2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第6章 第2节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
（学生版）
备战基础·零风险
1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．
3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线．
(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C>0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C<0.
(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
线性规划的有关概念
名称
意义
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件
目标函数
关于x，y的解析式
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足 的解(x，y)
可行域
所有 解组成的集合
最优解
使目标函数达到 或 的可行解
线性规划问题
求线性目标函数在线性约束条件下的 或 的问题
备战方法·巧解题
规律
方法
1．确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．
2．求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
3.二元一次不等式组所确定的平面区域是不等式组中各个不等式所表示的半平面区域的公共部分，画出平面区域的关键是把各个半平面区域确定准确，其基本方法是“直线定界、特殊点定域”．
4. (1)求目标函数最值的一般步骤为：一画、二移、三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．
(2)在约束条件是线性的情况下，线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值．在解答选择题或者填空题时可以根据可行域的顶点直接进行检验．
5. 含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．
6．平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)．
7．求最值：求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．最优解在顶点或边界取得．
8．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．
备战练习·固基石
一、单选题
1.若x，y满足约束条件 则z=3x+4y的最小值为（?? ）
A.?3??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?4??????????????????????????????????????????D.?
2.如图，在公路MN的两侧有四个村镇：A1、B1、C1、D1 ， 它们通过小路和公路相连，各路口分别是A，B，C，D，某燃气公司要在公路旁建一个调压站，并从调压站出发沿公路和各小路通过低压输配于管（每个村镇单独一条管道）将燃气送到各村镇，为使低压输配干管总长度最小，调压站应建在（ ）
A.?A旁??????? B.?D旁???????
C.?BC（含B、C）段公路旁的任一处???????D.?AB（含A、B）段公路旁旁的任一处
3.已知实数x,y满足条件 ， 则的最大值是（ ）
A.?9?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?3?????????????????????????????????????????D.?
4.若函数?的图像上存在点(x,y)，满足约束条件 ， 则实数m的最大值为（?）
A.????????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?2
5.设实数x和y满足约束条件 ， 则z=2x+3y的最小值为（???）
A.?26?????????????????????????????????????????B.?24?????????????????????????????????????????C.?16?????????????????????????????????????????D.?14
6.已知实数x，y满足 ， 则目标函数z=x﹣y的最小值为（ ）
A.?-2???????????????????????????????????????????B.?5???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?7
7.在平面直角坐标系中，不等式(a为常数)表示的平面区域的面积为8，则的最小值为（??）
A.??????????????????????????????????B.?????????????????C.??????????????????????????????????D.?
8.已知点的坐标满足条件 ， 那么的取值范围为（???）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
9.若实数 满足不等式组 ，设 ,则(???? ）
A.????????????????????????????????B.???????????????????C.????????????????????????????????D.?
10.设变量x，y满足约束条件 ， 则目标函数z=2x+3y+1的最大值为（??）
A.?11????????????????????????????????????????B.?10????????????????????????????????????????C.?9????????????????????????????????????????D.?8．5
11.如果实数x、y满足条件 ，那么2x﹣y的最大值为（?? ）
A.?2?????????????????????????????????????????B.?1?????????????????????????????????????????C.?﹣2?????????????????????????????????????????D.?﹣3
12.变量x,y满足约束条件,则的最大值(?? )
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?8
13.设x,y满足若目标函数的最大值为14，则a=（??）
A.?1??????????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????????C.?23??????????????????????????????????????????D.?
14.已知实数x，y满足 ，则|3x+y|的最大值为（?? ）
A.?5???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
15.已知实数x，y满足： ，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是（?? ）
A.?[ ，5]?????????????????????????????B.?[0，5]?????????????????????????????C.?[0，5）?????????????????????????????D.?[ ，5）
16.已知O为坐标原点，点A的坐标是（3，0），点P（x，y）在不等式组所确定的区域内（包括边界）上运动，则的范围是（ ）
A.?[4，10]??????????????????????????????B.?[6，9]???????????????????????????????C.?[6，10]??????????????????????????????D.?[9，10]
17.已知变量x，y满足则的值范围是(???? )
A.??????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
18.若实数x，y满足约束条件 ，则目标函数z=3x+y的最大值为（?? ）
A.?6????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?﹣1
19.设x,y满足约束条件则目标函数的最大值是（ ）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?8
二、填空题
20.设 ，实数 满足 ?若 的最大值是0，则实数 =________， 的最小值是________．
21.若实数x，y满足 ，则y的最大值为________， 的取值范围是________．
22.直角坐标平面内能完全“覆盖”区域Ω：的最小圆的方程为________?
23.若满足条件的点P（x，y）构成三角形区域，则实数k的取值范围是________?
24.已知 满足约束条件 ，则 的取值范围是________
25.已知x，y满足 ，且z=2x﹣y的最大值是最小值的﹣2倍，则a的值是________．
26.为了活跃学生课余生活，我校高三年级部计划使用不超过1200元的资金购买单价分别为90元、120元的排球和篮球．根据需要，排球至少买3个，篮球至少买2个，并且排球的数量不得超过篮球数量的2倍，则能买排球和篮球的个数之和的最大值是________．
27.若x，y满足 且z=x2+y2的最大值为10，则m=________．
28.如果实数x，y满足条件 ， 若z=的最小值小于0，则实数a的取值范围是________?
三、解答题
29.已知函数 ．
（1）若 ，且 ，求 的最大值；
（2）当 时， 恒成立，且 ，求 的取值范围．
30.已知点（x，y）是区域 ， （n∈N*）内的点，目标函数z=x+y，z的最大值记作zn ． 若数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，且点（Sn ， an）在直线zn=x+y上．
（Ⅰ）证明：数列{an﹣2}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{Sn}的前n项和Tn ．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?天津）设变量x ， y满足约束条件 则目标函数 的最大值为（ ??）
A.?6?????????????????????????????????????????B.?19?????????????????????????????????????????C.?21?????????????????????????????????????????D.?45
2.（2017?山东）已知x，y满足约束条件 ，则z=x+2y的最大值是（ ）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?6
3.（2017?新课标Ⅲ）设x，y满足约束条件 则z=x﹣y的取值范围是（ ）
A.?[﹣3，0]??????????????????????????????B.?[﹣3，2]??????????????????????????????C.?[0，2]??????????????????????????????D.?[0，3]
4.（2017·天津）设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数z=x+y的最大值为（ ）
A.????????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?3
5.（2017·山东）已知x，y满足约束条件 则z=x+2y的最大值是（ ）
A.?﹣3?????????????????????????????????????????B.?﹣1?????????????????????????????????????????C.?1?????????????????????????????????????????D.?3
6.（2017?浙江）若x、y满足约束条件 ，则z=x+2y的取值范围是（??? ）
A.?[0，6]?????????????????????????????B.?[0，4]?????????????????????????????C.?[6，+∞）?????????????????????????????D.?[4，+∞）
7.（2017?北京卷）若x，y满足 ，则x+2y的最大值为（ ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?9
8.（2017?新课标Ⅰ卷）设x，y满足约束条件 ，则z=x+y的最大值为（ ）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
9.（2017?新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件 ，则z=2x+y的最小值是（??? ）
A.?﹣15????????????????????????????????????????B.?﹣9????????????????????????????????????????C.?1????????????????????????????????????????D.?9
10.（2016?天津）某化工厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料，生产1扯皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示：
配料?????????? 原料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车品乙种肥料，产生的利润为3万元、分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（2）问分别生产甲、乙两种肥料，求出此最大利润．
11.（2016?浙江）若平面区域 ，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
12.（2016?浙江）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域 中的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=（ ）
A.?2 ???????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????C.?3 ???????????????????????????????????????D.?6
13.（2016?天津）设变量x ， y满足约束条件 则目标函数 的最小值为(? )
A.??????????????????????????????????????????B.?6?????????????????????????????????????????C.?10?????????????????????????????????????????D.?17
14.（2016?北京）若x,y满足 ，则2x+y的最大值为（? ）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?5
15.（2016?北京）已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y的最大值为（ ）
A.?﹣1??????????????????????????????????????????B.?3??????????????????????????????????????????C.?7??????????????????????????????????????????D.?8
16.（2016?山东）若变量x，y满足 ，则x2+y2的最大值是（ ）
A.?4??????????????????????????????????????????B.?9??????????????????????????????????????????C.?10??????????????????????????????????????????D.?12
17.（2016?四川）设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足 ，则p是q的（ ）
A.?必要不充分条件?????????????B.?充分不必要条件?????????????C.?充要条件?????????????D.?既不充分也不必要条件
二、填空题
18.（2018?卷Ⅰ）若 ， 满足约束条件 则 的最大值为________.
19.（2018?浙江）若 满足约束条件 则 的最小值是________，最大值是________．
20.（2018?卷Ⅱ）若x,y满足约束条件 ，则 的最大值为________.
21.（2018?卷Ⅲ）若变量 满足约束条件 ，则 的最大值是________。
22.（2018?北京）若x,y满足x+1 y 2x,则2y-x的最小值是________.
23.（2017?新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件 ，则z=3x﹣4y的最小值为________ ?
24.（2017?北京卷）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （i）男学生人数多于女学生人数； （ii）女学生人数多于教师人数； （iii）教师人数的两倍多于男学生人数． ①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________． ②该小组人数的最小值为________．
25.（2017?新课标Ⅰ卷）设x，y满足约束条件 ，则z=3x﹣2y的最小值为________．
26.（2016?上海）若 满足 ?则 的最大值为________．
27.（2016?全国）若x，y满足约束条件 ，则z=x+y的最大值为________．
28.（2016?江苏）已知实数x ， y满足 ，则x2+y2的取值范围是________.
29.（2016?全国）若x，y满足约束条件 ，则z=x﹣2y的最小值为________．
30.（2016?全国）设x，y满足约束条件 ，则z=2x+3y﹣5的最小值为________．
31.（2016?全国）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
三、解答题
32.（2017?天津）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放时长（分钟）
广告播放时长（分钟）
收视人次（万）
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（13分） （I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第6章 第2节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
（教师版）
备战基础·零风险
1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．
3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线．
(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C>0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C<0.
(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
线性规划的有关概念
名称
意义
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件
目标函数
关于x，y的解析式
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数达到最大值或最小值的可行解
线性规划问题
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题
备战方法·巧解题
规律
方法
1．确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．
2．求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
3.二元一次不等式组所确定的平面区域是不等式组中各个不等式所表示的半平面区域的公共部分，画出平面区域的关键是把各个半平面区域确定准确，其基本方法是“直线定界、特殊点定域”．
4. (1)求目标函数最值的一般步骤为：一画、二移、三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．
(2)在约束条件是线性的情况下，线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值．在解答选择题或者填空题时可以根据可行域的顶点直接进行检验．
5. 含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．
6．平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)．
7．求最值：求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．最优解在顶点或边界取得．
8．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．
备战练习·固基石
一、单选题
1.若x，y满足约束条件 则z=3x+4y的最小值为（?? ）
A.?3??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?4??????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】解：先根据约束条件 画出可行域， 设z=3x+4y， 将最大值转化为y轴上的截距， 当直线z=3x+4y经过点B时，z最大，由 可得B（0，0） 最大值是：3×0+4×1=4． 故选：C． 【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=3x+4y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=3x+4y过可行域内的点A时，从而得到z值即可．
2.如图，在公路MN的两侧有四个村镇：A1、B1、C1、D1 ， 它们通过小路和公路相连，各路口分别是A，B，C，D，某燃气公司要在公路旁建一个调压站，并从调压站出发沿公路和各小路通过低压输配于管（每个村镇单独一条管道）将燃气送到各村镇，为使低压输配干管总长度最小，调压站应建在（ ）
A.?A旁??????? B.?D旁???????
C.?BC（含B、C）段公路旁的任一处???????D.?AB（含A、B）段公路旁旁的任一处
【答案】C
【考点】简单线性规划的应用
【解析】【解答】由于四个村镇到路口A、B、C、D的距离是固定的， 故为使低压输配干管总长度最小，只需使其到A、B、C、D四地的距离和最小， 又调压站在A、D之间时的总路程和一定比调压站在A、D之外要小， 所以应建在A、D之间， 又由于这时A与D到调压站的总路程和就为AD，故只需使调压站到B、C两地的距离最小即可， 故应建在B、C间的任何一处（包括B、C）． 故选项为C． 【分析】通过分析法将总长度最小转化为到A，B，C，D四地的距离和最小，通过分析进一步转化为应建在A，D之间．
3.已知实数x,y满足条件 ， 则的最大值是（ ）
A.?9?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?3?????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，直线的斜率
【解析】【解答】设P(x,y),A（-1,-1),则,作出不等式表示的可行域可知的最大值为4,所以的最大值为. 【分析】本小题第一步是正确作出可行域，然后关键是把目标函数转化为， 利用斜率求解即可.
4.若函数?的图像上存在点(x,y)，满足约束条件 ， 则实数m的最大值为（?）
A.????????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?2
【答案】B
【考点】函数的值域，对数函数的图像与性质，简单线性规划
【解析】【解答】 依题意，直线与对数函数的图象交于， 如图，要实数取得最大值，必须直线经过点， 即在直线的位置，所以实数取得最大值为1.选B.
5.设实数x和y满足约束条件 ， 则z=2x+3y的最小值为（???）
A.?26?????????????????????????????????????????B.?24?????????????????????????????????????????C.?16?????????????????????????????????????????D.?14
【答案】D
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】作出表示的平面区域如图所示： 由图可知，当直线过点时，取最大值，最大值为.
6.已知实数x，y满足 ， 则目标函数z=x﹣y的最小值为（ ）
A.?-2???????????????????????????????????????????B.?5???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?7
【答案】A
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】如图作出阴影部分即为满足约束条件 的可行域， 由得A（3，5）， 当直线z=x﹣y平移到点A时，直线z=x﹣y在y轴上的截距最大，即z取最小值， 即当x=3，y=5时，z=x﹣y取最小值为﹣2． 故选A． 【分析】先画出约束条件 的可行域，再将可行域中各个角点的值依次代入目标函数z=x﹣y，不难求出目标函数z=x﹣y的最小值．
7.在平面直角坐标系中，不等式(a为常数)表示的平面区域的面积为8，则的最小值为（??）
A.??????????????????????????????????B.???????????????????C.??????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】简单线性规划的应用
【解析】【解答】根据题意，由于平面直角坐标系中，不等式为常数表示的平面区域的面积为8，那么结合图像可知S=， 那么所求解的目标函数可变形为， 表示的为区域内点到（-3，1)的斜率的范围加上1的范围即可，结合条件可知()与（-3，1)的连线的斜率为最小值,选B. 【分析】解决该试题的关键是利用不等式组表示的平面区域，然后结合面积得到参数a的值，进而求解区域内殿到定点的斜率的几何意义，中档题。
8.已知点的坐标满足条件 ， 那么的取值范围为（???）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，点到直线的距离公式
【解析】【分析】依题意，不等式组表示的平面区域是阴影部分，直角三角形， 易知， 直线的方程为， 表示阴影部分内的点到的距离的平方，由图知，的长的平方是最大值，即， 而点到直线的距离的平方为， 故的取值范围为， 选D.
9.若实数 满足不等式组 ，设 ,则(???? ）
A.????????????????????????????????B.??????????????C.????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】作出可行域区域，如图
由 解得
故答案为：
【分析】根据不等式作出可行域之后，讨论目标函数在可行域中的取值情况。
10.设变量x，y满足约束条件 ， 则目标函数z=2x+3y+1的最大值为（??）
A.?11????????????????????????????????????????B.?10????????????????????????????????????????C.?9????????????????????????????????????????D.?8．5
【答案】B
【考点】简单线性规划的应用
【解析】【分析】不等式表示的可行域如图（阴影)： 内部及边界；作直线将该直线平移到点， 此时取最大值，最大值是故选B
11.如果实数x、y满足条件 ，那么2x﹣y的最大值为（?? ）
A.?2?????????????????????????????????????????B.?1?????????????????????????????????????????C.?﹣2?????????????????????????????????????????D.?﹣3
【答案】B
【考点】简单线性规划的应用
【解析】【解答】解：先根据约束条件画出可行域， 当直线2x﹣y=t过点A（0，﹣1）时， t最大是1， 故选B． 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．
12.变量x,y满足约束条件,则的最大值(?? )
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?8
【答案】D
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】求出三条直线每两条的交点、和， 将三交点代入得三个z值：2、1和8，则的最大值。故选D 【分析】线性规划一般作为选择题和填空题，因而可用特殊法。大家用常规方法求这类题目会发现，目标函数取得最值一定是在交点处，所以本题先将不等式变成直线，求出交点，再代入目标函数，得到的值就有最大者跟最小值。
13.设x,y满足若目标函数的最大值为14，则a=（??）
A.?1??????????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????????C.?23??????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】题中约束条件的可行域如下图所示，易知目标函数在图中A点取得最大值， 所以， 故选B.
14.已知实数x，y满足 ，则|3x+y|的最大值为（?? ）
A.?5???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
【答案】C
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】解：实数x，y满足 的可行域如图： 则|3x+y|的最大值就是平移图中的两条虚线，可知B是最优解， 由： ，解得B（2，1）， 则|3x+y|的最大值为：3×2+1=7． 故选：C． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解表达式的最大值即可．
15.已知实数x，y满足： ，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是（?? ）
A.?[ ，5]?????????????????????????????B.?[0，5]?????????????????????????????C.?[0，5）?????????????????????????????D.?[ ，5）
【答案】C
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】解：由约束条件 作可行域如图， 联立 ，解得 ， ∴A（2，﹣1）， 联立 ，解得 ， ∴ ． 令u=2x﹣2y﹣1， 则 ， 由图可知，当 经过点A（2，﹣1）时，直线 在y轴上的截距最小， u最大，最大值为u=2×2﹣2×（﹣1）﹣1=5； 当 经过点 时，直线 在y轴上的截距最大， u最小，最小值为u= ． ∴ ， ∴z=|u|∈[0，5）． 故选：C． 【分析】由约束条件作出可行域如图，令u=2x﹣2y﹣1，由线性规划知识求出u的最值，取绝对值求得z=|u|的取值范围．
16.已知O为坐标原点，点A的坐标是（3，0），点P（x，y）在不等式组所确定的区域内（包括边界）上运动，则的范围是（ ）
A.?[4，10]??????????????????????????????B.?[6，9]???????????????????????????????C.?[6，10]??????????????????????????????D.?[9，10]
【答案】C
【考点】简单线性规划的应用
【解析】【解答】解：由题意可得A（3，0），B（2，2），C（0，3） 可行域是如图所示的△ABC区域（包括边界） 因为=2x+3y 令z=2x+3y，如图平行移动直线z=2x+3y，当直线z=2x+3y过A（3，0）时，z取得最小值，此时z=6， 当直线z=2x+3y过B（2，2）时，Z取得最大值10， ∴ 故选C． 【分析】作出不等式组表示的可行域，由=2x+3y，令z=2x+3y，结合z的几何意义可求z的最大与最小值，即可求解
17.已知变量x，y满足则的值范围是(???? )
A.??????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】画出约束条件所表示的平面区域可知，该区域是由点所围成的三角形区域（包括边界），， 记点， 得， ， 所以的取值范围是.选A.
18.若实数x，y满足约束条件 ，则目标函数z=3x+y的最大值为（?? ）
A.?6????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?﹣1
【答案】A
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】解：由约束条件 得如图所示的三角形区域， 三个顶点坐标为A（2，0）， 解得B（ ， ），C（0，﹣1） 将三个代入z=3x+y得z的值分别为6， ，﹣1， 直线z=3x+y过点A （2，0）时，z取得最大值为6； 故选：A． 【分析】先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数z=3x+y的最大值．
19.设x,y满足约束条件则目标函数的最大值是（ ）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?8
【答案】C
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】由约束不等式组画图得可行域如图阴影区域，将目标函数变形为的几何意义为直线的纵截距，由图可知，当直线过时取最大值，此时． 故选C．
二、填空题
20.设 ，实数 满足 ?若 的最大值是0，则实数 =________， 的最小值是________．
【答案】 ；
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划
【解析】【解答】作出实数 表示的平面区域如图所示，由图知当目标函数 经过点 时取得最大值，即 ，解得 ；当目标函数 经过点 时取得最小值，所以 ．
【分析】画出满足条件的平面区域，根据z的最大值是0，求出k的值，从而求出z的最小值即可．
21.若实数x，y满足 ，则y的最大值为________， 的取值范围是________．
【答案】2；[ ， ]
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】解：作出不等式组 ，对应的平面区域如图： 可知A的纵坐标取得最大值：2． ∵z= ，则z的几何意义为区域内的点到定点D（﹣2，﹣1）的斜率， 由图象知BD的斜率最小，AD的斜率最大，则z的最大为： = ，最小为： = ， 即 ≤z≤ ， 则z= ，的取值范围是[ ， ]， 故答案为：2；[ ， ]． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．
22.直角坐标平面内能完全“覆盖”区域Ω：的最小圆的方程为________?
【答案】（x+1）2+（y﹣2）2=25
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】由作可行域如图，
联立， 解得A（﹣1，﹣3）．
联立， 解得B（4，2）．
联立， 解得C（﹣6，2）．
∴AB的垂直平分线方程为x+y﹣1=0．
BC的垂直平分线方程为x=﹣1．
联立， 解得△ABC的外接圆的圆心为（﹣1，2）．
半径为．
∴△ABC的外接圆的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=25．
故答案为：（x+1）2+（y﹣2）2=25．
【分析】由约束条件作出可行域，得到可行域为三角形及其内部区域，然后求解三角形的外接圆方程即可．
23.若满足条件的点P（x，y）构成三角形区域，则实数k的取值范围是________?
【答案】（﹣∞，﹣1）
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】作出不等式组对应的平面区域，如图示： 直线kx﹣y﹣2k+1=0得k（x﹣2）+1﹣y=0，则直线过定点（2，1）， 当直线k（x﹣2）+1﹣y=0与x+y﹣2=0平行时，即k=﹣1时，此时对应的平面区域不是三角形， ∴要使对应的平面区域是三角形， 则k（x﹣2）+1﹣y=0与x+y﹣2=0在第一象限内相交，即k＜﹣1， 故答案为：（﹣∞，﹣1）． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据平面区域是三角形，即可确定k的取值范围．
24.已知 满足约束条件 ，则 的取值范围是________
【答案】
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域
【解析】【解答】如图所示： 过定点（-1，-1）的直线的斜率的范围是
【分析】首先根据题画出可行域，根据目标方程求出其取值范围。
25.已知x，y满足 ，且z=2x﹣y的最大值是最小值的﹣2倍，则a的值是________．
【答案】
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】解：由约束条件 ，作出可行域如图， 联立 ，得B（a，2﹣a）， 联立 ，得A（1，1）， 化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z， 由图可知zmax=2×1﹣1=1，zmin=2a﹣2+a=3a﹣2， 由 ，解得：a= 故答案为： ． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得到z的最值，再由z=2x+y的最大值是最小值的2倍列式求得a值．
26.为了活跃学生课余生活，我校高三年级部计划使用不超过1200元的资金购买单价分别为90元、120元的排球和篮球．根据需要，排球至少买3个，篮球至少买2个，并且排球的数量不得超过篮球数量的2倍，则能买排球和篮球的个数之和的最大值是________．
【答案】12
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】解：设买排球x个，篮球y个，买排球和篮球的个数之和z=x+y． 则 ， 由约束条件作出可行域如图： 联立 ，解得A（8，4）， 化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知， 当直线y=﹣x+z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为12． 故答案为：12． 【分析】设买排球x个，篮球y个，由题意列关于x，y的不等式组，作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
27.若x，y满足 且z=x2+y2的最大值为10，则m=________．
【答案】4
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图: 则k＞1， 则z的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方 由图象知，O到A的距离最大， ∵z=x2+y2的最大值为10， 由 ，解得A（m﹣1，1）， 则OA= = 即m2﹣2m+2=10， 即m2﹣2m﹣8=0，解得m=4或m=﹣2（舍）， 故m=4， 故答案为：4． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．
28.如果实数x，y满足条件 ， 若z=的最小值小于0，则实数a的取值范围是________?
【答案】a＞
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则a大于C点的横坐标，
则z=的几何意义是区域内的点到定点（0，﹣1）的斜率，
则OA的斜率最小，由， 即A（a，2﹣2a），
∵z=的最小值小于0，
∴此时＜0，得a＞或a＜0（舍），
故答案为：a＞ ．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，建立条件关系进行求解即可．
三、解答题
29.已知函数 ．
（1）若 ，且 ，求 的最大值；
（2）当 时， 恒成立，且 ，求 的取值范围．
【答案】（1）解：∵ ， ， ∴ ，即 ，∴ ， ， ， ∵ ， ，当且仅当 时等号成立， 即 （2）解：∵当 时， 恒成立，且 ， ∴ ，且 ，即 ， 满足此不等式组的点 构成图中的阴影部分， 由图可得，经过两点 与 的直线的斜率的取值范围是 ， ∴ 的取值范围是
【考点】简单线性规划，基本不等式在最值问题中的应用，斜率的计算公式
【解析】【分析】(1)由条件得到 a + b = 8,由基本不等式求ab的最大值 ; (2)由当 x ∈ [ 0 , 1 ] 时， f ( x ) ≤ 1 恒成立即f(0) ≤ 0,f(1) ≤ 1,和2 a + 3 b ≥ 3 构成约束条件,作出平面区域, 由 z = b + 1 a + 1 + 1 的几何意义是点P(x,y)与点(-1,-1)的连线的斜率加上1,求出范围.
30.已知点（x，y）是区域 ， （n∈N*）内的点，目标函数z=x+y，z的最大值记作zn ． 若数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，且点（Sn ， an）在直线zn=x+y上．
（Ⅰ）证明：数列{an﹣2}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{Sn}的前n项和Tn ．
【答案】解：（Ⅰ）∵目标函数对应直线l：z=x+y，
区域 ， （n∈N*）表示以x轴、y轴和直线x+2y=2n为三边的三角形，
∴当x=2n，y=0时，z的最大值zn=2n
∵（Sn ， an）在直线zn=x+y上
∴zn=Sn+an ， 可得Sn=2n﹣an ，
当n≥2时，可得an=Sn﹣Sn﹣1=（2n﹣an）﹣[2（n﹣1）﹣an﹣1]
化简整理，得2an=an﹣1+2
因此，an﹣2=（an﹣1+2）﹣2=（an﹣1﹣2）
当n=1时，an﹣2=a1﹣2=﹣1
∴数列{an﹣2}是以﹣1为首项，公比q=的等比数列；
（Ⅱ）由（I）得an﹣2=﹣（）n﹣1 ，
∴an=2﹣（）n﹣1 ， 可得Sn=2n﹣an=2n﹣2+（）n﹣1 ，
∴根据等差数列和等比数列的求和公式，得
即数列{Sn}的前n项和Tn= ， （n∈N*）．
【考点】简单线性规划
【解析】【分析】（I）根据线性规划原理，可得z的最大值zn=2n，从而得到Sn=2n﹣an ． 运用数列前n项和Sn与an的关系，算出2an=an﹣1+2，由此代入数列{an﹣2}再化简整理，即可得到{an﹣2}是以﹣1为首项，公比q=的等比数列；
????????? （II）由（I）结合等比数列通项公式，得出an=2﹣（）n﹣1 ， 从而得到Sn=2n﹣2+（）n﹣1 ， 结合等差数列和等比数列的求和公式，即可算出{Sn}的前n项和Tn的表达式。
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?天津）设变量x ， y满足约束条件 则目标函数 的最大值为（ ??）
A.?6?????????????????????????????????????????B.?19?????????????????????????????????????????C.?21?????????????????????????????????????????D.?45
【答案】C
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】解:将 平移至-x+y=1与x+y=5的交点（2,3）时， 故答案为：C 【分析】先画出可行域，再将目标函数平移至点（2,3）时z有最大值.
2.（2017?山东）已知x，y满足约束条件 ，则z=x+2y的最大值是（ ）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?6
【答案】C
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划
【解析】【解答】解：画出约束条件 表示的平面区域，如图所示； 由 解得A（﹣3，4）， 此时直线y=﹣ x+ z在y轴上的截距最大， 所以目标函数z=x+2y的最大值为 zmax=﹣3+2×4=5． 故选：C． 【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据图形找出最优解是 由 解得的点A的坐标， 代入目标函数求出最大值．
3.（2017?新课标Ⅲ）设x，y满足约束条件 则z=x﹣y的取值范围是（ ）
A.?[﹣3，0]??????????????????????????????B.?[﹣3，2]??????????????????????????????C.?[0，2]??????????????????????????????D.?[0，3]
【答案】B
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域
【解析】【解答】解：x，y满足约束条件 的可行域如图： 目标函数z=x﹣y，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值， 由 解得A（0，3）， 由 解得B（2，0）， 目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣3， 目标函数的取值范围：[﹣3，2]． 故选：B． 【分析】画出约束条件的可行域，结合平移过程，求解目标函数的范围即可．
4.（2017·天津）设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数z=x+y的最大值为（ ）
A.????????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?3
【答案】D
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划
【解析】【解答】解：变量x，y满足约束条件 的可行域如图： 目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值， 由 可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3． 故选：D． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．
5.（2017·山东）已知x，y满足约束条件 则z=x+2y的最大值是（ ）
A.?﹣3?????????????????????????????????????????B.?﹣1?????????????????????????????????????????C.?1?????????????????????????????????????????D.?3
【答案】D
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划
【解析】【解答】解：x，y满足约束条件 的可行域如图： 目标函数z=x+2y经过可行域的A时，目标函数取得最大值， 由： 解得A（﹣1，2）， 目标函数的最大值为：﹣1+2×2=3． 故选：D． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．
6.（2017?浙江）若x、y满足约束条件 ，则z=x+2y的取值范围是（??? ）
A.?[0，6]?????????????????????????????B.?[0，4]?????????????????????????????C.?[6，+∞）?????????????????????????????D.?[4，+∞）
【答案】D
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划
【解析】【解答】解：x、y满足约束条件 ，化简得 表示的可行域如图： 由图可知，该可行域为以开放区域，目标函数z=x+2y经过点（2，1）时，函数取得最小值，最小值为4，无最大值， 所以目标函数的范围是[4，+∞）． 故选：D． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．
7.（2017?北京卷）若x，y满足 ，则x+2y的最大值为（ ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?9
【答案】D
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划
【解析】【解答】解：x，y满足 的可行域如图： 由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由 ，可得A（3，3）， 目标函数的最大值为：3+2×3=9． 故选：D． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可．
8.（2017?新课标Ⅰ卷）设x，y满足约束条件 ，则z=x+y的最大值为（ ）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
【答案】D
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划
【解析】【解答】解：x，y满足约束条件 的可行域如图： ， 则z=x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值， 由 解得A（3，0）， 所以z=x+y 的最大值为：3． 故选：D． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可．
9.（2017?新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件 ，则z=2x+y的最小值是（??? ）
A.?﹣15????????????????????????????????????????B.?﹣9????????????????????????????????????????C.?1????????????????????????????????????????D.?9
【答案】A
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划
【解析】【解答】解：x、y满足约束条件 的可行域如图： z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值， 由 解得A（﹣6，﹣3）， 则z=2x+y 的最小值是：﹣15． 故选：A． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可．
10.（2016?天津）某化工厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料，生产1扯皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示：
配料?????????? 原料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车品乙种肥料，产生的利润为3万元、分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（2）问分别生产甲、乙两种肥料，求出此最大利润．
【答案】（1）解：x，y满足的条件关系式为： ． 作出平面区域如图所示： （2）解：设利润为z万元，则z=2x+3y． ∴y=﹣ x+ ． ∴当直线y=﹣ x+ 经过点B时，截距 最大，即z最大． 解方程组 得B（20，24）． ∴z的最大值为2×20+3×24=112． 答：当生产甲种肥料20吨，乙种肥料24吨时，利润最大，最大利润为112万元
【考点】简单线性规划的应用
【解析】【分析】（1）根据原料的吨数列出不等式组，作出平面区域；（2）令利润z=2x+3y，则y=﹣ ，结合可行域找出最优解的位置，列方程组解出最优解．；本题考查了简单的线性规划的应用，抽象概括能力和计算求解能力，属于中档题．
11.（2016?浙江）若平面区域 ，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】解：作出平面区域如图所示： ∴当直线y=x+b分别经过A，B时，平行线间的距离相等． 联立方程组 ，解得A（2，1），联立方程组 ，解得B（1，2）． 两条平行线分别为y=x﹣1，y=x+1，即x﹣y﹣1=0，x﹣y+1=0． ∴平行线间的距离为d= = ， 故选：B． 【分析】作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算距离．本题考查了平面区域的作法，距离公式的应用，属于基础题．
12.（2016?浙江）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域 中的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=（ ）
A.?2 ???????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????C.?3 ???????????????????????????????????????D.?6
【答案】C
【考点】简单线性规划的应用
【解析】【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）， 区域内的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成线段R′Q′，即SAB， 而R′Q′=PQ， 由 得 ，即Q（﹣1，1），由 得 ，即R（2，﹣2），则|AB|=|QB|= = =3 ， 故选：C 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义以及数形结合是解决本题的关键．
13.（2016?天津）设变量x ， y满足约束条件 则目标函数 的最小值为(? )
A.??????????????????????????????????????????B.?6?????????????????????????????????????????C.?10?????????????????????????????????????????D.?17
【答案】B
【考点】简单线性规划
【解析】解：作出不等式组 表示的可行域， 如右图中三角形的区域， 作出直线l0：2x+5y=0，图中的虚线， 平移直线l0 ， 可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6． 故选：B． 【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出直线l0：2x+5y=0，平移直线l0 ， 可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6. 本题考查简单线性规划的应用，涉及二元一次不等式组表示的平面区域，关键是准确作出不等式组表示的平面区域．
14.（2016?北京）若x,y满足 ，则2x+y的最大值为（? ）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?5
【答案】C
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为 ，最大值为 . 【分析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义是直线的纵截距，利用数形结合即可求z的取值范围．
15.（2016?北京）已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y的最大值为（ ）
A.?﹣1??????????????????????????????????????????B.?3??????????????????????????????????????????C.?7??????????????????????????????????????????D.?8
【答案】C
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】解：如图A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上， 令z=2x﹣y，则平行y=2x﹣z当直线经过B时截距最小，Z取得最大值， 可得2x﹣y的最大值为：2×4﹣1=7． 故选：C． 【分析】平行直线z=2x﹣y，判断取得最值的位置，求解即可．；本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数经过的点，是解题的关键．
16.（2016?山东）若变量x，y满足 ，则x2+y2的最大值是（ ）
A.?4??????????????????????????????????????????B.?9??????????????????????????????????????????C.?10??????????????????????????????????????????D.?12
【答案】C
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】解：由约束条件? 作出可行域如图， ∵A（0，﹣3），C（0，2）， ∴|OA|＞|OC|， 联立? ，解得B（3，﹣1）．∵? ， ∴x2+y2的最大值是10． 故选：C． 【分析】由约束条件作出可行域，然后结合x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2的最大值．；本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．
17.（2016?四川）设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足 ，则p是q的（ ）
A.?必要不充分条件?????????????B.?充分不必要条件?????????????C.?充要条件???????????D.?既不充分也不必要条件
【答案】A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，简单线性规划的应用
【解析】【解答】解：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1，1）为圆心，以 为半径的圆内区域（包括边界）； 满足? 的可行域如图有阴影部分所示， 故p是q的必要不充分条件， 故选：A 【分析】画出p，q表示的平面区域，进而根据充要条件的定义，可得答案．；本题考查的知识是线性规划的应用，圆的标准方程，充要条件，难度中档．
二、填空题
18.（2018?卷Ⅰ）若 ， 满足约束条件 则 的最大值为________.
【答案】6
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】解：z=3x+2y,过点A（2,0）时，zmax=3 2+2 0=6. 【分析】作出平面区域,平移目标直线,得到最优解,求出最大值.
19.（2018?浙江）若 满足约束条件 则 的最小值是________，最大值是________．
【答案】-2；8
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】详解：作可行域，如图中阴影部分所示，则直线 过点A(2,2)时 取最大值8，过点B(4,-2)时 取最小值-2. 【分析】】作出题中不等式组表示的平面区域，将目标函数z=x+3y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，然后求解最优解得到结果．
20.（2018?卷Ⅱ）若x,y满足约束条件 ，则 的最大值为________.
【答案】9
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】依题意：画出可行域
当z=x+y，过点A（5,4）时，z有最大值zmax=9 故答案为：9 【分析】先画出可行域，由线性目标函数经过区域可得 。
21.（2018?卷Ⅲ）若变量 满足约束条件 ，则 的最大值是________。
【答案】3
【考点】简单线性规划，简单线性规划的应用
【解析】【解答】 经过图中直线 , Zmax=2+=3
【分析】画出可行域，平移目标函数.
22.（2018?北京）若x,y满足x+1 y 2x,则2y-x的最小值是________.
【答案】3
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】解：目标函数Z=2y-x过点A时，Z有最小值， 又 ， ∴ 。 故答案为：3 【分析】由线性约束条件画出可行域，目标函数过点A时，Z有最小值。
23.（2017?新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件 ，则z=3x﹣4y的最小值为________ ?
【答案】﹣1
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划
【解析】【解答】解：由z=3x﹣4y，得y= x﹣ ，作出不等式对应的可行域（阴影部分）， 平移直线y= x﹣ ，通过平移可知当直线y= x﹣ ， 经过点B（1，1）时，直线y= x﹣ 在y轴上的截距最大，此时z取得最小值， 将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1， 即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1． 故答案为：﹣1． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合平移过程，求目标函数z=3x﹣4y的最小值．
24.（2017?北京卷）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （i）男学生人数多于女学生人数； （ii）女学生人数多于教师人数； （iii）教师人数的两倍多于男学生人数． ①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________． ②该小组人数的最小值为________．
【答案】6；12
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】解：①设男学生女学生分别为x，y人， 若教师人数为4， 则 ，即4＜y＜x＜8， 即x的最大值为7，y的最大值为6， 即女学生人数的最大值为6． ②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z， 则 ，即z＜y＜x＜2z 即z最小为3才能满足条件， 此时x最小为5，y最小为4， 即该小组人数的最小值为12， 故答案为：6，12 【分析】①设男学生女学生分别为x，y人，若教师人数为4，则 ，进而可得答案； ②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z，则 ，进而可得答案；
25.（2017?新课标Ⅰ卷）设x，y满足约束条件 ，则z=3x﹣2y的最小值为________．
【答案】-5
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】解：由x，y满足约束条件 作出可行域如图， 由图可知，目标函数的最优解为A， 联立 ，解得A（﹣1，1）． ∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5． 故答案为：﹣5． 【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．
26.（2016?上海）若 满足 ?则 的最大值为________．
【答案】﹣2
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】由不等式组画出可行域，如图，令 ，当直线 经过点 时， 取得最大值，且为 ．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．
27.（2016?全国）若x，y满足约束条件 ，则z=x+y的最大值为________．
【答案】
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由 得D（1， ），所以z=x+y的最大值为1+ ；
故答案为： ． 【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．
28.（2016?江苏）已知实数x ， y满足 ，则x2+y2的取值范围是________.
【答案】
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】在平面直角坐标系中画出可行域如下 为可行域内的点到原点距离的平方． 可以看出图中 点距离原点最近，此时距离为原点 到直线 的距离， ，则 ， 图中 点距离原点最远， 点为 与 交点，则 ， 则 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可
29.（2016?全国）若x，y满足约束条件 ，则z=x﹣2y的最小值为________．
【答案】-5
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】解：由约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得A（3，4）．化目标函数z=x﹣2y为y= x﹣ z，由图可知，当直线y= x﹣ z过A（3，4）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为：3﹣2×4=﹣5． 故答案为：﹣5． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案．；本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
30.（2016?全国）设x，y满足约束条件 ，则z=2x+3y﹣5的最小值为________．
【答案】-10
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】解：由约束条件 作出可行域如图， ?联立 ，解得 ，即A（﹣1，﹣1）．化目标函数z=2x+3y﹣5为 ．由图可知，当直线 过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2×（﹣1）+3×（﹣1）﹣5=﹣10． 故答案为：﹣10． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．；本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
31.（2016?全国）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
【答案】216000
【考点】简单线性规划的应用
【解析】【解答】解：（1）设甲、乙两种产品每件分别是x件和y件，或利为z元．由题意，得 ，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得 ，解得： ，A（60，100）， 目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元． 故答案为：216000． ； 【分析】简单线性规划的应用.设甲、乙两种产品每件分别是x元和y元，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．
三、解答题
32.（2017?天津）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放时长（分钟）
广告播放时长（分钟）
收视人次（万）
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（13分） （I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
【答案】（Ⅰ）解：由已知，x，y满足的数学关系式为 ，即 ． 该二元一次不等式组所表示的平面区域如图： （Ⅱ）解：设总收视人次为z万，则目标函数为z=60x+25y． 考虑z=60x+25y，将它变形为 ，这是斜率为 ，随z变化的一族平行直线． 为直线在y轴上的截距，当 取得最大值时，z的值最大． 又∵x，y满足约束条件， ∴由图可知，当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时，截距 最大，即z最大． 解方程组 ，得点M的坐标为（6，3）． ∴电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）直接由题意结合图表列关于x，y所满足得不等式组，化简后即可画出二元一次不等式所表示的平面区域； （Ⅱ）写出总收视人次z=60x+25y．化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
