=________．
【答案】m2±
【考点】三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】解：∵sin（α﹣ ）=m，∴cos2（ π﹣α）﹣tan（kπ+α﹣ ）?cos（α﹣ π）=cos2[ ﹣（α﹣ ）]﹣tan（α﹣ ）?cos[（α﹣ ）﹣ ]
=sin2（α﹣ ）﹣tan（α﹣ ）?[﹣sin（α﹣ ）]=sin2（α﹣ ）+ =m2+ =m2± ，
故答案为：m2± ．
【分析】根据条件，把要求的式子利用三角恒等变换化为sin2（α﹣ ）+ ，从而求得结果．
19.方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为________．
【答案】 或
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，可得3sinx=2﹣2sin2x，
即2sin2x+3sinx﹣2=0．可得sinx=﹣2，（舍去）sinx= ，x∈[0，2π]
解得x= 或 ．
故答案为： 或 ．
【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可．
20.化简=________?
【答案】-1
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】【解答】tan70°cos10°（tan20°﹣1）
=cot20°cos10°（﹣1）
=2cot20°cos10°（sin20°﹣cos20°）
=2cos10°（sin20°cos30°﹣cos20°sin30°）
=2?sin（﹣10°）==﹣1．
故答案为：﹣1．
【分析】先把切转化成弦，进而利用诱导公式，两角和公式和二倍角公式对原式进行化简整理，求得答案。
三、解答题
21.已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx．
（1）求的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期和最小值．
【答案】（1）解：（1）f（x）=cos2x+1+sin2x=sin(2x+)+1， ∴=sin(+)+1=+1． （2）解：由（1）可知f（x）=sin(2x+)+1 ∴函数f（x）的最小正周期T==． 函数f（x）的最小值为：1-．
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】【分析】（1）利用二倍角、两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，代入求出函数的值即可． ????????????? （2）结合（1）的结论，利用周期公式求出函数的最小正周期，求出最小值即可。
22.已知函数f（x）=2cos2 ﹣2 sin cos ﹣1，x∈R． （I）求使得取f（x）得最大值的x的取值集合； （II）若g（x）=x+f（x），求g（x）的单调递减区间．
【答案】解：（ I）∵ ， 当 ，即 时，f（x）取得最大值2． 所以使得f（x）取得最大值的x的取值集合为 ． （ II）∵ ， ∴ ． 令g'（x）＜0，得 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，k∈Z， ∴ ，k∈Z， ∴g（x）的单调递减区间为 ，k∈Z
【考点】三角函数中的恒等变换应用
【解析】【分析】（I）化简函数f（x），求出f（x）得最大值的x的取值集合；（II）求函数g（x）的导数，利用函数单调性和导数之间的关系解g（x）的单调递减区间．
23.已知sinx= ， 角x终边在第一象限，求tan的值．
【答案】解：∵sinx=，角x终边在第一象限，∴cosx=∴tan==2+．
【考点】半角的三角函数
【解析】【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosx的值，再利用半角公式求得tanx的值。
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2a= ,则|a-b|=（ ??）
A. B. C. D.1
【答案】B
【考点】任意角的三角函数的定义，半角的三角函数
【解析】【解答】解： ，
又 ， ，
又 ，
故答案为：B.
【分析】由二倍角公式求出 即直线OAB的斜率,再由三角函数的定义求出a,b的值,然后求|a-b|的值.
2.（2016?山东）函数f（x）=（ sinx+cosx）（ cosx﹣sinx）的最小正周期是（ ）
A.????????????????????????????????????????B.?π???????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?2π
【答案】B
【考点】三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】解：数f（x）=（ sinx+cosx）（ cosx﹣sinx）=2sin（x+ ）?2cos（x+ ）=2sin（2x+ ）， ∴T=π， 故选：B 【分析】利用和差角及二倍角公式，化简函数的解析式，进而可得函数的周期．；本题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档．
二、填空题
3.（2017?新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=________．
【答案】
【考点】三角函数中的恒等变换应用，运用诱导公式化简求值，两角和与差的正弦函数，三角形的形状判断，正弦定理
【解析】【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得， 2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB， ∵sinB≠0， ∴cosB= ， ∵0＜B＜π， ∴B= ， 故答案为： 【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式计算即可
4.（2016?上海）方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为________．
【答案】或
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，可得3sinx=2﹣2sin2x，即2sin2x+3sinx﹣2=0．可得sinx=﹣2，（舍去）sinx= ，x∈[0，2π]解得x= 或 ．故答案为： 或 ． 【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可．；本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力．
三、解答题
5.（2017?北京卷）已知函数f（x）= cos（2x﹣ ）﹣2sinxcosx．（13分） （Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求证：当x∈[﹣ ， ]时，f（x）≥﹣ ．
【答案】解：（Ⅰ）f（x）= cos（2x﹣ ）﹣2sinxcosx， = （ co2x+ sin2x）﹣sin2x， = cos2x+ sin2x， =sin（2x+ ）， ∴T= =π， ∴f（x）的最小正周期为π， （Ⅱ）∵x∈[﹣ ， ]， ∴2x+ ∈[﹣ ， ]， ∴﹣ ≤sin（2x+ ）≤1， ∴f（x）≥﹣
【考点】三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域和值域，三角函数的最值
【解析】【分析】（Ⅰ）根据两角差的余弦公式和两角和正弦公式即可求出f（x）sin（2x+ ），根据周期的定义即可求出， （Ⅱ）根据正弦函数的图象和性质即可证明．
6.（2017?浙江）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx（x∈R）． （Ⅰ）求f（ ）的值． （Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．
【答案】解：∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx=﹣ sin2x﹣cos2x=2sin（2x+ ） （Ⅰ）f（ ）=2sin（2× + ）=2sin =2， （Ⅱ）∵ω=2，故T=π， 即f（x）的最小正周期为π， 由2x+ ∈[﹣ +2kπ， +2kπ]，k∈Z得： x∈[﹣ +kπ，﹣ +kπ]，k∈Z， 故f（x）的单调递增区间为[﹣ +kπ，﹣ +kπ]，k∈Z．
【考点】复合函数的单调性，三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的化简求值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性
【解析】【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式， （Ⅰ）代入可得：f（ ）的值． （Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得f（x）的最小正周期及单调递增区间
7.（2016?山东）设f（x）=2 sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 ．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（ ）的值．
【答案】（1）解：∵f（x）=2 sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 =2 sin2x﹣1+sin2x =2 ? ﹣1+sin2x =sin2x﹣ cos2x+ ﹣1 =2sin（2x﹣ ）+ ﹣1， 令2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，求得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ， 可得函数的增区间为[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z （2）解：把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x﹣ ）+ ﹣1的图象； 再把得到的图象向左平移 个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+ ﹣1的图象， ∴g（ ）=2sin + ﹣1=
【考点】三角函数中的恒等变换应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的增区间．（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，从而求得g（ ）的值．；本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求函数的值，属于基础题．
8.（2016?天津）已知函数f(x)=4tanxsin( )cos( )- .
（1）求f(x)的定义域与最小正周期；
（2）讨论f(x)在区间[ ]上的单调性.
【答案】（1）解： ? ? ? ?????? ． 定义域 , （2）解： ， ，设 ， ∵ 在 时单调递减，在 时单调递增 由 解得 ，由 解得 ∴函数 在 上单调增，在 上单调减
【考点】三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象
【解析】【分析】（1）利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式，结合三角函数的辅助角公式进行化简求解即可．（2）利用三角函数的单调性进行求解即可
9.（2016?山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）= ．
（1）证明：a+b=2c；
（2）求cosC的最小值．
【答案】（1）证明：由2（tanA+tanB）= 得： ； ∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB； ∴2sin（A+B）=sinA+sinB； 即sinA+sinB=2sinC（1）； 根据正弦定理， ； ∴ ， , ，带入（1）得： ； ∴a+b=2c； （2）解：a+b=2c； ∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2； ∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号； 又a，b＞0； ∴ ； ∴由余弦定理， = ； ∴cosC的最小值为
【考点】三角函数中的恒等变换应用，正弦定理，余弦定理
【解析】【分析】（1）由切化弦公式 ，带入 并整理可得2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+cosB，这样根据两角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC，从而根据正弦定理便可得出a+b=2c； （2）根据a+b=2c，两边平方便可得出a2+b2+2ab=4c2 ， 从而得出a2+b2=4c2﹣2ab，并由不等式a2+b2≥2ab得出c2≥ab，也就得到了 ，这样由余弦定理便可得出 ，从而得出cosC的范围，进而便可得出cosC的最小值． 考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为π，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式a2+b2≥2ab的应用，不等式的性质．
