2019备战高考数学全国真题精练（2016-2018）第3章 第8节 正弦定理和余弦定理的应用

2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第3章 第8节 正弦定理和余弦定理的应用
（学生版）
备战基础·零风险
1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
正弦定理和余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝ 。
(R为△ABC外接圆半径)
a2＝ 。
b2＝ 。
c2＝ 。
常见变形
(1)a＝ ，b＝2Rsin B，c＝ ；
(2)sin A＝，sin B＝ ，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝ 。
cos A＝ ；
cos B＝ ；
cos C＝ 。
解决的问题
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
(1)已知三边，求三个角；
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
。
bsin A＜a＜b
。
a＞b
解的个数
一解
。
一解
。
三角形中常用的面积公式
(1)S＝ ．
(2)S＝ ＝ ＝ ．
(3)S＝ ．
距离的测量
背景
可测元素
图形
目标及解法
两点均可到达
a，b，α
求AB：AB＝ ．
只有一点可到达
b，α，β
求AB：
＝π；
＝ ．
两点都不可到达
a，α，β，γ，θ
求AB：(1)△ACD中，
用 定理求AC；
(2)△BCD中，用 定理求BC；
(3)△ABC中，用 定理求AB
背景
可测元素
图形
目标及解法
底部可到达
a，α
求AB：AB＝ ．
底部不可到达
a，α，β
求AB：(1)在△ACD中用正弦定理求AD；(2)AB＝ ．
实际问题中常见的角
仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线 叫仰角，目标视线在水平视线 时叫俯角(如图1)．
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一条规律　在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B．
2．判断三角形形状的两种途径　一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.
3.已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
4. 解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．
5.在解决三角形问题中，面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.
6．在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．
7.(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念．
(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．
(3)注意竖直线垂直于地面构成直角三角形．
8. (1)对于和航行有关的问题，要抓住时间和路程两个关键量，解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件求解．
(2)根据示意图，把所求量放在有关三角形中，有时直接解此三角形解不出来，需要先在其他三角形中求解相关量．
9．解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题——建模(准确地画出图形)——求解——检验作答．
10．把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值．
11．解三角形应用题的两种情形
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．　
备战练习·固基石
一、单选题
1.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为 ， 则此人能（ ）
A.?不能作出这样的三角形.???????????????????????????????????????B.?作出一个锐角三角形.C.?作出一个直角三角形.??????????????????????????????????????????D.?作出一个钝角三角形.
2.在△ABC中， ， 那么△ABC一定是（ ??）
A.?锐角三角形????????????????B.?直角三角形????????????????C.?等腰三角形????????????????D.?等腰三角形或直角三角形
3.的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，a=80,b=100,A=30 ， 则此三角形（???）
A.?一定是锐角三角形??????????????????????????????????????????????B.?一定是直角三角形C.?一定是钝角三角形??????????????????????????????????????????????D.?可能是钝角三角形，也可能是锐角三角形
4. ， 最大值M,最小值N，则（???）
A.?M-N=4?????????????????????????????B.?M+N=4?????????????????????????????C.?M-N=2?????????????????????????????D.?M+N=2
5.在△ABC中，下列关系式不一定成立的是（???）。
A.?????????????????????????????B.?C.????????????????????????????????????????????D.?
6.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度为（?? ）
A.?40m????????????????????????????B.?20m????????????????????????????C.?305m????????????????????????????D.?（20 ﹣40）m
7.一艘轮船从海面上从A点出发，以40nmile/h的速度沿着北偏东30°的方向航行，在A点正西方有一点B，AB=10nmile，该船1小时后到达C点并立刻转为南偏东60°的方向航行，小时后到达D点，整个航行过程中存在不同的三点到B点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该数列的公比的数是（　　）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
8.已知在三角形ABC中，AB＜AC，∠BAC=90°，边AB，AC的长分别为方程 的两个实数根，若斜边BC上有异于端点的E，F两点，且EF=1，∠EAF=θ，则tanθ的取值范围为（?? ）
A.????????????????????????B.???? ???C.????????????????????????D.?
9.在△ABC中，cos2 = ，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（?? ）
A.?正三角形???????????????B.?直角三角形?????????C.?等腰三角形或直角三角形???????????????D.?等腰直角三角形
10.如果函数的图像关于直线对称，则??（????）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?1????????????????????????????????????????D.?-1
11.已知直角三角形的三边长都是整数且其面积与周长在数值上相等，那么这样的直角三角形有（　　）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
12.已知三角形面积为1，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为(　　)
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
13.在 中， 分别为角 的对边长， ，则三角形的形状为（?? ）
A.?等腰直角三角形???????????????B.?等腰三角形或直角三角形?????????C.?正三角形???????????????D.?直角三角形
14.在三角形ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c，若 ， a=2， ， 则B＝（　　　）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.?或??????????????????????????????????????D.?
二、填空题
15.某日中午12时整，甲船自A处以l6km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处以24km/h的速度向正南行驶，则当日l2时30分时两船之间的距离是________?km．
16.在△ABC中，BC=1，B= ，当△ABC的面积等于 时，AB= ________．
17.在△AOB中，O为坐标原点，A（1，cosθ），B（sinθ，1），θ∈（0， ]，则△AOB面积的最小值为________．
18.如图，在四边形ABCD中，∠ABD=45°，∠ADB=30°，BC=1，DC=2，cos∠BCD= ，则BD=________；三角形ABD的面积为________．

19.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 a=b，sin2B=2sinAsinC则cosB= ________
20.函数f（x）=2sin2x+sin2x的最大值为________
21.在△ABC中，∠A= ， D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且丨|2= ， 则∠B=________?．
22.如图，某数学兴趣小组为了测量西安大雁塔高AB，选取与塔底B在同一水平面 内的两个测点C与D．测得∠BCD=105°，∠BDC=45°，CD=26.4m，并在C点测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=________m．（ ≈2.45，结果精确到0.01）．
23.方程 有解，则 的取值范围是________.
24.某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东30°方向，与A相距6.0海里．船由A向正北方向航行8.1海里达到C处，这时灯塔B与船相距________?海里（精确到0.1海里）
三、解答题
25.已知△ABC中，内角A，B，C依次成等差数列，其对边分别为a，b，c，且b= asinB．
（1）求内角C；
（2）若b=2，求△ABC的面积．
26.如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C．为方便游客光，拟过曲线C上的某点分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的直角坐标系xoy，则曲线符合函数y=x+ （1≤x≤9）模型，设PM=x，修建两条道路PM，PN的总造价为f（x）万元，题中所涉及的长度单位均为百米．
（1）求f（x）解析式；
（2）当x为多少时，总造价f（x）最低？并求出最低造价．
27.海滨某城市A附近海面上有一台风，在城市A测得该台风中心位于方位角150°、距离400km的海面P处，并正以70km/h的速度沿北偏西60°的方向移动，如果台风侵袭的范围是半径为250km的圆形区域．
（1）几小时后该城市开始受到台风侵袭？
（2）该台风将持续影响该城市多长时间？ （参考数据： ）
28.在 中， ，点 在 边上，且 为锐角， 的面积为4.
（1）求 的值；
（2）求边 的长.
29.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAcosC+csinAcosA= c，D是AC的中点，且cosB= ，BD= ．
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC的最短边的边长．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅲ） 的内角 的对边分别为 ，若 的面积为 ，则 =(?? )
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
2.（2017?山东）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（　　）
A.?a=2b??????????????????????????????????B.?b=2a??????????????????????????????????C.?A=2B??????????????????????????????????D.?B=2A
3.（2017?新课标Ⅰ卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c= ，则C=（　　）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
4.（2016?全国）在△ABC中，B= ，BC边上的高等于 BC，则cosA=（　　）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.?﹣ ???????????????????????????????D.?﹣
5.（2016?全国）函数f（x）=cos2x+6cos（ ﹣x）的最大值为（　　）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?5???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?7
6.（2016?全国）在△ABC中，B= ，BC边上的高等于 BC，则sinA=（　　）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
二、填空题
7.（2017?新课标Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b= ，c=3，则A=________．?

8.（2017?浙江）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是________，com∠BDC=________．
9.（2017?新课标Ⅱ）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为________．
10.（2016?上海）若函数 的最大值为5，则常数 ________．
11.（2016?江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是________.?
12.（2016?全国）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA= ，cosC= ，a=1，则b=________．
13.（2016?上海）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________．
三、解答题
14.（2018?卷Ⅰ）在平面四边形 中，
（1）求 ;
（2）若 求 .
15.（2018?北京）在△ABC中，a=7,b=8,cosB=- ，（Ⅰ）求∠A：（Ⅱ）求AC边上的高。
16.（2018?北京）已知函数 （Ⅰ）求 的最小正周期（Ⅱ）若 在区间 上的最大值为 ，求 的最小值.
17.（2017?上海）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+ ，x∈（0，π）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a= ，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．
18.（2017?新课标Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ cosA=0，a=2 ，b=2．（Ⅰ）求c；（Ⅱ）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
19.（2017·天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB= ．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+ ）的值．
20.（2017·山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3， =﹣6，S△ABC=3，求A和a．
21.（2017?北京卷）已知函数f（x）= cos（2x﹣ ）﹣2sinxcosx．（13分）（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当x∈[﹣ ， ]时，f（x）≥﹣ ．
22.（2017?北京卷）在△ABC中，∠A=60°，c= a．（13分）
（1）求sinC的值；
（2）若a=7，求△ABC的面积．
23.（2017?新课标Ⅰ卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 ．（12分）
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．
24.（2017?新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2 ．（Ⅰ）求cosB；（Ⅱ）若a+c=6，△ABC面积为2，求b．
25.（2016?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B= bsinA．
（1）求B；
（2）已知cosA= ，求sinC的值．
26.（2016?北京）在 ABC中，
（1）求 ?的大小
（2）求 ?的最大值
27.（2016?江苏）在△ABC中，AC=6， ,
（1）求AB的长；
（2）求cos（A﹣ ）的值.?
28.（2016?全国）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（1）求C；
（2）若 的面积为 ，求△ABC的周长．

2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第3章 第8节 正弦定理和余弦定理的应用
（教师版）
备战基础·零风险
1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
正弦定理和余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
(R为△ABC外接圆半径)
a2＝b2＋c2－2bccos A
b2＝a2＋c2－2accos B
c2＝a2＋b2－2abcos C
常见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
解决的问题
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
(1)已知三边，求三个角；
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)．
(2)S＝bcsin A＝absin C＝acsin B.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)．
距离的测量
背景
可测元素
图形
目标及解法
两点均可到达
a，b，α
求AB：AB＝
只有一点可到达
b，α，β
求AB：(1)α＋β＋B＝π；(2)＝
两点都不可到达
a，α，β，γ，θ
求AB：(1)△ACD中，用正弦定理求AC；
(2)△BCD中，用正弦定理求BC；
(3)△ABC中，用余弦定理求AB
背景
可测元素
图形
目标及解法
底部可到达
a，α
求AB：AB＝atan_α
底部不可到达
a，α，β
求AB：(1)在△ACD中用正弦定理求AD；(2)AB＝ADsin_β
实际问题中常见的角
仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1)．
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一条规律　在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B．
2．判断三角形形状的两种途径　一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.
3.已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
4. 解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．
5.在解决三角形问题中，面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.
6．在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．
7.(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念．
(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．
(3)注意竖直线垂直于地面构成直角三角形．
8. (1)对于和航行有关的问题，要抓住时间和路程两个关键量，解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件求解．
(2)根据示意图，把所求量放在有关三角形中，有时直接解此三角形解不出来，需要先在其他三角形中求解相关量．
9．解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题——建模(准确地画出图形)——求解——检验作答．
10．把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值．
11．解三角形应用题的两种情形
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．　
备战练习·固基石
一、单选题
1.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为 ， 则此人能（ ）
A.?不能作出这样的三角形.???????????????????????????????????????B.?作出一个锐角三角形.C.?作出一个直角三角形.??????????????????????????????????????????D.?作出一个钝角三角形.
【答案】D
【考点】解三角形
【解析】【分析】由题意可知，三角形的高给出来，则其对应的三个底从大到小排列，分别为a,b,c，那么a>b>c, ， 则根据余弦定理可知最大边为a,则利用余弦定理可知该边所对角的余弦值为,可知最大角为钝角，因此选D.【点评】解决该试题的关键是根据解三角形中余弦定理来判定最大角是锐角，还是直角，或者是钝角，确定三角形的形状。
2.在△ABC中， ， 那么△ABC一定是（ ??）
A.?锐角三角形????????????????B.?直角三角形????????????????C.?等腰三角形????????????????D.?等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【考点】解三角形
【解析】【解答】， 所以△ABC一定是等腰三角形或直角三角形.选D.【分析】解决本小题的过程中，不要漏掉造成漏解。
3.的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，a=80,b=100,A=30 ， 则此三角形（???）
A.?一定是锐角三角形??????????????????????????????????????????????B.?一定是直角三角形C.?一定是钝角三角形??????????????????????????????????????????????D.?可能是钝角三角形，也可能是锐角三角形
【答案】C
【考点】解三角形
【解析】【解答】由正弦定理或， 当时有， 所以三角形是钝角三角形【分析】判定三角形形状一般求出三内角或三边长，通过角的大小或边长关系确定，本题中还可由余弦定理求得c边的长度，，由三边判定其形状
4. ， 最大值M,最小值N，则（???）
A.?M-N=4?????????????????????????????B.?M+N=4?????????????????????????????C.?M-N=2?????????????????????????????D.?M+N=2
【答案】D
【考点】三角函数的最值
【解析】【解答】根据题意，因为 故函数关于(0,1)对称，则可知其函数最大值和最小值的和为2，故选D.【分析】解决该试题的关键是对于函数解析式的化简，以及熟练的运用三角函数性质来求解最值。属于基础题
5.在△ABC中，下列关系式不一定成立的是（???）。
A.?????????????????????????????????????B.?C.????????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】解三角形
【解析】【解答】根据题意，由于对于A,显然成立，对于B，根据投影的定义可知成立，对于C，由于正弦定理可知不一定成立，而对于D，符合投影的运用，故答案为C.【分析】主要是考查了解三角形的运用，属于基础题。
6.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度为（?? ）
A.?40m????????????????????????????B.?20m????????????????????????????C.?305m????????????????????????????D.?（20 ﹣40）m
【答案】A
【考点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题题意，设AB=x，则BD= x，BC=x 在△DBC中，∠BCD=120°，CD=40，∴根据余弦定理，得BD2=BC2+CD2﹣2BC?CD?cos∠DCB即：（ x）2=（40）2+x2﹣2×40?x?cos120°整理得x2﹣20x﹣800=0，解之得x=40或x=﹣20（舍去）即所求电视塔的高度为40米．故选：A． 【分析】设出AB=x，由题意将BD、DC用x来表示，然后在△DBC中利用余弦定理建立方程求得x，即可得到电视塔的高度．
7.一艘轮船从海面上从A点出发，以40nmile/h的速度沿着北偏东30°的方向航行，在A点正西方有一点B，AB=10nmile，该船1小时后到达C点并立刻转为南偏东60°的方向航行，小时后到达D点，整个航行过程中存在不同的三点到B点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该数列的公比的数是（　　）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可知，AB=10，AC=40，CD=40 ， 则AE=20，DE=60，BD=90，B点和整个航行过程中最短距离为10，最长距离为90，因此最大的公比为3，故选D． 【分析】确定B点和整个航行过程中最短距离为10，最长距离为90，因此最大的公比为3，即可得出结论．
8.已知在三角形ABC中，AB＜AC，∠BAC=90°，边AB，AC的长分别为方程 的两个实数根，若斜边BC上有异于端点的E，F两点，且EF=1，∠EAF=θ，则tanθ的取值范围为（?? ）
A.?????????????????????B.???????????????C.????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：∵边AB，AC的长分别为方程 的两个实数根∴AC=2 ，AB=2， 在直角△ABC中，B= ，C= ，BC=4建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（2，0），C（0，2 ），得直线BC的方程为y= ，故设E（a， （2﹣a）），F（b， （2﹣b）），a＞b， ＜a＜2．则由EF= =2（a﹣b）=1，可得b=a﹣ ．∴tan∠BAE= ，tan∠BAF= ．∴tanθ=tan（∠BAF﹣∠BAE）= =﹣ = ．由 ＜a＜2和二次函数的性质可得t=4a2﹣14a+15∈[ ，9），∴ ∈（ ， ]．故选：C． 【分析】解方程可得AB，AC，建立坐标系，可得A（0，0），B（2，0），C（0，2 ），设E（a， （2﹣a）），F（b， （2﹣b）），a＞b， ＜a＜2．由EF=1，可得b=a﹣ ．可得tan∠BAE= ，tan∠BAF= ．即tanθ=tan（∠BAF﹣∠BAE）= =﹣ = ．由 ＜a＜2和二次函数的性质可得 ∈（ ， ]．
9.在△ABC中，cos2 = ，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（?? ）
A.?正三角形???????????????B.?直角三角形???????????????C.?等腰三角形或直角三角形???????????????D.?等腰直角三角形
【答案】B
【考点】解三角形
【解析】【解答】解：∵cos2 = ，∴ = ，∴cosB= ， ∴ = ，∴a2+c2﹣b2=2a2 ， 即a2+b2=c2 ， ∴△ABC为直角三角形．故选B【分析】利用二倍角公式代入cos2 = 求得cosB= ，进而利用余弦定理化简整理求得a2+b2=c2 ， 根据勾股定理判断出三角形为直角三角形．
10.如果函数的图像关于直线对称，则??（????）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?1????????????????????????????????????????D.?-1
【答案】D
【考点】三角函数的最值
【解析】【解答】由的图像关于直线对称，则在处取得最值，所以， 而， 所以， 故选D.
11.已知直角三角形的三边长都是整数且其面积与周长在数值上相等，那么这样的直角三角形有（　　）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
【答案】C
【考点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：设两条直角边为a，b，斜边为c，则面积S=ab，周长l=a+b+c，a2+b2=c2；又∵2ab=（a+b）2﹣（a2+b2）=（a+b）2﹣c2=（a+b+c）（a+b﹣c）∴ab=（a+b+c）（a+b﹣c），∵ab=a+b+c，∴（a+b+c）（a+b﹣c）/4=a+b+c∴（a+b﹣c）=1，∴a+b﹣c=4，∴a2+b2=c2=（a+b﹣4）2=a2+b2+16﹣8a﹣8b+2ab∴16﹣8a﹣8b+2ab=0，即ab﹣4a﹣4b+8=0，即（a﹣4）（b﹣4）=8，又∵边长为整数，∴a﹣4=1，2，4，8，﹣1，﹣2，﹣4，﹣8∴a=5，6，8，12，0，2，0，﹣4又∵a＞0，∴a=5，6，8，12，2，∴b=12，8，6，5，0，又∵a，b，c都是整数，∴有两种直角三角形，分别是6，8，10和5，12，13；故边长为整数，且面积等于周长的直角三角形一共有2个．【分析】设两条直角边为a，b，斜边为c，从而可得a2+b2=c2 ， ab=a+b+c，从而化简可得（a﹣4）（b﹣4）=8，从而解得．
12.已知三角形面积为1，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为(　　)
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
【答案】D
【考点】三角形中的几何计算，解三角形的实际应用
【解析】【分析】因为外接圆面积为， 所以外接圆半径。由三角形面积公式可知，。又,所以,即。所以选D。
13.在 中， 分别为角 的对边长， ，则三角形的形状为（?? ）
A.?等腰直角三角形???????????????B.?等腰三角形或直角三角形??????????????C.?正三角形??????????????D.?直角三角形
【答案】D
【考点】解三角形
【解析】【解答】∵ ，∴ ，即 ，去分母得： ? ，即 ，则 为直角三角形，故答案为：D.
【分析】根据余弦定理的变形，将cosA化为边之间的关系，得到a，b，c的关系，满足勾股定理，即可确定为直角三角形.
14.在三角形ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c，若 ， a=2， ， 则B＝（　　　）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.?或??????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】解三角形
【解析】【解答】由于为钝角，所以只有一解.由正弦定理得：， 选D.
二、填空题
15.某日中午12时整，甲船自A处以l6km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处以24km/h的速度向正南行驶，则当日l2时30分时两船之间的距离是________?km．
【答案】10
【考点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：从中午12时整到当日l2时30分时，两船航行的时间都是0.5h如图，设甲船自A处以l6km/h的速度向正东行驶到达B处，乙船中午12时整在点A的正北18km的D处，根据乙船的速度为以24km/h，得经过0.5小时它的行程为DC=0.5×24=12km∴AC=AD﹣DC=6km∵甲船自A处以l6km/h的速度向正东行驶，∴Rt△ABC中，AB═0.5×16=8km由勾股定理，得BC= =10km即两船之间的距离是10km 【分析】如图，设甲船自A处以l6km/h的速度向正东行驶到达B处，乙船中午12时整在点A的正北18km的D处，算出经过0.5小时乙船的行程为DC=12km，从而得到AC=AD﹣DC=6km，再在Rt△ABC中算出AB=8km，利用勾股定理算出BC长，即得两船之间的距离．
16.在△ABC中，BC=1，B= ，当△ABC的面积等于 时，AB= ________．
【答案】4
【考点】解三角形
【解析】【解答】由三角形面积公式 得
【分析】结合三角形面积计算公式，即可得出答案。
17.在△AOB中，O为坐标原点，A（1，cosθ），B（sinθ，1），θ∈（0， ]，则△AOB面积的最小值为________．
【答案】
【考点】三角函数的最值
【解析】【解答】解：如图单位圆O与x轴交于M，与y轴交于N， 过M，N作y轴和x轴的平行线交于P，则S△OAB=S正方形OMPN﹣S△OMA﹣S△ONB﹣S△ABP=1﹣ （sinθ×1）﹣ （cosθ×1）﹣ （1﹣sinθ）（1﹣cosθ）= ﹣ sincosθ= ﹣ sin2θ，因为θ∈（0， ]，2θ∈（0，π]，所以当2θ= 即θ= 时，sin2θ最大为1，三角形的面积最小，最小面积为 ．故答案为： ． 【分析】根据题意在平面直角坐标系中，画出单位圆O，单位圆O与x轴交于M，与y轴交于N，过M，N作y轴和x轴的平行线交于P，角θ如图所示，所以三角形AOB的面积就等于正方形OMPN的面积减去三角形OAM的面积减去三角形OBN的面积，再减去三角形APB的面积，分别求出各自的面积，利用二倍角的正弦函数公式得到一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域及角度的范围即可得到三角形面积的最小值．
18.如图，在四边形ABCD中，∠ABD=45°，∠ADB=30°，BC=1，DC=2，cos∠BCD= ，则BD=________；三角形ABD的面积为________．
【答案】2； ﹣1
【考点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：△CBD中，由余弦定理，可得，BD= =2， △ABD中，利用正弦定理，可得AD= =2 ﹣2，∴三角形ABD的面积为 （2 ﹣2）× = ﹣1，故答案为2， ﹣1．【分析】△CBD中，由余弦定理，可得，BD，△ABD中，利用正弦定理，可得AD，利用三角形的面积公式，可得结论．
19.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 a=b，sin2B=2sinAsinC则cosB= ________
【答案】
【考点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 a=b，sin2B=2sinAsinC，
∴由正弦定理得b2=2ac，
∴a=b=2c，
∴cosB= = = = = ．
故答案为： ．
【分析】由正弦定理得b2=2ac，从而a=b=2c，由此利用余弦定理能求出cosB．
20.函数f（x）=2sin2x+sin2x的最大值为________
【答案】1+
【考点】三角函数的最值
【解析】【解答】解：由三角函数公式化简可得f（x）=2sin2x+sin2x
=1﹣cos2x+sin2x=1+ sin（2x﹣ ），
∴当sin（2x﹣ ）=1时，原式取到最大值1+ ，
故答案为：1+ ．
【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=1+ sin（2x﹣ ），易得函数的最值．
21.在△ABC中，∠A= ， D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且丨|2= ， 则∠B=________?．
【答案】
【考点】解三角形
【解析】【解答】解：做高AE，不妨设E在CD上，设AE=h，CE=x，CD=p，BD=q，则DE=p﹣x，BE=p+q﹣x，则AD2=AE2+DE2=h2+（p﹣x）2 ， AB2=AE2+BE2=h2+（p+q﹣x）2 ， AB2﹣AD2=（p+q﹣x）2﹣（p﹣x）2=q（q+2p﹣2x），即pq=BD?CD=q（q+2p﹣2x），q≠0，所以 p=q+2p﹣2x，x= ， 即E为BC中点，于是ABC为等腰三角形．顶角为 ， 则底角B=故答案为 ． 【分析】做高AE，不妨设E在CD上，设AE=h，CE=x，CD=p，BD=q，则DE=p﹣x，BE=p+q﹣x，根据勾股定理可分别表示出AD2和AB2 ， 进而求得的表达式，根据题设等式可知pq=BD?CD，进而化简整理求得x= ， 推断出ABC为等腰三角形．进而根据顶角求得B．
22.如图，某数学兴趣小组为了测量西安大雁塔高AB，选取与塔底B在同一水平面 内的两个测点C与D．测得∠BCD=105°，∠BDC=45°，CD=26.4m，并在C点测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=________m．（ ≈2.45，结果精确到0.01）．
【答案】64.68
【考点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在△BCD中，∠CBD=180°﹣45°﹣105°=30°， 由正弦定理得 ，即 ，解得BC=26.4× ，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB= = ，∴AB= BC=26.4× ≈64.68．故答案为：64.68．【分析】先在△BCD中利用正弦定理计算BC，再在△ABC中求出AB．
23.方程 有解，则 的取值范围是________.
【答案】
【考点】三角函数的最值
【解析】【解答】原题意等价于求 的值域， ，当 时， ，当 时， ，∴ ，
故答案为 .
【分析】利用参数分离法，原题意等价于求 k = ? sin? x ? cos x 的值域，利用二次函数的图象和性质即可得到结论．
24.某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东30°方向，与A相距6.0海里．船由A向正北方向航行8.1海里达到C处，这时灯塔B与船相距________?海里（精确到0.1海里）
【答案】4.2
【考点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由余弦定理可得BC=≈4.2海里．故答案为：4.2． 【分析】直接由余弦定理可得结论．
三、解答题
25.已知△ABC中，内角A，B，C依次成等差数列，其对边分别为a，b，c，且b= asinB．
（1）求内角C；
（2）若b=2，求△ABC的面积．
【答案】（1）解：由题意，A，B，C依次成等差数列，根据三角内角和定理可得B=60°，∵b= asinB．由正弦定理：sinB= sinAsinB得：sinA= ，∴A=45°．故得C=180°﹣60°﹣45°=75°．（2）解：∵b=2，B=60°，C=75°．正弦定理： 可得：c= ．∴△ABC的面积S=bcsinA=1+．
【考点】三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由已知可得B=60°，利用正弦定理可得sinA的值，即得A=45°，C=75°。（2）根据正弦定理可得c的值，代入到三角形的面积公式△ABC的面积S=? bcsinA即得结果。
26.如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C．为方便游客光，拟过曲线C上的某点分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的直角坐标系xoy，则曲线符合函数y=x+ （1≤x≤9）模型，设PM=x，修建两条道路PM，PN的总造价为f（x）万元，题中所涉及的长度单位均为百米．
（1）求f（x）解析式；
（2）当x为多少时，总造价f（x）最低？并求出最低造价．
【答案】（1）解：在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为 ，所以点P坐标为 ，直线OB的方程为x﹣y=0，则点P到直线x﹣y=0的距离为 ，又PM的造价为5万元/百米，PN的造价为40万元/百米．则两条道路总造价为 ．答：两条道路PM，PN总造价f（x）为 （1≤x≤9）；（2）因为 ，所以 ，令f'（x）=0，得x=4，列表如下：
x
（1，4）
4
（4，9）
f'（x）
﹣
0
﹣
f（x）
单调递减
极小值
单调递增
所以当x=4时，函数f（x）有最小值，最小值为 ．答：当x=4时，总造价最低，最低造价为30万元．???
【考点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）由题意求出点P的坐标以及直线OB的方程根据点到直线的距离公式即可求出f（x）解析式。（2）利用导函数求出极值即为最低造价。
27.海滨某城市A附近海面上有一台风，在城市A测得该台风中心位于方位角150°、距离400km的海面P处，并正以70km/h的速度沿北偏西60°的方向移动，如果台风侵袭的范围是半径为250km的圆形区域．
（1）几小时后该城市开始受到台风侵袭？
（2）该台风将持续影响该城市多长时间？ （参考数据： ）
【答案】（1）解：设台风中心在点B处时该城市开始受到台风侵袭，即BA=250km， 由题AP=400，∠APB=30°，由余弦定理得 ，解得 舍去），∴ ．故2.8小时后该城市开始受到台风侵袭（2）解：设台风中心移到点C处时 AC=250（与B不重合） 由（1）知 ，故BC=300km∴ 即该台风中心持续影响该城市4.29小时
【考点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）由余弦定理求出BP，即可得出结论；（2）设台风中心移到点C处时 AC=250（与B不重合）由（1）知 ，故BC=300km，即可得出结论．
28.在 中， ，点 在 边上，且 为锐角， 的面积为4.
（1）求 的值；
（2）求边 的长.
【答案】（1）解: ∵ ， ，∴ .∴ （2）解: 在 中， ，由余弦定理得： ，即 ，∵ ，∴ ，即 为直角三角形，∵ ，∴
【考点】三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)由三角形的面积公式,结合条件求出角的正弦,再由同角关系求余弦;(2)由余弦定理求出DB,得到三角形ACD为直角三角形,再求AC.
29.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAcosC+csinAcosA= c，D是AC的中点，且cosB= ，BD= ．
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC的最短边的边长．
【答案】（1）解：∵cosB= ，∴sinB= ，又∵asinAcosC+csinAcosA= c，∴正弦定理化简可得：sinAcosCsinA+sinAsinCcosA= sinC．即sinA（cosCsinA+sinCcosA）= sinC∴sinAsinB= sinC，∵A+B+C=π，∴C=π﹣（A+B）∴sinAsinB= sin（A+B） sinA= sinAcosB+ cosAsinB，∴sinA=cosA．即tanA=1，∵0＜A＜π，∴A= ．（2）D是AC的中点，且cosB= ，BD= ，根据余弦定理得c2+ b2﹣ bc=26∵ sinA= sinC，且sinB× = sinC∴ 解得：a=2 ．b=2 ，c=6∴△ABC的最短边的边长2 ．
【考点】三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简并根据和与差的公式即可求出角A的值。（2）根据余弦定理建立关系求解出a、b、c的值即可得到△ABC的最短边的边长。
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅲ） 的内角 的对边分别为 ，若 的面积为 ，则 =(?? )
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】余弦定理的应用，三角形中的几何计算
【解析】【解答】 故答案为：C【分析】由余弦定理和三角形的面积公式构建三角方程，即可求出C.
2.（2017?山东）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（　　）
A.?a=2b??????????????????????????????????B.?b=2a??????????????????????????????????C.?A=2B??????????????????????????????????D.?B=2A
【答案】A
【考点】两角和与差的正弦函数，正弦定理，三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB，可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA，由正弦定理可得：2b=a．故选：A．【分析】利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化简通过正弦定理推出结果即可．
3.（2017?新课标Ⅰ卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c= ，则C=（　　）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】运用诱导公式化简求值，两角和与差的正弦函数，正弦定理，解三角形
【解析】【解答】解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵0＜A＜π，∴A= ，由正弦定理可得 = ，∴sinC= ，∵a=2，c= ，∴sinC= = = ，∵a＞c，∴C= ，故选：B．【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可
4.（2016?全国）在△ABC中，B= ，BC边上的高等于 BC，则cosA=（　　）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.?﹣ ???????????????????????????????D.?﹣
【答案】C
【考点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B= ，BC边上的高AD=h= BC= a，∴BD=AD= a，CD= a，在Rt△ADC中，cosθ= = = ，故sinθ= ，∴cosA=cos（ +θ）=cos cosθ﹣sin sinθ= × ﹣ × =﹣ ．故选：C．【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ= = = ，sinθ= ，利用两角和的余弦即可求得答案．本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA是关键，也是亮点，属于中档题．
5.（2016?全国）函数f（x）=cos2x+6cos（ ﹣x）的最大值为（　　）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?5???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?7
【答案】B
【考点】三角函数的最值
【解析】【解答】解：函数f（x）=cos2x+6cos（ ﹣x）=1﹣2sin2x+6sinx，令t=sinx（﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t2+6t+1=﹣2（t﹣ ）2+ ，由 ?[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增，即有t=1即x=2kπ+ ，k∈Z时，函数取得最大值5．故选：B．【分析】运用二倍角的余弦公式和诱导公式，可得y=1﹣2sin2x+6sinx，令t=sinx（﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t2+6t+1，配方，结合二次函数的最值的求法，以及正弦函数的值域即可得到所求最大值．；本题考查三角函数的最值的求法，注意运用二倍角公式和诱导公式，同时考查可化为二次函数的最值的求法，属于中档题．
6.（2016?全国）在△ABC中，B= ，BC边上的高等于 BC，则sinA=（　　）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】三角形中的几何计算，解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，B= ，BC边上的高等于 BC， ∴AB= BC，由余弦定理得：AC= = = BC，故 BC? BC= AB?AC?sinA= ? BC? BC?sinA，∴sinA= ，故选：D【分析】由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出AB，AC，再由三角形面积公式，可得sinA．；本题考查的知识眯是三角形中的几何计算，熟练掌握正弦定理和余弦定理，是解答的关键．
二、填空题
7.（2017?新课标Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b= ，c=3，则A=________．

【答案】75°
【考点】正弦定理，三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：根据正弦定理可得 = ，C=60°，b= ，c=3，∴sinB= = ，∵b＜c，∴B=45°，∴A=180°﹣B﹣C=180°﹣45°﹣60°=75°，故答案为：75°．【分析】根据正弦定理和三角形的内角和计算即可
8.（2017?浙江）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是________，com∠BDC=________．
【答案】；
【考点】二倍角的余弦，三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：如图，取BC得中点E，∵AB=AC=4，BC=2，∴BE= BC=1，AE⊥BC，∴AE= = ，∴S△ABC= BC?AE= ×2× = ，∵BD=2，∴S△BDC= S△ABC= ，∵BC=BD=2，∴∠BDC=∠BCD，∴∠ABE=2∠BDC在Rt△ABE中，∵cos∠ABE= = ，∴cos∠ABE=2cos2∠BDC﹣1= ，∴cos∠BDC= ，故答案为： ， 【分析】如图，取BC得中点E，根据勾股定理求出AE，再求出S△ABC ， 再根据S△BDC= S△ABC即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出
9.（2017?新课标Ⅱ）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为________．
【答案】?
【考点】三角函数的最值
【解析】【解答】解：函数f（x）=2cosx+sinx= （ cosx+ sinx）= sin（x+θ），其中tanθ=2，可知函数的最大值为： ．故答案为： ．【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可．
10.（2016?上海）若函数 的最大值为5，则常数 ________．
【答案】±3
【考点】两角和与差的正弦函数，三角函数的最值
【解析】【解答】 ，其中 ，故函数 的最大值为 ，由已知， ，解得 ．【分析】利用辅助角公式化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的最大值为5，求得a的值．本题主要考查辅助角公式，正弦函数的值域，属于基础题．
11.（2016?江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是________.?
【答案】8
【考点】三角函数的最值，解三角形
【解析】【解答】由 ， ，可得 （*），由三角形 为锐角三角形，则 ，在（*）式两侧同时除以 cosBcosC,可得 ，又 (#)，则 ，由 可得 ，令 ，由 为锐角可得 ，由(#)得 ，解得 ， ，由 则 ，因此 最小值为 ，当且仅当 时取到等号，此时 ， ，解得 （或 互换），此时 均为锐角【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，进而得到tanB+tanC=2tanBtanC，结合函数特性可求得最小值
12.（2016?全国）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA= ，cosC= ，a=1，则b=________．
【答案】
【考点】解三角形
【解析】【解答】解：由cosA= ，cosC= ，可得 sinA= = = ，sinC= = = ，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC= × + × = ，由正弦定理可得b= = = ．故答案为： ．【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b= ，代入计算即可得到所求值．；本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题．
13.（2016?上海）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________．
【答案】
【考点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，由余弦定理可得，cosC= = =﹣ ，可得sinC= = = ，可得该三角形的外接圆半径为 =? = ．故答案为： ．【分析】可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，运用余弦定理可得cosC，由同角的平方关系可得sinC，再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为 ，代入计算即可得到所求值．；本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属于基础题．
三、解答题
14.（2018?卷Ⅰ）在平面四边形 中，
（1）求 ;
（2）若 求 .
【答案】（1）解：在 中，由正弦定理得 .由题设知， ，所以 .由题设知， ，所以 .（2）解：由题设及（1）知， .在 中，由余弦定理得 .所以 .
【考点】三角形中的几何计算
【解析】【分析】:(1)在三角形ABD中,由正弦定理求出 ,再由同角关系式求出 ;(2)由 ,求出 ,再在 中由余弦定理求出BC.
15.（2018?北京）在△ABC中，a=7,b=8,cosB=- ，（Ⅰ）求∠A：（Ⅱ）求AC边上的高。
【答案】解：（Ⅰ） ABC中，∵ ，由正弦定理得： ,∴ 或 ，又B> ，所以 。（Ⅱ）设AB边上的高为h,则h=asinC.又 ,而h= 。
【考点】正弦定理的应用，解三角形
【解析】【分析】（1）先由正弦定理，求出sinA，再由B角范围，进一步确定A；（2）由h=asinC发现反需求出sinC,又已知A,B由和角公式，则h可求出。
16.（2018?北京）已知函数 （Ⅰ）求 的最小正周期（Ⅱ）若 在区间 上的最大值为 ，求 的最小值.
【答案】解：（Ⅰ）∵ = = 。T= ，∴最小正周期为 。（Ⅱ）∵ ， ，∴ ，即 时， ，∴ ， ，∴m最小值为 。
【考点】三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值
【解析】【分析】（Ⅰ）正弦，余弦、二倍角公式降幂，引入辅助角公式化为一个角。（Ⅱ）先求出 范围，再考虑右端点至少到哪。
17.（2017?上海）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+ ，x∈（0，π）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a= ，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．
【答案】（1）解：函数f（x）=cos2x﹣sin2x+ =cos2x+ ，x∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣ π≤x≤kπ，k∈Z，k=1时， π≤x≤π，可得f（x）的增区间为[ ，π）（2）解：设△ABC为锐角三角形， 角A所对边a= ，角B所对边b=5，若f（A）=0，即有cos2A+ =0，解得2A= π，即A= π，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则cosB= ＜0，即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC的面积为S= bcsinA= ×5×3× =
【考点】三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f（A）=0，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．
18.（2017?新课标Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ cosA=0，a=2 ，b=2．（Ⅰ）求c；（Ⅱ）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
【答案】解：（Ⅰ）∵sinA+ cosA=0，∴tanA= ，∵0＜A＜π，∴A= ，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，即28=4+c2﹣2×2c×（﹣ ），即c2+2c﹣24=0，解得c=﹣6（舍去）或c=4， （Ⅱ）∵c2=b2+a2﹣2abcosC，∴16=28+4﹣2×2 ×2×cosC，∴cosC= ，∴sinC= ，∴tanC= 在Rt△ACD中，tanC= ，∴AD= ，∴S△ACD= AC?AD= ×2× = ，∵S△ABC= AB?AC?sin∠BAD= ×4×2× =2 ，∴S△ABD=S△ABC﹣S△ADC=2 ﹣ =
【考点】同角三角函数基本关系的运用，余弦定理的应用，三角形中的几何计算
【解析】【分析】（Ⅰ）先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求出，（Ⅱ）先根据夹角求出cosC，求出AD的长，再求出△ABC和△ADC的面积，即可求出△ABD的面积．
19.（2017·天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB= ．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+ ）的值．
【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sinB= ，可得cosB= ．由已知及余弦定理，有 =13，∴b= ．由正弦定理 ，得sinA= ．∴b= ，sinA= ；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA= ，∴sin2A=2sinAcosA= ，cos2A=1﹣2sin2A=﹣ ．故sin（2A+ ）= = ．
【考点】同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数，正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算
【解析】【分析】（Ⅰ）由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinA；（Ⅱ）由同角三角函数基本关系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A，展开两角和的正弦得答案．
20.（2017·山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3， =﹣6，S△ABC=3，求A和a．
【答案】解：由 =﹣6可得bccosA=﹣6，①，由三角形的面积公式可得S△ABC= bcsinA=3，②∴tanA=﹣1，∵0＜A＜180°，∴A=135°，∴c= =2 ，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=9+8+12=29∴a=
【考点】平面向量数量积的运算，余弦定理的应用，三角形中的几何计算
【解析】【分析】根据向量的数量积和三角形的面积公式可得tanA=﹣1，求出A和c的值，再根据余弦定理即可求出a．
21.（2017?北京卷）已知函数f（x）= cos（2x﹣ ）﹣2sinxcosx．（13分）（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当x∈[﹣ ， ]时，f（x）≥﹣ ．
【答案】解：（Ⅰ）f（x）= cos（2x﹣ ）﹣2sinxcosx，= （ co2x+ sin2x）﹣sin2x，= cos2x+ sin2x，=sin（2x+ ），∴T= =π，∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[﹣ ， ]，∴2x+ ∈[﹣ ， ]，∴﹣ ≤sin（2x+ ）≤1，∴f（x）≥﹣
【考点】三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域和值域，三角函数的最值
【解析】【分析】（Ⅰ）根据两角差的余弦公式和两角和正弦公式即可求出f（x）sin（2x+ ），根据周期的定义即可求出，（Ⅱ）根据正弦函数的图象和性质即可证明．
22.（2017?北京卷）在△ABC中，∠A=60°，c= a．（13分）
（1）求sinC的值；
（2）若a=7，求△ABC的面积．
【答案】（1）解：∠A=60°，c= a，由正弦定理可得sinC= sinA= × = ，（2）解：a=7，则c=3，∴C＜A，由（1）可得cosC= ，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC= × + × = ，∴S△ABC= acsinB= ×7×3× =6 ．
【考点】同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数，正弦定理，三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1.）根据正弦定理即可求出答案，（2.）根据同角的三角函数的关系求出cosC，再根据两角和正弦公式求出sinB，根据面积公式计算即可．
23.（2017?新课标Ⅰ卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 ．（12分）
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．
【答案】（1）解：由三角形的面积公式可得S△ABC= acsinB= ，∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC= ；（2）解：∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC= ，∴cosBcosC﹣sinBsinC= ﹣ =﹣ ，∴cos（B+C）=﹣ ，∴cosA= ，∵0＜A＜π，∴A= ，∵ = = =2R= =2 ，∴sinBsinC= ? = = = ，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c= ∴周长a+b+c=3+ ．
【考点】两角和与差的余弦函数，正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1.）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，（2.）根据两角余弦公式可得cosA= ，即可求出A= ，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．
24.（2017?新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2 ．（Ⅰ）求cosB；（Ⅱ）若a+c=6，△ABC面积为2，求b．
【答案】解：（Ⅰ）sin（A+C）=8sin2 ，∴sinB=4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，∴cosB= ；（Ⅱ）由（1）可知sinB= ，∵S△ABC= ac?sinB=2，∴ac= ，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2× × =a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，∴b=2．
【考点】同角三角函数间的基本关系，运用诱导公式化简求值，二倍角的正弦，余弦定理，三角形中的几何计算
【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角形的内角和定理可知A+C=π﹣B，再利用诱导公式化简sin（A+C），利用降幂公式化简8sin2 ，结合sin2B+cos2B=1，求出cosB，（Ⅱ）由（1）可知sinB= ，利用勾面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求出b．
25.（2016?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B= bsinA．
（1）求B；
（2）已知cosA= ，求sinC的值．
【答案】（1）解：∵asin2B= bsinA，∴2sinAsinBcosB= sinBsinA，∴cosB= ，∴B= （2）解：∵cosA= ，∴sinA= ，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=
【考点】解三角形
【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角即可得出cosB；（2）求出sinA，利用两角和的正弦函数公式计算．；本题考查了正弦定理解三角形，两角和的正弦函数，属于基础题．
26.（2016?北京）在 ABC中，
（1）求 ?的大小
（2）求 ?的最大值
【答案】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ （2）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 最大值为1上式最大值为1
【考点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）根据已知和余弦定理，可得cosB= ，进而得到答案；（2）由（I）得：C= ﹣A，结合正弦型函数的图象和性质，可得 cosA+cosC的最大值．
27.（2016?江苏）在△ABC中，AC=6， ,
（1）求AB的长；
（2）求cos（A﹣ ）的值.?
【答案】（1）解： ， 为三角形的内角 ，即： （2）解： 又 为三角形的内角
【考点】正弦定理，余弦定理，解三角形
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的长；（2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A﹣ ）的值
28.（2016?全国）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（1）求C；
（2）若 的面积为 ，求△ABC的周长．
【答案】（1）解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，∵sinC≠0，sin（A+B）=sinC∴cosC= ，又0＜C＜π，∴C= （2）解：由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab? ，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S= absinC= ab= ，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+ ．
【考点】解三角形
【解析】【分析】解三角形.（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长.此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．