2019备战高考数学全国真题精练（2016-2018）第5章 第4节 数列求和

2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第5章 第4节 数列求和
（学生版）
备战基础·零风险
1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．
2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.
数列求和
公式法
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝ ＝
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝ 。
数列求和的几种常用方法
分组求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．
倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．
并项求和法
在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
常见的拆项公式
(1)＝ ；
(2)＝ ；
(3)＝ .
备战方法·巧解题
规律
方法
1.两个防范　一是用裂项相消法求和时，注意裂项后的系数以及搞清未消去的项．
二是含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论，若a需要分a＝0，a＝1，a≠1且a≠0三种情况求和，只有当a≠1且a≠0时可用错位相减法求和.
2. (1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解．
(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式．
3. 使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
4.(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
5.数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．　
备战练习·固基石
一、单选题
1.在数列{an}中，如果存在常数， 使得an+T=an对于任意正整数n均成立，那么就称数列{an}为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期. 已知数列{xn}满足xn+2=|xn+1-xn|， 若x1=1,x2=a()，当数列{xn}的周期为3时，则数列{xn}的前2012项的和S2012为 （????）
A.?1339 +a??????????????????????????????B.?1341+a??????????????????????????????C.?671 +a??????????????????????????????D.?672+a
2.数列的通项公式， 则数列的前10项和为(?? ）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
3.设数列的前n项和为， 令， 称为数列， ， ?，的“理想数”，已知数列， ， ?，的“理想数”为2004，那么数列2， ， ， ?，的“理想数”为(?? )
A.?2008???????????????????????????????????B.?2004???????????????????????????????????C.?2002???????????????????????????????????D.?2000
4.数列｛an}的前项和为Sn=2n2+1，则a1,a5的值依次为（???）
A.?3,4??????????????????????????????????????B.?2,8??????????????????????????????????????C.?3,18??????????????????????????????????????D.?3,14
5.数列 前 项的和为(??? )
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
6.数列7，77，777，7777，… ，…的前n项和为（?? ）
A.?（10n﹣1）????????????????????????????????????????????????????B.?（10n﹣1）??C.??[ （10n﹣1）]﹣1???????????????????????????????????D.??[ （10n﹣1）﹣n]
7.设， 则(??? )
A.?4???????????????????????????????????????????B.?5???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?10
8.设正项等差数列{an}的前n项和为Sn ， 若S2012=2012，则 + 的最小值为（?? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?8
9.在等差数列{an}中，a3=7，a2+a5=16，设bn=（n∈N*），则数列{bn}的前n项和Sn为（　　）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
10.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0，S5=﹣5，则数列{ }的前8项和为（?? ）
A.?﹣ ?????????????????????????????????????B.?﹣ ?????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
11.数列{an}的通项公式an=ncos ，其前n项和为Sn ， 则S2015=（?? ）
A.?1008?????????????????????????????????B.?2015?????????????????????????????????C.?﹣1008?????????????????????????????????D.?﹣504
12.已知数列的前n项和， 则的值为(???? )
A.?80?????????????????????????????????????????B.?40?????????????????????????????????????????C.?20?????????????????????????????????????????D.?10
13.已知函数f（x）=xa的图象过点（4，2），令 （n∈N*），记数列{an}的前n项和为Sn ， 则S2017=（?? ）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
14.已知函数f（x）=x2+bx的图象过点（1，2），记an= ．若数列{an}的前n项和为Sn ， 则Sn等于（?? ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
15.已知数列{an}满足：a1=﹣13，a6+a8=﹣2，且an﹣1=2an﹣an+1（n≥2），则数列{ }的前13项和为（?? ）
A.?????????????????????????????????????B.?﹣ ????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?﹣
16.数列{an}满足2nan+1=（n+1）an ， 其前n项和为Sn ， 若 ，则使得 最小的n值为（?? ）
A.?8??????????????????????????????????????????B.?9??????????????????????????????????????????C.?10??????????????????????????????????????????D.?11
17.设 为数列 的前 项和， ，且 .记 ?为数列 的前 项和，若 ，则 的最小值为（?? ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?1
18.已知一次函数的图像经过点和， 令， 记数列的前项和为， 当时，的值等于（???）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
二、填空题
19.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn=________尺．
20.设数列{an}的前n项和为Sn ， 满足Sn=2an﹣2，则 =________．
21.已知数列{an}的前n项Sn=（﹣1）n? ，若存在正整数n，使得（an﹣1﹣p）?（an﹣p）＜0成立，则实数p的取值范围是________．
22.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+3n+5，则an=________．
23.已知 ，数列 满足 ，则 ________．
24.设数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，an= +2（n﹣1），（n∈N*），若S1+ + +…+ ﹣（n﹣1）2=2013，则n的值为________．
25.已知 是等差数列 的前 项和， ，则 ________.
26.已知数列{an}的各项均为正整数，Sn为其前n项和，对于n=1，2，3，…，有an+1= ，则当a1=1时，S20=________．变：若存在m∈N* ， 当n＞m且an为奇数时，an恒为常数p，则p=________．
三、解答题
27.已知等差数列{an}的前n项和为Sn ， S3=﹣15，且a1+1，a2+1，a4+1成等比数列，公比不为1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn ．
28.在数列{an}中， （c为常数，n∈N*），且a1 ， a2 ， a5成公比不为1的等比数列． （Ⅰ）求证：数列 是等差数列；（Ⅱ）求c的值；（Ⅲ）设bn=anan+1 ， 求数列{bn}的前n项和Sn ．
29.已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
30.已知函数f（x）=2x﹣3x2 ， 设数列{an}满足：a1= ，an+1=f（an）
（1）求证：对任意的n∈N* ， 都有0＜an＜ ；
（2）求证： + +…+ ≥4n+1﹣4．
31.已知{an}是递增的等差数列，它的前三项的和为﹣3，前三项的积为8．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{|an|}的前n项和Sn ．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2017?新课标Ⅰ卷）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20 ， 接下来的两项是20 ， 21 ， 再接下来的三项是20 ， 21 ， 22 ， 依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（　　）
A.?440??????????????????????????????????????B.?330??????????????????????????????????????C.?220??????????????????????????????????????D.?110
二、填空题
2.（2018?江苏）已知集合 ,将 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 ,记 为数列的前 项和，则使得 成立的 的最小值为________.
3.（2018?卷Ⅰ）记 为数列 的前n项的和，若 ，则 =________.
4.（2017?新课标Ⅱ）等差数列{an}的前n项和为Sn ， a3=3，S4=10，则 =________．
三、解答题
5.（2018?浙江）已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3 ， a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1?bn）an}的前n项和为2n2+n ． （Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．
6.（2018?天津）设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5 ， b5=a4+2a6 ． （Ⅰ）求Sn和Tn；（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn ， 求正整数n的值．
7.（2017?天津）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1 ， S11=11b4 ． （13分）（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2nbn}的前n项和（n∈N*）．
8.（2017?新课标Ⅲ）设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．（12分）
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{ }的前n项和．
9.（2017·天津）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N+），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1 ， S11=11b4 ． （Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．
10.（2017·山东）已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3 ．
（1）求数列{an}通项公式；
（2）{bn} 为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn ， 已知S2n+1=bnbn+1 ， 求数列 的前n项和Tn ．
11.（2017?北京卷）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5 ． （Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1 ．
12.（2017?新课标Ⅰ卷）记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6．（12分）
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn ， 并判断Sn+1 ， Sn ， Sn+2是否能成等差数列．
13.（2016?上海）对于无穷数列{ }与{ }，记A={ | = ， }，B={ | = ， }，若同时满足条件：①{ }，{ }均单调递增；② 且 ，则称{ }与{ }是无穷互补数列．
（1）若 = ， = ，判断{ }与{ }是否为无穷互补数列，并说明理由；
（2）若 = 且{ }与{ }是无穷互补数列，求数列{ }的前16项的和；
（3）若{ }与{ }是无穷互补数列，{ }为等差数列且 =36，求{ }与{ }得通项公式．
14.（2016?全国） 为等差数列 的前n项和，且 记 ，其中 表示不超过x的最大整数，如 .
（1）求 ；
（2）求数列 的前1 000项和.
15.（2016?四川）已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N+
（1）若a2 ， a3 ， a2+a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；
（2）设双曲线x2﹣ =1的离心率为en ， 且e2=2，求e12+e22+…+en2 ．
16.（2016?山东）已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1 ．
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）令cn= ，求数列{cn}的前n项和Tn ．
17.（2016?四川）已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N* ．
（1）若2a2 ， a3 ， a2+2成等差数列，求an的通项公式；
（2）设双曲线x2﹣ =1的离心率为en ， 且e2= ，证明：e1+e2+???+en＞ ．

2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第5章 第4节 数列求和
（教师版）
备战基础·零风险
1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．
2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.
数列求和
公式法
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝
数列求和的几种常用方法
分组求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．
倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．
并项求和法
在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
常见的拆项公式
(1)＝－；
(2)＝；
(3)＝－.
备战方法·巧解题
规律
方法
1.两个防范　一是用裂项相消法求和时，注意裂项后的系数以及搞清未消去的项．
二是含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论，若a需要分a＝0，a＝1，a≠1且a≠0三种情况求和，只有当a≠1且a≠0时可用错位相减法求和.
2. (1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解．
(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式．
3. 使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
4.(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
5.数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．　
备战练习·固基石
一、单选题
1.在数列{an}中，如果存在常数 ， 使得an+T=an对于任意正整数n均成立，那么就称数列{an}为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期. 已知数列{xn}满足xn+2=|xn+1-xn| ， 若x1=1,x2=a()，当数列{xn}的周期为3时，则数列{xn}的前2012项的和S2012为 （????）
A.?1339 +a??????????????????????????????B.?1341+a??????????????????????????????C.?671 +a??????????????????????????????D.?672+a
【答案】B
【考点】函数的周期性，数列的求和
【解析】【分析】先要弄清题意中所说的周期数列的含义，然后利用这个定义，针对题目中的数列的周期，先求x3 ， 再前三项和s3 ， 最后求s2012 ． ∵xn+1=|xn-xn-1|（n≥2，n∈N*)，且x1=1，x2=a（a≤1，a≠0)，∴x3=|x2-x1|=1-a,∴该数列的前3项的和s3=1+a+（1-a)=2∵数列{xn}周期为3，∴该数列的前2012项的和s2012=s2010+x1+x2==1341+a,选B.【点评】解决该试题的关键在于应由题意先求一个周期的和，再求该数列的前n项和sn ．
2.数列的通项公式 ， 则数列的前10项和为(?? ）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】数列的求和
【解析】【解答】因为， 所， 所以数列的前10项和.【分析】裂项相消法和错位相减法是数列求和的常用方法，正确应用裂项相消法的关键是正确裂项.
3.设数列的前n项和为 ， 令 ， 称为数列 ， ， ?，的“理想数”，已知数列 ， ， ?，的“理想数”为2004，那么数列2， ， ， ?，的“理想数”为(?? )
A.?2008???????????????????????????????????B.?2004???????????????????????????????????C.?2002???????????????????????????????????D.?2000
【答案】C
【考点】数列的求和
【解析】【解答】认识信息，理解理想数的意义有，故选C【分析】正确理解新数列的定义是解决此类问题的关键，计算时应注意对式子整体变形。
4.数列｛an}的前项和为Sn=2n2+1，则a1,a5的值依次为（???）
A.?3,4??????????????????????????????????????B.?2,8??????????????????????????????????????C.?3,18??????????????????????????????????????D.?3,14
【答案】C
【考点】数列的求和，数列递推式
【解析】【解答】由于已知中，数列的前项和为， 故当n=1时，有,当， ， 故可知， 故选C.【分析】解决该试题的关键是运用来分析，通项公式，进而得到数列的任何一项，作为选择题可知运用代值的方法来求解各个项。属于基础题。
5.数列 前 项的和为(??? )
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
【答案】A
【考点】数列的求和
【解析】【解答】由题意，数列 的通项公式为 ，
所以该数列的前 项和为 ，
故答案为：A．
【分析】首先根据数列的规律得出数列的通项公式，根据通项公式求出前n项和。
6.数列7，77，777，7777，… ，…的前n项和为（?? ）
A.? （10n﹣1）????????????????????????????????????????????????????B.? （10n﹣1）??C.? ?[ （10n﹣1）]﹣1???????????????????????????????????D.? ?[ （10n﹣1）﹣n]
【答案】D
【考点】数列的求和
【解析】【解答】解：∵ = （10n﹣1），故前n项和为 Sn= （10﹣1）+ （102﹣1）+…+ （10n﹣1）= ?[（10+102+…+10n）﹣n]= ?[ （10n﹣1）﹣n]故选D．【分析】利用： = （10n﹣1），及等比数列的前n项和公式即可得出．
7.设 ， 则(??? )
A.?4???????????????????????????????????????????B.?5???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?10
【答案】B
【考点】数列的求和
【解析】【解答】观察题中特殊数字带来的数学信息，由题， 所以联想到函数是否具有共同点：若则是否是定值，计算=， 原式=.
8.设正项等差数列{an}的前n项和为Sn ， 若S2012=2012，则 + 的最小值为（?? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?8
【答案】B
【考点】数列的求和
【解析】【解答】解：∵S2012=2012= ， ∴a1+a2012=2，∵ ．∴ + = = =2，当且仅当a1=a2012=1时取等号．故选：B．【分析】利用等差数列的前n项和公式可得a1+a2012=2，再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．
9.在等差数列{an}中，a3=7，a2+a5=16，设bn=（n∈N*），则数列{bn}的前n项和Sn为（　　）
A.? ?????B.? ??C.????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】数列的求和
【解析】【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a3=7，a2+a5=16，∴a1+2d=7，2a1+5d=16，
解得a1=3，d=2．
∴an=3+2（n﹣1）=2n+1，
∴bn=
∴数列{bn}的前n项和Sn=
故选：C．
【分析】设等差数列{an}的公差为d，利用等差数列的通项公式可得a1 ， d．于是an=2n+1，可得bn=， 再利用“裂项求和”即可得出．
10.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0，S5=﹣5，则数列{ }的前8项和为（?? ）
A.?﹣ ?????????????????????????????????????B.?﹣ ?????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】数列的求和
【解析】【解答】解：由等差数列的性质可得 ， 即 ，解得a1=1，d=﹣1，则{an}的通项公式an=1﹣（n﹣1）=2﹣n，∴ = = = （ ﹣ ），∴数列{ }的前8项和为 （﹣1﹣1+1﹣ +…+ ﹣ ）= （﹣1﹣ ）=﹣ ，故选：B．【分析】根据等差数列的前n项和公式解方程组即可求{an}的通项公式，再求出求数列{ }通项公式，利用裂项法即可求前8项和
11.数列{an}的通项公式an=ncos ，其前n项和为Sn ， 则S2015=（?? ）
A.?1008?????????????????????????????????B.?2015?????????????????????????????????C.?﹣1008?????????????????????????????????D.?﹣504
【答案】C
【考点】数列的求和
【解析】【解答】解：∵an=ncos ， 又∵f（n）=cos 是以T=4为周期的周期函数，∴a1+a2+a3+a4=（0﹣2+0+4）=2，a5+a6+a7+a8=（0﹣6+0+8）=2，…a2009+a2010+a2011+a2012=（0﹣2010+0+2012）=2，a2013+a2014+a2015=﹣2014．S2015=a1+a2+a3+a4+…+a2015=（0﹣2+0+4）+（0﹣6+0+8）+…+（0﹣2010+0+2012）﹣2014=2×503﹣2014=1006﹣2014=﹣1008．故选：C．【分析】由f（n）=cos 是以T=4为周期的周期函数可得数列每相邻四项的和，则答案可求．
12.已知数列的前n项和 ， 则的值为(???? )
A.?80?????????????????????????????????????????B.?40?????????????????????????????????????????C.?20?????????????????????????????????????????D.?10
【答案】C
【考点】数列的求和
【解析】【解答】由数列前项和的定义有， 所以正确答案选C.
13.已知函数f（x）=xa的图象过点（4，2），令 （n∈N*），记数列{an}的前n项和为Sn ， 则S2017=（?? ）
A.????????????????????????B.?????????????????C.????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】数列的求和
【解析】【解答】解：函数f（x）=xa的图象过点（4，2）， 可得4a=2，解得a= ，f（x）=x ，则 = = ﹣ ，则S2017= ﹣1+ ﹣ +…+ ﹣ = ﹣1．故选：B．【分析】由代入法，可得a的值，求得 = = ﹣ ，再由数列的求和方法：裂项相消求和即可得到所求和．
14.已知函数f（x）=x2+bx的图象过点（1，2），记an= ．若数列{an}的前n项和为Sn ， 则Sn等于（?? ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】数列的求和
【解析】【解答】解：∵函数f（x）=x2+bx的图象过点（1，2）， ∴2=1+b，解得b=1，∴f（x）=x（x+1），∴an= = = ﹣ ，∴Sn=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =1﹣ = 故选：D【分析】先求出b的值，进而裂项可知an= = = ﹣ ，并项相加即得结论
15.已知数列{an}满足：a1=﹣13，a6+a8=﹣2，且an﹣1=2an﹣an+1（n≥2），则数列{ }的前13项和为（?? ）
A.?????????????????????????????????????B.?﹣ ????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?﹣
【答案】B
【考点】数列的求和
【解析】【解答】解：an﹣1=2an﹣an+1（n≥2）， 可得an+1﹣an=an﹣an﹣1 ， 可得数列{an}为等差数列，设公差为d，由a1=﹣13，a6+a8=﹣2，即为2a1+12d=﹣2，解得d=2，则an=a1+（n﹣1）d=2n﹣15． = = （ ﹣ ），即有数列{ }的前13项和为 （ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）= ×（﹣ ﹣ ）=﹣ ．故选：B．【分析】由条件可得an+1﹣an=an﹣an﹣1 ， 可得数列{an}为等差数列，设公差为d，运用等差数列的通项公式解方程可得d，求得通项公式，以及 = = （ ﹣ ），运用数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．
16.数列{an}满足2nan+1=（n+1）an ， 其前n项和为Sn ， 若 ，则使得 最小的n值为（?? ）
A.?8??????????????????????????????????????????B.?9??????????????????????????????????????????C.?10??????????????????????????????????????????D.?11
【答案】D
【考点】数列的求和
【解析】【解答】解：∵2nan+1=（n+1）an ， ∴ = ? ，若 ，可得 = ?（ ）n﹣1=（ ）n ， 即有an=n?（ ）n ， 前n项和为Sn=1?（ ）1+2?（ ）2+…+n?（ ）n ， Sn=1?（ ）2+2?（ ）3+…+n?（ ）n+1 ， 两式相减可得， Sn=（ ）1+（ ）2+…+（ ）n﹣n?（ ）n+1= ﹣n?（ ）n+1 ， 化简可得Sn=2﹣（n+2）?（ ）n ， 则 即为（n+2）?（ ）n＜ n?（ ）n ， 化简可得n＞10，则n的最小值为11．故选：D．【分析】由题意可得 = ? ，运用等比数列的定义和通项公式可得an=n?（ ）n ， 再由数列的求和方法：错位相减法和等比数列的求和公式，可得Sn ， 解不等式可得n＞10，即可得到所求n的最小值．
17.设 为数列 的前 项和， ，且 .记 ?为数列 的前 项和，若 ，则 的最小值为（?? ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?1
【答案】A
【考点】等比数列的前n项和，数列的求和，数列递推式
【解析】【解答】由2an﹣an﹣1=3?2n﹣1（n≥2），得， ?由2an﹣an﹣1=3?2n﹣1（n≥2），且3a1=2a2 ， 可得2a2﹣a1=6，即2a1=6，得a1=3．∴数列{ }是以 为首项，以 为公比的等比数列，则 ?∴ （2+22+23+…+2n） ?2?2n﹣21﹣n ． ?∵对?n∈N* ， Tn＜m，∴m的最小值为 ．故答案为A。【分析】由数列的递推式变形，得到一个等比数列，求出通项公式，再分组求和，由不等式恒成立求m的最小值。
18.已知一次函数的图像经过点和 ， 令 ， 记数列的前项和为 ， 当时，的值等于（???）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】数列的求和
【解析】【解答】因为一次函数的图像经过点和， 可得， 解得， 所以， ， ， ， 得． 故选A.
二、填空题
19.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn=________尺．
【答案】
【考点】数列的求和
【解析】【解答】解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，
前n天打洞之和为 =2n﹣1，
同理，小老鼠每天打洞的距离 =2﹣ ，
∴Sn=2n﹣1+2﹣ = ，
故答案为： ．
【分析】根据题意可知，大老鼠和小老鼠打洞的距离为等比数列，根据等比数列的前n项和公式，求得Sn ．
20.设数列{an}的前n项和为Sn ， 满足Sn=2an﹣2，则 =________．
【答案】4
【考点】数列的求和
【解析】【解答】解：∵数列{an}的前n项和为Sn ， 满足Sn=2an﹣2， ∴a1=2a1﹣2，解得a1=2，2+a2=2a2﹣2，解得a2=4，2+4+a3=2a3﹣2，解得a3=8， ，n≥2，整理，得 =2，∴{an}是首项为2，公比为2的等比数列，∴ = =4．故答案为：4．【分析】由Sn=2an﹣2，得a1=2a1﹣2，从而a1=2， ，n≥2，从而 =2，由此得到{an}是首项为2，公比为2的等比数列，从而能求出 的值．
21.已知数列{an}的前n项Sn=（﹣1）n? ，若存在正整数n，使得（an﹣1﹣p）?（an﹣p）＜0成立，则实数p的取值范围是________．
【答案】
【考点】数列的求和
【解析】【解答】解：∵Sn=（﹣1）n? ， ∴当n=1时，a1=﹣1；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（﹣1）n? ﹣（﹣1）n﹣1 = ，若存在正整数n，使得（an﹣1﹣p）?（an﹣p）＜0成立，当n=2时，（a1﹣p）（a2﹣p）=（﹣1﹣p） ＜0，解得 ．当n≥3时， ＜0，当n=2k时， ＜0，∵ ﹣ = ＞0．∴﹣ ＜p＜ ．可得：﹣ ＜p＜ ．当n=2k﹣1时， ＜0，﹣ ＜p＜ ，∴﹣ ＜p＜ ．综上可得：实数p的取值范围是﹣1＜p＜ ．．故答案为： ．【分析】Sn=（﹣1）n? ，可得：当n=1时，a1=﹣1；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1 ． 若存在正整数n，使得（an﹣1﹣p）?（an﹣p）＜0成立，当n=2时，（a1﹣p）（a2﹣p）＜0，解得p范围．当n≥3时， ＜0，对n分类讨论即可得出．
22.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+3n+5，则an=________．
【答案】
【考点】数列的求和
【解析】【解答】解：∵Sn=n2+3n+5，a1=S1=9，
∴an=Sn﹣Sn﹣1=n2+3n+5﹣[（n﹣1）2+3（n﹣1）+5]=2n+2（n＞1），
∵当n=1时，a1=9≠4，
∴an= ，
故答案为： ．
【分析】首先根据Sn=n2+3n+5，求出a1的值，然后利用an=Sn﹣Sn﹣1求出当n＞2时，an的表达式，然后验证a1的值，最后写出an的通项公式．
23.已知 ，数列 满足 ，则 ________．
【答案】
【考点】奇偶函数图象的对称性，数列的求和
【解析】【解答】因为 ， ?相加得 ?所以 ， 故答案为2018【分析】由函数解析式可得f(x)+f(1-x)=2,将和式倒序相加,可求和.
24.设数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，an= +2（n﹣1），（n∈N*），若S1+ + +…+ ﹣（n﹣1）2=2013，则n的值为________．
【答案】1007
【考点】数列的求和
【解析】【解答】解：∵a1=1，an= +2（n﹣1）， ∴Sn=nan﹣2（n﹣1）n，Sn+1=（n+1）an+1﹣2n（n+1），两式相减得：an+1=（n+1）an+1﹣nan﹣2n（n+1）+2（n﹣1）n，nan+1﹣nan﹣4n=0，an+1﹣an=4，所以an是等差数列，公差d=4，∴an=4n﹣3，Sn=2n2﹣n，则 =2n﹣1，为首项是1公差为2的等差数列，则S1+ + +…+ = 2 ， 则S1+ + +…+ ﹣（n﹣1）2=2013，等价为n2﹣（n﹣1）2=2013，即2n﹣1=2013，解得n=1007，故答案为：1007．【分析】根据条件，求出数列{an}为等差数列，然后求出 =2n﹣1也为等差数列，根据等差数列的求和公式即可得到结论．
25.已知 是等差数列 的前 项和， ，则 ________.
【答案】
【考点】数列的求和
【解析】【解答】设等差数列 的公差为 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ 是等差数列 的前 项和∴ ∴ ∴ 故答案为 【分析】利用等差数列的中项公式列,等差数列的前n项和公式求出等差数列的前n项和公式，将其裂成两项的差，利用裂项求和的方法求出和．
26.已知数列{an}的各项均为正整数，Sn为其前n项和，对于n=1，2，3，…，有an+1= ，则当a1=1时，S20=________．变：若存在m∈N* ， 当n＞m且an为奇数时，an恒为常数p，则p=________．
【答案】230；1或5
【考点】数列的求和
【解析】【解答】解：∵a1=1，∴a2=3a1+5=8，a3= ，取k=1，2时，a3为偶数，应舍去；当k=3时，a3=1． ∴a4=3a3+5=8．…．∴数列{an}是奇数项组成以常数1为项的常数列，偶数项是以常数8为项的常数列．∴S2k=k×1+k×8=9k，S2k﹣1=S2k﹣8，∴S2+S4+…+S10=9×（1+2+…+5）=135．∴S1+S3+…+S9=（S2﹣8）+（S4﹣8）+…+（S10﹣8）=135﹣8×5=95．∴S1+S2+…+S20=135+95=230．若存在m∈N* ， 当n＞m且an为奇数时，an恒为常数p，则an=p，an+1=3p+5，an+2= =p，∴（3﹣2k）p=﹣5，∵数列{an}的各项均为正整数，∴当k=2时，p=5，当k=3时，p=1．故答案为：230，1或5．【分析】由a1=1，可得a2=3a1+5=8，a3= ，根据题意当k=3时，a3=1．得到a4=3a3+5=8．…．由此可得：数列{an}是奇数项组成以常数1为项的常数列，偶数项是以常数8为项的常数列，即可得出S20 ． 若存在m∈N* ， 当n＞m且an为奇数时，an恒为常数p，知an=p，再由数列{an}的各项均为正整数，能求出p．
三、解答题
27.已知等差数列{an}的前n项和为Sn ， S3=﹣15，且a1+1，a2+1，a4+1成等比数列，公比不为1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn ．
【答案】（1）解：设等差数列{an}的公差为d， ∵a1+1，a2+1，a4+1成等比数列，∴ =（a1+1）（a4+1），又S3=﹣15，∴ =﹣15，∴a2=﹣5．∴（﹣5+1）2=（﹣5﹣d+1）（﹣5+2d+1），解得d=0或d=﹣2．d=0时，公比为1，舍去．∴d=﹣2．∴an=a2﹣2（n﹣2）=﹣5﹣2（n﹣2）=﹣2n﹣1（2）解：由（1）可得：Sn= =﹣n2﹣2n． ∴bn= =﹣ =﹣ ，∴数列{bn}的前n项和Tn= + + +…+ + =﹣ =﹣ +
【考点】数列的求和
【解析】【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，根据a1+1，a2+1，a4+1成等比数列，可得 =（a1+1）（a4+1），又S3=﹣15，可得 =3a2=﹣15，解得a2 ， 进而得到d．即可得出an ． （2）由（1）可得：Sn=﹣n2﹣2n．可得bn= =﹣ =﹣ ，利用“裂项求和”即可得出．
28.在数列{an}中， （c为常数，n∈N*），且a1 ， a2 ， a5成公比不为1的等比数列． （Ⅰ）求证：数列 是等差数列；（Ⅱ）求c的值；（Ⅲ）设bn=anan+1 ， 求数列{bn}的前n项和Sn ．
【答案】解：（Ⅰ）因为 ，所以an≠0， 则 ，又c为常数，∴数列 是等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ，∵a1=1，∴a2= ，a5= ，∵a1 ， a2 ， a5成公比不为1的等比数列，所以 ，解得c=0或c=2，当c=0时，an=an+1 ， 不满足题意，舍去，所以c的值为2；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知c=2，∴ ，bn=anan+1= = ，所以数列{bn}的前n项和Sn= =
【考点】数列的求和，等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）通过已知条件，方程去倒数，即可推出数列满足等差数列的定义，说明数列 是等差数列；（Ⅱ）通过第一问，直接求出a1 ， a2 ， a5 ， 利用等比数列直接求出c的值；（Ⅲ）通过第二问，求出an ， 然后利用bn=anan+1 ， 通过裂项法直接求数列{bn}的前n项和Sn ．
29.已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）解：设等差数列 的公差为 ，由题意得 ，解得 （2）解：由（1）得 ?
【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，数列的求和
【解析】【分析】(1)由条件得到数列的首项与公差的方程组,求出首项与公差得到通项公式;(2)得到数列{bn}的通项公式,由裂项本消法求和.
30.已知函数f（x）=2x﹣3x2 ， 设数列{an}满足：a1= ，an+1=f（an）
（1）求证：对任意的n∈N* ， 都有0＜an＜ ；
（2）求证： + +…+ ≥4n+1﹣4．
【答案】（1）证明：∵an+1=f（an），函数f（x）=2x﹣3x2 ， ∴an+1=2an﹣3 =﹣3 + ≤ ．若an+1= ，则an= ，可得a1= ，与已知a1= 矛盾，因此等号不成立．∴an＜ ． = = =3an（3an﹣2） ，由an＜ （n∈N*），可得an+1 ，3an﹣2＜0，因此an+1与an同号，a1= ＞0，∴an＞0，综上可得：对任意的n∈N* ， 都有0＜an＜ （2）解：∵0＜an＜ ，an+1=2an﹣3 ，∴2an+1﹣an= =an（1﹣3an）＞0，∴an+1＞an ， ∴数列{an}单调递增．∴n＞1时， ，∴ ＞4，∴ = = ＞ ＞ ＞…＞ =4n+1 ， ∴ + +…+ ≥3（4+42+…+4n）=3× =4n+1﹣4．∴ + +…+ ≥4n+1﹣4
【考点】数列的求和，数列与不等式的综合
【解析】【分析】1、由题意可得an+1=2an-3an2=-3(an-)2?? +,可得做差an+1(an+1-)整理可得3an（3an﹣2） ( an? ?? ) 2 由（nN*)???? 可得an+1与an同号因此an>0.?????? 2、由题意0＜an＜ ，an+1=an﹣3 a n2 ，∴an+1﹣an= a n? 3 a n 2=an（1﹣3an）＞0，因此数列{an}单调递增n＞1时，?? > a n > ，∴ ＞4，由递推公式可得式子?? 再由等比数列求和公式可得上式等于4n+1﹣4．即得结论。
31.已知{an}是递增的等差数列，它的前三项的和为﹣3，前三项的积为8．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{|an|}的前n项和Sn ．
【答案】（1）解：设{an}的公差为d（d＞0），依题意， ， 即 ，解得 或 ，因为d＞0，所以 ，{an}的通项an=﹣7+3n（2）解：由（1）得a1=﹣4，|a1|=4；a2=﹣1，|a2|=1； 当n≥3时，an＞0，|an|=an ， 所以S1=4，S2=5当n≥3时，Sn=S2+（a3+…an）=5+[2+…+（﹣7+3n）] =5+ ×（n﹣2）= n2﹣ n+10综上所述，Sn=
【考点】数列的求和，等差数列的性质
【解析】【分析】（1）依题意，解方程组 即可求得数列{an}的首项与公差，再利用{an}是递增的等差数列进行取舍，即可求得答案；（2）由（1）得当n≥3时，an＞0，|an|=an ， 通过对n=1与n=2及n≥3的情况的讨论即可求得Sn ．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2017?新课标Ⅰ卷）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20 ， 接下来的两项是20 ， 21 ， 再接下来的三项是20 ， 21 ， 22 ， 依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（　　）
A.?440??????????????????????????????????????B.?330??????????????????????????????????????C.?220??????????????????????????????????????D.?110
【答案】A
【考点】数列的求和
【解析】【解答】解：设该数列为{an}，设bn= +…+ =2n﹣1，（n∈N+），则 = ai ， 由题意可设数列{an}的前N项和为SN ， 数列{bn}的前n项和为Tn ， 则Tn=21﹣1+22﹣1+…+2n﹣1=2n﹣n﹣2，可知当N为 时（n∈N+），数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和，即为2n﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由 =435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230 ， 故A项符合题意．B项，仿上可知 =325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知 =210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知 =105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知： ， ， ，… ，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n= ，所有项数的和为Sn：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n= ﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有 +2=2，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有 +3=17，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有 +4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有 +5=440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．故选A．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{bn}的通项公式及前n项和，可知当N为 时（n∈N+），数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和，即为2n﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和Sn=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别分别即可求得N的值．
二、填空题
2.（2018?江苏）已知集合 ,将 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 ,记 为数列的前 项和，则使得 成立的 的最小值为________.
【答案】27
【考点】数列的求和
【解析】【解答】解： 不符 符合所以n最小值27【分析】列举法，用求和公式看符不符合题意。
3.（2018?卷Ⅰ）记 为数列 的前n项的和，若 ，则 =________.
【答案】-63
【考点】数列的求和，数列递推式
【解析】【解答】解：∵ ，作差，∴ ，∴ ，∴ 。【分析】将n换成n-1得到另一个式子,两式相减得到数列的递推关系式,得到数列 为等比数列,求出通项公式求再求 .
4.（2017?新课标Ⅱ）等差数列{an}的前n项和为Sn ， a3=3，S4=10，则 =________．
【答案】
【考点】等差数列的前n项和，数列的求和
【解析】【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn ， a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，Sn= ， = ，则 =2[1﹣ + +…+ ]=2（1﹣ ）= ．故答案为： ．【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可．
三、解答题
5.（2018?浙江）已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3 ， a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1?bn）an}的前n项和为2n2+n ． （Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．
【答案】解：（Ⅰ）由 是 的等差中项得 ，所以 ，解得 .由 得 ，因为 ，所以 .（Ⅱ）设 ，数列 前n项和为 .由 解得 .由（Ⅰ）可知 ，所以 ，故 ， ?????????????????????? .设 ， 所以 ，因此 ，又 ，所以
【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和，数列的应用，数列的求和
【解析】【分析】（Ⅰ）运用等比数列和等差数列性质，列方程求解公比q；（Ⅱ）设cn=（bn+1-bn）an=（bn+1-bn）2n-1 ， 运用数列的递推式可得cn=4n-1，再由数列的恒等式求得bn ， 运用错位相减法，可得所求数列的通项公式．
6.（2018?天津）设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5 ， b5=a4+2a6 ． （Ⅰ）求Sn和Tn；（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn ， 求正整数n的值．
【答案】解：（I）设等比数列 的公比为q ， 由b1=1，b3=b2+2，可得 .∵ ，∴ ，故 .∴ .设等差数列 的公差为 .由 ，可得 .由 ?从而 ，故 ，∴ .（II）由（I），知 ?由 ，解得 （舍），或 .所以n的值为4.
【考点】数列的求和，等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（I）待定系数法求q,d再求和；（II）等比数列求和公式得到方程，求出n.
7.（2017?天津）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1 ， S11=11b4 ． （13分）（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2nbn}的前n项和（n∈N*）．
【答案】（Ⅰ）解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．由已知b2+b3=12，得 ，而b1=2，所以q2+q﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以， ．由b3=a4﹣2a1 ， 可得3d﹣a1=8．由S11=11b4 ， 可得a1+5d=16，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得an=3n﹣2．所以，{an}的通项公式为an=3n﹣2，{bn}的通项公式为 ．（Ⅱ）解：设数列{a2nbn}的前n项和为Tn ， 由a2n=6n﹣2，有 ， ，上述两式相减，得 = ．得 ．所以，数列{a2nbn}的前n项和为（3n﹣4）2n+2+16．
【考点】数列的求和，等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．通过b2+b3=12，求出q，得到 ．然后求出公差d，推出an=3n﹣2．（Ⅱ）设数列{a2nbn}的前n项和为Tn ， 利用错位相减法，转化求解数列{a2nbn}的前n项和即可．
8.（2017?新课标Ⅲ）设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．（12分）
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{ }的前n项和．
【答案】（1）解：数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1=2（n﹣1）．∴（2n﹣1）an=2．∴an= ．当n=1时，a1=2，上式也成立．∴an= ．（2）= = ﹣ ．∴数列{ }的前n项和= + . +…+ =1﹣ = ．
【考点】数列的求和，数列递推式
【解析】【分析】（1）利用数列递推关系即可得出．（2） = = ﹣ ．利用裂项相消求和方法即可得出．
9.（2017·天津）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N+），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1 ， S11=11b4 ． （Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．
【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，bn=2n ． 由b3=a4﹣2a1 ， 可得3d﹣a1=8①．由S11=11b4 ， 可得a1+5d=16②，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得an=3n﹣2．所以，数列{an}的通项公式为an=3n﹣2，数列{bn}的通项公式为bn=2n ． （Ⅱ）设数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为Tn ， 由a2n=6n﹣2，b2n﹣1= 4n ， 有a2nb2n﹣1=（3n﹣1）4n ， 故Tn=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n ， 4Tn=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1 ， 上述两式相减，得﹣3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1= =﹣（3n﹣2）4n+1﹣8得Tn= ．所以，数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为 ．
【考点】数列的求和，数列递推式，等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．
10.（2017·山东）已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3 ．
（1）求数列{an}通项公式；
（2）{bn} 为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn ， 已知S2n+1=bnbn+1 ， 求数列 的前n项和Tn ．
【答案】（1）解：记正项等比数列{an}的公比为q，因为a1+a2=6，a1a2=a3 ， 所以（1+q）a1=6，q =q2a1 ， 解得：a1=q=2，所以an=2n；（2）因为{bn} 为各项非零的等差数列，所以S2n+1=（2n+1）bn+1 ， 又因为S2n+1=bnbn+1 ， 所以bn=2n+1， = ，所以Tn=3? +5? +…+（2n+1）? ， Tn=3? +5? +…+（2n﹣1）? +（2n+1）? ，两式相减得： Tn=3? +2（ + +…+ ）﹣（2n+1）? ，即 Tn=3? +（ + + +…+ ）﹣（2n+1）? ，即Tn=3+1+ + + +…+ ）﹣（2n+1）? =3+ ﹣（2n+1）? =5﹣ ．
【考点】等比数列的通项公式，数列的求和，数列递推式
【解析】【分析】（1）通过首项和公比，联立a1+a2=6、a1a2=a3 ， 可求出a1=q=2，进而利用等比数列的通项公式可得结论；（2）利用等差数列的性质可知S2n+1=（2n+1）bn+1 ， 结合S2n+1=bnbn+1可知bn=2n+1，进而可知 = ，利用错位相减法计算即得结论．
11.（2017?北京卷）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5 ． （Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1 ．
【答案】解：（Ⅰ）等差数列{an}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，所以{an}的通项公式：an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，等比数列{bn}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．∴q2=3，{b2n﹣1}是等比数列，公比为3，首项为1．b1+b3+b5+…+b2n﹣1= = ．
【考点】数列的求和，等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，然后求{an}的通项公式；（Ⅱ）利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即可．
12.（2017?新课标Ⅰ卷）记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6．（12分）
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn ， 并判断Sn+1 ， Sn ， Sn+2是否能成等差数列．
【答案】（1）解：设等比数列{an}首项为a1 ， 公比为q，则a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，则a1= = ，a2= = ，由a1+a2=2， + =2，整理得：q2+4q+4=0，解得：q=﹣2，则a1=﹣2，an=（﹣2）（﹣2）n﹣1=（﹣2）n ， ∴{an}的通项公式an=（﹣2）n；（2）由（1）可知：Sn= = =﹣ （2+（﹣2）n+1），则Sn+1=﹣ （2+（﹣2）n+2），Sn+2=﹣ （2+（﹣2）n+3），由Sn+1+Sn+2=﹣ （2+（﹣2）n+2）﹣ （2+（﹣2）n+3）=﹣ [4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2×+（﹣2）n+1]，=﹣ [4+2（﹣2）n+1]=2×[﹣ （2+（﹣2）n+1）]，=2Sn ， 即Sn+1+Sn+2=2Sn ， ∴Sn+1 ， Sn ， Sn+2成等差数列．
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和，数列的求和，等差数列的性质
【解析】【分析】（1.）由题意可知a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，a1= = ，a2= = ，由a1+a2=2，列方程即可求得q及a1 ， 根据等比数列通项公式，即可求得{an}的通项公式；（2.）由（1）可知．利用等比数列前n项和公式，即可求得Sn ， 分别求得Sn+1 ， Sn+2 ， 显然Sn+1+Sn+2=2Sn ， 则Sn+1 ， Sn ， Sn+2成等差数列．
13.（2016?上海）对于无穷数列{ }与{ }，记A={ | = ， }，B={ | = ， }，若同时满足条件：①{ }，{ }均单调递增；② 且 ，则称{ }与{ }是无穷互补数列．
（1）若 = ， = ，判断{ }与{ }是否为无穷互补数列，并说明理由；
（2）若 = 且{ }与{ }是无穷互补数列，求数列{ }的前16项的和；
（3）若{ }与{ }是无穷互补数列，{ }为等差数列且 =36，求{ }与{ }得通项公式．
【答案】（1）解：因为 ， ，所以 ，从而 与 不是无穷互补数列（2）解：因为 ，所以 ．数列 的前 项的和为 （3）设 的公差为 ， ，则 ．由 ，得 或 ．若 ，则 ， ，与“ 与 是无穷互补数列”矛盾；若 ，则 ， ， ．综上， ， ．
【考点】数列的应用，数列的求和
【解析】【分析】（1）直接应用及时定义“无穷互补数列”的条件验证即得；（2）转化为等差数列：1，2，…，20与等比数列：2，4，8，16求和；（3）先求等差数列{ }的通项公式，再求{ }得通项公式．
14.（2016?全国） 为等差数列 的前n项和，且 记 ，其中 表示不超过x的最大整数，如 .
（1）求 ；
（2）求数列 的前1 000项和.
【答案】（1）解：设 的公差为 ， ，∴ ，∴ ，∴ ．∴ ， ， （2）解：记 的前 项和为 ，则 ．当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ．∴
【考点】数列的求和，等差数列的性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解b1 ， b11 ， b101；（2）找出数列的规律，然后求数列{bn}的前1000项和
15.（2016?四川）已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N+
（1）若a2 ， a3 ， a2+a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；
（2）设双曲线x2﹣ =1的离心率为en ， 且e2=2，求e12+e22+…+en2 ．
【答案】（1）解：根据题意，数列{an}的首项为1，即a1=1，又由Sn+1=qSn+1，则S2=qa1+1，则a2=q，又有S3=qS2+1，则有a3=q2 ， 若a2 ， a3 ， a2+a3成等差数列，即2a3=a2+（a2+a3），则可得q2=2q，（q＞0），解可得q=2，则有Sn+1=2Sn+1，①进而有Sn=2Sn﹣1+1，②①﹣②可得an=2an﹣1 ， 则数列{an}是以1为首项，公比为2的等比数列，则an=1×2n﹣1=2n﹣1（2）解：根据题意，有Sn+1=qSn+1，③同理可得Sn=qSn﹣1+1，④③﹣④可得：an=qan﹣1 ， 又由q＞0，则数列{an}是以1为首项，公比为q的等比数列，则an=1×qn﹣1=qn﹣1；若e2=2，则e2= =2，解可得a2= ，则a2=q= ，即q= ，an=1×qn﹣1=qn﹣1=（ ）n﹣1 ， 则en2=1+an2=1+3n﹣1 ， 故e12+e22+…+en2=n+（1+3+32+…+3n﹣1）=n+
【考点】数列的求和，数列递推式
【解析】【分析】（1）根据题意，由数列的递推公式可得a2与a3的值，又由a2 ， a3 ， a2+a3成等差数列，可得2a3=a2+（a2+a3），代入a2与a3的值可得q2=2q，解可得q的值，进而可得Sn+1=2Sn+1，进而可得Sn=2Sn﹣1+1，将两式相减可得an=2an﹣1 ， 即可得数列{an}是以1为首项，公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案；（2）根据题意Sn+1=qSn+1，同理有Sn=qSn﹣1+1，将两式相减可得an=qan﹣1 ， 分析可得an=qn﹣1；又由双曲线x2﹣ =1的离心率为en ， 且e2=2，分析可得e2=? =2，解可得a2的值，由an=qn﹣1可得q的值，进而可得数列{an}的通项公式，再次由双曲线的几何性质可得en2=1+an2=1+3n﹣1 ， 运用分组求和法计算可得答案；本题考查数列的递推公式以及数列的求和，涉及双曲线的简单几何性质，注意题目中q＞0这一条件．
16.（2016?山东）已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1 ．
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）令cn= ，求数列{cn}的前n项和Tn ．
【答案】（1）解：Sn=3n2+8n，∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴an=6n+5；∵an=bn+bn+1 ， ∴an﹣1=bn﹣1+bn ， ∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1 ． ∴2d=6，∴d=3，∵a1=b1+b2 ， ∴11=2b1+3，∴b1=4，∴bn=4+3（n﹣1）=3n+1；（2）解：cn= = =6（n+1）?2n ， ∴Tn=6[2?2+3?22+…+（n+1）?2n]①，∴2Tn=6[2?22+3?23+…+n?2n+（n+1）?2n+1]②，①﹣②可得﹣Tn=6[2?2+22+23+…+2n﹣（n+1）?2n+1]=12+6× ﹣6（n+1）?2n+1=（﹣6n）?2n+1=﹣3n?2n+2 ， ∴Tn=3n?2n+2
【考点】数列的求和，数列递推式
【解析】【分析】（1）求出数列{an}的通项公式，再求数列{bn}的通项公式；（2）求出数列{cn}的通项，利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn ． 本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．
17.（2016?四川）已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N* ．
（1）若2a2 ， a3 ， a2+2成等差数列，求an的通项公式；
（2）设双曲线x2﹣ =1的离心率为en ， 且e2= ，证明：e1+e2+???+en＞ ．
【答案】（1）解：∵Sn+1=qSn+1 ①，∴当n≥2时，Sn=qSn﹣1+1 ②，两式相加你可得an+1=q?an ， 即从第二项开始，数列{an}为等比数列，公比为q．当n=1时，∵数列{an}的首项为1，∴a1+a2=S2=q?a1+1，∴a2=q=a1?q，∴数列{an}为等比数列，公比为q．∵2a2 ， a3 ， a2+2成等差数列，∴2q+q+2=2q2 ， 求得q=2，或 q=﹣ ．根据q＞0，故取q=2，∴an=2n﹣1 ， n∈N*（2）证明：设双曲线x2﹣ =1的离心率为en ， ∴en= = ．由于数列{an}为首项等于1、公比为q的等比数列，∴e2= = = ，q= ，∴an= ，∴en= = ＞ = ．∴e1+e2+???+en＞1+ + +…+ = = ，原不等式得证
【考点】数列的求和，数列与解析几何的综合
【解析】【分析】（1）由条件利用等比数列的定义和性质，求得数列{an}为首项等于1、公比为q的等比数列，再根据2a2 ， a3 ， a2+2成等差数列求得公比q的值，可得{an}的通项公式．（2）利用双曲线的定义和简单性质求得en=? ，根据e2= = ，求得q的值，可得{an}的解析式，再利用放缩法可得∴en= ＞? ，从而证得不等式成立．本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，用放缩法进行数列求和，数曲线的简单性质，属于难题．