2019年备战高考数学全国各地真题精练（2014-2018）
第5章 第1节 数列的概念与简单表示法
（学生版）
备战基础·零风险
1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．
2．了解数列是自变量为正整数的一类函数.
数列的概念
定 义
按照 排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做 ．
通项公式
如果数列{an}的第n项与 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
数列的前n项和
在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和．
数列的表示方法
(1)表示方法
列表法
列表格表达n与f(n)的对应关系
图象法
把点(n，f(n))画在平面直角坐标系中
公
式
法
通项公式
把数列的通项使用通项公式表达的方法
递推
公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝ 等表达数列的方法
(2)数列的函数特征
上面数列的三种表示方法也是函数的表示方法，数列可以看作是定义域为正整数集(或它的有限子集{1,2，…，n}的函数an＝f(n))当自变量由小到大依次取值时所对应的一列函数值
数列的分类
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数 。
无穷数列
项数 。
单
调
性
递增数列
an＋1 an
其中
n∈N*
递减数列
an＋1 an
常数列
an＋1 an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
周期性
?n∈N*，存在正整数常数k，an＋k＝an
an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ 。
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一个区别 “数列”与“数集”
数列与数集都是具有某种属性的数的全体，数列中的数是有序的，而数集中的元素是无序的，同一个数在数列中可以重复出现，而数集中的元素是互异的．
2．三个防范 一是注意数列不仅有递增、递减数列，还有常数列、摆动数列，如(4)．
二是数列的通项公式不唯一，如(3)中还可以表示为an＝
三是已知Sn求an时，一定要验证n＝1的特殊情形.
3.根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．
4. 给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.
5. 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
6．求数列通项或指定项，通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n或(－1)n＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．
7．由Sn求an时，an＝注意验证a1是否包含在后面an的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含an与Sn的关系的数列题均可考虑上述公式．
8．已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有三种常见思路：
(1)算出前几项，再归纳、猜想；
(2)“an＋1＝pan＋q”这种形式通常转化为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列；
(3)利用累加、累乘法或迭代法可求数列的通项公式．
备战练习·固基石
一、单选题
1.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（?? ）
A.?180??????????????????????????????????????B.?200??????????????????????????????????????C.?128??????????????????????????????????????D.?162
2.数列1， ， ， ， 的一个通项公式an是（?? ）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
3.数列的一个通项公式为（??）
A.?????? ?????B.???????????
C.????????? ??D.?
4.已知数列 ，… 是这个数列的第（?? ）项．
A.?10?????????????????????????????????????????B.?11?????????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????????D.?21
5.已知数列则21是这个数列的(?? )
A.?第10项???????????????????????????????B.?第11项???????????????????????????????C.?第12项???????????????????????????????D.?第21项
6.数列2，5，11，20，x，47，…中的x值为（?? ）
A.?28?????????????????????????????????????????B.?32?????????????????????????????????????????C.?33?????????????????????????????????????????D.?27
7.数列1，-3，5，-7，9，……的一个通项公式为（ ??）
A.?B.??C.??D.?
8.“大自然是懂数学的”，自然界中大量存在如下数列：1，1，2，3， ，8，13，21， ，则其中 的值是（??? ）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?5???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?7
9.现在有这么一列数：2， ， ， ，， ， ，…，按照规律，横线中的数应为（?? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
10.数列 …的一个通项公式为（?? ）
A.?B.????C.?D.?
11.已知数列 的通项公式是 ，那么这个数列是（? ）
A.?递增数列?????????????????????????????B.?递减数列?????????????????????????????C.?常数列?????????????????????????????D.?摆动数列
12.已知递增数列{an}各项均是正整数，且满足=3n，则a5的值为（ ）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?9
13.在数列 中， ， ， ，依次计算 ， ， 后，猜想 的表达式是（?? ）
A.????????????????????????????????B.????????????C.????????????????????????????????D.?
14.下列可作为数列的通项公式的是???（???）
A.???????????????????????B.??????????C.???????????????????????D.?
15.已知数列 的首项为2，且数列 满足 ，设数列 的前 项和为 ，则 （??? ）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
16.已知数列 的通项公式是 ，那么这个数列是（?? ）
A.?递增数列?????????????????????????????B.?递减数列?????????????????????????????C.?常数列?????????????????????????????D.?摆动数列
17.已知数列1，4，9，16，…，则256是数列的（?? ）
A.?第14项???????????????????????????????B.?第15项???????????????????????????????C.?第16项???????????????????????????????D.?第17项
18.使数列 的自然数n的最小值为（?? ）
A.?8??????????????????????????????????????????B.?9??????????????????????????????????????????C.?10??????????????????????????????????????????D.?11
19.设? 那么f(n＋1)－f(n)等于( )
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
20.设函数 ， ， 若数列是单调递减数列，则实数k的取值范围为（??）
A.??????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
21.在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数．则 （? ）
A.?8036???????????????????????????????????B.?8038???????????????????????????????????C.?8048???????????????????????????????????D.?8058
22.已知数列 中， ， ， ，若对于任意的 ， ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围（?? ）
A.??? B.???
C.???? ?D.?
二、填空题
23.数列﹣1，4，﹣16，64，﹣256，…的一个通项公式an=________．
24.已知曲线y=x2+1，点（n，an）（n∈N+）位于该曲线上，则a10=________．
25.已知无穷数列{an}，a1=1，a2=2，对任意n∈N* ， 有an+2=an ， 数列{bn}满足bn+1﹣bn=an（n∈N*），若数列 中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的b1的值为________
26.已知函数f（n）=n2cos（nπ），且an=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a100=________?．
27.数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…其通项公式为 ________ ．
28.已知数列{an}的通项公式an=11﹣2n，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|，则S10=________
29.数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n（n=1，2，3，…），则a1=________?{an}的通项公式是：________?
30.数列{an}的通项公式 （a∈R），若a6与a7两项中至少有一项是{an}的最小值，则实数a的取值范围是________．
31.已知数列{an}的通项公式为an=n2+λn（n=1，2，3，…），若数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________?
32.（2016?浙江）设数列{an}的前n项和为Sn ， 若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N* ， 则a1=________，S5=________．
三、解答题
33.已知实数数列{an}满足：a1=3，an= （an﹣1+2），n≥2，证明：当n≥2时，{an}是单调减数列．
34.已知数列{an}是递增数列，an=n2+λn，求实数λ的取值范围．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2014?辽宁）设等差数列{an}的公差为d，若数列{ }为递减数列，则（?? ）
A.?d＜0?????????????????????????????????B.?d＞0?????????????????????????????????C.?a1d＜0?????????????????????????????????D.?a1d＞0
二、填空题
2.（2016?浙江）设数列{an}的前n项和为Sn ， 若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N* ， 则a1=________，S5=________．
三、解答题
3.（2017?浙江）已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时， （Ⅰ）0＜xn+1＜xn； （Ⅱ）2xn+1﹣xn≤ ； （Ⅲ） ≤xn≤ ．
4.（2014?山东）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn ， 且S1 ， S2 ， S4成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=（﹣1）n﹣1 ，求数列{bn}的前n项和Tn ．
5.（2014?广东）设数列{an}的前n项和为Sn ， 满足Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N* ， 且S3=15．
（1）求a1 ， a2 ， a3的值；
（2）求数列{an}的通项公式．
6.(2015·湖北）已知数列的各项均为正数， ， 为自然对数的底数．
（1）求函数的单调区间，并比较与的大小；
（2）计算 ， ， ， 由此推测计算的公式，并给出证明；
（3）令 ， 数列 ， 的前项和分别记为,,?证明：.
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2014-2018）
第5章 第1节 数列的概念与简单表示法
（教师版）
备战基础·零风险
1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．
2．了解数列是自变量为正整数的一类函数.
数列的概念
定 义
按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项．
通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
数列的前n项和
在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和．
数列的表示方法
(1)表示方法
列表法
列表格表达n与f(n)的对应关系
图象法
把点(n，f(n))画在平面直角坐标系中
公
式
法
通项公式
把数列的通项使用通项公式表达的方法
递推
公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表达数列的方法
(2)数列的函数特征
上面数列的三种表示方法也是函数的表示方法，数列可以看作是定义域为正整数集(或它的有限子集{1,2，…，n}的函数an＝f(n))当自变量由小到大依次取值时所对应的一列函数值
数列的分类
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
单
调
性
递增数列
an＋1＞an
其中
n∈N*
递减数列
an＋1＜an
常数列
an＋1＝an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
周期性
?n∈N*，存在正整数常数k，an＋k＝an
an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一个区别 “数列”与“数集”
数列与数集都是具有某种属性的数的全体，数列中的数是有序的，而数集中的元素是无序的，同一个数在数列中可以重复出现，而数集中的元素是互异的．
2．三个防范 一是注意数列不仅有递增、递减数列，还有常数列、摆动数列，如(4)．
二是数列的通项公式不唯一，如(3)中还可以表示为an＝
三是已知Sn求an时，一定要验证n＝1的特殊情形.
3.根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．
4. 给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.
5. 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
6．求数列通项或指定项，通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n或(－1)n＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．
7．由Sn求an时，an＝注意验证a1是否包含在后面an的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含an与Sn的关系的数列题均可考虑上述公式．
8．已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有三种常见思路：
(1)算出前几项，再归纳、猜想；
(2)“an＋1＝pan＋q”这种形式通常转化为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列；
(3)利用累加、累乘法或迭代法可求数列的通项公式．
备战练习·固基石
一、单选题
1.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（?? ）
A.?180??????????????????????????????????????B.?200??????????????????????????????????????C.?128??????????????????????????????????????D.?162
【答案】B
【考点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：a2n=2n2 ． 则此数列第20项=2×102=200． 故答案为：B． 【分析】利用观察法可得偶数项的通项公式：a2n=2n2，可求得第20项=200.
2.数列1， ， ， ， 的一个通项公式an是（?? ）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：将原数列写成： ， ， ， ， ． 每一项的分子是正整数数列，分母是正奇数数列， ∴数列1， ， ， ， 的一个通项公式an是 ． 故选B． 【分析】将原数列中的第一项写成分式的形式： ，再观察得出每一项的分子是正整数数列，分母是正奇数数列，从而得出数列1， ， ， ， 的一个通项公式an ．
3.数列的一个通项公式为（??）
A.???B.?????C.??D.?
【答案】A
【考点】数列的函数特性
【解析】【分析】数列中正负（先正后负）项间隔出现，必有，而数列1，3，5，7，9，……的一个通项公式为，所以数列的一个通项公式为，故选A.
4.已知数列 ，… 是这个数列的第（?? ）项．
A.?10?????????????????????????????????????????B.?11?????????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????????D.?21
【答案】B
【考点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：根据数列前几项，可判断数列的通项公式为an= ，假设 为数列的第n项，则 ， 解得，n=11 故选B 【分析】可根据数列前几项找规律，求出数列的通项公式，再让数列的第n项等于 ，即可求出．
5.已知数列则21是这个数列的(?? )
A.?第10项???????????????????????????????B.?第11项???????????????????????????????C.?第12项???????????????????????????????D.?第21项
【答案】B
【考点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】根据数列前几项，可判断数列的通项公式为， 假设21为数列的第n项，则， 解得，n=11。故选B。 【分析】本题考查了不完全归纳法求数列的通项公式，做题时要认真观察，找到规律．
6.数列2，5，11，20，x，47，…中的x值为（?? ）
A.?28?????????????????????????????????????????B.?32?????????????????????????????????????????C.?33?????????????????????????????????????????D.?27
【答案】B
【考点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：由题意知，数列2，5，11，20，x，47， ∴5﹣2=3，11﹣5=6，20﹣11=9， 则x﹣20=12，解得x=32， 故选B． 【分析】根据所给数列中相邻两项的差的规律性，即从第二项起，每一项与前一项的差依次是3的倍数，再进行求解．
7.数列1，-3，5，-7，9，……的一个通项公式为（ ??）
A.??B.???C.??????D.?
【答案】B
【考点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：数列中正负项（先正后负）间隔出现，必有 ，1，3，5，7，9，……故2n-1，所以数列1，-3，5，-7，9，……的一个通项公式是 ， 故答案为：B.
【分析】由数列中正负项（先正后负）间隔出现的规律，即可求出一个通项公式.
8.“大自然是懂数学的”，自然界中大量存在如下数列：1，1，2，3， ，8，13，21， ，则其中 的值是（??? ）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?5???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?7
【答案】B
【考点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：观察可得，该数列从第三项起，每一项都等于前两项的和可得x=3+2=5. 故答案为：B. 【分析】观察该数列可以发现，后一项等于前两项的和，即可得出答案。
9.现在有这么一列数：2， ， ， ，， ， ，…，按照规律，横线中的数应为（?? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：由题意可得：分子为连续的质数，分母依次为首项为2、公比为2的等比数列， 故括号中的数应该为 ． 故选：B． 【分析】由题意可得：分子为连续的质数，分母依次为首项为2、公比为2的等比数列，即可得出．
10.数列 …的一个通项公式为（?? ）
A.???B.??C.??D.?
【答案】C
【考点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】首先是符号规律： ，再是奇数规律 ，因此 ，故答案为：C. 【分析】解决此题时，通过四个选项的验证，即可得出答案。
11.已知数列 的通项公式是 ，那么这个数列是（? ）
A.?递增数列?????????????????????????????B.?递减数列?????????????????????????????C.?常数列?????????????????????????????D.?摆动数列
【答案】A
【考点】数列的概念及简单表示法
【解析】解答： ＝ ＝1－ ，随着n的增大而增大．故选：A．分析：数列的分类 按项之间的大小关系：递增数列，递减数列，摆动数列，常数列． 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列； 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列； 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列； 常数列：各项都相等的数列．
12.已知递增数列{an}各项均是正整数，且满足=3n，则a5的值为（ ）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?9
【答案】C
【考点】数列的函数特性
【解析】【解答】∵a=3n， ∴a=3×1=3， 若a1=1，则a=a1=1，与a=3×1=3矛盾， 若a1≥3，则a≥a3 ， 而a=3，所以3≥a3 ， 即a1≥a3与数列{an}递增矛盾， 于是a1=2，得a=a2=3×1=3，a2=3， a=a3=3×2=6， a=a6=3×3=9，而a3＜a4＜a5＜a6 ∵递增数列{an}各项均是正整数 ∴a4=7，a5=8，所以a5=8． 故选：C． 【分析】运用a=3n，递推得出a1=1，a1≥3不符合题意， 讨论得出a1=2，再运用递推关系式对称a2=3，a2=3，a6=9，根据不等式得出a3＜a4＜a5＜a6 求解即可得出a5=8．
13.在数列 中， ， ， ，依次计算 ， ， 后，猜想 的表达式是（?? ）
A.????????????????????????????????B.???????????????????????C.????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：由题意，数列 中， ， 所以 ? 由此可推测数列 的表达式为 ， 故答案为：A. 【分析】根据表达式求出数列的前几项，归纳猜想即可.
14.下列可作为数列的通项公式的是???（???）
A.???????????????????????B.?????????????C.???????????????????????D.?
【答案】C
【考点】数列的概念及简单表示法
【解析】【分析】由数列的项的变化规律可以看出，1，0交错出现，由此规律去对四个选项进行验证即可得出正确答案 【解答】A选项不正确，数列第二项不是1； B选项不正确，其对应的首项是0； C选项正确，验证知恰好能表示这个数列； D选项不正确，其对应的第二项为1，不合题意． 故选C 【点评】本题考查数列的概念及数列表示法，求解的关键是从数列的前几项中发现数列各项变化的规律，利用此规律去验证四个选项．
15.已知数列 的首项为2，且数列 满足 ，设数列 的前 项和为 ，则 （??? ）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】数列的函数特性
【解析】【解答】由 ?有 ，所以数列 是周期为4的数列，则 ， 故答案为：A. 【分析】可得数列{an}是周期为4的周期数列，利用数列的周期性求解即得．
16.已知数列 的通项公式是 ，那么这个数列是（?? ）
A.?递增数列?????????????????????????????B.?递减数列?????????????????????????????C.?常数列?????????????????????????????D.?摆动数列
【答案】A
【考点】数列的函数特性
【解析】【解答】因为 因为函数 单调递增，所以数列 是递增数列． 故答案为:A．【分析】由数列的通项公式表示 为n的函数式,由函数的单调性得到.
17.已知数列1，4，9，16，…，则256是数列的（?? ）
A.?第14项???????????????????????????????B.?第15项???????????????????????????????C.?第16项???????????????????????????????D.?第17项
【答案】C
【考点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：根据题意，数列1，4，9，16，…， 则其通项公式为an=n2 ， 而256=（16）2 ， 即256是数列的第16项， 故选：C． 【分析】根据题意，由所给数列的前几项可得数列的通项公式an=n2 ， 256=（16）2 ， 即256是数列的第16项，即可得答案．
18.使数列 的自然数n的最小值为（?? ）
A.?8??????????????????????????????????????????B.?9??????????????????????????????????????????C.?10??????????????????????????????????????????D.?11
【答案】D
【考点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：令数列 前n项积为Tn ， 则Tn= = ， 令 ，即n2+n＞110 当n=10时，n2+n=110， 当n=11时，n2+n＞110 故答案为：D 【分析】由指数函数的运算公式，再根据等差数列的前n项公式求出Tn的解析式，整理该式子可得n2+n＞110，求出n的值。
19.设? 那么f(n＋1)－f(n)等于( )
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】数列的函数特性
【解析】 【分析】简单题，解题时细心即可
20.设函数 ， ， 若数列是单调递减数列，则实数k的取值范围为（??）
A.??????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】数列的概念及简单表示法，数列的函数特性
【解析】【解答】依题意，， 所以,.若数列是单调递减数列,则， 且.由得， 即则实数的取值范围为.所以选C.
21.在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数．则 （? ）
A.?8036???????????????????????????????????B.?8038???????????????????????????????????C.?8048???????????????????????????????????D.?8058
【答案】D
【考点】数列的函数特性
【解析】解答：设an＝kn＋b(k≠0)，则有 ，解得k＝4，b＝－2．∴an＝4n－2．∴ ，故选：D． 分析：根据一次函数的特征，列出二元一次方程组即可．
22.已知数列 中， ， ， ，若对于任意的 ， ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围（?? ）
A.???B.???C.???D.?
【答案】C
【考点】数列的概念及简单表示法，数列的函数特性
【解析】【解答】由 ，得 ，即 ，又 ，所以 ， 即 ， 即 ， 要使 对于任意的 恒成立， 则 对于任意的 恒成立， 即 对于任意的 恒成立， 令 ，则 ， 解得 或 ； 故答案为：C. 【分析】考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是对n（an+1-an）=an+1的变形，属于难题.
二、填空题
23.数列﹣1，4，﹣16，64，﹣256，…的一个通项公式an=________．
【答案】﹣（﹣4）n﹣1
【考点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：由数列﹣1，4，﹣16，64，﹣256，…可得： a1=﹣（﹣4）0 ， a2=﹣（﹣4）1 ， a3=﹣（﹣4）2 ， …， 可得：an=﹣（﹣4）n﹣1 ， 故答案为：﹣（﹣4）n﹣1 【分析】由数列﹣1，4，﹣16，64，﹣256，…可得：a1=﹣（﹣4）0 ， a2=﹣（﹣4）1 ， a3=﹣（﹣4）2 ， …，即可得出
24.已知曲线y=x2+1，点（n，an）（n∈N+）位于该曲线上，则a10=________．
【答案】101
【考点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：曲线y=x2+1，点（n，an）（n∈N+）位于该曲线上， an=n2+1， 则a10=101． 故答案为：101． 【分析】利用点在曲线上，推出通项公式，然后求出结果即可．
25.已知无穷数列{an}，a1=1，a2=2，对任意n∈N* ， 有an+2=an ， 数列{bn}满足bn+1﹣bn=an（n∈N*），若数列 中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的b1的值为________
【答案】2
【考点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：a1=1，a2=2，对任意n∈N* ， 有an+2=an ， ∴a3=a1=1，a4=a2=2，a5=a3=a1=1， ∴an= ∴bn+1﹣bn=an= ， ∴b2n+2﹣b2n+1=a2n+1=1，b2n+1﹣b2n=a2n=2， ∴b2n+2﹣b2n=3，b2n+1﹣b2n﹣1=3 ∴b3﹣b1=b5﹣b3=…=b2n+1﹣b2n﹣1=3， b4﹣b2=b6﹣b4=b8﹣b6=…=b2n﹣b2n﹣2=3，b2﹣b1=1， ， ， ， ，…， =b4n﹣2 ， ， ∵数列 中的任意一项都在该数列中重复出现无数次， ∴b2=b6=b10=…=b2n﹣1 ， b4=b8=b12=…=b4n ， 解得b8=b4=3， b2=3，∵b2﹣b1=1，∴b1=2， 故答案为：2 【分析】依题意数列{an}是周期数咧，则可写出数列{an}的通项，由数列{bn}满足bn+1﹣bn=an（n∈N*），可推出bn+1﹣bn=an= ? ， ， ， ，…要使数列 中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则b2=b6=b10=…=b2n﹣1 ， b4=b8=b12=…=b4n ， 可得b8=b4=3即可，
26.已知函数f（n）=n2cos（nπ），且an=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a100=________?．
【答案】-100
【考点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：∵an=f（n）+f（n+1）=n2cos（nπ）+（n+1）2cos（（n+1）π）=， 即an= ∴a1+a2+a3+…+a100=3﹣5+7﹣9+11…﹣201=50×（﹣2）=﹣100 故答案为﹣100 【分析】由于cos（nπ）的值与n是奇数、偶数有关，故先分n是奇数、偶数，求数列an的通项公式，再分组求和即可得所求和
27.数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…其通项公式为 ________ ．
【答案】
【考点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】从形式上看不出数列的各项与项数的关系．可先计算出前4项的值再观察变化规律，其前4项分别为1，4，9，16，故它的一个通项公式为 ．故答案为:n2 【分析】先计算出前4项的值再观察变化规律,得到通项.
28.已知数列{an}的通项公式an=11﹣2n，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|，则S10=________
【答案】50
【考点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：由an=11﹣2n≥0，得 ，∴数列{an}的前5项为正数，从第6项起为负数， 又由an=11﹣2n，得a1=9，an+1﹣an=11﹣2（n+1）﹣11+2n=﹣2， ∴数列{an}是首项为9，公差为﹣2的等差数列． 则Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=（a1+a2+…+a5）﹣（a6+a7+…+a10） =﹣（a1+a2+…+a10）+2（a1+a2+…+a5） =﹣S10+2S5= =﹣（10×9﹣90）+2（5×9﹣20）=50． 故答案为：50． 【分析】由数列的通项公式得到数列的首项和公差，再由通项大于等于0解出数列的前5项为正数，从第6项起为负数，则Sn=|a1|+|a2|+…+|an|可求．
29.数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n（n=1，2，3，…），则a1=________?{an}的通项公式是：________?
【答案】3；an=2n+1
【考点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】由于数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n（n=1，2，3，…），令n=1可得 a1=S1=3， 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2+2n）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1， 综合可得，an=2n+1， 故答案为 3；an=2n+1． 【分析】令n=1可得 a1=S1=3，当n≥2时，利用an=Sn﹣Sn﹣1求得结果，综合可得an 的解析式．
30.数列{an}的通项公式 （a∈R），若a6与a7两项中至少有一项是{an}的最小值，则实数a的取值范围是________．
【答案】[24，36]
【考点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：∵ = ，又∵若a6与a7两项中至少有一项是{an}的最小值，∴ ，解得24≤a≤36． 故答案为[24，36]． 【分析】利用二次函数的单调性即可求出．
31.已知数列{an}的通项公式为an=n2+λn（n=1，2，3，…），若数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________?
【答案】（﹣3，+∞）
【考点】数列的函数特性
【解析】【解答】∵数列{an}的通项公式为an=n2+λn（n=1，2，3，…）， 数列{an}是递增数列， ∴an+1﹣an =（n+1）2+λ（n+1）﹣（n2+λn） =2n+1+λ＞0恒成立 ∵2n+1+λ的最小值是2×1+1+λ=3+λ＞0 ∴λ＞﹣3 即实数λ的取值范围是（﹣3，+∞）． 故答案为：（﹣3，+∞）． 【分析】由已知条件推导出an+1﹣an=（n+1）2+λ（n+1）﹣（n2+λn）=2n+1+λ＞0恒成立，由此能求出实数λ的取值范围．
32.（2016?浙江）设数列{an}的前n项和为Sn ， 若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N* ， 则a1=________，S5=________．
【答案】1；121
【考点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：由n=1时，a1=S1 ， 可得a2=2S1+1=2a1+1， 又S2=4，即a1+a2=4， 即有3a1+1=4，解得a1=1； 由an+1=Sn+1﹣Sn ， 可得 Sn+1=3Sn+1， 由S2=4，可得S3=3×4+1=13， S4=3×13+1=40， S5=3×40+1=121． 故答案为：1，121． 【分析】运用n=1时，a1=S1 ， 代入条件，结合S2=4，解方程可得首项；再由n＞1时，an+1=Sn+1﹣Sn ， 结合条件，计算即可得到所求和．本题考查数列的通项和前n项和的关系：n=1时，a1=S1 ， n＞1时，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 考查运算能力，属于中档题．
三、解答题
33.已知实数数列{an}满足：a1=3，an= （an﹣1+2），n≥2，证明：当n≥2时，{an}是单调减数列．
【答案】证明：当n≥1时，有an+1﹣an=[ ﹣1]an+ = （n+3﹣nan）， 下面用数学归纳法证明：an＞1+ （n≥2，n∈N*）， ①当n=2时，a2= （3+2）= ＞1+ ， ②假设n=k（k≥2）时，结论成立，即ak＞1+ ， 那么ak+1= （ak+2）＞ （1+ +2）=1+ ＞1+ ， 故由①②可知，an＞1+ ， 因此当n≥2，n∈N*，an+1﹣an= （n+3﹣nan）＜0， 即当n≥2时，{an}是单调减数列
【考点】数列的函数特性
【解析】【分析】利用作差法和数学归纳法即可证明．
34.已知数列{an}是递增数列，an=n2+λn，求实数λ的取值范围．
【答案】解：∵an=n2+λn， ∴an+1=（n+1）2+λ（n+1） ∵数列{an}是递增数列， ∴an+1＞an ， 则（n+1）2+λ（n+1）﹣n2﹣λn＞0 即2n+1+λ＞0 ∴λ＞﹣2n﹣1 ∵对于任意正整数都成立， ∴λ＞﹣3 故实数λ的取值范围是（﹣3，+∞）
【考点】数列的函数特性
【解析】【分析】根据所给的数列的项，写出数列的第n+1项，根据数列是一个递增数列，把所给的两项做差，得到不等式，根据恒成立得到结果
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2014?辽宁）设等差数列{an}的公差为d，若数列{ }为递减数列，则（?? ）
A.?d＜0?????????????????????????????????B.?d＞0?????????????????????????????????C.?a1d＜0?????????????????????????????????D.?a1d＞0
【答案】C
【考点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：∵等差数列{an}的公差为d，∴an+1﹣an=d， 又数列{ }为递减数列， ∴ = ＜1， ∴a1d＜0． 故选：C． 【分析】由于数列{ }为递减数列，可得 = ＜1，解出即可．
二、填空题
2.（2016?浙江）设数列{an}的前n项和为Sn ， 若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N* ， 则a1=________，S5=________．
【答案】1；121
【考点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：由n=1时，a1=S1 ， 可得a2=2S1+1=2a1+1， 又S2=4，即a1+a2=4， 即有3a1+1=4，解得a1=1； 由an+1=Sn+1﹣Sn ， 可得 Sn+1=3Sn+1， 由S2=4，可得S3=3×4+1=13， S4=3×13+1=40， S5=3×40+1=121． 故答案为：1，121． 【分析】运用n=1时，a1=S1 ， 代入条件，结合S2=4，解方程可得首项；再由n＞1时，an+1=Sn+1﹣Sn ， 结合条件，计算即可得到所求和．本题考查数列的通项和前n项和的关系：n=1时，a1=S1 ， n＞1时，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 考查运算能力，属于中档题．
三、解答题
3.（2017?浙江）已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时， （Ⅰ）0＜xn+1＜xn； （Ⅱ）2xn+1﹣xn≤ ； （Ⅲ） ≤xn≤ ．
【答案】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：xn＞0， 当n=1时，x1=1＞0，成立， 假设当n=k时成立，则xk＞0， 那么n=k+1时，若xk+1＜0，则0＜xk=xk+1+ln（1+xk+1）＜0，矛盾， 故xn+1＞0， 因此xn＞0，（n∈N*） ∴xn=xn+1+ln（1+xn+1）＞xn+1 ， 因此0＜xn+1＜xn（n∈N*）， （Ⅱ）由xn=xn+1+ln（1+xn+1）得xnxn+1﹣4xn+1+2xn=xn+12﹣2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1）， 记函数f（x）=x2﹣2x+（x+2）ln（1+x），x≥0 ∴f′（x）= +ln（1+x）＞0， ∴f（x）在（0，+∞）上单调递增， ∴f（x）≥f（0）=0， 因此xn+12﹣2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1）≥0， 故2xn+1﹣xn≤ ； （Ⅲ）∵xn=xn+1+ln（1+xn+1）≤xn+1+xn+1=2xn+1 ， ∴xn≥ ， 由 ≥2xn+1﹣xn得 ﹣ ≥2（ ﹣ ）＞0， ∴ ﹣ ≥2（ ﹣ ）≥…≥2n﹣1（ ﹣ ）=2n﹣2 ， ∴xn≤ ， 综上所述 ≤xn≤ ．
【考点】利用导数研究函数的单调性，数列的函数特性，数列递推式，数列与不等式的综合，数学归纳法
【解析】【分析】（Ⅰ）用数学归纳法即可证明， （Ⅱ）构造函数，利用导数判断函数的单调性，把数列问题转化为函数问题，即可证明， （Ⅲ）由 ≥2xn+1﹣xn得 ﹣ ≥2（ ﹣ ）＞0，继续放缩即可证明
4.（2014?山东）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn ， 且S1 ， S2 ， S4成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=（﹣1）n﹣1 ，求数列{bn}的前n项和Tn ．
【答案】（1）解：∵等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn ， ∴Sn= =n2﹣n+na1 ， ∵S1 ， S2 ， S4成等比数列， ∴ ， ∴ ，化为 ，解得a1=1． ∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1． （2）解：由（1）可得bn=（﹣1）n﹣1= = ． ∴Tn= ﹣ + +…+ ． 当n为偶数时，Tn= ﹣ + +…+ ﹣ =1﹣ = ． 当n为奇数时，Tn= ﹣ + +…﹣ + =1+ = ． ∴Tn=
【考点】数列的函数特性，数列的求和，数列递推式
【解析】【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（2）由（1）可得bn= ．对n分类讨论“裂项求和”即可得出．
5.（2014?广东）设数列{an}的前n项和为Sn ， 满足Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N* ， 且S3=15．
（1）求a1 ， a2 ， a3的值；
（2）求数列{an}的通项公式．
【答案】（1）解：由Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N* ， 得： S2=4a3﹣20? ① 又S3=S2+a3=15? ② 联立①②解得：a3=7． 再在Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n中取n=1，得： a1=2a2﹣7? ③ 又S3=a1+a2+7=15? ④ 联立③④得：a2=5，a1=3． ∴a1 ， a2 ， a3的值分别为3，5，7 （2）解：∵a1=3=2×1+1，a2=5=2×2+1，a3=7=2×3+1． 由此猜测an=2n+1． 下面由数学归纳法证明： ①当n=1时，a1=3=2×1+1成立． ②假设n=k时结论成立，即ak=2k+1． 那么，当n=k+1时， 由Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，得 ， ， 两式作差得： ． ∴ = =2（k+1）+1． 综上，当n=k+1时结论成立． ∴an=2n+1．
【考点】数列的函数特性，数列递推式
【解析】【分析】（1）在数列递推式中取n=2得一关系式，再把S3变为S2+a3得另一关系式，联立可求a3 ， 然后把递推式中n取1，再结合S3=15联立方程组求得a1 ， a2；（2）由（1）中求得的a1 ， a2 ， a3的值猜测出数列的一个通项公式，然后利用数学归纳法证明．
6.(2015·湖北）已知数列的各项均为正数， ， 为自然对数的底数．
（1）求函数的单调区间，并比较与的大小；
（2）计算 ， ， ， 由此推测计算的公式，并给出证明；
（3）令 ， 数列 ， 的前项和分别记为,,?证明：.
【答案】（1）的单调递增区间为,单调递减区间为. . （2）, 下面用数学归纳法证明②。 （1）当时，左边=右边=2，②成立。 （2）假设当时，②成立，即.当时，,有归纳假设可得.所以当时，②也成立。根据（1）（2），可知②对一切正整数?都成立。 （3）
【考点】基本不等式，数列的概念及简单表示法，不等式的证明，数学归纳法
【解析】【解答】1.的定义域为 ， .当 ， 即时，单调递增；当 ， 即时，单调递减。故的单调递增区间为,单调递减区间为.当时，,即.令,得,即.① 2.;;.由此推测：,② 下面用数学归纳法证明②。 （1）当时，左边=右边=2，②成立。 （2）假设当时，②成立，即.当时，,有归纳假设可得.所以当时，②也成立。根据（1）（2），可知②对一切正整数?都成立。 3. 由的定义，② ， 算术-集合平均不等式，的定义及①得 .即. 【分析】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．运用数学归纳法应注意以下三点：(1)n＝n0时成立，要弄清楚命题的含义．(2)由假设n＝k成立证n＝k＋1时，要推导详实，并且一定要运用n＝k成立的结论．(3)要注意n＝k到n＝k＋1时增加的项数．
