2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第6章 第1节 不等式的性质、一元不等式
（学生版）
备战基础·零风险
1．了解现实世界和日常生活中的不等关系．
2．了解不等式(组)的实际背景．
3．掌握不等式的性质及应用.
两个实数比较大小的方法
作差法
作商法
不等式的性质
对称性
a＞b? ；
传递性
a＞b，b＞c? ；
可加性
a＞b?a＋c b＋c，a＞b，c＞d?a＋c b＋d；
可乘性
a＞b，c＞0?ac bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac bd；
可乘方
a＞b＞0?an bn(n∈N，n≥1)；
可开方
a＞b＞0? (n∈N，n≥2)．
备战方法·巧解题
规律
方法
1.两个防范 一是在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件，如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘；“可乘性中的”c的符号等都需注意．
二是利用特值法判断两个式子大小时，错误的关系式，只需取特值举反例即可，而正确的关系式，则需推理论证.
2. 对于不等式的表示问题，关键是理解题意，分清变化前后的各种量，得出相应的代数式，然后用不等式表示．而对于涉及条件较多的实际问题，则往往需列不等式组解决．
3. (1)比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素需进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推理都要有充分的依据．
(2)用作商法比较代数式的大小一般适用于分式、指数式、对数式，作商只是思路，关键是化简变形，从而使结果能够与1比较大小．
4. (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．
(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．
5．判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便．
6．倒数关系在不等式中的作用：?＜；?＞.
7．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商．
备战练习·固基石
一、单选题
1.若 ， ， 则f(x)与g(x)的大小关系为 （???）
A.?f(x)>g(x)???????????????????????B.?f(x)=g(x)???????????????????????C.?f(x)
2.对于任意实数a,b,c,d给定下列命题正确的是（ ）
A.?若，则??????????????????????????????????B.?若，则 C.?若则a>b ???????????????????????????????????????D.?若a>b则
3.已知 ，且 ，则下列不等式一定成立的是（?? ）
A.?????????????????????B.??????????????C.?????????????????????D.?
4.若 ，则下列不等式关系中，不能成立的是
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
5.设a>b＞c，ac＜0,则下列不等式不一定成立的是（??）。
A.?ab＞ac???????????????????????????B.?c(b-a)＞0???????????????????????????C.?＜???????????????????????????D.?ac(a-c) ＜0
6.已知 则 之间的大小关系是（??? ）
A. B. C. D.无法比较
7.已知a,b是任意实数，且a>b，则下列结论正确的是（?）
A.??????????????????????????B.?????????????C.??????????????????????????D.?
8.已知aA.??????????????????????????????B.??????????????????C.??????????????????????????????D.?
9.设A= ，其中a、b是正实数，且a≠b，B=﹣x2+4x﹣2，则A与B的大小关系是（?? ）
A.?A≥B????????????????????????????????????B.?A＞B????????????????????????????????????C.?A＜B????????????????????????????????????D.?A≤B
10.若a，b，c为实数，且，则下列命题正确的是（?? ）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
11.下列四个结论中，正确的个数有（?? ）
（1） ；（2）ln10＞lne；（3）0.8﹣0.1＞0.8﹣0.2；（4）80.1＞90.1 ．
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
12.若a＜b＜0，则下列选项正确的是（ ）
A.?????????????????B.?????????????????C.?an＜bn（n∈N，n≥2）????????????????D.??c≠0，都有ac＜bc
13.已知x＞y＞0，则（?? ）
A.?????????????????????B.?sinx﹣siny＞0????????????C.?????????????????????D.?lnx+lny＞0
14.已知a，b，c∈R，则下列推证中正确的是（? ）
A.?a＞b?am2＞bm2??????????????????????????????????????????????B.? C.???????????????????????????????????????D.?
15.已知 ，且 ， ，则 ， 的大小关系是（??? ）
A. B. C. D.不能确定
16.定义在R上的函数f（x）满足：f（x﹣1）=f（x+1）=f（1﹣x）成立，且f（x）在[﹣1，0]上单调递增，设a=f（3），b=f（），c=f（2），则a，b，c的大小关系是（ ）
A.?a＞b＞c????????????????????????????B.?a＞c＞b?????????????????????????????C.?b＞c＞a?????????????????????????????D.?c＞b＞a
17.若bA.??????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
18.若 abc 为实数，则下列命题正确的是（?? ）
A.?若 a>b ，则 ???????????????????????????????????????B.?若 a19.关于函数f（x）=和实数m，n的下列结论中正确的是（ ）
A.?若﹣3m＜n，则f（m）＜f（n）????????????????????????B.?若m＜n，则f（m）＜f（n） C.?若f（m）＜f（n），则m3＜n3??????????????????????????D.?若f（m）＜f（n），则m2＜n2
20.若，则x，y满足（ ）
A.?x＞y?????????????????????????????????????B.?x≥y?????????????????????????????????????C.?x＜y?????????????????????????????????????D.?x=y
21.设 ，则a，b，c的大小关系是（ ?）
A.?a＞b＞c?????????????????????????????B.?a＞c＞b?????????????????????????????C.?b＞a＞c?????????????????????????????D.?b＞c＞a
二、填空题
22.不等式 的解集为________．
23.已知﹣1＜a+b＜3且2＜a﹣b＜4，求2a+3b的取值范围________?．
24.若Rt△ABC中两直角边为a、b，斜边c上的高为h，则 ，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P﹣ABC，PO为棱锥的高，记M= ，N= ，那么M、N的大小关系是________．
25.已知 ，有以下命题：①若 a>b ，则ac2>bc2 ；②若 ac2>bc2 ，则 a>b ；③若 a>b ，则? .则正确命题序号为________
26.将 这三个数从小到大排列为________
27.定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“萌点”，如果函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=cosx（x∈（ ， π）的“萌点”分别为a、b、c，则a、b、c的大小关系是________?（从小到大排列）
28.设x∈R，则 与 的大小关系是________．
29.设x＞1，﹣1＜y＜0，试将x，y，﹣y按从小到大的顺序排列如下：________
30.定义：min{x，y}为实数x，y中较小的数．已知﹛a,﹜，其中a，b 均为正实数，则h的最大值是________?．
31.在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是________
32.b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水更甜了，将这个事实用一个不等式表示为________?
33. + 和 + 中较大的为________
三、解答题
34.设f（x）=1+logx3，g（x）=2logx2，其中x＞0，x≠1，比较f（x）与g（x）的大小．
35.设Pn=（1﹣x）2n﹣1 ， Qn=1﹣（2n﹣1）x+（n﹣1）（2n﹣1）x2 ， x∈R，n∈N*
（1）当n≤2时，试指出Pn与Qn的大小关系；
（2）当n≥3时，试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2017?山东）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（ ）
A.?a+ ＜ ＜log2（a+b））???????????????????????????B.?＜log2（a+b）＜a+ C.?a+ ＜log2（a+b）＜ ???????????????????????????????D.?log2（a+b））＜a+ ＜
2.（2017?新课标Ⅰ卷）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z ， 则（ ）
A.?2x＜3y＜5z?????????????????????B.?5z＜2x＜3y?????????????????????C.?3y＜5z＜2x?????????????????????D.?3y＜2x＜5z
3.（2016?浙江）已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则（ ）
A.?（a﹣1）（b﹣1）＜0????????????????????????????????????????B.?（a﹣1）（a﹣b）＞0 C.?（b﹣1）（b﹣a）＜0???????????????????????????????????????D.?（b﹣1）（b﹣a）＞0
4.（2016?北京）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（ ）
A.?﹣ ＞0??????????????B.?sinx﹣siny＞0???????C.?（ ）x﹣（ ）y＜0??????????????D.?lnx+lny＞0
5.（2016?全国）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（ ）
A.?ac＜bc??????????????????????B.?abc＜bac??????????????????????C.?alogbc＜blogac??????????????????????D.?logac＜logbc
二、解答题
6.（2017?新课标Ⅱ） 已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明： （Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4； （Ⅱ）a+b≤2．
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第6章 第1节 不等式的性质、一元不等式
（教师版）
备战基础·零风险
1．了解现实世界和日常生活中的不等关系．
2．了解不等式(组)的实际背景．
3．掌握不等式的性质及应用.
两个实数比较大小的方法
作差法
作商法
不等式的性质
对称性
a＞b?b＜a；
传递性
a＞b，b＞c?a＞c；
可加性
a＞b?a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；
可乘性
a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；
可乘方
a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)；
可开方
a＞b＞0?＞(n∈N，n≥2)．
备战方法·巧解题
规律
方法
1.两个防范 一是在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件，如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘；“可乘性中的”c的符号等都需注意．
二是利用特值法判断两个式子大小时，错误的关系式，只需取特值举反例即可，而正确的关系式，则需推理论证.
2. 对于不等式的表示问题，关键是理解题意，分清变化前后的各种量，得出相应的代数式，然后用不等式表示．而对于涉及条件较多的实际问题，则往往需列不等式组解决．
3. (1)比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素需进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推理都要有充分的依据．
(2)用作商法比较代数式的大小一般适用于分式、指数式、对数式，作商只是思路，关键是化简变形，从而使结果能够与1比较大小．
4. (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．
(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．
5．判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便．
6．倒数关系在不等式中的作用：?＜；?＞.
7．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商．
备战练习·固基石
一、单选题
1.若 ， ， 则f(x)与g(x)的大小关系为 （???）
A.?f(x)>g(x)???????????????????????B.?f(x)=g(x)???????????????????????C.?f(x)【答案】A
【考点】不等式比较大小
【解析】【解答】因为， ， 所以，， 故， 选A。 【分析】简单题，多项式比较大小，往往利用“差比法”---作差、变形、定号。常常用到“配方法”。
2.对于任意实数a,b,c,d给定下列命题正确的是（ ）
A.?若，则??????????????????????????????????B.?若，则 C.?若则a>b ???????????????????????????????????????D.?若a>b则
【答案】C
【考点】不等关系与不等式
【解析】【分析】若， 取c<0，则acb，c=0，则， 故B错误；若则， 所以a>b，故C正确；若a>b取a=1,b=-1，则， 故D错误。故选C。
3.已知 ，且 ，则下列不等式一定成立的是（?? ）
A.?????????????????????B.????????????C.?????????????????????D.?
【答案】B
【考点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：a，b∈R，且 ， a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），若a＜0，b＜0，则a+b＜0，a﹣b＞0，a2﹣b2＜0，A不一定成立； 函数y=2x在R上递增，且 ，∴ ,即 ，B正确； 若a=2π，b=0，则cos2π=cos0=1，B不一定成立； 若a＜0，b＞0，则 < ，C不一定成立； 若a=0，b=2π，则cos2π=cos0=1，D不一定成立； 故答案为：B． 【分析】解决本题时，可针对每一项举出一个特例，使其不成立，即可得出答案。
4.若 ，则下列不等式关系中，不能成立的是
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】不等式比较大小
【解析】【解答】∵a＜b＜0，
∴a＜a﹣b＜0
由 在 上单调递减知：
因此B不成立．
故答案为：B．
【分析】由不等式的基本性质分别对每个选项分别证明，即可得出答案。
5.设a>b＞c，ac＜0,则下列不等式不一定成立的是（??）。
A.?ab＞ac???????????????????????????B.?c(b-a)＞0???????????????????????????C.?＜???????????????????????????D.?ac(a-c) ＜0
【答案】C
【考点】不等关系与不等式
【解析】【解答】因为，＞c，ac＜0,所以，a>0,c<0，所以，A. ab＞ac ， B.c(b-a)＞0，D.ac(a-c) ＜0均成立，只有C ＜， b可能为0 ，不一定成立。选C。 【分析】简单题，利用不等式的性质，对选项加以判断。
6.已知 则 之间的大小关系是（??? ）
A. B. C. D.无法比较
【答案】A
【考点】不等关系与不等式
【解析】【解答】设 ，则 ， .
∴ ，
∵
∴ ，即 .
故答案为：A.
【分析】构造函数 ，通过比较1-a和1-b的大小，结合不等式的大小，即可确定a与b的大小.
7.已知a,b是任意实数，且a>b，则下列结论正确的是（?）
A.??????????????????????????B.???????????????C.??????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】不等关系与不等式
【解析】【解答】根据题意，由于是任意实数，且， 当a=0,b=-1,选项A不成立，对于B，由于a=3,b=2,不成立，对于C，由于,只有a-b>1不等式成立，故排除,选D. 【分析】主要是考查了对数函数性质以及不等式性质的运用，属于基础题。
8.已知aA.??????????????????????????????B.????????????????????C.??????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】不等式比较大小
【解析】【解答】根据不等式的性质易得.故选D
9.设A= ，其中a、b是正实数，且a≠b，B=﹣x2+4x﹣2，则A与B的大小关系是（?? ）
A.?A≥B????????????????????????????????????B.?A＞B????????????????????????????????????C.?A＜B????????????????????????????????????D.?A≤B
【答案】B
【考点】不等式比较大小
【解析】【解答】解：∵a，b都是正实数，且a≠b，即A＞2， B=﹣x2+4x﹣2=﹣（x2﹣4x+4）+2=﹣（x﹣2）2+2≤2，即B≤2， ∴A＞B． 故选：B． 【分析】根据基本不等式得到A的范围，再根据二次函数的性质得到B的范围，即可比较大小．
10.若a，b，c为实数，且，则下列命题正确的是（?? ）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】不等关系与不等式
【解析】【解答】因为 ,所以,,即 ， 均不成立；当时， 不成立；故选 D 【分析】本题主要考查了不等式与不等关系，解决问题的关键是根据不等式的性质分析判断即可
11.下列四个结论中，正确的个数有（?? ）
（1） ；（2）ln10＞lne；（3）0.8﹣0.1＞0.8﹣0.2；（4）80.1＞90.1 ．
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
【答案】（1）B
【考点】不等式比较大小
【解析】【解答】解：（1） ，∴ ；（2）∵y=lnx为增函数，10＞e，∴ln10＞lne；（3）∵y=0.8x为减函数，∴0.8﹣0.1＜0.8﹣0.2；（4）∵y=x0.1为增函数，∴80.1＜90.1 ． 故正确的个数为2个， 故选：B． 【分析】根据指数函数幂函数和对数函数的单调性即可判断．
12.若a＜b＜0，则下列选项正确的是（ ）
A.?????????????????B.?????????????????C.?an＜bn（n∈N，n≥2）????????????????D.??c≠0，都有ac＜bc
【答案】A
【考点】不等式比较大小
【解析】【解答】解：A．∵a＜b＜0，∴a2＞b2 ， ab＞0，∴ ， 因此正确； B．∵a＜b＜0，∴ab＞0，∴ ， 因此不正确； C．∵a＜b＜0，∴a2＞b2 ， 因此不正确； D．取c＜0时，可得ac＞bc，因此不正确． 故选：A． 【分析】A．由a＜b＜0，可得a2＞b2 ， ab＞0，利用不等式的基本性质，即可判断出正误； B．由a＜b＜0，可得ab＞0，利用不等式的基本性质，即可判断出正误； C．由a＜b＜0，可得a2＞b2 ， 即可判断出正误； D．取c＜0时，可得ac＞bc，即可判断出正误．
13.已知x＞y＞0，则（?? ）
A.?????????????????????B.?sinx﹣siny＞0????????????C.?????????????????????D.?lnx+lny＞0
【答案】C
【考点】不等式比较大小
【解析】【解答】解：由x＞y＞0，则 ﹣ = ＜0，故A错误， 根据正弦函数的图象和性质，无法比较sinx与siny的大小，故B错误， 根据指数函数的性质可得 ﹣ ＜0，故C正确， 根据对数的运算性质，lnx+lny=lnxy，当0＜xy≤1时，lnxy≤0，故D错误， 故选：C． 【分析】根据不等式的性质可判断A，根据正弦函数的性质可判断B，根据指数函数的性质可判断C，根据对数函数的性质可判断D
14.已知a，b，c∈R，则下列推证中正确的是（? ）
A.?a＞b?am2＞bm2??????????????????????????????????????????????B.? C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A、当m=0时，有am2=bm2 ， 故A不对；B、当c＜0时，有a＜b，故B不对； C、∵a3＞b3 ， ab＞0，∴不等式两边同乘以（ab）3的倒数，得到 ，故C正确； D、∵a2＞b2 ， ab＞0，∴不等式两边同乘以（ab）2的倒数，得到 ，故D不对． 故选C． 【分析】根据不等式两边同乘以0、负数判断出A、B不对，再由不等式两边同乘以正数不等号方向不变判断C对、D不对．
15.已知 ，且 ， ，则 ， 的大小关系是（??? ）
A. B. C. D.不能确定
【答案】A
【考点】不等式比较大小
【解析】【解答】∵ ，∴ ， ， ，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】判断M-N的符号，即可得出答案。
16.定义在R上的函数f（x）满足：f（x﹣1）=f（x+1）=f（1﹣x）成立，且f（x）在[﹣1，0]上单调递增，设a=f（3），b=f（），c=f（2），则a，b，c的大小关系是（ ）
A.?a＞b＞c????????????????????????????B.?a＞c＞b?????????????????????????????C.?b＞c＞a?????????????????????????????D.?c＞b＞a
【答案】D
【考点】不等式比较大小
【解析】【解答】解：∵f（x﹣1）=f（x+1）=f（1﹣x） 令t=x﹣1， 则f（t）=f（t+2），f（t）=f（﹣t）， ∴f（x）是以2为周期的偶函数， 又f（x+1）=f（1﹣x）， ∴x=1是其对称轴； 又f（x）在[﹣1，0]上单调递增，可得f（x）在[1，2]上单调递增 又a=f（3）=f（1），b=f（），c=f（2）， ∴f（3）=f（1）＜f（）＜f（2），即a＜b＜c． 故选D． 【分析】由定义在R上的函数f（x）满足：f（x﹣1）=f（x+1）=f（1﹣x）成立，可知f（x）是以2为周期的偶函数，x=1是其对称轴，结合f（x）在[﹣1，0]上单调递增，即可比较a，b，c的大小．
17.若bA.??????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】不等式比较大小
【解析】【解答】根据题意，由于b18.若 abc 为实数，则下列命题正确的是（?? ）
A.?若 a>b ，则 ???????????????????????????????????????B.?若 a【答案】B
【考点】不等关系与不等式
【解析】【解答】选项A:当 时， （舍）；选项B: ， ，即B正确；选项C: 在 上为减函数，且 ，? （舍）；选项D: ， ，所以 ，即 （舍）；故选B 【分析】本题主要考查了不等式与不等关系，解决问题的关键是根据不等式的性质分析即可.
19.关于函数f（x）=和实数m，n的下列结论中正确的是（ ）
A.?若﹣3m＜n，则f（m）＜f（n）????????????????????????B.?若m＜n，则f（m）＜f（n） C.?若f（m）＜f（n），则m3＜n3??????????????????????????D.?若f（m）＜f（n），则m2＜n2
【答案】D
【考点】不等式比较大小
【解析】【解答】解：对于选项A，取m=1，n=0此时f（1）= ， f（0）=0，不满足f（m）＜f（n），故不正确 对于选项B，取m=1，n=0此时f（﹣1）= ， f（1）= ， 不满足f（m）＜f（n），故不正确 对于选项C，取m=0，n=﹣1此时f（﹣1）= ， f（0）=0，满足f（m）＜f（n），但m3＞n3 ， 故不正确 对于选项D，因为函数f（x）=是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，则在（﹣∞，0）上单调递减，∵f（m）＜f（n），即f（|m|）＜f（|n|），则m2＜n2 ， 故正确； 故选D． 【分析】对于选项A，取m=1，n=0对于选项A，取m=1，n=0对于选项C，取m=0，n=﹣1，可判定都不正确，对于选项D，因为函数f（x）=是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，f（m）＜f（n），即f（|m|）＜f（|n|），则m2＜n2 ， 故正确．
20.若，则x，y满足（ ）
A.?x＞y?????????????????????????????????????B.?x≥y?????????????????????????????????????C.?x＜y?????????????????????????????????????D.?x=y
【答案】C
【考点】不等式比较大小
【解析】【分析】∵ ∴比较与的大小,即比较与4的大小 ∵ ∴ ∴＜0 ∴x＜y.选C。
212.设 ，则a，b，c的大小关系是（ ?）
A.?a＞b＞c?????????????????????????????B.?a＞c＞b?????????????????????????????C.?b＞a＞c?????????????????????????????D.?b＞c＞a
【答案】A
【考点】不等式比较大小
【解析】解答：∵a=20.1＞20=1 0=ln1＜b=ln ＜lne=1 c= ＜log31=0 ∴a＞b＞c 故选A． 分析：根据指数函数和对数函数的单调性判断出abc的范围即可得到答案．
二、填空题
22.不等式 的解集为________．
【答案】
【考点】不等关系与不等式
【解析】【解答】不等式 等价于 ,解得： ，即解集为： .故答案为：
【分析】根据不等式的基本性质将不等式转化为整式不等式，在进一步求解即可。
23.已知﹣1＜a+b＜3且2＜a﹣b＜4，求2a+3b的取值范围________?．
【答案】﹣＜2a+3b＜
【考点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：2a+3b=m（a+b）+n（a﹣b）， ∴∴m= ， n=﹣ ． ∴2a+3b=（a+b）﹣（a﹣b）． ∵﹣1＜a+b＜3，2＜a﹣b＜4，∴﹣＜（a+b）＜ ， ﹣2＜﹣（a﹣b）＜﹣1， ∴﹣＜（a+b）﹣（a﹣b）＜即﹣＜2a+3b＜ ． 故答案为：﹣＜2a+3b＜ ． 【分析】把2a+3b设为m（a+b）+n（a﹣b），解出m，n，回代，然后利用不等式的性质，求出2a+3b的取值范围．
24.若Rt△ABC中两直角边为a、b，斜边c上的高为h，则 ，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P﹣ABC，PO为棱锥的高，记M= ，N= ，那么M、N的大小关系是________．
【答案】M=N
【考点】不等式比较大小
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，c2=a2+b2①，由等面积法得ch=ab， ∴c2?h2=a2?b2②，①÷②整理得 ． 类比得，S△ABC2=S△PAB2+S△PBC2+S△PAC2①， 由等体积法得 ， ∴ ②， ①÷②整理得M=N． 故答案为：M=N． 【分析】由题意Rt△ABC中两直角边为a、b，斜边c上的高为h，由等面积法得ch=ab，c2?h2=a2?b2 ， 然后再利用等体积法进行比较．
25.已知 ，有以下命题：①若 a>b ，则ac2>bc2 ；②若 ac2>bc2 ，则 a>b ；③若 a>b ，则? .则正确命题序号为________
【答案】②③
【考点】不等关系与不等式
【解析】【解答】对于①当 时结论就不正确；对于②，由条件可知 ，所以②正确；对于③因为 ，所以结论也正确.故填②③. 【分析】本题主要考查了不等关系与不等式，解决问题的关键是根据不等式的性质即可
26.将 这三个数从小到大排列为________
【答案】 ＜ ＜
【考点】不等式比较大小
【解析】【解答】解：函数 在R上单调递增， ∴1＜ ＜ ， 又 ＜1， ∴ ＜ ＜ ， 故答案为： ＜ ＜ ． 【分析】考查函数 在R上单调递增，及指数函数的单调性，即可得出．
27.定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“萌点”，如果函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=cosx（x∈（ ， π）的“萌点”分别为a、b、c，则a、b、c的大小关系是________?（从小到大排列）
【答案】b＜a＜c
【考点】不等式比较大小
【解析】【解答】由题意方程f（x）=f'（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“萌点”， 对于函数g（x）=x，由于g′（x）=1，由可得x=1，即a=1， 对于函数h（x）=ln（x+1），由于h′（x）= ， 可得ln（x+1）= ， 分别画出函数y=ln（x+1）和y=的图象，如图所示 由图象可知0＜x＜1， 即0＜b＜1， 对于函数φ（x）=cosx（x∈（ ， π），由于φ′（x）=﹣sinx（x∈（ ， π），可得cosx=﹣sinx，x∈（ ， π）， 解得x= ， 即c=＞1， 综上b＜a＜c， 故答案为：b＜a＜c． 【分析】由题设中所给的定义，对三个函数所对应的方程进行研究，分别计算求出a，b，c的值或存在的大致范围，再比较出它们的大小即可．
28.设x∈R，则 与 的大小关系是________．
【答案】
【考点】不等式比较大小
【解析】【解答】解：由于x∈R，故x2≥0
①当x2=0时，则 显然成立；
②当x2＞0时，
则 =
当且仅当 时，等式成立．
故答案为： ．
【分析】利用基本不等式来解决．
29.设x＞1，﹣1＜y＜0，试将x，y，﹣y按从小到大的顺序排列如下：________
【答案】y＜﹣y＜x
【考点】不等式比较大小
【解析】【解答】解：∵﹣1＜y＜0，∴0＜﹣y＜1． 又x＞1， ∴x＞﹣y＞y． 故答案为：y＜﹣y＜x． 【分析】由﹣1＜y＜0，可得0＜﹣y＜1．即可判断出．
30.定义：min{x，y}为实数x，y中较小的数．已知﹛a,﹜，其中a，b 均为正实数，则h的最大值是________?．
【答案】
【考点】不等式比较大小
【解析】【解答】∵a，b 均为正实数，=≤ ， ∴当a≥ ， 即a≥时，≤ ， 即≤ ， ∴h=min{a，}=≤； 当0＜a＜时，h=min{a，}＜； 综上所述，h的最大值为 ． 故答案为： ． 【分析】由于a，b 均为正实数，=≤ ， 比较a与的大小即可求得h的最大值．
31.在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是________
【答案】（2，4）
【考点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：如图，设平面直角坐标系中任一点P， P到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和为：PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD， 故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点． ∵A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）， ∴AC，BD的方程分别为： ， ， 即2x﹣y=0，x+y﹣6=0． 解方程组 得Q（2，4）． 故答案为：（2，4）． 【分析】如图，设平面直角坐标系中任一点P，利用三角形中两边之和大于第三边得PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，从而得到四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．再利用两点式方程求解对角线所在的直线方程，联立方程组求交点坐标即可．
32.b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水更甜了，将这个事实用一个不等式表示为________?
【答案】
【考点】不等关系与不等式
【解析】【解答】∵b千克糖水中含a千克糖（0＜a＜b）时，糖水的“甜度”为 ， ∴若在该糖水中加入m（c＞0）千克糖，则此时的“甜度”是 ， 又∵糖水会更甜， ∴ 故答案为： 【分析】根据“甜度”的定义，先表示出“甜度”为的b千克糖水中加入m（m＞0）千克糖时的“甜度”：是 ， 再由“糖水会更甜”，可知此时糖水的“甜度”大于原来糖水的“甜度”，即 ．
33. + 和 + 中较大的为________
【答案】 +
【考点】不等式比较大小
【解析】【解答】解：（ + ）2=9+2 ，
（ + ）2=9+2 ，
∴（ + ）2＞（ + ）2 ，
∴ + ＞ + ，
故答案为： +
【分析】对每个数平方，再比较即可．
三、解答题
34.设f（x）=1+logx3，g（x）=2logx2，其中x＞0，x≠1，比较f（x）与g（x）的大小．
【答案】解：∵（x）=1+logx3，g（x）=2logx2， ∴f（x）﹣g（x）=1+logx3﹣2logx2=1+logx3﹣logx4=1+logx． 分类讨论：①若1+logx=0，即x= 时，此时f（x）=g（x）． ②若1+logx＜0，即logx＜﹣1，解得1 ，此时f（x）＜g（x）． ③若1+logx＞0，即logx＞﹣1，解得x＞ 或0＜x＜1，此时f（x）＞g（x）． 综上：①当x= 时，f（x）=g（x）． ②当1 ，时，f（x）＜g（x）． ③当x＞ 或0＜x＜1，时，f（x）＞g（x）
【考点】不等关系与不等式
【解析】【分析】利用作差法去判断两个函数的大小，通过作出将f（x）﹣g（x）转化为关于logx3为变量的函数，然后结合函数的性质去判断大小．
35.设Pn=（1﹣x）2n﹣1 ， Qn=1﹣（2n﹣1）x+（n﹣1）（2n﹣1）x2 ， x∈R，n∈N*
（1）当n≤2时，试指出Pn与Qn的大小关系；
（2）当n≥3时，试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论．
【答案】（1）解：当n=1时，Pn=1﹣x，Qn=1﹣x，则Pn=Qn； 当n=2，x=0时，Pn=1，Qn=1，则Pn=Qn； 当n=2，x＞0时，Pn=（1﹣x）3=1﹣3x+3x2﹣x3 ， Qn=1﹣3x+3x2 ， 则Pn﹣Qn=﹣x3＜0，所以Pn＜Qn； 当n=2，x＜0时，Pn﹣Qn=﹣x3＞0，所以Pn＞Qn （2）解：当n≥3时，①当x=0时，Pn=Qn； ②当x≠0时，令F（x）=1﹣（2n﹣1）x+（n﹣1）（2n﹣1）x2 ， 则F′（x）=﹣（2n﹣1）（1﹣x）2n﹣2+（2n﹣1）﹣2（n﹣1）（2n﹣1）x， F″（x）=（2n﹣1）（2n﹣2）（1﹣x）2n﹣3﹣2（n﹣1）（2n﹣1）=（2n﹣1）（2n﹣2）（1﹣x）2n﹣3﹣1． 当x＞0时，F″（x）＜0．F″（x）单调递减； 当x＜0时，F″（x）＞0．F″（x）单调递增； ∴F′（x）＜F′（0）=0， ∴F（x）单调递减； 当x＞0时，F（x）＜F（0）=0， 当x＜0时，F（x）＞F（0）=0， ∴当x＞0时，Pn＜Qn ． 当x＜0时，Pn＞Qn
【考点】不等式比较大小
【解析】【分析】（1）分n=1和n=2两种情况进行解答；（2）分类讨论：x=0，x＞0和x＜0三种情况．利用复合函数的单调性进行解答即可．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2017?山东）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（ ）
A.?a+ ＜ ＜log2（a+b））???????????????????????????B.?＜log2（a+b）＜a+ C.?a+ ＜log2（a+b）＜ ???????????????????????????????D.?log2（a+b））＜a+ ＜
【答案】B
【考点】不等式比较大小
【解析】【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1， ∴可取a=2，b= ． 则 = ， = = ，log2（a+b）= = ∈（1，2）， ∴ ＜log2（a+b）＜a+ ． 故选：B． 【分析】a＞b＞0，且ab=1，可取a=2，b= ．代入计算即可得出大小关系．
2.（2017?新课标Ⅰ卷）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z ， 则（ ）
A.?2x＜3y＜5z?????????????????????B.?5z＜2x＜3y?????????????????????C.?3y＜5z＜2x?????????????????????D.?3y＜2x＜5z
【答案】D
【考点】指数式与对数式的互化，对数的运算性质，对数值大小的比较，不等式比较大小
【解析】【解答】解：x、y、z为正数， 令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0． 则x= ，y= ，z= ． ∴3y= ，2x= ，5z= ． ∵ = = ， ＞ = ． ∴ ＞lg ＞ ＞0． ∴3y＜2x＜5z． 故选：D． 【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x= ，y= ，z= ．可得3y= ，2x= ，5z= ．根据 = = ， ＞ = ．即可得出大小关系．
3.（2016?浙江）已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则（ ）
A.?（a﹣1）（b﹣1）＜0????????????????????????????????????????B.?（a﹣1）（a﹣b）＞0 C.?（b﹣1）（b﹣a）＜0???????????????????????????????????????D.?（b﹣1）（b﹣a）＞0
【答案】D
【考点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：若a＞1，则由logab＞1得logab＞logaa，即b＞a＞1，此时b﹣a＞0，b＞1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0， 若0＜a＜1，则由logab＞1得logab＞logaa，即b＜a＜1，此时b﹣a＜0，b＜1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0， 综上（b﹣1）（b﹣a）＞0， 故选：D． 【分析】根据对数的运算性质，结合a＞1或0＜a＜1进行判断即可．本题主要考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．比较基础．
4.（2016?北京）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（ ）
A.?﹣ ＞0??????????????B.?sinx﹣siny＞0????????????C.?（ ）x﹣（ ）y＜0??????????????D.?lnx+lny＞0
【答案】C
【考点】不等关系与不等式
【解析】【解答】 .考查的是反比例函数 在 单调递减，所以 即 所以 错； .考查的是三角函数 在 单调性，不是单调的，所以不一定有 ， 错； .考查的是指数函数 在 单调递减，所以有 即 所以 对； .考查的是对数函数 的性质， ，当 时， 不一定有 ，所以 错 【分析】x，y∈R，且x＞y＞0，可得： ，sinx与siny的大小关系不确定， ＜ ，lnx+lny与0的大小关系不确定，即可判断出结论．
5.（2016?全国）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（ ）
A.?ac＜bc??????????????????????B.?abc＜bac??????????????????????C.?alogbc＜blogac??????????????????????D.?logac＜logbc
【答案】C
【考点】对数值大小的比较，不等式比较大小
【解析】【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1， ∴函数f（x）=xc在（0，+∞）上为增函数，故ac＞bc ， 故A错误； 函数f（x）=xc﹣1在（0，+∞）上为减函数，故ac﹣1＜bc﹣1 ， 故bac＜abc ， 即abc＞bac；故B错误；logac＜0，且logbc＜0，logab＜1， 即 = ＜1，即logac＞logbc．故D错误； 0＜﹣logac＜﹣logbc，故﹣blogac＜﹣alogbc，即blogac＞alogbc，即alogbc＜blogac，故C正确； 故选：C 【分析】根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案.本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数的单调性，是解答的关键．
二、解答题
6.（2017?新课标Ⅱ）[选修4-5：不等式选讲] 已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明： （Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4； （Ⅱ）a+b≤2．
【答案】证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（ + ）2=（a3+b3）2≥4， 当且仅当 = ，即a=b=1时取等号， （Ⅱ）∵a3+b3=2， ∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2， ∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2， ∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2， ∴ =ab， 由均值不等式可得： =ab≤（ ）2 ， ∴（a+b）3﹣2≤ ， ∴ （a+b）3≤2， ∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．
【考点】不等式比较大小，基本不等式，不等式的证明，二维形式的柯西不等式
【解析】【分析】（Ⅰ）由柯西不等式即可证明， （Ⅱ）由a3+b3=2转化为 =ab，再由均值不等式可得： =ab≤（ ）2 ， 即可得到 （a+b）3≤2，问题得以证明．
