2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第4章 第3节 平面向量的数量积（学生版）
备战基础·零风险
1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．
2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．
3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
平面向量的数量积
定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ 叫作a与b的 ，记作 ，即a·b＝ ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝ .
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 的乘积．
平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
数量积
a·b＝ ＝ .
模
|a|＝ ＝ .
夹角
cos θ＝＝ .
两非零向量a⊥b的充要条件
a·b＝0? .
|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)? .
平面向量数量积的运算律
交换律
a·b＝ ．
结合律
λa·b＝ ＝ .
分配律
(a＋b)·c＝ .
备战方法·巧解题
规律
方法
1.三个防范 一是两个向量的数量积是一个数量，而不是向量；
二是在向量数量积的几何意义中，投影是一个数量，不是向量．设向量a，b的夹角为θ，当θ为锐角时，投影为正值；当θ为钝角时，投影为负值；当θ为直角时，投影为0；当θ＝0°时，b在a的方向上投影为|b|，当θ＝180°时，b在a方向上投影为－|b|；当θ＝0°时，a·b＞0，θ＝180°，a·b＜0，即a·b＞0是两个向量a，b夹角为锐角的必要而不充分条件；
三是a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b．
2. 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
3. (1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．
(2)|a|＝常用来求向量的模．
4.(1)当向量a与b是坐标形式给出时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
(2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b＝0.
(3)数量积的运算a·b＝0?a⊥b中，是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.
5．计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．
6．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的
运算转化为向量的数量积的运算．
7．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.
备战练习·固基石
一、单选题
1.平面向量 与 的夹角为 ， ， ，则 （?? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?3?????????????????????????????????????????D.?7
2.设向量与的夹角为， 定义与的“向量积”：是一个向量，它的模 ， 若 ， 则 =（?）
A.??????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?4
3.已知向量 ， 满足| |=1，| |= ，|2 + |= ，则 与 ﹣ 的夹角为（?? ）
A.?30°?????????????????????????????????? ???B.?60°?????????????????????????????????????C.?120°?????????????????????????????????????D.?150°
4.已知向量=(1,)，=(3,m)，若,的夹角为 ， 则实数m=（ ）
A.?0 ?????B.?2 ??C.? ?D.?-
5.已知 与 是非零向量且满足（ ﹣6 ）⊥ ，（2 ﹣3 ）⊥ ，则 与 的夹角是（?? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
6.是两个向量， ， ， 且 ， 则与的夹角为(???? )
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
7.在△ABC中M是BC的中点，BC=8，AM=3，AM⊥BC，则?=（ ）
A.?-7??????????????????????????????????????????B.?-??????????????????????????????????????????C.?0??????????????????????????????????????????D.?7
8.已知△ABC中，AB=3，AC=2，点D在边BC上，满足 = ，若 = ， = ，则 =（? ）
A.? + ??????????????????????B.? + ??????C.? + ??????????????????????D.? +
9.已知等边△ABC中，点P在线段AB上，且 = ，若 ? ? ，则实数λ的值为（?? ）
A.?2????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
10.已知 ，且 ，则向量 与向量 的夹角为 （??? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
11.在直角三角形ABC中，∠C= ， AB=2，AC=1，若= ， 则=（ ）
A.? ??B.?5 ???C.?6 ?D.?9
12.已知平面向量 ， 的夹角为120°，且=﹣1，则|﹣|的最小值为（ ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?1
13.已知 ， ，若 ，那么向量 的夹角等于（?? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
14.一直平面向量=（1，2），=（m，4），且∥ ， 则?=（ ）
A.?4?????????????????????????????????????????B.?-6?????????????????????????????????????????C.?-10?????????????????????????????????????????D.?10
二、填空题
15.已知向量 ， 的夹角为120°，且||=1，||=2，则向量﹣在向量+方向上的投影是________?
16.已知点A（1﹣m，0），B（1+m，0），若圆C：x2+y2﹣8x﹣8y+31=0上存在一点P，使得 =0，则m的最大值为________．
17.已知平面向量 ， 满足?（+）=3，且||=2，||=1，则向量与的夹角为________?
18.已知 ， ， ，则 与 的夹角 ________．
19.已知向量 ， 满足||=1，||=2，(+) ， 则向量与向量的夹角为________
20.在边长为4的等边△ABC中，D为BC的中点，则 ? =________．
三、解答题
21.已知向量 =（3，﹣1），| |= ， =﹣5， =x +（1﹣x） ． （Ⅰ）若 ，求实数x的值； （Ⅱ）当| |取最小值时，求 与 的夹角的余弦值．
22.已知A（﹣1，2），B（2，8），若= ， =﹣ ， 求的坐标.
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅱ）已知向量，满足=1, ?=?1 ，则·(2-)=（??? ）
A.4 B.3 C.2 D.0
2.（2017?浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1= ? ，I2= ? ，I3= ? ，则（??? ）
A.?I1＜I2＜I3??????????????????????????B.?I1＜I3＜I2??????????????????????????C.?I3＜I1＜I2??????????????????????????D.?I2＜I1＜I3
3.（2017?新课标Ⅱ）设非零向量 ， 满足| + |=| ﹣ |则（??? ）
A.?⊥ ????????????????????????????B.?| a→ |=| b→ |????????????????????????????C.?a→∥ b→????????????????????????????D.?| a→ |＞| b→ |
4.（2017?新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 ?（ + ）的最小值是（??? ）
A.?﹣2?????????????????????????????????????B.?﹣ ?????????????????????????????????????C.?﹣ ?????????????????????????????????????D.?﹣1
5.（2016?全国）已知向量 =（ ， ）， =（ ， ），则∠ABC=（ ）
A.?30°??????????????????????????????????????B.?45°??????????????????????????????????????C.?60°??????????????????????????????????????D.?120°
6.（2016?天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则 ? 的值为（ ）
A.?﹣ ????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
7.（2016?全国）已知向量 =（ ， ）， =（ ， ），则∠ABC=（ ）
A.?30°??????????????????????????????????????B.?45°??????????????????????????????????????C.?60°??????????????????????????????????????D.?120°
8.（2016?山东）已知非零向量 ， 满足4| |=3| |，cos＜ ， ＞= ．若 ⊥（t + ），则实数t的值为（ ）
A.?4????????????????????????????????????????B.?﹣4????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?﹣
9.（2016?四川）在平面内，定点A，B，C，D满足 = = ， ? = ? = ? =﹣2，动点P，M满足 =1， = ，则| |2的最大值是（ ）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
二、填空题
10.（2018?北京）设向量a=（1,0），b=（-1,m）,若a⊥（ma-b），则m=________.
11.（2017?天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ， =λ ﹣ （λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为________．
12.（2017?山东）已知 ， ?是互相垂直的单位向量，若 ﹣ ? 与 +λ 的夹角为60°，则实数λ的值是________．
13.（2017?新课标Ⅲ）已知向量 =（﹣2，3）， =（3，m），且 ，则m=________．
14.（2017·天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ， =λ ﹣ （λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为________．
15.（2017?北京卷）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则 ? 的最大值为________．
16.（2017?江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若 ≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．
17.（2017?新课标Ⅰ卷）已知向量 ， 的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2 |=________．
18.（2017?新课标Ⅰ卷）已知向量 =（﹣1，2）， =（m，1），若向量 + 与 垂直，则m=________．
19.（2016?山东）已知向量 =（1，﹣1）， =（6，﹣4），若 ⊥（t + ），则实数t的值为________．
20.（2016?浙江）已知平面向量 ， ，| |=1，| |=2， =1，若 为平面单位向量，则| |+| |的最大值是________．
21.（2016?浙江）已知向量 ， ，| |=1，| |=2，若对任意单位向量 ，均有| ? |+| ? |≤ ，则 ? 的最大值是________．
22.（2016?江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E ， F是AD上的两个三等分点， =4， =﹣1，则 的值是________.
23.（2016?全国）设向量 =（x，x+1）， =（1，2），且 ⊥ ，则x=________．
24.（2016?全国）设向量a=(m ， 1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2 ， 则m=________．
25.（2016?北京）已知向量 =（1， ）， =（ ，1），则 与 夹角的大小为________．
三、解答题
26.（2017·山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3， =﹣6，S△ABC=3，求A和a．
27.（2017?浙江）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣ ， ），B（ ， ），抛物线上的点P（x，y）（﹣ ＜x＜ ），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q． （Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围； （Ⅱ）求|PA|?|PQ|的最大值．
28.（2017?江苏）已知向量 =（cosx，sinx）， =（3，﹣ ），x∈[0，π]． （Ⅰ）若 ∥ ，求x的值； （Ⅱ）记f（x）= ，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．
29.（2017?新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C： +y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足 = ． （Ⅰ）求点P的轨迹方程； （Ⅱ）设点Q在直线x=﹣3上，且 ? =1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第4章 第3节 平面向量的数量积（教师版）
备战基础·零风险
1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．
2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．
3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
平面向量的数量积
定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
数量积
a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
模
|a|＝＝.
夹角
cos θ＝＝.
两非零向量a⊥b的充要条件
a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤ ·.
平面向量数量积的运算律
交换律
a·b＝b·a．
结合律
λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
分配律
(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
备战方法·巧解题
规律
方法
1.三个防范 一是两个向量的数量积是一个数量，而不是向量；
二是在向量数量积的几何意义中，投影是一个数量，不是向量．设向量a，b的夹角为θ，当θ为锐角时，投影为正值；当θ为钝角时，投影为负值；当θ为直角时，投影为0；当θ＝0°时，b在a的方向上投影为|b|，当θ＝180°时，b在a方向上投影为－|b|；当θ＝0°时，a·b＞0，θ＝180°，a·b＜0，即a·b＞0是两个向量a，b夹角为锐角的必要而不充分条件；
三是a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b．
2. 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
3. (1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．
(2)|a|＝常用来求向量的模．
4.(1)当向量a与b是坐标形式给出时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
(2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b＝0.
(3)数量积的运算a·b＝0?a⊥b中，是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.
5．计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．
6．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的
运算转化为向量的数量积的运算．
7．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.
备战练习·固基石
一、单选题
1.平面向量 与 的夹角为 ， ， ，则 （?? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?3?????????????????????????????????????????D.?7
【答案】B
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：根据题意， ，则 ， 又由 且 与 的夹角为 ，则 ， ， 则 . 故答案为：B. 【分析】将模平方，再开方，结合数量积公式，即可求解。
2.设向量与的夹角为， 定义与的“向量积”：是一个向量，它的模 ， 若 ， 则 =（?）
A.??????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?4
【答案】B
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【分析】因为， 所以， 所以=2×2×=2.选B 【点评】迅速理解新定义，且数量应用新定义来解题是做本题的关键，考查了学生分析问题、理解问题的能力。
3.已知向量 ， 满足| |=1，| |= ，|2 + |= ，则 与 ﹣ 的夹角为（?? ）
A.?30°?????????????????????????????????????B.?60°?????????????????????????????????????C.?120°?????????????????????????????????????D.?150°
【答案】D
【考点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：设 与 ﹣ 的夹角为θ，θ∈（0°，180°），∵向量 ， 满足| |=1，| |= ，|2 + |= ， ∴4 +4 + =7，即 4+4×1× ×cos＜ ， ＞+3=7，∴cos＜ ， ＞=0， ∴ ， =0，| ﹣ |= =2． ∴cosθ= = = =﹣ ，∴θ=150°， 故选：D． 【分析】设 与 ﹣ 的夹角为θ，由题意求得 =0，| ﹣ |= =2，再利用 cosθ= ，求得θ的值．
4.已知向量=(1,)，=(3,m)，若,的夹角为 ， 则实数m=（ ）
A.?0 ?????B.?2 ???C.? ????D.?-
【答案】C
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：=3+m．
∴cos． 解得m= ．
故答案为C．
【分析】代入夹角公式计算．
5.已知 与 是非零向量且满足（ ﹣6 ）⊥ ，（2 ﹣3 ）⊥ ，则 与 的夹角是（?? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：根据条件： ， ； ∵ ； ∴ ， ； ∴ ； ∴ ； ∴ ； ∴ 的夹角为 ． 故选：B． 【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出 ，进行数量积的运算，并整理即可得到 ， ，这样两式联立即可求出 的值，从而得出 与 的夹角．
6.是两个向量， ， ， 且 ， 则与的夹角为(???? )
A.???????????????????????????????????????B.?????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】 【分析】本题考查了两向量的夹角.属于简单题。
7.在△ABC中M是BC的中点，BC=8，AM=3，AM⊥BC，则?=（ ）
A.?-7??????????????????????????????????????????B.?-??????????????????????????????????????????C.?0??????????????????????????????????????????D.?7
【答案】A
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：∵M是BC中点，∴BM=CM==4， ∵AM⊥BC，AM=3， ∴AB=AC=5． 在△ABC中，cos∠BAC= ∴?=AB×AC×cos∠BAC=﹣7． 故选：A． 【分析】根据勾股定理求出AB，AC，利用余弦定理解出cosA，代入数量积的定义式计算
8.已知△ABC中，AB=3，AC=2，点D在边BC上，满足 = ，若 = ， = ，则 =（? ）
A.? + ????????????????B.? + ???????????????C.? + ????????????D.? +
【答案】D
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：如图， ， ； ∴ ； ∴cos∠BAD=cos∠CAD； ∴∠BAD=∠CAD； 即AD为∠BAC的平分线； ∴ ； ∴ ； ∴ = = = = + ． 故选：D． 【分析】根据向量数量积的计算公式，由 = 便可得出AD为∠BAC的平分线，从而得出 ，进一步得出 ，从而 ，这样进行向量的数乘运算便可用 表示出 ．
9.已知等边△ABC中，点P在线段AB上，且 = ，若 ? ? ，则实数λ的值为（?? ）
A.?2????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：因为等边△ABC中，点P在线段AB上，且 = ， 由 ? ? ， 得（ ） =﹣λ ， 所以﹣ + =﹣λ× ， 所以 ，解得λ= ，由点P在线段AB上，且 = ，得λ＞0， 所以λ= ； 故选C． 【分析】将 ? ? 利用已知三角形的三边对于向量表示，然后得到关于λ的等式解之．
10.已知 ，且 ，则向量 与向量 的夹角为 （??? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】由向量垂直的充要条件可得： ，则： , 则： ， 据此可得向量 与向量 的夹角为 ， 可得向量 与向量 的夹角为 ， 故答案为：D. 【分析】由向量垂直的充要条件可得向量a,b的数量积与向量a的模为1,再由向量夹角公式求夹角.
11.在直角三角形ABC中，∠C= ， AB=2，AC=1，若= ， 则=（ ）
A.? ??????????B.?5 ??????C.?6 ???D.?9
【答案】A
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】在直角三角形ABC中，∠C= ， AB=2，AC=1，若= ，
则AD=3，∠ABC= ， ∠CBD= ， ∴BD=1，CB=
△BCD中，由余弦定理可得CD2=BD2+BC2﹣2BD?BC?cos=3+1﹣2×1××（﹣）=7，∴CD= ．
由cos∠BCD=
则=CD?CB?cos∠BCD=
故选：A．
【分析】直角三角形中的边角关系求得BC、BD，∠CBD的值，利用余弦定理求得CD、cos∠BCD 的值，再根据两个向量的数量积的定义求得=CD?CB?cos∠BCD 的值．
12.已知平面向量 ， 的夹角为120°，且=﹣1，则|﹣|的最小值为（ ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?1
【答案】A
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】∵平面向量 ， 的夹角为120°， ∴， ∴||?||=2， 则|﹣|= 当且仅当||=||=时取等号， 故|﹣|的最小值为 ， 故选：A． 【分析】根据平面向量的数量积的应用，利用基本不等式即可求解。
13.已知 ， ，若 ，那么向量 的夹角等于（?? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：设向量 的夹角为θ，则cosθ= =﹣ ． ∴θ= ． 故选：A． 【分析】代入向量夹角公式计算．
14.一直平面向量=（1，2），=（m，4），且∥ ， 则?=（ ）
A.?4?????????????????????????????????????????B.?-6?????????????????????????????????????????C.?-10?????????????????????????????????????????D.?10
【答案】D
【考点】数量积的坐标表达式
【解析】【解答】∵平面向量=（1，2），=（m，4），且∥ ， ∴1×4﹣2m=0，∴m=2， ∴=（2，4），∴?=m+8=10， 故选D． 【分析】由条件可得1×4﹣2m=0，得到 m=2，从而得到=（2，4），由?=m+8，运算得到结果。
二、填空题
15.已知向量 ， 的夹角为120°，且||=1，||=2，则向量﹣在向量+方向上的投影是________?
【答案】-
【考点】平面向量数量积的含义与物理意义
【解析】【解答】=1+2cos120°+4=3， 所以， =1﹣2×1×2cos120°+4=7， 所以， 则cos 所以向量﹣在向量+方向上的投影是 故答案为：﹣ ． 【分析】利用求模运算得到|﹣|，|+|，进而得到向量﹣与向量+的夹角余弦，根据投影定义可得答案。
16.已知点A（1﹣m，0），B（1+m，0），若圆C：x2+y2﹣8x﹣8y+31=0上存在一点P，使得 =0，则m的最大值为________．
【答案】6
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：圆C的方程变成：（x﹣4）2+（y﹣4）2=1； ∴设P（4+cosθ，4+sinθ），如图： 线段AB的中点坐标为（1，0），|AB|=2|m|； ∴P点到线段AB中点的距离为|m|； ∴（3+cosθ）2+（4+sinθ）2=m2； ∴26+6cosθ+8sinθ=m2； ∴26+10sin（θ+φ）=m2 ， 其中tanφ= ； ∴m2最大为36； ∴m的最大值为6． 故答案为：6． 【分析】将圆的方程变成标准方程：（x﹣4）2+（y﹣4）2=1，从而可设P（4+cosθ，4+sinθ），根据已知条件知道△PAB为直角三角形，并且可求得AB中点为（1，0），从而得到P到该点的距离为|m|，根据两点间距离公式从而得到（3+cosθ）2+（4+sinθ）2=m2 ， 将该式可变成26+10sin（θ+φ）=m2 ， 这样即可求得m的最大值．
17.已知平面向量 ， 满足?（+）=3，且||=2，||=1，则向量与的夹角为________?
【答案】
【考点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：设向量 ， 的夹角为θ，θ∈[0，π]
由?（+）=3可得=3，
代入数据可得22+2×1×cosθ=3，
解之可得cosθ=- ，
故可得θ=
故答案为：
【分析】设向量 ， 的夹角为θ，θ∈[0，π]，由?（+）=3可得=3，代入数据可得关于cosθ的方程，解之结合θ的范围可得．
18.已知 ， ， ，则 与 的夹角 ________．
【答案】
【考点】平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】 ，即 ，
，
，
.
故答案为： .
【分析】由平面向量数量积的运算规律对条件进行计算，,代入数据，即可得出答案。
19.已知向量 ， 满足||=1，||=2，(+) ， 则向量与向量的夹角为________
【答案】120°
【考点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】∵||=1，||=2，(+) ∴， ∴， ∴ ∴cos＜ ， ＞= ∵＜ ， ＞∈[0°，180°]， ∴两个向量的夹角是120°， 故答案为120°． 【分析】本题是一个求夹角的问题，条件中给出了两个向量的模长，要求夹角只要求出向量的数量积，需要运用(+) ， 数量积为零，得到关于与数量积的方程，解出结果代入求夹角的公式，注意夹角的范围。
20.在边长为4的等边△ABC中，D为BC的中点，则 ? =________．
【答案】12
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：如图， 根据题意， ，且AB=4； ∴ = ． 故答案为：12． 【分析】可画出图形，根据条件便可求出AD，∠BAD的值，并知道AB=4，这样根据向量数量积的计算公式便可求出 的值．
三、解答题
21.已知向量 =（3，﹣1），| |= ， =﹣5， =x +（1﹣x） ． （Ⅰ）若 ，求实数x的值； （Ⅱ）当| |取最小值时，求 与 的夹角的余弦值．
【答案】解：（Ⅰ）设 =（m，n）， ∴ ， 解得 或 ， 当 =（﹣1，2）时， ∴ =x（3，﹣1）+（1﹣x）（﹣1，2）=（4x﹣1，2﹣3x）， ∵ ， ∴3（4x﹣1）﹣（2﹣3x）=0， 解得x= ， 当 =（﹣2，﹣1）时， ∴ =x（3，﹣1）+（1﹣x）（﹣2，﹣1）=（5x﹣2，﹣1）， ∵ ， ∴3（5x﹣2）+1=0， 解得x= ， （Ⅱ）设 与 的夹角θ 由（Ⅰ）可知，当 =（﹣1，2）时， =（4x﹣1，2﹣3x）， 则| |2=（4x﹣1）2+（2﹣3x）2=25x2﹣20x+5=25（x﹣ ）2+1， 当x= 时，| |取最小值，则| |=1， =（ ， ）， ∴ =﹣ + =1，| |= ∴cosθ= = 当 =（﹣2，﹣1）时， =（5x﹣2，﹣1）， 则| |2=（5x﹣2）2+（﹣1）2=25（x﹣ ）2+1， 当x= 时，| |取最小值，则| |=1， =（0，﹣1）， ∴ =1，| |= ∴cosθ= =
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【分析】（Ⅰ）根据向量的数量积和向量的模，先求出 ，再根据向量的垂直即可求出x的值，（Ⅱ）根据二次函数的性质即可求出x的值，再根据向量的夹角公式即可求出．
22.已知A（﹣1，2），B（2，8），若= ， =﹣ ， 求的坐标.
【答案】解：∵=（3，6），∴==（1，2）， =﹣=（﹣2，﹣4）， ∴=-=（2，4）﹣（1，2）=（1，2）．
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【分析】利用向量的数乘运算、坐标运算、三角形法则即可得出．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅱ）已知向量，满足=1, ?=?1 ，则·(2-)=（??? ）
A.4 B.3 C.2 D.0
【答案】B
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】 .
故答案为：B
【分析】由已知代入运算即可。
2.（2017?浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1= ? ，I2= ? ，I3= ? ，则（??? ）
A.?I1＜I2＜I3??????????????????????????B.?I1＜I3＜I2??????????????????????????C.?I3＜I1＜I2??????????????????????????D.?I2＜I1＜I3
【答案】C
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3， ∴AC=2 ， ∴∠AOB=∠COD＞90°， 由图象知OA＜OC，OB＜OD， ∴0＞ ? ＞ ? ， ? ＞0， 即I3＜I1＜I2 ， 故选：C． 【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．
3.（2017?新课标Ⅱ）设非零向量 ， 满足| + |=| ﹣ |则（??? ）
A.?⊥ ????????????????????????????B.?| a→ |=| b→ |??????????????C.?a→∥ b→??????????????????????D.?| a→ |＞| b→ |
【答案】A
【考点】向量的模，平面向量数量积的运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：∵非零向量 ， 满足| + |=| ﹣ |， ∴ ， 解得 =0， ∴ ． 故选：A． 【分析】由已知得 ，从而 =0，由此得到 ．
4.（2017?新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 ?（ + ）的最小值是（??? ）
A.?﹣2?????????????????????????????????????B.?﹣ ?????????????????????????????????????C.?﹣ ?????????????????????????????????????D.?﹣1
【答案】B
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点， 则A（0， ），B（﹣1，0），C（1，0）， 设P（x，y），则 =（﹣x， ﹣y）， =（﹣1﹣x，﹣y）， =（1﹣x，﹣y）， 则 ?（ + ）=2x2﹣2 y+2y2=2[x2+（y﹣ ）2﹣ ] ∴当x=0，y= 时，取得最小值2×（﹣ ）=﹣ ， 故选：B 【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．
5.（2016?全国）已知向量 =（ ， ）， =（ ， ），则∠ABC=（ ）
A.?30°??????????????????????????????????????B.?45°??????????????????????????????????????C.?60°??????????????????????????????????????D.?120°
【答案】A
【考点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解： ， ； ∴ ； 又0≤∠ABC≤180°； ∴∠ABC=30°． 故选A． 【分析】根据向量 的坐标便可求出 ，及 的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．
6.（2016?天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则 ? 的值为（ ）
A.?﹣ ????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：如图， ∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF， ∴ ? = = = = = = = = ． 故选：B． 【分析】由题意画出图形，把 、 都用 表示，然后代入数量积公式得答案．；本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题．
7.（2016?全国）已知向量 =（ ， ）， =（ ， ），则∠ABC=（ ）
A.?30°??????????????????????????????????????B.?45°??????????????????????????????????????C.?60°??????????????????????????????????????D.?120°
【答案】A
【考点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解： ， ； ∴ ； 又0≤∠ABC≤180°； ∴∠ABC=30°． 故选A． 【分析】根据向量 的坐标便可求出 ，及 的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．；考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．
8.（2016?山东）已知非零向量 ， 满足4| |=3| |，cos＜ ， ＞= ．若 ⊥（t + ），则实数t的值为（ ）
A.?4????????????????????????????????????????B.?﹣4????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?﹣
【答案】B
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：∵4| |=3| |，cos＜ ， ＞= ， ⊥（t + ）， ∴ ?（t + ）=t ? + 2=t| |?| |? +| |2=（ ）| |2=0， 解得：t=﹣4， 故选：B． 【分析】若 ⊥（t + ），则 ?（t + ）=0，进而可得实数t的值．；本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．
9.（2016?四川）在平面内，定点A，B，C，D满足 = = ， ? = ? = ? =﹣2，动点P，M满足 =1， = ，则| |2的最大值是（ ）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：由 = = ，可得D为△ABC的外心， 又 ? = ? = ? ，可得?（ ﹣ ）=0， ?（ ﹣ ）=0，即 ? = ? =0，即有 ⊥ ， ⊥ ，可得D为△ABC的垂心， 则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形． 由 ? =﹣2，即有| |?| |cos120°=﹣2，解得| |=2，△ABC的边长为4cos30°=2 ， 以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy， 可得B（3，﹣ ），C（3， ），D（2，0），由 =1，可设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由 = ，可得M为PC的中点，即有M（ ， ），则| |2=（3﹣ ）2+（ + ）2= + = = ，当sin（θ﹣ ）=1，即θ= 时，取得最大值，且为 ． 故选：B． 【分析】由 = = ，可得D为△ABC的外心，又 ? = ? = ? ，可得可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．运用向量的数量积定义可得△ABC的边长，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，求得B，C的坐标，再设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由中点坐标公式可得M的坐标，运用两点的距离公式可得BM的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．；本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
二、填空题
10.（2018?北京）设向量a=（1,0），b=（-1,m）,若a⊥（ma-b），则m=________.
【答案】-1
【考点】平面向量的坐标运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：m - =（m+1,-m）, =(1,0), ∴m+1=0 m=-1. 【分析】解析：先求出m - 坐标，再由数量积为0，求出m。
11.（2017?天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ， =λ ﹣ （λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为________．
【答案】
【考点】向量加减法的应用，平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：如图所示， △ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2， =2 ， ∴ = + = + = + （ ﹣ ） = + ， 又 =λ ﹣ （λ∈R）， ∴ =（ + ）?（λ ﹣ ） =（ λ﹣ ） ? ﹣ + λ =（ λ﹣ ）×3×2×cos60°﹣ ×32+ λ×22=﹣4， ∴ λ=1， 解得λ= ． 故答案为： ． 【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用 、 表示出 ， 再根据平面向量的数量积 列出方程求出λ的值．
12.（2017?山东）已知 ， ?是互相垂直的单位向量，若 ﹣ ? 与 +λ 的夹角为60°，则实数λ的值是________．
【答案】
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解： ， ?是互相垂直的单位向量， ∴| |=| |=1，且 ? =0； 又 ﹣ ? 与 +λ 的夹角为60°， ∴（ ﹣ ）?（ +λ ）=| ﹣ |×| +λ |×cos60°， 即 +（ ﹣1） ? ﹣λ = × × ， 化简得 ﹣λ= × × ， 即 ﹣λ= ， 解得λ= ． 故答案为： ． 【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．
13.（2017?新课标Ⅲ）已知向量 =（﹣2，3）， =（3，m），且 ，则m=________．
【答案】2
【考点】数量积的坐标表达式
【解析】【解答】解：∵向量 =（﹣2，3）， =（3，m），且 ， ∴ =﹣6+3m=0， 解得m=2． 故答案为：2． 【分析】利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解．
14.（2017·天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ， =λ ﹣ （λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为________．
【答案】
【考点】向量的加法及其几何意义，向量的减法及其几何意义，向量数乘的运算及其几何意义，数量积的坐标表达式，平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：如图所示， △ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2， =2 ， ∴ = + = + = + （ ﹣ ） = + ， 又 =λ ﹣ （λ∈R）， ∴ =（ + ）?（λ ﹣ ） =（ λ﹣ ） ? ﹣ + λ =（ λ﹣ ）×3×2×cos60°﹣ ×32+ λ×22=﹣4， ∴ λ=1， 解得λ= ． 故答案为： ． 【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用 、 表示出 ， 再根据平面向量的数量积 列出方程求出λ的值．
15.（2017?北京卷）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则 ? 的最大值为________．
【答案】6
【考点】平面向量数量积的运算，任意角的三角函数的定义，余弦函数的定义域和值域
【解析】【解答】解：设P（cosα，sinα）. =（2，0）， =（cosα+2，sinα）． 则 ? =2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα=1时取等号． 故答案为：6． 【分析】设P（cosα，sinα）．可得 =（2，0）， =（cosα+2，sinα）．利用数量积运算性质、三角函数的单调性与值域即可得出．
16.（2017?江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若 ≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．
【答案】[-5 ，1]
【考点】平面向量数量积的运算，直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：根据题意，设P（x0 ， y0），则有x02+y02=50， =（﹣12﹣x0 ， ﹣y0）?（﹣x0 ， 6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20， 化为：12x0+6y0+30≤0， 即2x0+y0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域， 联立 ，解可得x0=﹣5或x0=1， 结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5 ，1]， 故答案为：[﹣5 ，1]． 【分析】根据题意，设P（x0 ， y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．
17.（2017?新课标Ⅰ卷）已知向量 ， 的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2 |=________．
【答案】
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：∵向量 ， 的夹角为60°，且| |=2，| |=1， ∴ = +4 ? +4 =22+4×2×1×cos60°+4×12 =12， ∴| +2 |=2 ． 故答案为：2 ． 【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．
18.（2017?新课标Ⅰ卷）已知向量 =（﹣1，2）， =（m，1），若向量 + 与 垂直，则m=________．
【答案】7
【考点】平面向量数量积的运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：∵向量 =（﹣1，2）， =（m，1）， ∴ =（﹣1+m，3）， ∵向量 + 与 垂直， ∴（ ）? =（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0， 解得m=7． 故答案为：7． 【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出 ，再由向量 + 与 垂直，利用向量垂直的条件能求出m的值．
19.（2016?山东）已知向量 =（1，﹣1）， =（6，﹣4），若 ⊥（t + ），则实数t的值为________．
【答案】-5
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：∵向量 =（1，﹣1）， =（6，﹣4）， ∴t + =（t+6，﹣t﹣4），∵ ⊥（t + ），∴ ?（t + ）=t+6+t+4=0， 解得t=﹣5， 故答案为：﹣5． 【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可．；本题考查了向量的数量积的运算以及向量垂直的条件，属于基础题．
20.（2016?浙江）已知平面向量 ， ，| |=1，| |=2， =1，若 为平面单位向量，则| |+| |的最大值是________．
【答案】
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：| |+| |= ， 其几何意义为 在 上的投影的绝对值与 在 上投影的绝对值的和，当 与 共线时，取得最大值．∴ = ．故答案为： ． 【分析】由题意可知，| |+| |为 在 上的投影的绝对值与 在 上投影的绝对值的和，由此可知，当 与 共线时，| |+| |取得最大值，即 ．本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上的投影的概念，考查学生正确理解问题的能力，是中档题．
21.（2016?浙江）已知向量 ， ，| |=1，| |=2，若对任意单位向量 ，均有| ? |+| ? |≤ ，则 ? 的最大值是________．
【答案】
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：∵|（ + ）? |=| ? + ? |≤| ? |+| ? |≤ ， ∴|（ + ）? |≤| + |≤ ，平方得：| |2+| |2+2 ? ≤6，即12+22+2 ? ≤6，则 ? ≤ ，故 ? 的最大值是 ，故答案为： ． 【分析】根据向量三角形不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论．本题主要考查平面向量数量积的应用，根据绝对值不等式的性质以及向量三角形不等式的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
22.（2016?江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E ， F是AD上的两个三等分点， =4， =﹣1，则 的值是________.
【答案】
【考点】平面向量数量积的性质及其运算律，平面向量数量积的运算
【解析】【解答】令 ， ，则 ， ， ， 则 ， ， ， ， ， ， 则 ， ， ， 由 ， 可得 ， ，因此 ， 因此 【分析】由已知可得 = + ， =﹣ + ， = +3 ， =﹣ +3 ， = +2 ， =﹣ +2 ，结合已知求出 2= ， 2= ，可得答案
23.（2016?全国）设向量 =（x，x+1）， =（1，2），且 ⊥ ，则x=________．
【答案】
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：∵ ； ∴ ； 即x+2（x+1）=0； ∴ ．故答案为： ． 【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出 ，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值．；考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，清楚向量坐标的概念．
24.（2016?全国）设向量a=(m ， 1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2 ， 则m=________．
【答案】-2
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：| + |2=| |2+| |2 ， 可得 ? =0．向量 =（m，1）， =（1，2）， 可得m+2=0，解得m=﹣2． 故答案为：﹣2. 【分析】平面向量数量积的运算.利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．
25.（2016?北京）已知向量 =（1， ）， =（ ，1），则 与 夹角的大小为________．
【答案】
【考点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：∵向量 =（1， ）， =（ ，1）， ∴ 与 夹角θ满足：cosθ= = = ， 又∵θ∈[0，π]， ∴θ= ，故答案为： ． 【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．；本题考查的知识点是平面向量的夹角公式，熟练掌握平面向量的夹角公式，是解答的关键．
三、解答题
26.（2017·山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3， =﹣6，S△ABC=3，求A和a．
【答案】解：由 =﹣6可得bccosA=﹣6，①， 由三角形的面积公式可得S△ABC= bcsinA=3，② ∴tanA=﹣1， ∵0＜A＜180°， ∴A=135°， ∴c= =2 ， 由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=9+8+12=29 ∴a=
【考点】平面向量数量积的运算，余弦定理的应用，三角形中的几何计算
【解析】【分析】根据向量的数量积和三角形的面积公式可得tanA=﹣1，求出A和c的值，再根据余弦定理即可求出a．
27.（2017?浙江）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣ ， ），B（ ， ），抛物线上的点P（x，y）（﹣ ＜x＜ ），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q． （Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围； （Ⅱ）求|PA|?|PQ|的最大值．
【答案】解：（Ⅰ）由题可知P（x，x2），﹣ ＜x＜ ， 所以kAP= =x﹣ ∈（﹣1，1）， 故直线AP斜率的取值范围是：（﹣1，1）； （Ⅱ）由（I）知P（x，x2），﹣ ＜x＜ ， 所以 =（﹣ ﹣x， ﹣x2）， 设直线AP的斜率为k，则AP：y=kx+ k+ ，BP：y=﹣ x+ + ， 联立直线AP、BP方程可知Q（ ， ）， 故 =（ ， ）， 又因为 =（﹣1﹣k，﹣k2﹣k）， 故﹣|PA|?|PQ|= ? = + =（1+k）3（k﹣1）， 所以|PA|?|PQ|=（1+k）3（1﹣k）， 令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1， 则f′（x）=（1+x）2（2﹣4x）=﹣2（1+x）2（2x﹣1）， 由于当﹣1＜x＜﹣ 时f′（x）＞0，当 ＜x＜1时f′（x）＜0， 故f（x）max=f（ ）= ，即|PA|?|PQ|的最大值为 ．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，平面向量数量积的运算，斜率的计算公式，抛物线的应用，圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）通过点P在抛物线上可设P（x，x2），利用斜率公式结合﹣ ＜x＜ 可得结论； （Ⅱ）通过（I）知P（x，x2）、﹣ ＜x＜ ，设直线AP的斜率为k，联立直线AP、BP方程可知Q点坐标，进而可用k表示出 、 ，计算可知|PA|?|PQ|=（1+k）3（1﹣k），通过令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，求导结合单调性可得结论．
28.（2017?江苏）已知向量 =（cosx，sinx）， =（3，﹣ ），x∈[0，π]． （Ⅰ）若 ∥ ，求x的值； （Ⅱ）记f（x）= ，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．
【答案】解：（Ⅰ）∵ =（cosx，sinx）， =（3，﹣ ）， ∥ ， ∴﹣ cosx+3sinx=0， ∴tanx= ， ∵x∈[0，π]， ∴x= ， （Ⅱ）f（x）= =3cosx﹣ sinx=2 （ cosx﹣ sinx）=2 cos（x+ ）， ∵x∈[0，π]， ∴x+ ∈[ ， ]， ∴﹣1≤cos（x+ ）≤ ， 当x=0时，f（x）有最大值，最大值3， 当x= 时，f（x）有最小值，最大值﹣2
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示，平面向量数量积的运算，同角三角函数间的基本关系，三角函数中的恒等变换应用，三角函数的最值
【解析】【分析】（Ⅰ）根据向量的平行即可得到tanx= ，问题得以解决， （Ⅱ）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出
29.（2017?新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C： +y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足 = ． （Ⅰ）求点P的轨迹方程； （Ⅱ）设点Q在直线x=﹣3上，且 ? =1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
【答案】解：（Ⅰ）设M（x0 ， y0），由题意可得N（x0 ， 0）， 设P（x，y），由点P满足 = ． 可得（x﹣x0 ， y）= （0，y0）， 可得x﹣x0=0，y= y0 ， 即有x0=x，y0= ， 代入椭圆方程 +y2=1，可得 + =1， 即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2； （Ⅱ）证明：设Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π）， ? =1，可得（ cosα， sinα）?（﹣3﹣ cosα，m﹣ sinα）=1， 即为﹣3 cosα﹣2cos2α+ msinα﹣2sin2α=1， 解得m= ， 即有Q（﹣3， ）， 椭圆 +y2=1的左焦点F（﹣1，0）， 由kOQ=﹣ ， kPF= ， 由kOQ?kPF=﹣1， 可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
【考点】数量积的坐标表达式，同角三角函数间的基本关系，斜率的计算公式，两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，轨迹方程
【解析】【分析】（Ⅰ）设M（x0 ， y0），由题意可得N（x0 ， 0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程； （Ⅱ）设Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．
