2019备战高考数学全国真题精练（2016-2018）第3章 第7节 正弦定理和余弦定理

2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第3章 第7节 正弦定理和余弦定理
（学生版）
备战基础·零风险
1．掌握正弦定理、余弦定理并能解决一些简单的三角形度量问题．
正弦定理和余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝ 。
(R为△ABC外接圆半径)
a2＝ 。
b2＝ 。
c2＝ 。
常见变形
(1)a＝ ，b＝2Rsin B，c＝ ；
(2)sin A＝，sin B＝ ，sin C＝ ；
(3)a∶b∶c＝ 。
cos A＝ ；
cos B＝ ；
cos C＝ 。
解决的问题
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
(1)已知三边，求三个角；
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
。
bsin A＜a＜b
。
a＞b
解的个数
一解
。
一解
。
三角形中常用的面积公式
(1)S＝ ．
(2)S＝ ＝ ＝ ．
(3)S＝ ．
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一条规律　在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B．
2．判断三角形形状的两种途径　一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.
3.已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
4. 解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．
5.在解决三角形问题中，面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.
6.．正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化．如a2＝b2＋c2－2bccos A可以转化为sin2 A＝sin2 B＋sin2 C－2sin Bsin Ccos A，利用这些变形可进行等式的化简与证明．　
备战练习·固基石
一、单选题
1.中，三边长a,b,c满足 ， 那么的形状为（　?　）
A.?锐角三角形??????????????????????B.?钝角三角形??????????????????????C.?直角三角形??????????????????????D.?以上均有可能
2.在中， ， ， ， 则边上的高为（　　）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
3.等腰三角形一腰上的高是 ， 这条高与底边的夹角为 ， 则底边长=（??）
A.?2????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?3????????????????????????????????????????D.?
4.已知三角形的三边长分别为a、b、 ， 则这个三角形的最大角是???（???）
A.?135°?????????????????????????????????????B.?120°?????????????????????????????????????C.?60°?????????????????????????????????????D.?90°
5.在 ， 根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（? ）
A.?b = 10，A = 45°，B = 70°???????????????????????????????B.?a = 60，c = 48，B = 100°C.?a = 7，b = 5，A = 80°??????????????????????????????????????D.?a = 14，b = 16，A = 45°
6.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且asinAsinB＋bcos2A＝a，则的值为(?? )
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?2
7.在不等边三角形中，是最大边，若 ， 则的取值范围 ?????? （???）
A.????B.???????C.?????D.?
8.在 中， ，那么 等于( ???)
A.?135°?????????????????????????????????????B.?105°?????????????????????????????????????C.?45°?????????????????????????????????????D.?75°
9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a=1，c=2， ，则△ABC的面积为（?? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
10.在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C= ， 则△ABC的面积（　　）
A.?3???????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
11.在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（?? ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
12.在 中，角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ，若 ， ，则（??? ）．
A.?????????????????????????B.??????????????????C.?????????????????D.? 与 的大小关系不能确定
13.在中，角所对的边分别为 ， 若 ， 且 ， 则下列关系一定不成立的是（?????）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????C.?????????????????????????D.?
14.在△ABC中，若AB=4，AC=BC=3，则sinC的值为（?? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
15.在中， ， 则等于（　　）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
16.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 ， ， ， ，则 （??? ）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
17.符合下列条件的三角形有且只有一个的是（　　）
A.?a=1，b=2，c=3????????????????????????????????????????????????B.?a=1，b= ， ∠A=30°C.?a=1，b=2，∠A=100°???????????????????????????????????????D.?b=c=1，∠B=45°
二、填空题
18.在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：4：6，则cosB=________．
19.如图，在△ABC中，sin = ，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD= ，则cosC=________．
20.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2 cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣ ．若a=8，b= ，那么∠B=________．
21.三角形 中， 是 边上一点， ， ，且三角形 与三角形 面积之比为 ，则 ________．
22.在△ABC中，若A= ，AB=6，AC=3 ，点D在BC的边上且AD=BD，则AD=________．
23在 中,内角 的对边分别为 ,若 的周长为 ,面积为 ， ，则 ________．
24.已知△ABC中，AC= ，BC= ，△ABC的面积为 ，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC= ，则CD=________．
25.在 中， ， ， ，则 的面积等于________.
三、解答题
26.如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，cosA= ，cosC= ．
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
278.如图，地面上有一旗杆OP，为了测得它的高度，在地面上选一基线AB，测得AB=20m，在A处测得点P的仰角为30°，在B处测得点P的仰角为45°，同时可测得∠AOB=60°，求旗杆的高度（结果保留1位小数）．
28.在△ABC中，角A，B，C的所对的边分别为a，b，c，且a2+b2=ab+c2 ． （Ⅰ） 求tan（C﹣ ）的值；（Ⅱ） 若c= ，求S△ABC的最大值．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅱ）在 中， 则 （?? ）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
2.（2016?全国）在△ABC中，B= ，BC边上的高等于 BC，则cosA=（　　）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.?﹣ ???????????????????????????????D.?﹣
3.（2016?天津）在△ABC中，若 ,BC=3， ,则AC=(? )
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
4.（2016?全国）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a= ，c=2，cosA= ，则b=（　　）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?3
5.（2016?全国）在△ABC中，B= ，BC边上的高等于 BC，则sinA=（　　）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
二、填空题
6.（2018?浙江）在△ABC中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ． 若a= ，b=2，A=60°，则sin B=________，c=________．
7.（2018?卷Ⅰ）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 bsinC+ csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为________.
8.（2017?新课标Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b= ，c=3，则A=________．
9.（2016?北京）在△ABC中，∠A= ，a= c，则 =________．
10.（2016?上海）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________．
三、解答题
11.（2016?浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．
（1）证明：A=2B；
（2）若cosB= ，求cosC的值．
12.（2016?北京）在 ABC中，
（1）求 ?的大小
（2）求 ?的最大值
13.（2016?四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且? ．
（1）证明：sinAsinB=sinC；
（2）若? ，求tanB．
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第3章 第7节 正弦定理和余弦定理
（教师版）
备战基础·零风险
1．掌握正弦定理、余弦定理并能解决一些简单的三角形度量问题．
正弦定理和余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
(R为△ABC外接圆半径)
a2＝b2＋c2－2bccos A
b2＝a2＋c2－2accos B
c2＝a2＋b2－2abcos C
常见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
解决的问题
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
(1)已知三边，求三个角；
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)．
(2)S＝bcsin A＝absin C＝acsin B.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)．
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一条规律　在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B．
2．判断三角形形状的两种途径　一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.
3.已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
4. 解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．
5.在解决三角形问题中，面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.
6.．正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化．如a2＝b2＋c2－2bccos A可以转化为sin2 A＝sin2 B＋sin2 C－2sin Bsin Ccos A，利用这些变形可进行等式的化简与证明．　
备战练习·固基石
一、单选题
1.中，三边长a,b,c满足 ， 那么的形状为（　?　）
A.?锐角三角形??????????????????????B.?钝角三角形??????????????????????C.?直角三角形??????????????????????D.?以上均有可能
【答案】A
【考点】余弦定理
【解析】【解答】显然该三角形中最大，则角最大，于是， 又因为， 所以， 所以角为锐角，故该三角形为锐角三角形.选A.
2.在中， ， ， ， 则边上的高为（　　）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】三角形中的几何计算
【解析】【分析】由点B向AC作垂线，交点为D．设AD=x，则CD=4-x，∴BD=， 解得x=， ∴BD=， 故选B
3.等腰三角形一腰上的高是 ， 这条高与底边的夹角为 ， 则底边长=（??）
A.?2????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?3????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】∵高与底边的夹角为， ∴等腰三角形的底角为， 设底边长为x，则由图知， ∴x=2，故选A【分析】熟练运用等腰三角形的性质及直角三角形中的边角关系是解决此类问题的关键，属基础题。
4.已知三角形的三边长分别为a、b、 ， 则这个三角形的最大角是???（???）
A.?135°?????????????????????????????????????B.?120°?????????????????????????????????????C.?60°?????????????????????????????????????D.?90°
【答案】B
【考点】余弦定理
【解析】【分析】∵一个三角形的三边分别是a、b、， ∴为最大边．由余弦定理可得a2+b2+ab=a2+b2-2abcosθ，∴cosθ=-， 故此三角形中的最大角为 θ=120°，故选B。【点评】根据题意判断?为最大边，是解题的关键。
5.在 ， 根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（? ）
A.?b = 10，A = 45°，B = 70°???????????????????????????????B.?a = 60，c = 48，B = 100°C.?a = 7，b = 5，A = 80°??????????????????????????????????????D.?a = 14，b = 16，A = 45°
【答案】D
【考点】正弦定理的应用，余弦定理的应用
【解析】【解答】B、∵a=60，c=48，B=60°，∴由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=3600+2304-2880=-3024＜0，∴此时三角形无解，不合题意； C、∵a=7，b=5，A=80°，∴由正弦定理得：sinB=?，又b＜a，∴B＜A=80°，∴B只有一解，不合题意；D、∵a=14，b=16，A=45°，∴由正弦定理得：,sinB=∵a＜b，∴45°=A＜B，∴B有两解，符合题意，故选D【分析】由A和的度数，利用三角形内角和定理求出C度数，再由b的值，利用正弦定理求出a与c，得到此时三角形只有一解，不合题意；B、由a，c及cosB的值，利用余弦定理列出关系式，得到b2小于0，无解，此时三角形无解，不合题意；C、由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，由a大于b得到A大于B，可得出此时B只有一解，不合题意； D、由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，由a小于b得到A小于B，可得出此时B有两解，符合题意．
6.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且asinAsinB＋bcos2A＝a，则的值为(?? )
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?2
【答案】B
【考点】正弦定理
【解析】【解答】因为asinAsinB＋bcos2A＝a，所以由正弦定理得， 即， 所以=。【分析】基础题，三角形问题，多是利用正弦定理、余弦定理实施边角转化。本题还利用了方程思想。
7.在不等边三角形中，是最大边，若 ， 则的取值范围 ?????? （???）
A.??????B.????C.???D.?
【答案】C
【考点】余弦定理的应用
【解析】【解答】∵不等边△ABC中，a是最大的边，则角A大于60°．若a2＜b2+c2 ， 则有2bc?cosA=b2+c2-a2＞0，即cosA＞0，故角A为锐角．故选C
8.在 中， ，那么 等于( ???)
A.?135°?????????????????????????????????????B.?105°?????????????????????????????????????C.?45°?????????????????????????????????????D.?75°
【答案】C
【考点】正弦定理
【解析】【解答】 ， 由正弦定理 ，得 ，又 ，得到 ，则 ，故答案为：C.【分析】利用正弦定理便可以得出答案。
9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a=1，c=2， ，则△ABC的面积为（?? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】余弦定理
【解析】【解答】解：∵a=1，c=2， ，sinC= = ， ∴由余弦定理可得： = ，整理可得：2b2﹣b﹣6=0，∴解得：b=2或﹣ （舍去），∴S△ABC= absinC= = ．故选：C．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC，由余弦定理可得2b2﹣b﹣6=0，解得b的值，利用三角形面积公式即可计算得解．
10.在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C= ， 则△ABC的面积（　　）
A.?3???????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】余弦定理
【解析】【解答】解：∵c2=（a﹣b）2+6，∴c2=a2﹣2ab+b2+6，即a2+b2﹣c2=2ab﹣6，∵C= ， ∴cos=解得ab=6，则三角形的面积S=absinC=故选：C【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可．
11.在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（?? ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】余弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4 可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）由余弦定理可得， = 故选：D【分析】由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c，可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0），由余弦定理 可求得答案．
12.在 中，角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ，若 ， ，则（??? ）．
A.?????????????????????????B.?????????????????????C.?????????????D.? 与 的大小关系不能确定
【答案】A
【考点】余弦定理
【解析】【解答】 由余弦定理可得， 把 代入可得，
解方程可得， .
故答案为：A
【分析】利用余弦定理,将代入，得到关于a与b的关系式，然后对这个关系式左右两边同时除以,得到一个关于的一元二次方程，进而求出a与b的关系，判断出a与b的大小关系。
13.在中，角所对的边分别为 ， 若 ， 且 ， 则下列关系一定不成立的是（?????）
A.????????????????????????????????B.?????????????????????C.????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】正弦定理的应用，余弦定理的应用
【解析】【解答】由余弦定理，得 ， ∴ ， ∵ ， 由正弦定理，得 ， ∴或 ． 当时，为直角三角形，且 ， 所以C，D可能成立；当时， ， 所以∴ ， 即A可能成立，因此一定不成立的是选项B．
14.在△ABC中，若AB=4，AC=BC=3，则sinC的值为（?? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】余弦定理
【解析】【解答】解：在△ABC中，∵AB=4，AC=BC=3， ∴cosC= ，∴sinC= = ．故选：D．【分析】由已知利用余弦定理可求cosC的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值．
15.在中， ， 则等于（　　）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】正弦定理
【解析】【解答】， ， ， 则， 因此， ， 因此， 故选C.
16.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 ， ， ， ，则 （??? ）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】正弦定理，余弦定理
【解析】【解答】在 中，∵ ，故由 ，可得 ，由已知及余弦定理，有 ，∴ ，由正弦定理 ，得 ，∴ ， 故答案为：A.【分析】在三角形中利用边的关系借助同角三角函数的关系式求出 cos B的值，再借助余弦定理可求出b的值由正弦定理得出sin A的值进而再求出cosA的值由诱导公式sin(A+)=cosA得出结果。
17.符合下列条件的三角形有且只有一个的是（　　）
A.?a=1，b=2，c=3????????????????????????????????????????????????B.?a=1，b= ， ∠A=30°C.?a=1，b=2，∠A=100°???????????????????????????????????????D.?b=c=1，∠B=45°
【答案】D
【考点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：A无解，因为三角形任意两边之和大于第三边，而这里a+b=c，故这样的三角形不存在．B有2个解，由正弦定理可得 ，∴sinB= ， 故 B=45°，或 B=135°．C无解，由于a＜b，∴A=100°＜B，∴A+B＞200°，这与三角形的内角和相矛盾．D有唯一解，∵b=c=1，∠B=45°，∴∠C=45°，∴∠A=90°，故有唯一解．故选D．【分析】A无解，因为三角形任意两边之和大于第三边，而这里a+b=c．B有2个解，由正弦定理可得 sinB= ， 故 B=45°，或 B=135°．C无解，由于a＜b，∴A=100°＜B，∴A+B＞200°，这与三角形的内角和相矛盾．?D有唯一解，∵b=c=1，∠B=45°，∴∠C=45°，∴∠A=90°．
二、填空题
18.在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：4：6，则cosB=________．
【答案】
【考点】余弦定理
【解析】【解答】解：sinA：sinB：sinC=3：4：6，由正弦定理可得：a：b：c=3：4：6，不妨设a=3，b=4，c=6．由余弦定理可得：cosB= = ．故答案为： ．【分析】由正弦定理得到边的比例关系，再通过余弦定理得到cosB.
19.如图，在△ABC中，sin = ，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD= ，则cosC=________．
【答案】
【考点】正弦定理，余弦定理
【解析】【解答】解：因为sin = ，所以cos∠ABC=1﹣2sin2 =1﹣2×（ ）2=1﹣2× = ， 在△ABC中，设BC=a，AC=3b，由余弦定理可得 ：①在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得： ， ，因为cos∠ADB=﹣cos∠BDC，所以有 = ，所以3b2﹣a2=﹣6 ②由①②可得a=3，b=1，即BC=3，AC=3．则cosC= = ，故答案为： 【分析】利用二倍角的余弦函数公式即可求出cos∠ABC的值，设BC=a，AC=3b，由AD=2DC得到AD=2b，DC=b，在三角形ABC中，利用余弦定理得到关于a与b的关系式，在三角形ABD和三角形DBC中，利用余弦定理分别表示出cos∠ADB和cos∠BDC，由于两角互补，得到cos∠ADB等于﹣cos∠BDC，两个关系式互为相反数，得到a与b的另一个关系式，求出a．，b即可得到结论．
20.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2 cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣ ．若a=8，b= ，那么∠B=________．
【答案】arcsin
【考点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解： +cos（A+C）= ，
∴cos（A﹣B）cosB+cosB﹣sin（A﹣B）sinB﹣cosB=﹣ ，
∴cos（A﹣B+B）=﹣ ，
∴cosA=﹣ ，
∵0＜A＜π
∴sinA=
∵a=8，b= ，
∴ = ，a=8，b=
∴sinB= sinA= ，B为锐角
∴B=arcsin ，
故答案为：arcsin
【分析】已知等式左边第一项第一个因式利用二倍角的余弦函数公式化简，第三项利用诱导公式变形，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化简，即可求出cosA的值，再求出sinA，根据正弦定理即可求出sinB，问题得以解决
21.三角形 中， 是 边上一点， ， ，且三角形 与三角形 面积之比为 ，则 ________．
【答案】
【考点】余弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为 为 的平分线，故 ．又 ，整理得 ，所以 ，故 ．又 ，故 ．填 ．【分析】利用角平分线的特点及两三角形的面积比，找到三角形相应边之比，再利用余弦定理即可.
22.在△ABC中，若A= ，AB=6，AC=3 ，点D在BC的边上且AD=BD，则AD=________．
【答案】
【考点】正弦定理
【解析】【解答】解：∵A= ，AB=6，AC=3 ， ∴在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcos∠BAC=90．∴BC=3 ， ∵在△ABC中，由正弦定理可得： = ，∴sinB= ，∴cosB= ，∵过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，∴Rt△ADE中，AD= = = ．故答案为： ． 【分析】由已知及余弦定理可解得BC的值，由正弦定理可求得sinB，从而可求cosB，过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，即可求得AD的长．
23.在 中,内角 的对边分别为 ,若 的周长为 ,面积为 ， ，则 ________．
【答案】3
【考点】余弦定理
【解析】【解答】解： ， ???
， ?
由余弦定理 ，得
又 ， ，解得 .
故答案为3.
【分析】解决本题时，由公式及余弦定理,根据题意，代入相应数据，即可得出答案。
24.已知△ABC中，AC= ，BC= ，△ABC的面积为 ，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC= ，则CD=________．
【答案】
【考点】正弦定理
【解析】【解答】解：∵AC= ，BC= ，△ABC的面积为 = AC?BC?sin∠ACB= sin∠ACB， ∴sin∠ACB= ，∴∠ACB= ，或 ，∵若∠ACB= ，∠BDC= ＜∠BAC，可得：∠BAC+∠ACB＞ + ＞π，与三角形内角和定理矛盾，∴∠ACB= ，∴在△ABC中，由余弦定理可得：AB= ，∴∠B= ，∴在△BCD中，由正弦定理可得：CD= ．故答案为： ． 【分析】由已知利用三角形面积公式可求sin∠ACB= ，从而可求∠ACB= ，在△ABC中，由余弦定理可得AB，进而可求∠B，在△BCD中，由正弦定理可得CD的值．
25.在 中， ， ， ，则 的面积等于________.
【答案】
【考点】余弦定理的应用，三角形中的几何计算
【解析】【解答】设AB=c，在△ABC中，由余弦定理知AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosB，即7=c2+4﹣2×2×c×cos60°，c2﹣2c﹣3=0，又c＞0，∴c=3．S△ABC= AB?BCsinB= BC?h，可知S△ABC= ×3×2× = ．故答案为： ．【分析】先由余弦定理求出边c，再利用面积公式S△ABC= 即可.
三、解答题
26.如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，cosA= ，cosC= ．
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
【答案】（1）解：∵在 ， ∴ ，∴ ，∴由正弦定理 ，∴索道AB的长为1040m（2）解：假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d， 此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得：d2=（130t）2+2500（t+2）2﹣2?130t?50（t+2） =200（37t2﹣70t+50）= ，故
【考点】正弦定理，余弦定理
【解析】【分析】（1）根据正弦定理即可确定出AB的长；（2）设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，由余弦定理即可得解．
27.如图，地面上有一旗杆OP，为了测得它的高度，在地面上选一基线AB，测得AB=20m，在A处测得点P的仰角为30°，在B处测得点P的仰角为45°，同时可测得∠AOB=60°，求旗杆的高度（结果保留1位小数）．
【答案】解：设旗杆的高度为h，由题意，知∠OAP=30°，∠OBP=45°． 在Rt△AOP中，OA= = h．在Rt△BOP中，OB= =h．在△AOB中，由余弦定理，得AB2=OA2+OB2﹣2OA?OBcos 60°，即202=（ h）2+h2﹣2 h×h× ．解得h2= ≈176.4．∴h≈13（m）．∴旗杆的高度约为13 m
【考点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】分别在直角三角形AOP和直角三角形BOP中，求得OA，OB，进而在△AOB中，由余弦定理求得旗杆的高度．
28.在△ABC中，角A，B，C的所对的边分别为a，b，c，且a2+b2=ab+c2 ． （Ⅰ） 求tan（C﹣ ）的值；（Ⅱ） 若c= ，求S△ABC的最大值．
【答案】解：（Ⅰ）∵a2+b2=ab+c2 ， a2+b2﹣c2=ab，∴cosC= = ，∵C为△ABC内角，∴C= ，则tan（C﹣ ）=tan（ ﹣ ）= =2﹣ ；（Ⅱ）由ab+3=a2+b2≥2ab，得ab≤3，∵S△ABC= absinC= ab，∴S△ABC≤ ，当且仅当a=b= 时“=”成立，则S△ABC的最大值是
【考点】正弦定理，余弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ） 利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，确定出C的度数，代入tan（C﹣ ）计算即可求出值；（Ⅱ）把c的值代入已知等式变形，利用基本不等式求出ab的最大值，再由sinC的值，即可求出三角形ABC面积的最大值．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅱ）在 中， 则 （?? ）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】余弦定理
【解析】【解答】 ， 故答案为：A【分析】先由 用二倍角公式可求 ，再由余弦定理可得。
2.（2016?全国）在△ABC中，B= ，BC边上的高等于 BC，则cosA=（　　）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.?﹣ ???????????????????????????????D.?﹣
【答案】C
【考点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B= ，BC边上的高AD=h= BC= a，∴BD=AD= a，CD= a，在Rt△ADC中，cosθ= = = ，故sinθ= ，∴cosA=cos（ +θ）=cos cosθ﹣sin sinθ= × ﹣ × =﹣ ．故选：C．【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ= = = ，sinθ= ，利用两角和的余弦即可求得答案．本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA是关键，也是亮点，属于中档题．
3.（2016?天津）在△ABC中，若 ,BC=3， ,则AC=(? )
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
【答案】A
【考点】余弦定理的应用
【解析】【解答】设 由余弦定理得： ?????? ??? ?????? ??? 或 （舍），∴ ，选A．【分析】直接利用余弦定理求解即可. 本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．
4.（2016?全国）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a= ，c=2，cosA= ，则b=（　　）
A.??????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?3
【答案】D
【考点】余弦定理
【解析】【解答】解：∵a= ，c=2，cosA= ， ∴由余弦定理可得：cosA= = = ，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，∴解得：b=3或﹣ （舍去）．故选：D．【分析】由余弦定理可得cosA= ，利用已知整理可得3b2﹣8b﹣3=0，从而解得b的值．；本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
5.（2016?全国）在△ABC中，B= ，BC边上的高等于 BC，则sinA=（　　）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】三角形中的几何计算，解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，B= ，BC边上的高等于 BC， ∴AB= BC，由余弦定理得：AC= = = BC，故 BC? BC= AB?AC?sinA= ? BC? BC?sinA，∴sinA= ，故选：D【分析】由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出AB，AC，再由三角形面积公式，可得sinA．；本题考查的知识眯是三角形中的几何计算，熟练掌握正弦定理和余弦定理，是解答的关键．
二、填空题
6.（2018?浙江）在△ABC中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ． 若a= ，b=2，A=60°，则sin B=________，c=________．
【答案】；3
【考点】正弦定理的应用，余弦定理的应用
【解析】【解答】详解：由正弦定理得 ,所以 由余弦定理得 （负值舍去）.【分析】由正弦定理能求出sinB，由余弦定理能求出c．正弦定理:①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
7.（2018?卷Ⅰ）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 bsinC+ csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为________.
【答案】
【考点】正弦定理，余弦定理
【解析】【解答】解：∵bsinC+csinB=4asinBsinC.由正弦定理得： ,又 ，则 。【分析】由正弦定理将边角关系化为角的关系,求出角A,再由余弦定理求出bc的值,然后用面积公式求面积.
8.（2017?新课标Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b= ，c=3，则A=________．?

【答案】75°
【考点】正弦定理，三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：根据正弦定理可得 = ，C=60°，b= ，c=3，∴sinB= = ，∵b＜c，∴B=45°，∴A=180°﹣B﹣C=180°﹣45°﹣60°=75°，故答案为：75°．【分析】根据正弦定理和三角形的内角和计算即可
9.（2016?北京）在△ABC中，∠A= ，a= c，则 =________．
【答案】1
【考点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A= ，a= c， 由正弦定理可得： ，= ，sinC= ，C= ，则B= = ．三角形是等腰三角形，B=C，则b=c，则 =1．故答案为：1．【分析】利用正弦定理求出C的大小，然后求出B，然后判断三角形的形状，求解比值即可．；本题考查正弦定理的应用，三角形的判断，考查计算能力．
10.（2016?上海）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________．
【答案】
【考点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，由余弦定理可得，cosC= = =﹣ ，可得sinC= = = ，可得该三角形的外接圆半径为 =? = ．故答案为： ．【分析】可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，运用余弦定理可得cosC，由同角的平方关系可得sinC，再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为 ，代入计算即可得到所求值．；本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属于基础题．
三、解答题
11.（2016?浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．
（1）证明：A=2B；
（2）若cosB= ，求cosC的值．
【答案】（1）证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）．∴A=2B．（2）解：cosB= ，∴sinB= = ．cosA=cos2B=2cos2B﹣1= ，sinA= = ．∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB= = ．
【考点】正弦定理
【解析】【分析】（1）由b+c=2acosB，利用正弦定理可得：sinB+sinC=2sinAcosB，而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入化简可得：sinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），可得0＜A﹣B＜π，即可证明．（2）cosB= ，可得sinB= ．cosA=cos2B=2cos2B﹣1，sinA= ．利用cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB即可得出．本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12.（2016?北京）在 ABC中，
（1）求 ?的大小
（2）求 ?的最大值
【答案】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ （2）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 最大值为1上式最大值为1
【考点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）根据已知和余弦定理，可得cosB= ，进而得到答案；（2）由（I）得：C= ﹣A，结合正弦型函数的图象和性质，可得 cosA+cosC的最大值．
13.（2016?四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且? ．
（1）证明：sinAsinB=sinC；
（2）若? ，求tanB．
【答案】（1）证明：在△ABC中，∵ ，∴由正弦定理得： ，∴ = =1，∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC（2）解： ，由余弦定理可得cosA= ．sinA= ， = + = =1， = ，tanB=4
【考点】正弦定理，余弦定理，余弦定理的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．（2）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B的正切函数值即可；本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于中档题．