2019备战高考数学全国真题精练（2016-2018）第4章 第4节 复　数

2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第4章 第4节 复　数（学生版）
备战基础·零风险
1．理解复数的基本概念．
2．理解复数相等的充要条件．
3．了解复数的代数表示法及其几何意义．
4．会进行复数代数形式的四则运算．
5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
复数的有关概念
概 念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和 ．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若 ，则a＋bi为纯虚数．
复 数相 等
a＋bi＝c＋di? (a，b，c，d∈R)．
共 轭复 数
a＋bi与c＋di共轭? (a，b，c，d∈R)．
复 数
的 模
向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝ .
几 何意 义
复数z＝a＋bi复平面内的点 .(a，b∈R)．
复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
加法
z1＋z2＝ ＝ ；
减法
z1－z2＝ ＝ ；
乘法
z1·z2＝ ＝ ；
除法
＝＝ .＝ .．
复数加法的运算律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝ ，(z1＋z2)＋z3＝ .
备战方法·巧解题
规律
方法
1．两点提醒　一是在实数范围内无解的方程在复数范围内都有解，且方程的根成对出现；
二是两个虚数不能比较大小．
2．两条性质　(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(各式中n∈N)．
(2)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
3.处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．
4.在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z1，z2互为共轭复数，则z1·z2＝|z1|2＝|z2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化．
5．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．
6．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合．
7．要记住一些常用的结果，如i，－＋i的有关性质等，可简化运算步骤提高运算速度．规律方法 要掌握复数的几何意义就要搞清楚复数、复平面内的点以及向量三者之间的一一对应关系，从而准确理解复数的“数”与“形”的特征．
备战练习·固基石
一、单选题
1.复数（1﹣ i）?i的虚部是（?? ）
A.?1??????????????????????????????????????????B.?﹣1??????????????????????????????????????????C.?i??????????????????????????????????????????D.?﹣i
2.复数(i为虚数单位)的虚部是? (???? )
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
3.复数（i为虚数单位）的实部是（???）
A.?-1?????????????????????????????????????????B.?1?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
4.复数 的虚部为（?? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.?﹣ ???????????????????????????????????????D.?﹣
5.复数z=i（2﹣i）（i是虚数单位），则z的共轭复数 =（?? ）
A.?1﹣2i?????????????????????????????????B.?1+2i?????????????????????????????????C.?﹣1+2i?????????????????????????????????D.?﹣1﹣2i
6.已知复数和复数,则为(??? )
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
7.已知 ， 则实数x,y的值分别是（????）
A.?-2，4??????????????????????????????????B.?4，-2??????????????????????????????????C.?-3，1??????????????????????????????????D.?1，-3
8.若 ，则a=（?? ）
A.?5????????????????????????????????????????B.?﹣5????????????????????????????????????????C.?5i????????????????????????????????????????D.?﹣5i
9.已知复数 （i为虚数单位），那么z的共轭复数为（?? ）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
10.设为虚数单位，复数为纯虚数，则实数为(??? )
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
11.已知复数z=1﹣i，则=（　　）
A.? ????????????B.?- ????C.?2i ???D.?-2i
12.已知实数a，b满足（a+i）（1﹣i）=3+bi（i为虚数单位），记z=a+bi，则|z|是（?? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?5?????????????????????????????????????????D.?25
13.已知复数z满足(i为虚数单位），则复数所对应的点所在象限为??（???）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
14.复数z=（i为虚数单位），则|z|（　　）
A.?25 ????? ?B.? ??C.?5 ??D.?
15.在复平面内，复数 ， 对应的点分为 ， ，若 为线段 的中点，则点 对应的复数是（?? ）
A.???????????????????????????????????B.????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
16.已知复数z1=3﹣i，z2=1+i，是z1的共轭复数，则=（　　）
A.?1+i ?B.?1-i ??C.?2+i ??D.?2-i
17.=（　　）
A.?-i ??? ????B.?i ?C.?1+i ???D.?1-i
18.设i是虚数单位，i107的共轭复数为（? ）
A.?﹣i??????????????????????????????????????????B.?i??????????????????????????????????????????C.?1??????????????????????????????????????????D.?﹣1
19.复数满足（为虚数单位），则的共轭复数为 ????????????（ ???）
A.?　　　????????????????????????B.?　　　?????????????????????C.????????????????????????????????D.?
20.若复数的实部与虚部相等，则实数等于(??? )
A.?3??????????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
21.已知i是虚数单位，复数 满足 = ，则复数z的共轭复数为（??? ）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
22.（2014?安徽）设i是虚数单位， 表示复数z的共轭复数．若z=1+i，则 +i? =（?? ）
A.?﹣2????????????????????????????????????????B.?﹣2i????????????????????????????????????????C.?2????????????????????????????????????????D.?2i
二、填空题
23.复数z满足 =i，则|z|=________．
24.定义运算 =ad﹣bc，则符合条件 =2的复数z=________．
25.设Z1=i4+i5+i6+…+i12 ， Z2=i4?i5?i6?…?i12 ， 则Z1 ， Z2关系为________
26.已知 ﹣ni其中n是实数，i是虚数单位，那么n=________．
27.已知复数z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则z的共轭复数为________．
28.已知复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i是纯虚数，则实数m=________?
29.已知复数z=2+i（i为虚数单位），则 =________
30.若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为________?
31.已知 =a﹣i，则a=________．
32.已知z=1+2i，则z3=________．
三、解答题
33.在复平面中，已知A，B，C三点分别对应复数2+i，4+3i，3+5i，又知点D与这三点构成平行四边形，求点D对应的复数．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）设 ,则 =（?? ）
A.0 B. C.1 D.
2.（2018?浙江）复数 ?(i为虚数单位)的共轭复数是（ ??）
A.?1+i?????????????????????????????????????B.?1?i?????????????????????????????????????C.??1+i?????????????????????????????????????D.??1?i
3.（2018?卷Ⅱ）i（2+3i）=（?? ）
A.3-2i B.3+2i C.-3-2i D.-3+2i
4.（2018?卷Ⅱ） (?? )
A. B. C. D.
5.（2018?卷Ⅲ） =（ ??）
A.?-3-i??????????????????????????????????????B.?-3+i??????????????????????????????????????C.?3-i??????????????????????????????????????D.?3+i
6.（2018?北京）在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于（?? ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7.（2017?山东）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+ i，z? =4，则a=（　　）
A.?1或﹣1????????????????????????????????B.?或﹣ ????????????????????????C.?﹣ ????????????????????????????????D.?
8.（2017?新课标Ⅲ）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（??? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?2
9.（2017?新课标Ⅲ）复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（　　）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
10.（2017·山东）已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z2=（　　）
A.?﹣2i????????????????????????????????????????B.?2i????????????????????????????????????????C.?﹣2????????????????????????????????????????D.?2
11.（2017?北京卷）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（　　）
A.?（﹣∞，1）???????????????????B.?（﹣∞，﹣1）???????????????????C.?（1，+∞）???????????????????D.?（﹣1，+∞）
12.（2017?新课标Ⅱ）（1+i）（2+i）=（??? ）
A.?1﹣i?????????????????????????????????????B.?1+3i?????????????????????????????????????C.?3+i?????????????????????????????????????D.?3+3i
13.（2017?新课标Ⅰ卷）设有下面四个命题p1：若复数z满足 ∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1 ， z2满足z1z2∈R，则z1= ；p4：若复数z∈R，则 ∈R．其中的真命题为（　　）
A.?p1 ， p3????????????????????????????B.?p1 ， p4????????????????????????????C.?p2 ， p3????????????????????????????D.?p2 ， p4
14.（2017?新课标Ⅰ卷）下列各式的运算结果为纯虚数的是（　　）
A.?i（1+i）2??????????????????????????B.?i2（1﹣i）??????????????????????????C.?（1+i）2??????????????????????????D.?i（1+i）
15.（2017?新课标Ⅱ） =（??? ）
A.?1+2i?????????????????????????????????????B.?1﹣2i?????????????????????????????????????C.?2+i?????????????????????????????????????D.?2﹣i
16.（2016?全国）若z=1+2i，则 =（　　）
A.?1??????????????????????????????????????????B.?﹣1??????????????????????????????????????????C.?i??????????????????????????????????????????D.?﹣i
17.（2016?全国）已知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（　　）
A.?（﹣3，1）????????????????????B.?（﹣1，3）????????????????????C.?（1，+∞）????????????????????D.?（﹣∞，﹣3）
18.（2016?全国）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=（　　）
A.?﹣3?????????????????????????????????????????B.?﹣2?????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?3
19.（2016?全国）设复数z满足z+i=3﹣i，则 =（　　）
A.?﹣1+2i??????????????????????????????????B.?1﹣2i??????????????????????????????????C.?3+2i??????????????????????????????????D.?3﹣2i
20.（2016?全国）若z=4+3i，则 =（　　）
A.?1???????????????????????????????????B.?﹣1???????????????????????????????????C.?+ i???????????????????????????????????D.?﹣ i
21.（2016?全国）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（　　）
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?2
22.（2016?北京）复数? （　　）
A.?i????????????????????????????????????????B.?1+i????????????????????????????????????????C.?﹣i????????????????????????????????????????D.?1﹣i
23.（2016?山东）若复数z满足2z+ =3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（　　）
A.?1+2i?????????????????????????????????B.?1﹣2i?????????????????????????????????C.?﹣1+2i?????????????????????????????????D.?﹣1﹣2i
二、填空题
24.（2018?天津）i是虚数单位，复数 =________．
25.?? （2018?江苏）若复数 满足 ，其中 是虚数单位，则 的实部为________.
26.（2018?上海）已知复数z满足 （i是虚数单位），则∣z∣=________。
27.（2017?上海）已知复数z满足z+ =0，则|z|=________．
28.（2017·天津）已知a∈R，i为虚数单位，若 为实数，则a的值为________．
29.（2017?浙江）已知a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），则a2+b2=________，ab=________．
30.（2017?江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是________．
31.（2016?上海）设 ，其中 为虚数单位，则 =________.
32.（2016?天津）i是虚数单位，复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为________．
33.（2016?天津）已知 ，i是虚数单位，若(1+i)(1-bi）=a ， 则 的值为________.
34.（2016?北京）设a R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=________。
35.（2016?江苏）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是________.
36.（2016?上海）设Z= ，其中i为虚数单位，则Imz=________．

2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第4章 第4节 复　数（教师版）
备战基础·零风险
1．理解复数的基本概念．
2．理解复数相等的充要条件．
3．了解复数的代数表示法及其几何意义．
4．会进行复数代数形式的四则运算．
5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
复数的有关概念
概 念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
复 数相 等
a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
共 轭复 数
a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
复 数
的 模
向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
几 何意 义
复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
加法
z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
减法
z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
乘法
z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
除法
＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
复数加法的运算律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
备战方法·巧解题
规律
方法
1．两点提醒　一是在实数范围内无解的方程在复数范围内都有解，且方程的根成对出现；
二是两个虚数不能比较大小．
2．两条性质　(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(各式中n∈N)．
(2)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
3.处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．
4.在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z1，z2互为共轭复数，则z1·z2＝|z1|2＝|z2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化．
5．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．
6．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合．
7．要记住一些常用的结果，如i，－＋i的有关性质等，可简化运算步骤提高运算速度．规律方法 要掌握复数的几何意义就要搞清楚复数、复平面内的点以及向量三者之间的一一对应关系，从而准确理解复数的“数”与“形”的特征．
备战练习·固基石
一、单选题
1.复数（1﹣ i）?i的虚部是（?? ）
A.?1??????????????????????????????????????????B.?﹣1??????????????????????????????????????????C.?i??????????????????????????????????????????D.?﹣i
【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由（1﹣ i）?i= ， 则复数（1﹣ i）?i的虚部是：1．故选：A．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．
2.复数(i为虚数单位)的虚部是? (???? )
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】选D.
3.复数（i为虚数单位）的实部是（???）
A.?-1?????????????????????????????????????????B.?1?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】根据题意，由于复数（i为虚数单位)的实部是， 故可知选C.【分析】解决的关键是利用复数的除法运算来得到，属于基础题。
4.复数 的虚部为（?? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.?﹣ ???????????????????????????????????????D.?﹣
【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由 = ， 则复数 的虚部为： ．故选：A．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 ，则答案可求．
5.复数z=i（2﹣i）（i是虚数单位），则z的共轭复数 =（?? ）
A.?1﹣2i?????????????????????????????????B.?1+2i?????????????????????????????????C.?﹣1+2i?????????????????????????????????D.?﹣1﹣2i
【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：z=i（2﹣i）=2i+1， 则z的共轭复数 =1﹣2i．故选：A．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
6.已知复数和复数,则为(??? )
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】∵， ， ∴， 故选A【分析】此类问题比较综合，除了要掌握复数运算法则之外，还要学生两角和差的正余弦定理的运用
7.已知 ， 则实数x,y的值分别是（????）
A.?-2，4??????????????????????????????????B.?4，-2??????????????????????????????????C.?-3，1??????????????????????????????????D.?1，-3
【答案】D
【考点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】由两复数相等，实部虚部分别相等。及得，， 所以，实数的值分别是， ， 选D。【分析】简单题，两复数相等，实部虚部分别相等。
8.若 ，则a=（?? ）
A.?5????????????????????????????????????????B.?﹣5????????????????????????????????????????C.?5i????????????????????????????????????????D.?﹣5i
【答案】B
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵ ， ∴ ，解得a=﹣5．故选：B．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简等式左边，再由复数相等的条件列式求解．
9.已知复数 （i为虚数单位），那么z的共轭复数为（?? ）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数 = = ，那么z的共轭复数为 = ． 故选：B．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
10.设为虚数单位，复数为纯虚数，则实数为(??? )
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】为纯虚数，所以
11.已知复数z=1﹣i，则=（　　）
A.? ??????????B.?- ??C.?2i ????D.?-2i
【答案】D
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵z=1﹣i，
∴
故选：D．
【分析】把z=1﹣i代入 ， 然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
12.已知实数a，b满足（a+i）（1﹣i）=3+bi（i为虚数单位），记z=a+bi，则|z|是（?? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?5?????????????????????????????????????????D.?25
【答案】B
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：实数a，b满足（a+i）（1﹣i）=3+bi（i为虚数单位）， ∴a+1+（1﹣a）i=3+bi，可得a+1=3，1﹣a=b，解得a=2，b=﹣1．∴z=a+bi=2﹣i，则|z| = ．故选：B．【分析】利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出．
13.已知复数z满足(i为虚数单位），则复数所对应的点所在象限为??（???）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】， ， 复数所对应的点所在象限为第一象限.选A.
14.复数z=（i为虚数单位），则|z|（　　）
A.?25 ?B.? ?????C.?5 ???D.?
【答案】C
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为复数z=
所以|z|=
故选C．
【分析】化简复数z，然后求出复数的模即可．
15.在复平面内，复数 ， 对应的点分为 ， ，若 为线段 的中点，则点 对应的复数是（?? ）
A.???????????????????????????????????B.??????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】因为复数 ， 对应的点分为 ， ，所以 ， 为线段 的中点， ， 点 对应的复数是 ，故答案为：C.【分析】求出A，B的坐标，利用中点坐标公式求得C的坐标，则点C对应的复数可求．
16.已知复数z1=3﹣i，z2=1+i，是z1的共轭复数，则=（　　）
A.?1+i ??????B.?1-i ???C.?2+i ??D.?2-i
【答案】D
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵z1=3﹣i，z2=1+i，
∴=3+i，
则
故选：D．
【分析】由已知求出 ， 代入 ， 然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
17.=（　　）
A.?-i ??????????????B.?i ??????????????????????C.?1+i ?????D.?1-i
【答案】B
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：=i．
故选：B．
【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．
18.设i是虚数单位，i107的共轭复数为（? ）
A.?﹣i??????????????????????????????????????????B.?i??????????????????????????????????????????C.?1??????????????????????????????????????????D.?﹣1
【答案】B
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：i107=i106?i=（i2）53?i=﹣i，∴i107的共轭复数为i，故选：B．【分析】化简已知复数，由共轭复数的定义可得．
19.复数满足（为虚数单位），则的共轭复数为 ????????????（ ???）
A.?　　　???????????????????????????????B.?　　　??????????????????C.????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由已知
20.若复数的实部与虚部相等，则实数等于(??? )
A.?3??????????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】=， 依题意得， 故.
21.已知i是虚数单位，复数 满足 = ，则复数z的共轭复数为（??? ）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】∵ = ，∴ ，所以复数z 的共轭复数为 ； 故选 A．
22.（2014?安徽）设i是虚数单位， 表示复数z的共轭复数．若z=1+i，则 +i? =（?? ）
A.?﹣2????????????????????????????????????????B.?﹣2i????????????????????????????????????????C.?2????????????????????????????????????????D.?2i
【答案】C
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵z=1+i， ∴ ，∴ +i? = = ．故选：C．【分析】把z及 代入 +i? ，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．
二、填空题
23.复数z满足 =i，则|z|=________．
【答案】1
【考点】复数求模
【解析】【解答】解：∵ =i， ∴ ．则|z|=1．故答案为：1．【分析】直接由 =i利用复数代数形式的乘除运算求出z，则z的模可求．
24.定义运算 =ad﹣bc，则符合条件 =2的复数z=________．
【答案】2﹣2i
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：∵定义运算 =ad﹣bc，则符合条件 =2， ∴2i+z=2，∴z=2﹣2i，故答案为：2﹣2i【分析】根据新定义计算即可．
25.设Z1=i4+i5+i6+…+i12 ， Z2=i4?i5?i6?…?i12 ， 则Z1 ， Z2关系为________
【答案】Z1=Z2
【考点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】Z1=i4+i5+i6+…+i12
=1+i﹣1﹣i+…+1=1，
Z2=i4?i5?i6?…?i12
=1×i×（﹣1）×（﹣i）…×1
=（﹣1）2×1=1
∴Z1=Z2 ，
故答案为：Z1=Z2
【分析】由虚数单位的性质分别计算可得结论。
26.已知 ﹣ni其中n是实数，i是虚数单位，那么n=________．
【答案】
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵ ﹣ni，其中n是实数，
∴ = i= ﹣ni，
解得n= ．
故答案为： ．
【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．
27.已知复数z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则z的共轭复数为________．
【答案】3+4i
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数z=（2﹣i）2=4﹣4i﹣1=3﹣4i． z的共轭复数为：3+4i．故答案为：3+4i．【分析】利用复数的乘法运算法则化简求解，即得到结果．
28.已知复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i是纯虚数，则实数m=________?
【答案】2
【考点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】当 纯虚数．故答案为：2．【分析】当复数是一个纯虚数时，需要实部等于零而虚部不等于0。
29.已知复数z=2+i（i为虚数单位），则 =________
【答案】3﹣4i
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由z=2+i， 得z2=（2+i）2=3+4i，则 =3﹣4i．故答案为：3﹣4i．【分析】把复数z代入z2 ， 然后展开，再求出 得答案．
30.若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为________?
【答案】
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】∵|4+3i|=． 由（3﹣4i）z=|4+3i|，得（3﹣4i）z=5，即z=． ∴z的虚部为 ． 故答案为： ． 【分析】首先求出|4+3i|，代入后直接利用复数的除法运算求解．
31.已知 =a﹣i，则a=________．
【答案】﹣1
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵ = =﹣i﹣1=a﹣i，则a=﹣1． 故答案为：﹣1．【分析】利用复数的运算法则即可得出．
32.已知z=1+2i，则z3=________．
【答案】﹣11﹣2i
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵z=1+2i， ∴z3=（1+2i）3=13+3×12×2i+3×1×（2i）2+（2i）3=1+6i﹣12﹣8i=﹣11﹣2i．故答案为：﹣11﹣2i．【分析】直接利用实数的运算法则展开两数和的立方得答案．
三、解答题
33.在复平面中，已知A，B，C三点分别对应复数2+i，4+3i，3+5i，又知点D与这三点构成平行四边形，求点D对应的复数．
【答案】解：由于平行四边形对角线互相平分故在复平面上，若平行四边形ABCD，则四个顶点满足：A、C两顶点的和等于C、D两个顶点的和即：2+i+3+5i=4+3i+Z故Z=1+3i若平行四边形ABDC，则四个顶点满足：A、D两顶点的和等于B、C两个顶点的和即：2+i+Z=4+3i+3+5i故Z=5+7i若平行四边形ADBC，则四个顶点满足：A、B两顶点的和等于D、C两个顶点的和即：2+i+4+3i=Z+3+5i故Z=3﹣i点D对应的复数为3﹣i或1+3i或5+7i
【考点】复数代数形式的加减运算
【解析】【分析】该题应考虑三种情形，然后根据平行四边形对角线上两顶点的和相等建立等式，可求出点D对应的复数。
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）设 ,则 =（?? ）
A.0 B. C.1 D.
【答案】C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】解：z= + = ,∴ ，
故答案为：C。
【分析】先由复数的乘除运算求出复数z,再由几何意义求模.
2.（2018?浙江）复数 ?(i为虚数单位)的共轭复数是（ ??）
A.?1+i?????????????????????????????????????B.?1?i?????????????????????????????????????C.??1+i?????????????????????????????????????D.??1?i
【答案】B
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】详解： ，∴共轭复数为 ，故答案为：B.【分析】由复数的除法运算化简复数为a+bi（a，b∈R）的形式，则其共轭复数可求．
3.（2018?卷Ⅱ）i（2+3i）=（?? ）
A.3-2i B.3+2i C.-3-2i D.-3+2i
【答案】D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】i(2+3i)=2i-3
故答案为：D
【分析】由复数的乘法运算可得。
4.（2018?卷Ⅱ） (?? )
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】
故答案为：D
【分析】由复数的除法运算可得.
5.（2018?卷Ⅲ） =（ ??）
A.?-3-i??????????????????????????????????????B.?-3+i??????????????????????????????????????C.?3-i??????????????????????????????????????D.?3+i
【答案】D
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】(1+i)（2-i）=2-i2+i=3+i故答案为：D【分析】将等式化简即可.
6.（2018?北京）在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于（?? ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】D
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解： ，则共轭复数为 在第四象限，
故答案为：D
【分析】先化简复数 ，再求它的共轭复数。
7.（2017?山东）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+ i，z? =4，则a=（　　）
A.?1或﹣1??????????????????B.?或﹣ ??????????????????????????????C.?﹣ ????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由z=a+ i，则z的共轭复数 =a﹣ i，由z? =（a+ i）（a﹣ i）=a2+3=4，则a2=1，解得：a=±1，∴a的值为1或﹣1，故选A．【分析】求得z的共轭复数，根据复数的运算，即可求得a的值．
8.（2017?新课标Ⅲ）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（??? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?2
【答案】C
【考点】复数求模
【解析】【解答】解：∵（1+i）z=2i，∴（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），z=i+1．则|z|= ．故选：C．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
9.（2017?新课标Ⅲ）复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（　　）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
【答案】C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：z=i（﹣2+i）=﹣2i﹣1对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限．故选：C．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
10.（2017·山东）已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z2=（　　）
A.?﹣2i????????????????????????????????????????B.?2i????????????????????????????????????????C.?﹣2????????????????????????????????????????D.?2
【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵复数z满足zi=1+i，∴z= =1﹣i，∴z2=﹣2i，故选：A．【分析】根据已知，求出z值，进而可得答案．
11.（2017?北京卷）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（　　）
A.?（﹣∞，1）???????????????????B.?（﹣∞，﹣1）???????????????????C.?（1，+∞）???????????????????D.?（﹣1，+∞）
【答案】B
【考点】虚数单位i及其性质，复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，∴ ，解得a＜﹣1．则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故选：B．【分析】复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，可得 ，解得a范围．
12.（2017?新课标Ⅱ）（1+i）（2+i）=（??? ）
A.?1﹣i?????????????????????????????????????B.?1+3i?????????????????????????????????????C.?3+i?????????????????????????????????????D.?3+3i
【答案】B
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：原式=2﹣1+3i=1+3i．故选：B．【分析】利用复数的运算法则即可得出．
13.（2017?新课标Ⅰ卷）设有下面四个命题p1：若复数z满足 ∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1 ， z2满足z1z2∈R，则z1= ；p4：若复数z∈R，则 ∈R．其中的真命题为（　　）
A.?p1 ， p3????????????????????????????B.?p1 ， p4????????????????????????????C.?p2 ， p3????????????????????????????D.?p2 ， p4
【答案】B
【考点】命题的真假判断与应用，复数的基本概念
【解析】【解答】解：若复数z满足 ∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z?R，故命题p2为假命题；p3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠ ，故命题p3为假命题；p4：若复数z∈R，则 =z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．
14.（2017?新课标Ⅰ卷）下列各式的运算结果为纯虚数的是（　　）
A.?i（1+i）2??????????????????????????B.?i2（1﹣i）??????????????????????????C.?（1+i）2??????????????????????????D.?i（1+i）
【答案】C
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：A．i（1+i）2=i?2i=﹣2，是实数．B．i2（1﹣i）=﹣1+i，不是纯虚数．C．（1+i）2=2i为纯虚数．D．i（1+i）=i﹣1不是纯虚数．故选：C．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断出结论．
15.（2017?新课标Ⅱ） =（??? ）
A.?1+2i?????????????????????????????????????B.?1﹣2i?????????????????????????????????????C.?2+i?????????????????????????????????????D.?2﹣i
【答案】D
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： = = =2﹣i，故选 D．【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果．
16.（2016?全国）若z=1+2i，则 =（　　）
A.?1??????????????????????????????????????????B.?﹣1??????????????????????????????????????????C.?i??????????????????????????????????????????D.?﹣i
【答案】C
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：z=1+2i，则 = = =i．故选：C．【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．
17.（2016?全国）已知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（　　）
A.?（﹣3，1）????????????????????B.?（﹣1，3）????????????????????C.?（1，+∞）????????????????????D.?（﹣∞，﹣3）
【答案】A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】∴ ， ，∴ ，故选A【分析】利用复数对应点所在象限，列出不等式组求解即可
18.（2016?全国）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=（　　）
A.?﹣3?????????????????????????????????????????B.?﹣2?????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?3
【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：（1+2i）（a+i）=a﹣2+（2a+1）i的实部与虚部相等，可得：a﹣2=2a+1，解得a=﹣3．故选：A．【分析】利用复数的乘法运算法则，通过复数相等的充要条件求解即可．；本题考查复数的相等的充要条件的应用，复数的乘法的运算法则，考查计算能力．
19.（2016?全国）设复数z满足z+i=3﹣i，则 =（　　）
A.?﹣1+2i??????????????????????????????????B.?1﹣2i??????????????????????????????????C.?3+2i??????????????????????????????????D.?3﹣2i
【答案】C
【考点】复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】解：∵复数z满足z+i=3﹣i，∴z=3﹣2i，∴ =3+2i，故选：C【分析】根据已知求出复数z，结合共轭复数的定义，可得答案．；本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题．
20.（2016?全国）若z=4+3i，则 =（　　）
A.?1???????????????????????????????????B.?﹣1???????????????????????????????????C.?+ i???????????????????????????????????D.?﹣ i
【答案】D
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：z=4+3i，则 = = = ﹣ i．故选：D．【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可．；本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．
21.（2016?全国）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（　　）
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?2
【答案】B
【考点】复数求模
【解析】【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴ ，解得 ，即|x+yi|=|1+i|= ，故选：B．【分析】.根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可.本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y的值是解决本题的关键．
22.（2016?北京）复数? （　　）
A.?i????????????????????????????????????????B.?1+i????????????????????????????????????????C.?﹣i????????????????????????????????????????D.?1﹣i
【答案】A
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： = = =i，故选：A【分析】将分子分线同乘2+i，整理可得答案．；本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题．
23.（2016?山东）若复数z满足2z+ =3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（　　）
A.?1+2i?????????????????????????????????B.?1﹣2i?????????????????????????????????C.?﹣1+2i?????????????????????????????????D.?﹣1﹣2i
【答案】B
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数z满足2z+ =3﹣2i，设z=a+bi，可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i．解得a=1，b=﹣2．z=1﹣2i．故选：B．【分析】设出复数z，通过复数方程求解即可．；本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．
二、填空题
24.（2018?天津）i是虚数单位，复数 =________．
【答案】4–i
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： 【分析】将分式上下同时乘以分母的共轭复数，再化简.
25.?? （2018?江苏）若复数 满足 ，其中 是虚数单位，则 的实部为________.
【答案】2
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】解:∵i·z=1+2i得：z=∴实部为2【分析】Z=a+bi,(a,b∈R),则a为实部，b为虚部。
26.（2018?上海）已知复数z满足 （i是虚数单位），则∣z∣=________。
【答案】5
【考点】复数求模
【解析】【解答】∵ ∴ 故根据复数模长公式 =5【分析】复数转化关系公式 ，共轭复数去点模长公式
27.（2017?上海）已知复数z满足z+ =0，则|z|=________．
【答案】
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由z+ =0，
得z2=﹣3，
设z=a+bi（a，b∈R），
由z2=﹣3，得（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=﹣3，
即 ，解得： ．
∴ ．
则|z|= ．
故答案为： ．
【分析】设z=a+bi（a，b∈R），代入z2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a，b的值得答案．
28.（2017·天津）已知a∈R，i为虚数单位，若 为实数，则a的值为________．
【答案】﹣2　
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：a∈R，i为虚数单位， = = = ﹣ i由 为实数，可得﹣ =0，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简 ，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值．
29.（2017?浙江）已知a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），则a2+b2=________，ab=________．
【答案】5；2
【考点】复数相等的充要条件，复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），∴3+4i=a2﹣b2+2abi，∴3=a2﹣b2 ， 2ab=4，解得ab=2， ， ．则a2+b2=5，故答案为：5，2．【分析】a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），可得3+4i=a2﹣b2+2abi，可得3=a2﹣b2 ， 2ab=4，解出即可得出．
30.（2017?江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是________．
【答案】
【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模
【解析】【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，∴|z|= = ．故答案为： ．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
31.（2016?上海）设 ，其中 为虚数单位，则 =________.
【答案】-3
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 【分析】利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
32.（2016?天津）i是虚数单位，复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为________．
【答案】1
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：由（1+i）z=2，得 ，∴z的实部为1．故答案为：1．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．；本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
33.（2016?天津）已知 ，i是虚数单位，若(1+i)(1-bi）=a ， 则 的值为________.
【答案】
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ， ，∴ ， 【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于a，b的方程，解得a，b的值，进而可得答案．
34.（2016?北京）设a R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=________。
【答案】-1
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】 ∵其对应点在实轴上∴ ， 【分析】（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i，则a+1=0，解得答案
35.（2016?江苏）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是________.
【答案】5
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由复数乘法可得z=（1+2i）（3﹣i）=5+5i，则 的实部是5.【分析】利用复数的运算法则即可得出
36.（2016?上海）设Z= ，其中i为虚数单位，则Imz=________．
【答案】-3
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵Z= =? =? =2﹣3i，∴Imz=﹣3．故答案为：﹣3．【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则，先求出复数z的最简形式，由此能求出Imz．；本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的乘除运算法则的合理运用．