江西省南昌市第八中学2018-2019学年上学期高二数学（文）元旦练习题（含解析）

元旦作业练习（文科）
1、若函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象可能(　　)
B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：由y=f′(x)可得y=f′(x)有两个零点，
x
1
，
x
2
，且0<
x
1
<
x
2
，当x<
x
1
，或x>
x
2
时，f′(x)<0，即函数为减函数，当
x
1
x
2
，时，f′(x)>0，函数为增函数，即当x=
x
1
，函数取得极小值，当x=
x
2
，函数取得极大值，故选：C2、函数f(x)=
e
x
x
的图象大致为(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
解：函数f(x)=
e
x
x
的定义域为：x≠0，x∈R，当x>0时，函数f′(x)=
x
e
x
?
e
x
x
2
，可得函数的极值点为：x=1，当x∈(0,1)时，函数是减函数，x>1时，函数是增函数，并且f(x)>0，选项B、D满足题意．当x<0时，函数f(x)=
e
x
x
<0，选项D不正确，选项B正确．故选B．3、函数f(x)=
lnx
x
的单调递减区间是______．
【答案】(e,+∞)
解：f(x)的定义域为(0,+∞)．∵f′(x)=
1?lnx
x
2
，令f′(x)<0，可得1?lnx<0，解得x>??．所以函数的单调递减区间为(e,+∞)．故答案为(e,+∞)．
4、若函数f(x)=alnx?x在区间(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是______．
【答案】[2,+∞)
解：∵f(x)=alnx?x，．又∵f(x)在(1,2)上单调递增，∴
a
x
?1≥0在x∈(1,2)上恒成立，∴a≥
x
max
=2，∴a∈[2,+∞)．故答案为[2,+∞)．
5、如图所示，y=f(x)是可导函数，直线l：y=kx+3是曲线y=f(x)在x=1处的切线，若h(x)=xf(x)，则h′(1)=______．
【答案】1
解：∵直线l：y=kx+3是曲线y=f(x)在x=1处的切线，∴点(1,2)为切点，故f′(1)=k，f(1)=k+3=2，解得k=?1，故f′(1)=?1，f(1)=2，由h(x)=xf(x)可得h′(x)=f(x)+xf′(x)，∴h′(1)=f(1)+f′(1)=1，故答案为1．6、设函数f(x)=lnx+
1
x
，则函数y=f(x)的单调递增区间是______ ．
【答案】(1,+∞)
【解析】解：∵f(x)=lnx+
1
x
，(x>0)，∴f′(x)=
1
x
?
1
x
2
=
x?1
x
2
，令f′(x)>0，解得：x>1，故函数的递增区间是(1,+∞)，故答案为：(1,+∞)．7、若f(x)=2
x
3
?3
x
2
?12x+3在区间[m,m+4]上是单调函数，则实数m的取值范围为______ ．
【答案】(?∞,?5]∪[2,+∞)
【解析】解：f′(x)=6
x
2
?6x?12=6(x+1)(x?2)，令f′(x)>0，解得：x>2或xx
2
?8lnx，若对?
x
1
，
x
2
∈(a,a+1)均满足
f(
x
1
)?f(
x
2
)
x
1
?
x
2
<0，则a的取值范围为______．
【答案】0≤a≤1
解：∵对?
x
1
，
x
2
∈(a,a+1)均满足
f(
x
1
)?f(
x
2
)
x
1
?
x
2
<0，∴f(x)在(a,a+1)单调递减函数，∵f(x)=
x
2
?8lnx，∴f′(x)=2x?
8
x
∵函数f(x)是单调递减函数，∴f′(x)=2x?
8
x
≤0在(a,a+1)上恒成立∴(0,2]?(a，a+1)∴0≤a≤1，故答案为：0≤a≤1．9、函数y=f(x)在定义域(?
3
2
,3)内的图象如图所示.记y=f(x)的导函数为，则不等式的解集为______．
【答案】[?
1
3
?
1
3
，1]∪[2，3)
解：根据题意，不等式，求函数的导数小于等于0的范围，即求函数的单调减区间，结合图象有x的取值范围为[?
1
3
,1]∪[2,3)；即不等式的解集为[?
1
3
,1]∪[2,3)；故答案为：[?
1
3
,1]∪[2,3)．
10、函数f(x)=?
2
3
x
3
+
3
2
x
2
?x的递增区间为______．
【答案】[
1
2
,1]
【解析】解：函数f(x)=?
2
3
x
3
+
3
2
x
2
?x，f′(x)=?2
x
2
+3x?1，
令f′(x)≥0，即?2
x
2
+3x?1≥0，解得：
1
2
≤x≤1，故函数在[
1
2
,1]递增，故答案为：[
1
2
,1]．
11、函数f(x)=(x+1)
e
?x
(e为自然对数的底数)的单调减区间为______ ．
【答案】(0,+∞)
【解析】解：∵f′(x)=(x+1)′?
e
?x
+(x+1)(
e
?x
)′ =
e
?x
?(x+1)
e
?x
=?x
e
?x
，令f′(x)<0，解得：x>0，∴f(x)在(0,+∞)递减，故答案为：(0,+∞)．12、函数f(x)=lnx?x的单调递增区间是__________．
【答案】(0,1)
【解析】解：函数的定义域是x>0，f′(x)=
1
x
?1=
1?x
x
．令f′(x)>0得0x
=
1
2
x
2
?9lnx的单调减区间为_______?．
【答案】(0,3)?
解：∵函数f
x
=
1
2
x
2
?9lnx，∴其定义域为(0,+∞)，，∴由，得0x
=
1
2
x
2
?9lnx的单调递减区间为(0,3)．故答案为(0,3)．
14、已知函数f(x)=lnx+ax．(1)若曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=4x+1平行，求a的值；(2)讨论函数f(x)的单调性．
解(1)因为f′(x)=
1
x
+a??所以f′(1)=a+1??即切线的斜率k=a+1，又f(1)=a，所以切线方程为：y?a=(a+1)(x?1)，即y=(a+1)x?1，又切线与直线y=4x+1平行，所以a+1=4，即a=3；(2)由(1)得?f′(x)=
1
x
+a=
ax+1
x
，x>0，若a>0，则f′(x)>0，此时函数f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数，若a<0，则?当ax+1>0即01
a
时，f′(x)>0，当ax+1<0即x>?
1
a
时，f′(x)<0，此时函数f(x)在(0,?
1
a
)上为单调递增函数，在(?
1
a
,+∞)上为单调递减函数．
15、已知函数f(x)=
1
3
x
3
?ax+b，在点M(1,f(1))处的切线方程为9x+3y?10=0，求：(1)实数a，b的值；??????????(2)函数f(x)的单调区间
解：(1)因为在点M(1,f(1))处的切线方程为9x+3y?10=0，所以切线斜率是k=?3，且9×1+3f(1)?10=0，求得f(1)=
1
3
，即点M(1,?
1
3
)，又函数f(x)=
1
3
x
3
?ax+b，则f′(x)=
x
2
?a，所以依题意得，解得
a=4
b=4
；(2)由(1)知f(x)=
1
3
x
3
?4x+4，所以f′(x)=
x
2
?4=(x+2)(x?2)，令f′(x)=0，解得x=2或x=?2当f′(x)>0???>2或x16、已知函数f(x)=x
e
x
(e为自然对数的底)．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程．
解：f(x)=x
e
x
?f′(x)=
e
x
(x+1)(1)令f′(x)>0???>?1，即函数f(x)的单调递增区间是(?1,+∞)；(2)因为f(1)=e，f′(1)=2e，所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y?e=2e(x?1)，即2ex?y?e=0．
17、已知函数f(x)=
x
2
+lnx?ax
(1)当a=3时，求f(x)的单调增区间;(2)若f(x)在(0,1)上是增函数，求a的取值范围．
解：(1)当a=3时，f(x)=
x
2
+lnx?3x；∴f′(x)=2x+
1
x
?3，由f′(x)>0得，01
2
或x>1，故所求f(x)的单调增区间为(0,
1
2
)，(1,+∞)；(2)f′(x)=2x+
1
x
?a，∵f(x)在(0,1)上是增函数，∴2x+
1
x
?a>0在(0,1)上恒成立，即a<2??+
1
x
恒成立，∵2x+
1
x
≥2
2
(当且仅当x=
2
2
时取等号) 所以a<2
2
，当a=2
2
时，易知f(x)在(0,1)上也是增函数，所以a≤2
2
．
18、已知函数f(x)=
lnx
x

(1)求函数在点(1,0)处的切线方程；(2)研究函数y=f(x)的单调性．
解：(1)∵f
x
=
lnx
x
，，
∴k=
1?ln1
1
2
=1，∴函数在点
1,0
处的切线方程为y=x?1，即x?y?1=0．
(2)函数f
x
的定义域为
0,+∞
，由 0 '/>得1?lnx>0，解得0由得1?lnx<0，解得x>??，
∴f
x
的单调增区间为
0,e
，单调减区间为
e,+∞
．
19、已知函数f
x
=a
x
2
+blnx在点M(1,1)处的切线方程为2x+y?3=0．
(1)求函数y=f
x
的解析式；(2)求函数y=f
x
的单调区间
解：，因为点M(1,1)处的切线方程为2x+y?3=0，所以，所以{
a=1
b=?4
,则f(x)=
x
2
?4lnx;(2)定义域为(0,+∞)，，令，得x=±
2
(舍负)．故函数f(x)的单调递增区间是(0,
2
),单调递减区间是(
2
,+∞)．20、已知函数f(x)=
x
3
+b
x
2
+cx(x∈R)，且函数g(x)=f(x)?f?(x)是奇函数．
(1)求b，c的值．(2)求g(x)的单调区间．
解：(Ⅰ)∵f(x)=
x
3
+b
x
2
+cx，．从而是一个奇函数，所以g(0)=0得c=0，由奇函数定义得b=3．(Ⅱ)由(Ⅰ)知g(x)=
x
3
?6x，从而，当 0'/>时，x2
或x>
2
，当时，?
2
2
?，由此可知，(?∞,?
2
)和(
2
,+∞)是函数g(x)的单调递增区间，
(?
2
,
2
)是函数g(x)的单调递减区间．
21、设函数f(x)=
1
3
x
3
+2m
x
2
?
1
3
的导函数为f′(x)，且f′(?1)=9．
(1)求函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调区间．
解：(1)f′(x)=
x
2
+4mx，f′(?1)=9，∴f′(?1)=1?4m=9，∴m=?2．∴f(x)=
1
3
x
3
?4
x
2
?
1
3
，f(1)=?4，．
函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程l：7x+y?3=0
(2)令f′(x)=
x
2
?8x>0，得增区间：(?∞,0)(8,+∞)
令f′(x)=
x
2
?8x<0，得减区间：(0,8)．