2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第5章 第3节 等比数列及其前n项和（学生版）
备战基础·零风险
1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及前n项和公式．
2．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．
3．了解等比数列与指数函数的关系.
等比数列的有关概念
定义
如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比等于 非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母q(q≠0)表示．
数学语言表达式：＝ (n≥2)，q为常数．
等比中项
如果 成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项?a，G，b成等比数列? .
等比数列的通项公式及前n项和公式
公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝ ；
若等比数列{an}的第m项为am，公比是q，则其第n项an可以表示为an＝ .
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝ .＝ .
等比数列及前n项和的性质
性质
(1)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝ .
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为 .
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为 .
(4)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是 ．
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一个区别 等差数列的首项和公差可以为零，且等差中项唯一；而等比数列首项和公比均不为零，等比中项可以有两个值；(2)中，若b2＝ac，则不能推出a，b，c成等比数列，因为a，b，c为0时，不成立．
2．两个防范 一是在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1或q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．
二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制，如(6)中当＝q＜0时，ln an＋1－ln an＝ln q无意义.
3. 证明数列{an}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明＝q(n≥2，q为常数)；二是等比中项法，证明a＝an－1·an＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．
4. 等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．
5.熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，主要是考查“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新．解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质，不要把两者的性质搞混．
6．等比数列的判定方法有以下几种：
(1)定义：＝q(q是不为零的常数，n∈N*)?{an}是等比数列．
(2)通项公式：an＝cqn－1(c、q均是不为零的常数，n∈N*)?{an}是等比数列．
(3)等比中项法：a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)?{an}是等比数列．
7．方程观点以及基本量(首项a1和公比q)思想仍然是求解等比数列问题的基本方法：在a1，q，n，an，Sn五个量中，知三求二．
8．在求解与等比数列有关的问题时，除了要灵活地运用定义和公式外，还要注意等比数列性质的应用，以减少运算量而提高解题速度．
备战练习·固基石
一、单选题
1.已知数列 满足 ，若 ，则 等于（?? ）
A.?1?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.?64?????????????????????????????????????????D.?128
2.已知各项均为正数的等比数列 ， ， 则（?）
A.?16?????????????????????????????????????????B.?32?????????????????????????????????????????C.?48?????????????????????????????????????????D.?64
3.在等比数列{an}中，前n项和为Sn ， 若S3=7，S6=63则公比q等于（?? ）
A.?﹣2?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.?﹣3?????????????????????????????????????????D.?3
4.在等比数列中, 若, 则a2的值为（?????）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?9
5.等比数列2，4，8，16， 的前n项和 等于(?? )
A.??????????????????????????????????B.?????????????????C.?2n?????????????????????????????????D.?
6.设等比数列的前n项和为 ， 若 ， 则的值为(???? )
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
7.等比数列{an}中，a2==2，则a6=（ ）
A.?8????????????????????????????????????????B.?-8????????????????????????????????????????C.?﹣8或8????????????????????????????????????????D.?4
8.若等比数列的前项之和为 ， 则a等于（?）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?0???????????????????????????????????????????D.?-1
9.在等比数列{an}（n∈N*）中，若 ，则该数列的前10项和为（? ）?
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
10.2和﹣2的等比中项为（ ）
A.?2???????????????????????????????????????B.?-2???????????????????????????????????????C.?±2???????????????????????????????????????D.?不存在
11.在公比大于1的等比数列中， ， ， 则（???）
A.?96?????????????????????????????????????????B.?64?????????????????????????????????????????C.?72?????????????????????????????????????????D.?48
12.已知等比数列的前项和为 ， ， ， 则公比( )
A.?1或???????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.?1???????????????????????????????????D.?－1或
13.等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（??? ）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?10
14.在等比数列 中, 则 （?? ）
A.????????????????????????????????????????B.??????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
15.已知数列{an}中，an+1=3Sn ， 则下列关于{an}的说法正确的是（ ）
A.?一定为等差数列??????????????????????????????????????????????????B.?一定为等比数列 C.?可能为等差数列，但不会为等比数列??????????????????D.?可能为等比数列，但不会为等差数列
16.各项均为正数的等比数列中，若 ， 则(????? )
A.?8??????????????????????????????????????B.?10??????????????????????????????????????C.?12??????????????????????????????????????D.?
17.已知正项等比数列 满足 ，且 ，则数列 的前9项和为（?? ）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
18.在等比数列{an}中，如果a3=2，a6=6，那么a9为（ ）
A.?8?????????????????????????????????????????B.?10?????????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????????D.?18
19.已知各项均不为0的等差数列{an}满足a3﹣ +a11=0，数列{bn}为等比数列，且b7=a7 ， 则b1?b13=（?? ）
A.?25??????????????????????????????????????????B.?16??????????????????????????????????????????C.?8??????????????????????????????????????????D.?4
20.已知等比数列{an}为递增数列，a2﹣2，a6﹣3为偶函数f（x）=x2﹣（2a+1）x+2a的零点，若Tn=a1a2…an ， 则有T7=（?? ）
A.?128?????????????????????????????B.?﹣128?????????????????????????????C.?128或﹣128?????????????????????????????D.?64或﹣64
二、填空题
21.等比数列{an}中，a1+a2+a3=1，公比 ，其前n项的和为Sn ， 则S15=________．
22.已知数列 ， 是其前 项的和且满足 ，则 ________．
23.设等比数列{an}的首项a1=1，且4a1 ， 2a2 ， a3成等差数列，则数列{an}的前10项和S10=________．
24.设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是{an}的前n项和．已知a2a4=16，S3=28，则a1a2…an最大时，n的值为________．
25.若三个数5+2 ， m，5﹣2成等比数列，则m=________?
26.我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于20尺，该女子所需的天数至少为________．
27.若等比数列 的首项为1，公比为q，则它的前n项和 可以用n，q表示成 =________．
28.已知{an}的前项之和Sn=2n+1，则此数列的通项公式为________．
29.设等比数列{an}的前n项和为Sn ， 若 =2，S4=4，则S8的值为________．
30.已知{an}是等比数列，a3=1，a7=9，则a5=________．
三、解答题
31.已知数列｛an｝为等比数列，
（1）若an＞0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5.
（2）a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
32.数列{an}是首项a1=4的等比数列，sn为其前n项和，且S3 ， S2 ， S4成等差数列．
求数列{an}的通项公式；
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?浙江）已知 成等比数列，且 ．若 ，则（ ??）
A.????????????????B.????????????????
C.????????????????D.?
2.（2018?北京）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于 ，若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（?? ）
A. B. C. D.
3.（2018?北京）设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的（?? ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.（2017?新课标Ⅲ）等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2 ， a3 ， a6成等比数列，则{an}前6项的和为（??? ）
A.?﹣24????????????????????????????????????????B.?﹣3????????????????????????????????????????C.?3????????????????????????????????????????D.?8
5.（2017?新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（??? ）
A.?1盏???????????????????????????????????????B.?3盏???????????????????????????????????????C.?5盏???????????????????????????????????????D.?9盏
6.（2016?上海）已知无穷等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn ， 且? =S，下列条件中，使得2Sn＜S（n∈N*）恒成立的是（ ）
A.?a1＞0，0.6＜q＜0.7??????????????????????????????????????????B.?a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6 C.?a1＞0，0.7＜q＜0.8??????????????????????????????????????????D.?a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7
二、填空题
7.（2018?上海）设等比数列{ }的通项公式为an=qn-1（n∈N*），前n项和为Sn。若 ，则q=________
8.（2017?新课标Ⅲ）设等比数列{an}满足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则a4=________
9.（2017?江苏）等比数列{an}的各项均为实数，其前n项为Sn ， 已知S3= ，S6= ，则a8=________．
三、解答题）
10.（2018?卷Ⅰ）已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=
（1）求b1,b2,b3
（2）判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;
（3）求{an}的通项公式
11.（2018?浙江）已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3 ， a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1?bn）an}的前n项和为2n2+n ． （Ⅰ）求q的值； （Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．
12.（2018?天津）设 是等比数列，公比大于0，其前n项和为 ， 是等差数列.已知 ， ， ， . （Ⅰ）求 和 的通项公式； （Ⅱ）设数列 的前n项和为 ， （i）求 ； （ii）证明 .
13.（2018?卷Ⅲ）等比数列 中， .
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 的前 项和，若Sm=63，求m。
14.（2018?上海）给定无穷数列 ，若无穷数列{bn}满足：对任意 ，都有 ，则称 “接近”。
（1）设 是首项为1，公比为 的等比数列， ， ，判断数列 是否与 接近，并说明理由；
（2）设数列 的前四项为： =1， =2， =4， =8，{bn}是一个与 接近的数列，记集合M={x|x=bi ， i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；
（3）已知 是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与 接近，且在b?-b?，b?-b?，…b201-b200中至少有100个为正数，求d的取值范围。
15.（2018?北京）设 是等差数列，且 ， +a3=5 . （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）求 + +…+ .
16.（2017?山东）已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（12分） （Ⅰ）求数列{xn}的通项公式； （Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1 ， 1），P2（x2 ， 2）…Pn+1（xn+1 ， n+1）得到折线P1 P2…Pn+1 ， 求由该折线与直线y=0，x=x1 ， x=xn+1所围成的区域的面积Tn ．
17.（2017?新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx． （Ⅰ）若 f（x）≥0，求a的值； （Ⅱ）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m，求m的最小值．
18.（2017·山东）已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3 ．
（1）求数列{an}通项公式；
（2）{bn} 为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn ， 已知S2n+1=bnbn+1 ， 求数列 的前n项和Tn ．
19.（2017?北京卷）设{an}和{bn}是两个等差数列，记cn=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，bn﹣ann}（n=1，2，3，…），其中max{x1 ， x2 ， …，xs}表示x1 ， x2 ， …，xs这s个数中最大的数．（13分）
（1）若an=n，bn=2n﹣1，求c1 ， c2 ， c3的值，并证明{cn}是等差数列；
（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时， ＞M；或者存在正整数m，使得cm ， cm+1 ， cm+2 ， …是等差数列．
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第5章 第3节 等比数列及其前n项和（教师版）
备战基础·零风险
1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及前n项和公式．
2．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．
3．了解等比数列与指数函数的关系.
等比数列的有关概念
定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．
数学语言表达式：＝q(n≥2)，q为常数．
等比中项
如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项?a，G，b成等比数列?G2＝ab.
等比数列的通项公式及前n项和公式
公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
若等比数列{an}的第m项为am，公比是q，则其第n项an可以表示为an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
等比数列及前n项和的性质
性质
(1)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
(4)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一个区别 等差数列的首项和公差可以为零，且等差中项唯一；而等比数列首项和公比均不为零，等比中项可以有两个值；(2)中，若b2＝ac，则不能推出a，b，c成等比数列，因为a，b，c为0时，不成立．
2．两个防范 一是在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1或q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．
二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制，如(6)中当＝q＜0时，ln an＋1－ln an＝ln q无意义.
3. 证明数列{an}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明＝q(n≥2，q为常数)；二是等比中项法，证明a＝an－1·an＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．
4. 等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．
5.熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，主要是考查“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新．解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质，不要把两者的性质搞混．
6．等比数列的判定方法有以下几种：
(1)定义：＝q(q是不为零的常数，n∈N*)?{an}是等比数列．
(2)通项公式：an＝cqn－1(c、q均是不为零的常数，n∈N*)?{an}是等比数列．
(3)等比中项法：a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)?{an}是等比数列．
7．方程观点以及基本量(首项a1和公比q)思想仍然是求解等比数列问题的基本方法：在a1，q，n，an，Sn五个量中，知三求二．
8．在求解与等比数列有关的问题时，除了要灵活地运用定义和公式外，还要注意等比数列性质的应用，以减少运算量而提高解题速度．
备战练习·固基石
一、单选题
1.已知数列 满足 ，若 ，则 等于（?? ）
A.?1?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.?64?????????????????????????????????????????D.?128
【答案】C
【考点】等比数列，等比数列的通项公式
【解析】【解答】因为数列 满足 ，所以该数列是以 为公比的等比数列，又 ，所以 ，即 ； 故答案为：C.【分析】由an+1=an??数列{an}是以为公比的等比数列，从而可求得数列a1的通项公式．
2.已知各项均为正数的等比数列 ， ， 则（?）
A.?16?????????????????????????????????????????B.?32?????????????????????????????????????????C.?48?????????????????????????????????????????D.?64
【答案】D
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的性质
【解析】【分析】由题意各项均为正数的等比数列{}，=16，而由等比中项可知,， ， 那么可知， 所以， 故选D. 【点评】解决该试题的关键是根据等比中项简化运算。
3.在等比数列{an}中，前n项和为Sn ， 若S3=7，S6=63则公比q等于（?? ）
A.?﹣2?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.?﹣3?????????????????????????????????????????D.?3
【答案】B
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：依题意，a1+a2+a3=7，a1+a2+a3+a4+a5+a6=63， 所以a4+a5+a6=56， 因此q3=8，q=2， 故选B． 【分析】根据S3=7，S6=63即可得到a1+a2+a3=7，a1+a2+a3+a4+a5+a6=63，进而得到q3=8，解得q即可．
4.在等比数列中, 若, 则a2的值为（?????）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?9
【答案】B
【考点】等比数列的性质
【解析】【分析】因为，所以.
5.等比数列2，4，8，16， 的前n项和 等于(?? )
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????C.?2n?????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】由已知条件可得所给等比数列的首项 ， 公比 ，故前n项和 ． 故答案为:D． 【分析】直接由等比数列的前n项和公式求和.
6.设等比数列的前n项和为 ， 若 ， 则的值为(???? )
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】因为，， 所以，， 所以，=， 故选D。 【分析】简单题，由求得， 进一步求。
7.等比数列{an}中，a2==2，则a6=（ ）
A.?8????????????????????????????????????????B.?-8????????????????????????????????????????C.?﹣8或8????????????????????????????????????????D.?4
【答案】A
【考点】等比数列的性质
【解析】【解答】在等比数列中，a2a6=（a4）2 ， 即a6=4， ∴a6=8， 故选：A． 【分析】根据等比数列的性质进行求解即可．
8.若等比数列的前项之和为 ， 则a等于（?）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?0???????????????????????????????????????????D.?-1
【答案】D
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】， 由已知n=1时，=3+a，??， 由其为等比数列，所以由3+a=2，a=－1，选D。 【分析】基本题型，利用求， 要特别注意检验n=1的情况。
9.在等比数列{an}（n∈N*）中，若 ，则该数列的前10项和为（? ）?
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】等比数列的前n项和
【解析】解答：设公比为q，由 ，所以 ．故选B． 分析：先由等比数列的通项公式求出公比q，再根据等比数列的前n项和公式求前10项和即可．
10.2和﹣2的等比中项为（ ）
A.?2???????????????????????????????????????B.?-2???????????????????????????????????????C.?±2???????????????????????????????????????D.?不存在
【答案】D
【考点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】若a，b，c成等比数列， 则b为a，c的等比中项， 且b2=ac， 显然ac＞0，即a，c同号． 由于2和﹣2异号， 则2和﹣2的等比中项不存在． 故选D． 【分析】由等比中项的定义，可得同号的两数才有等比中项，即可得到结论．
11.在公比大于1的等比数列中， ， ， 则（???）
A.?96?????????????????????????????????????????B.?64?????????????????????????????????????????C.?72?????????????????????????????????????????D.?48
【答案】A
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的性质
【解析】【解答】∵， ， ∴或， 又∵公比大于1，∴， ∴即， ∴.
12.已知等比数列的前项和为 ， ， ， 则公比( )
A.?1或???????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.?1???????????????????????????????????D.?－1或
【答案】A
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【解答】当时， 满足；但时， ， 解得， 故或， 选A.
13.等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（??? ）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?10
【答案】C
【考点】等比数列，等比数列的前n项和
【解析】【解答】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为 ?,所有偶数项之和为 ， 则 ,所以 ， 结合等比数列求和公式有： ，解得n=4， 即这个等比数列的项数为8. 故答案为：C 【分析】根据等比数列的性质可得偶数项比奇数项多一个q，故可得q的值，代入前n项和公式中，即可求得项数。
14.在等比数列 中, 则 （?? ）
A.????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】等比数列的性质
【解析】【解答】由等比数列的性质有 ?，代入已知值，求得 ?. 故答案为：A. 【分析】等比数列中第1,4,7项依次也成等比数列,由此求解.
15.已知数列{an}中，an+1=3Sn ， 则下列关于{an}的说法正确的是（ ）
A.?一定为等差数列??????????????????????????????????????????????????B.?一定为等比数列 C.?可能为等差数列，但不会为等比数列??????????????????D.?可能为等比数列，但不会为等差数列
【答案】C
【考点】等差关系的确定
【解析】【解答】∵an+1=3Sn ， ∴Sn+1﹣Sn=3Sn ， ∴Sn+1=4Sn ， 若S1=0，则数列{an}为等差数列； 若S1≠0，则数列{Sn}为首项为S1 ， 公比为4的等比数列，∴Sn=S1?4n﹣1 ， 此时an=Sn﹣Sn﹣1=3S1?4n﹣2（n≥2），即数列从第二项起，后面的项组成等比数列． 综上，数列{an}可能为等差数列，但不会为等比数列． 故选C． 【分析】由条件可得Sn+1=4Sn ， 对S1分类讨论，即可得出结论．
16.各项均为正数的等比数列中，若 ， 则(????? )
A.?8??????????????????????????????????????B.?10??????????????????????????????????????C.?12??????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】等比数列
【解析】【解答】， 根据等比数列性质，， 所以原式， 故选B．
17.已知正项等比数列 满足 ，且 ，则数列 的前9项和为（?? ）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】等比数列的前n项和，等比数列的性质
【解析】【解答】∵正项等比数列 满足 ， ∴ ，即 ， ，又 ∴ ，公比 ∴ ? 故答案为：C 【分析】同等比数列的性质，求出前5项的积，再求a3,求出公比和首项，再求前9项的和。
18.在等比数列{an}中，如果a3=2，a6=6，那么a9为（ ）
A.?8?????????????????????????????????????????B.?10?????????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????????D.?18
【答案】D
【考点】等比数列的性质
【解析】【解答】因为在等比数列{an}中，a3、a6、a9为成等比数列， 所以 ， 则36=2×a9 ， 解得a9=18， 故选：D． 【分析】根据题意和等比中项的性质列出方程，求出a9的值即可．
19.已知各项均不为0的等差数列{an}满足a3﹣ +a11=0，数列{bn}为等比数列，且b7=a7 ， 则b1?b13=（?? ）
A.?25??????????????????????????????????????????B.?16??????????????????????????????????????????C.?8??????????????????????????????????????????D.?4
【答案】B
【考点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：∵各项均不为0的等差数列{an}满足a3﹣ +a11=0， 根据等差数列的性质得：a3+a11=2a7 ， ∴4a7﹣a72=0，解得a7=4，a7=0（舍去）， 所以b7=a7=4， 则b1?b13=a72=16， 故选：B． 【分析】根据等差数列的性质得：a3+a11=2a7 ， 从而得到4a7﹣a72=0，解得a7=4，a7=0（舍去），进而b7=a7=4，由此能求出b1b13的值．
20.已知等比数列{an}为递增数列，a2﹣2，a6﹣3为偶函数f（x）=x2﹣（2a+1）x+2a的零点，若Tn=a1a2…an ， 则有T7=（?? ）
A.?128?????????????????????????????B.?﹣128?????????????????????????????C.?128或﹣128?????????????????????????????D.?64或﹣64
【答案】A
【考点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：∵f（x）=x2﹣（2a+1）x+2a为偶函数， ∴2a+1=0，解得2a=﹣1，即f（x）=x2﹣1， ∵等比数列{an}为递增数列，a2﹣2，a6﹣3为偶函数f（x）=x2﹣1的零点， ∴由韦达定理，得： ， 解得 或 （舍）， ∴a4= =2， ∵Tn=a1a2…an ， ∴T7=a1×a2×…×a7= ． 故选：A． 【分析】由偶函数的性质得f（x）=x2﹣1，由韦达定理求出 ，由等比数列的性质得a4= =2，再由等比数列的性质能求出T7 ．
二、填空题
21.等比数列{an}中，a1+a2+a3=1，公比 ，其前n项的和为Sn ， 则S15=________．
【答案】31
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵等比数列{an}中，a1+a2+a3=1，公比 ， ∴ =1， 解得a1= ， ∵其前n项的和为Sn ， ∴S15= = =31． 故答案为：31． 【分析】根据等比数列的通项公式，用a1表示出a2 ， a3代入等式可解得a1 ， 由等比数列求和公式即可求得S15的值.
22.已知数列 ， 是其前 项的和且满足 ，则 ________．
【答案】
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和，等比数列的性质
【解析】【解答】当 时， ， ∴ ， 当 时， ①， ② ∴①-②得： ，即 ∴ ， ，又 ∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， 得 ，∴ ， ∴代入得： 。 答案为： 【分析】首先利用an与Sn的关系对n赋值，即可求出数列的通项公式即可得出数列 { an +? } 是等比数列，由等比数列的通项公式即可求出数列{ an }的通项公式，再由等比数列求和公式即可得出结论。
23.设等比数列{an}的首项a1=1，且4a1 ， 2a2 ， a3成等差数列，则数列{an}的前10项和S10=________．
【答案】1023
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵等比数列{an}的首项a1=1，且4a1 ， 2a2 ， a3成等差数列， 设等比数列{an}的公比为q， ∴4，2q，q2成等差数列， ∴4q=4+q2 ， 解得q=2， ∴数列{an}的前10项和S10= =210﹣1=1023． 故答案为：1023． 【分析】设等比数列{an}的公比为q，由题意4q=4+q2 ， 求出q，由此能求出数列{an}的前10项和S10 ．
24.设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是{an}的前n项和．已知a2a4=16，S3=28，则a1a2…an最大时，n的值为________．
【答案】3或4
【考点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：∵{an}是由正数组成的等比数列，Sn是{an}的前n项和．a2a4=16，S3=28， ∴ ，解得 ． ∴ ． 则a1a2…an=2（4﹣1）+（4﹣2）+…+（4﹣n）= ． ∴当n=3或n=4时，a1a2…an取最大值． 故答案为：3或4． 【分析】由题意列式求出等比数列的首项和公比，求出等比数列的通项公式，代入a1a2…an ， 然后结合二次函数求值得答案．
25.若三个数5+2 ， m，5﹣2成等比数列，则m=________?
【答案】±1
【考点】等比数列
【解析】【解答】解：∵三个数5+2 ， m，5﹣2成等比数列， ∴m2=（5+2）（5﹣2）=1， 解得m=±1 故答案为：±1 【分析】由题意可得m2=（5+2）（5﹣2），解方程可得．
26.我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于20尺，该女子所需的天数至少为________．
【答案】7
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意可得：该女子每天织布的量组成了等比数列{an}，且其公比q=2， 若她5天共织布5尺，即S5=5，则 =5，解可得a1= ， 若Sn≥20，则有 ≥20，即2n≥125 解可得n≥7， 即若要使织布的总尺数不少于20尺，该女子所需7天； 故答案为：7． 【分析】根据题意，分析可得该女子每天织布的量组成了等比数列{an}，且其公比q=2，又由她5天共织布5尺，可得S5= =5，解可得a1的值，结合题意，可得Sn= ≥20，解可得n的范围，即可得答案．
27.若等比数列 的首项为1，公比为q，则它的前n项和 可以用n，q表示成 =________．
【答案】
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】当q=1时，此数列是各项为1的常数列，故 =n； 当q≠1时，则 . 故答案为: ． 【分析】由等比数列的前n项和公式即可得到,注意公比为1的情况.
28.已知{an}的前项之和Sn=2n+1，则此数列的通项公式为________．
【答案】
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：当n=1时，a1=S1=2+1=3，
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n+1﹣（2n﹣1+1）=2n﹣2 ，
又21﹣1=1≠3，所以 ，
故答案为： ．
【分析】根据题意和公式 ，化简后求出数列的通项公式
29.设等比数列{an}的前n项和为Sn ， 若 =2，S4=4，则S8的值为________．
【答案】12
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn ， =2，S4=4， ∴ ，解得q4=2，a1=﹣4（1﹣q）， ∴S8= = =12． 故答案为：12． 【分析】根据等比数列的通项公式an=a1qn-1及等比数列的前n项和公式Sn= ， 将a4、a8及S4用a1和q表示.
30.已知{an}是等比数列，a3=1，a7=9，则a5=________．
【答案】3
【考点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：∵a3=1，a7=9， ∴由等比数列的性质可得： ，又 ＞0， ∴a5=3． 故答案为：3． 【分析】由已知结合等比数列的性质求解．
三、解答题
31.已知数列｛an｝为等比数列，
（1）若an＞0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5.
（2）a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
【答案】（1）由已知an＞0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25知a12q4＋2a12q6＋a12q8＝25即a12q4(1＋q2)2＝25∴a1q2(1＋q2)＝5? 因此a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝5 （2）由已知a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8知 ①÷②得 即2q2－5q＋2＝0?解得q＝2或q＝ 当q＝2时，a1＝1? ∴an＝2n－1当q＝ 时，a1＝4? ∴an＝23－n
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的性质
【解析】【分析】(1)根据等比数列的性质m+n=p+q ， 则aman=apaq ， 得出得a2?a8=a3a7=2，再用其通项公式求解．(2)本题主要考查了等比数列的性质，代入等差数列的通项公式即可．
32.数列{an}是首项a1=4的等比数列，sn为其前n项和，且S3 ， S2 ， S4成等差数列．
求数列{an}的通项公式；
【答案】解：设等比数列{an}的公比为q．
当q=1时，S3=12，S2=8，S4=16，不成等差数列
∴q≠1，,,
2S2=S3+S4 ，
∴，
即q4+q3﹣2q2=0．∵q≠0，q≠1，∴q=﹣2，
∴an=4（﹣2）n﹣1=（﹣2）n+1
【考点】等比数列的通项公式
【解析】【分析】设等比数列{an}的公比为q，先看当q=1时，S3 ， S2 ， S4不成等差数列，不符合题意，判断出q≠1，进而根据等比数列求和公式表示出S3 ， S2 ， S4 ， 根据等差中项的性质建立等式，求得q，则数列{an}的通项公式可得．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?浙江）已知 成等比数列，且 ．若 ，则（ ??）
A.????B.?????????C.????D.?
【答案】B
【考点】函数的单调性与导数的关系，等比数列，数列的应用
【解析】【解答】a1,a2,a3,a4 成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a1＞1，设公比为q 当q>0时 ， a1+a2+a3+a4>a1+a2+a3>ln(a1+a2+a3) ，不成立； 即a1>a3 ， a2
0，等式不成立，所以q≠-1； 当q<-1时 ， a1+a2+a3+a4<0，ln(a1+a2+a3) >0，a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)不成立， 当q∈（-1,0）时，a1>a3>0，a22.（2018?北京）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于 ，若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（?? ）
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】等比数列，等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题意可知，单音构成以f为首项，以 为公比的等比数列，则第八个为 ，
故答案为：D。
【分析】理解等比数列含义，得到单音构成等比数列，由通项公式，可得到第八项。
3.（2018?北京）设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的（?? ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，等比数列的性质
【解析】【解答】解：ad=bc a,b,c,d成等比数列，例如：a=4,d=9.b=c=6,
a,b,c,d成等比数列 ad=bc,等比数列性质，
故答案为B。
【分析】举反例说明不成立，由等比数列性质可以证明反着成立。
4.（2017?新课标Ⅲ）等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2 ， a3 ， a6成等比数列，则{an}前6项的和为（??? ）
A.?﹣24????????????????????????????????????????B.?﹣3????????????????????????????????????????C.?3????????????????????????????????????????D.?8
【答案】A
【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，等比数列
【解析】【解答】解：∵等差数列{an}的首项为1，公差不为0．a2 ， a3 ， a6成等比数列， ∴ ， ∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），且a1=1，d≠0， 解得d=﹣2， ∴{an}前6项的和为 = =﹣24． 故选：A． 【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出{an}前6项的和．
5.（2017?新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（??? ）
A.?1盏???????????????????????????????????????B.?3盏???????????????????????????????????????C.?5盏???????????????????????????????????????D.?9盏
【答案】B
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯， ∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍， ∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列， 又总共有灯381盏， ∴381= =127a，解得a=3， 则这个塔顶层有3盏灯， 故选B． 【分析】设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a的值．
6.（2016?上海）已知无穷等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn ， 且? =S，下列条件中，使得2Sn＜S（n∈N*）恒成立的是（ ）
A.?a1＞0，0.6＜q＜0.7??????????????????????????????????????????B.?a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6 C.?a1＞0，0.7＜q＜0.8??????????????????????????????????????????D.?a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7
【答案】B
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵? ，S= =? ，﹣1＜q＜1，2Sn＜S， ∴a1(2qn-1)>0? ，若a1＞0，则 ，故A与C不可能成立；若a1＜0，则qn ，故B成立，D不成立． 故选：B． 【分析】由已知推导出 a1(2qn-1)>0? ，由此利用排除法能求出结果．；本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
二、填空题
7.（2018?上海）设等比数列{ }的通项公式为an=qn-1（n∈N*），前n项和为Sn。若 ，则q=________
【答案】3
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】 ， ，又 ∴ =1 故 当|q|>1时，有 当|q|<1时， (舍) 【分析】 （等比数列前n项和公式）
8.（2017?新课标Ⅲ）设等比数列{an}满足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则a4=________
【答案】-8
【考点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3， ∴a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3， 解得a1=1，q=﹣2． 则a4=（﹣2）3=﹣8． 故答案为：﹣8． 【分析】设等比数列{an}的公比为q，由a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，可得：a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3，解方程组即可得出．
9.（2017?江苏）等比数列{an}的各项均为实数，其前n项为Sn ， 已知S3= ，S6= ，则a8=________．
【答案】32
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列{an}的公比为q≠1， ∵S3= ，S6= ，∴ = ， = ， 解得a1= ，q=2． 则a8= =32． 故答案为：32． 【分析】设等比数列{an}的公比为q≠1，S3= ，S6= ，可得 = ， = ，联立解出即可得出．
三、解答题
10.（2018?卷Ⅰ）已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=
（1）求b1,b2,b3
（2）判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;
（3）求{an}的通项公式
【答案】（1）解： ， （2）解： ∴ 则 是以 为首项，以2为公比的等比数列 （3）解：
【考点】等比数列的性质，数列递推式
【解析】【分析】（1）由数列的递推式结合首项为1,依次求出 ,再求 ； （2）由递推式变换,得到数列 的递推式,从而证明数列 为等比数列； （3）由数列 为等比数列,得到其通项公式,再求数列 为等比数列.
11.（2018?浙江）已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3 ， a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1?bn）an}的前n项和为2n2+n ． （Ⅰ）求q的值； （Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．
【答案】解：（Ⅰ）由 是 的等差中项得 ， 所以 ， 解得 . 由 得 ， 因为 ，所以 . （Ⅱ）设 ，数列 前n项和为 . 由 解得 . 由（Ⅰ）可知 ， 所以 ， 故 ， ?????????????????????? . 设 ， 所以 ， 因此 ， 又 ，所以
【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和，数列的应用，数列的求和
【解析】【分析】（Ⅰ）运用等比数列和等差数列性质，列方程求解公比q； （Ⅱ）设cn=（bn+1-bn）an=（bn+1-bn）2n-1 ， 运用数列的递推式可得cn=4n-1，再由数列的恒等式求得bn ， 运用错位相减法，可得所求数列的通项公式．
12.（2018?天津）设 是等比数列，公比大于0，其前n项和为 ， 是等差数列.已知 ， ， ， . （Ⅰ）求 和 的通项公式； （Ⅱ）设数列 的前n项和为 ， （i）求 ； （ii）证明 .
【答案】解：（Ⅰ）设等比数列 公比为q,由 ， ∵q>0,∴q=2,则 。 设等差数列 公差为d，由 ，由 ， 则 ∴ 。 ∴ 通项公式为 ，通项公式为 ， （Ⅱ）(i)解由（1） ， 故 ， (ii) ， = 。
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【分析】（Ⅰ）由等差数列，等比数列通项公式写出；（Ⅱ）（i）等比数列求和公式求出 ，再用分组求和算出 ； （ii）将进行化简，然后裂项相消，证明结论。
13.（2018?卷Ⅲ）等比数列 中， .
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 的前 项和，若Sm=63，求m。
【答案】（1）解：因为 ，a5=4a3 q4=4q2? q=±2 或 （2）解： 又
【考点】等比数列，等比数列的前n项和
【解析】【分析】由等比数列定义求出q，再由等比数列求和公式得到 再解出m.
14.（2018?上海）给定无穷数列 ，若无穷数列{bn}满足：对任意 ，都有 ，则称 “接近”。
（1）设 是首项为1，公比为 的等比数列， ， ，判断数列 是否与 接近，并说明理由；
（2）设数列 的前四项为： =1， =2， =4， =8，{bn}是一个与 接近的数列，记集合M={x|x=bi ， i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；
（3）已知 是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与 接近，且在b?-b?，b?-b?，…b201-b200中至少有100个为正数，求d的取值范围。
【答案】（1）由题意 又 ，故 则 又 ，故 即 ，故 （2）由题意分析可知 根据范围分析 ，根据元素互异性 ，又 可能出现 情况，也可能出现 情况，故根据互异性，M中元素个数为3个或4个 （3） 为等差数列，又 与 接近，有 则 又 故 当 即 中没有正数；当 ＞-2时，存在 使得 ，即有100个正数，故 ＞-2。
【考点】集合的确定性、互异性、无序性，等差数列的性质，等比数列的性质，数列的极限
【解析】【分析】本题涉及到数列中的新定义问题，对于新定义问题，应当结合题意求解；本题主要讨论接近的概念，⑴基础，涉及定义运用证明，⑵结合集合考查，涉及集合中元素互异性问题；⑶涉及接近问题中的极限讨论思想需要进一步思考。
15.（2018?北京）设 是等差数列，且 ， +a3=5 . （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）求 + +…+ .
【答案】解：（Ⅰ），∵ ， ， ∴ ，则 ， ∴ 。 （Ⅱ） ， ∴ ,
【考点】等差数列的通项公式，等比数列的前n项和，等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）由等差数列性质，求出 ，（Ⅱ）由等比数列求和公式求和。
16.（2017?山东）已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（12分） （Ⅰ）求数列{xn}的通项公式； （Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1 ， 1），P2（x2 ， 2）…Pn+1（xn+1 ， n+1）得到折线P1 P2…Pn+1 ， 求由该折线与直线y=0，x=x1 ， x=xn+1所围成的区域的面积Tn ．
【答案】解：（I）设数列{xn}的公比为q，则q＞0， 由题意得 ， 两式相比得： ，解得q=2或q=﹣ （舍）， ∴x1=1， ∴xn=2n﹣1 ． （II）过P1 ， P2 ， P3 ， …，Pn向x轴作垂线，垂足为Q1 ， Q2 ， Q3 ， …，Qn ， 即梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn ， 则bn= =（2n+1）×2n﹣2 ， ∴Tn=3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n﹣2 ， ① ∴2Tn=3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1 ， ② ①﹣②得：﹣Tn= +（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n﹣1 = + ﹣（2n+1）×2n﹣1=﹣ +（1﹣2n）×2n﹣1 ． ∴Tn= ．
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【分析】（I）列方程组求出首项和公比即可得出通项公式； （II）从各点向x轴作垂线，求出梯形的面积的通项公式，利用错位相减法求和即可．
17.（2017?新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx． （Ⅰ）若 f（x）≥0，求a的值； （Ⅱ）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m，求m的最小值．
【答案】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0， 所以f′（x）=1﹣ = ，且f（1）=0． 所以当a≤0时f′（x）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以在（0,1）上f(x)<0,这与f（x）≥0矛盾； 当a＞0时令f′（x）=0，解得x=a， 所以y=f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，即f（x）min=f（a）， 又因为f（x）min=f（a）≥0， 所以a=1； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知当a=1时f（x）=x﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x﹣1， 所以ln（x+1）≤x当且仅当x=0时取等号， 所以ln（1+ ）＜ ，k∈N*, 所以 ，k∈N* ． 一方面，因为 + +…+ =1﹣ ＜1， 所以，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜e； 另一方面，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＞（1+ ）（1+ ）（1+ ）= ＞2， 同时当n≥3时，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）∈（2，e）． 因为m为整数，且对于任意正整数n（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m， 所以m的最小值为3．
【考点】函数的单调性与导数的关系，利用导数研究函数的单调性，等比数列的前n项和，反证法与放缩法
【解析】【分析】（Ⅰ）通过对函数f（x）=x﹣1﹣alnx（x＞0）求导，分a≤0、a＞0两种情况考虑导函数f′（x）与0的大小关系可得结论； （Ⅱ）通过（Ⅰ）可知lnx≤x﹣1，进而取特殊值可知ln（1+ ）＜ ，k∈N* ． 一方面利用等比数列的求和公式放缩可知（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜e；另一方面可知（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＞2，且当n≥3时，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）∈（2，e）．
18.（2017·山东）已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3 ．
（1）求数列{an}通项公式；
（2）{bn} 为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn ， 已知S2n+1=bnbn+1 ， 求数列 的前n项和Tn ．
【答案】（1）解：记正项等比数列{an}的公比为q， 因为a1+a2=6，a1a2=a3 ， 所以（1+q）a1=6，q =q2a1 ， 解得：a1=q=2， 所以an=2n； （2）因为{bn} 为各项非零的等差数列， 所以S2n+1=（2n+1）bn+1 ， 又因为S2n+1=bnbn+1 ， 所以bn=2n+1， = ， 所以Tn=3? +5? +…+（2n+1）? ， Tn=3? +5? +…+（2n﹣1）? +（2n+1）? ， 两式相减得： Tn=3? +2（ + +…+ ）﹣（2n+1）? ， 即 Tn=3? +（ + + +…+ ）﹣（2n+1）? ， 即Tn=3+1+ + + +…+ ）﹣（2n+1）? =3+ ﹣（2n+1）? =5﹣ ．
【考点】等比数列的通项公式，数列的求和，数列递推式
【解析】【分析】（1）通过首项和公比，联立a1+a2=6、a1a2=a3 ， 可求出a1=q=2，进而利用等比数列的通项公式可得结论；（2）利用等差数列的性质可知S2n+1=（2n+1）bn+1 ， 结合S2n+1=bnbn+1可知bn=2n+1，进而可知 = ，利用错位相减法计算即得结论．
19.（2017?北京卷）设{an}和{bn}是两个等差数列，记cn=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，bn﹣ann}（n=1，2，3，…），其中max{x1 ， x2 ， …，xs}表示x1 ， x2 ， …，xs这s个数中最大的数．（13分）
（1）若an=n，bn=2n﹣1，求c1 ， c2 ， c3的值，并证明{cn}是等差数列；
（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时， ＞M；或者存在正整数m，使得cm ， cm+1 ， cm+2 ， …是等差数列．
【答案】（1）解： a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5， 当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0， 当n=2时，c2=max{b1﹣2a1 ， b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1， 当n=3时，c3=max{b1﹣3a1 ， b2﹣3a2 ， b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2， 下面证明：对?n∈N*，且n≥2，都有cn=b1﹣na1 ， 当n∈N*，且2≤k≤n时， 则（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1）， =[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n， =（2k﹣2）﹣n（k﹣1）， =（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0， 则（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥bk﹣nak ， 因此，对?n∈N*，且n≥2，cn=b1﹣na1=1﹣n， cn+1﹣cn=﹣1， ∴c2﹣c1=﹣1， ∴cn+1﹣cn=﹣1对?n∈N*均成立， ∴数列{cn}是等差数列； （2）证明：设数列{an}和{bn}的公差分别为d1 ， d2 ， 下面考虑的cn取值， 由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，bn﹣ann， 考虑其中任意bi﹣ain，（i∈N*，且1≤i≤n）， 则bi﹣ain=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n， =（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n）， 下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论， ①若d1=0，则bi﹣ain═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2 ， 当若d2≤0，则（bi﹣ain）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0， 则对于给定的正整数n而言，cn=b1﹣a1n，此时cn+1﹣cn=﹣a1 ， ∴数列{cn}是等差数列； 当d1＞0，（bi﹣ain）﹣（bn﹣ann）=（i﹣1）d2≤0， 则对于给定的正整数n而言，cn=bn﹣ann=bn﹣a1n， 此时cn+1﹣cn=d2﹣a1 ， ∴数列{cn}是等差数列； 此时取m=1，则c1 ， c2 ， …，是等差数列，命题成立； ②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数， 故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0， 则当n≥m时，（bi﹣ain）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n）， 因此当n≥m时，cn=b1﹣a1n， 此时cn+1﹣cn=﹣a1 ， 故数列{cn}从第m项开始为等差数列，命题成立； ③若d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数， 故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0， 则当n≥s时，（bi﹣ain）﹣（bn﹣ann）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n）， 因此，当n≥s时，cn=bn﹣ann， 此时= =﹣an+ ， =﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+ ， 令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C， 下面证明： =An+B+ 对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m， ＞M， 若C≥0，取m=[ +1]，[x]表示不大于x的最大整数， 当n≥m时， ≥An+B≥Am+B=A[ +1]+B＞A? +B=M， 此时命题成立； 若C＜0，取m=[ ]+1， 当n≥m时， ≥An+B+ ≥Am+B+C＞A? +B+C ≥M﹣C﹣B+B+C=M， 此时命题成立， 因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时， ＞M； 综合以上三种情况，命题得证．
【考点】数列的应用，等差关系的确定
【解析】【分析】（1.）分别求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1 ， c2 ， c3；由（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥bk﹣nak ， 则cn=b1﹣na1=1﹣n，cn+1﹣cn=﹣1对?n∈N*均成立； （2.）由bi﹣ain=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），分类讨论d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得cm ， cm+1 ， cm+2 ， …是等差数列；设 =An+B+ 对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m， ＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时， ＞M．
