2.1.1 因数和倍数
一、填空。
1.如果a×b＝c (a、b、c是不为0的整数)，那么，c是___和____ 的倍数，a和b是c的_____.
2.是56的因数，又是7的倍数，这些数可能是（??????????????????? ）。
3.一个数的倍数是（ ）的，一个数的因数是（ ）的。
二、判断。
1、因为7×8＝56，所以56是倍数，7和8是因数。（? ）
2、12的因数只有：2、3、4、6、12。 （ ）
3、6既是2的倍数又是3的倍数。（ ）
三、把下面的数填入相应的位置。
2 4 8 12 16 32 48 56
8的倍数：________________________
48的因数：_______________________
答案：
一、1．a b 因数 2. 7、14、28、56 3. 无限；有限
二、1. × 2. × 3. √
三、8、16、32、48、56；2 4 8 12 16
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因数与倍数
计算下面各题。
12÷2=
8÷3=
30÷6=
19÷7=
9÷5=
26÷8=
20÷10=
21÷21=
63÷9=
6
2……2
5
2……5
1.8
3.25
2
1
7
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仔细观察算式的特点，你能把这些算式分类吗？
我们可以按照商的情况进行分类。
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我们把这些算式分成两类。
第一类
商是整数的是一类，商有余数和小数的是一类。
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例如：
12÷2=6，我们就说12是2的倍数，2是12的因数。
12÷6=2，我们就说12是6的倍数，6是12的因数。
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在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。
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因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。
为了方便，在研究倍数与因数的时候，我们所说的数指的是自然数（一般不包括0）。
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因数和倍数是相互依存的，不是单独存在的。我们不能说4是因数，24是倍数，而应该说4是24的因数，24是4的倍数。
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下面四组数中，谁是谁的因数，谁是谁的倍数。
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下面四组数中，谁是谁的因数，谁是谁的倍数。
4是24的因数，24是4的倍数。
13是26的因数，26是13的倍数。
25是75的因数，75是25的倍数。
9是81的因数，81是9的倍数。
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判断。
因为5÷2.5=2，所以5是2.5的倍数，2.5是5的因数。
（√）
因为50÷25=2，所以50是倍数，25是因数。（√）
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错误分析：
因为5÷2.5=2，所以5是2.5的倍数，2.5是5的因数。
我们研究因数和倍数时，指的都是整数，不能有小数。
因为50÷25=2，所以50是倍数，25是因数。
因数和倍数是相互存在的，只能说谁是谁的倍数或谁是谁的因数，不能简单地说谁是因数或谁是倍数。
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今天学的一个数的“因数”与以前乘法算式中的“因数”有什么区别呢？
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乘法算式中的“因数”是相对于“积”而言的，可以是整数，也可以是小数、分数。
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30÷5=6，那么30是5和6的倍数，5和6是30的因数。
一个数的“因数”是相对于“倍数”而言的，它只能是整数。
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今天学的一个数的“倍数”与以前乘法算式中的“倍数”有什么区别呢？
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乘法算式中8的0.5倍是4。
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60÷15=4，那么60是15和4的倍数。
一个数的“倍数”是相对于“因数”而言的，它只能是整数。
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×
因为5×0=0，所以0是5的倍数。（ ）
为了方便，在研究倍数与因数的时候，我们所说的数指的是自然数（一般不包括0）。
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在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。因数和倍数相互依存，不能独立存在。
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因数和倍数是什么关系？
因数和倍数是相互依存的。
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2.1.2 因数和倍数
一、填空。
1．一个小于30的自然数，既是8的倍数，又是12的倍数，这个数是（????? ）。
2. 一个数的最大因数是37，这个数的最小倍数是（??????? ）。
3. 30=1×30=（ ）×（??）=（??）×（???）=（??）×（??）
4、 30的全部因数：??
二、判断。
1、一个数的倍数一定比它的因数大。??????（???）
2、4的倍数比40的倍数少。??????（???）
3．任何一个自然数最少有两个因数（ ）
三、解答题
有一箱苹果每次按2个、3个、4个、5个地数，都正好数完，这筐苹果至少有多少个？
答案：
一、24；37；2、15、3、10、5、6；1、2、3、5、6、10、15、30
二、× × ×
三、这箱苹果的数量一定是2、3、4、5的倍数，所以它至少是：60个。
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因数与倍数
口算下面各题，说说谁是谁的倍数？谁是谁的因数？
34÷2＝
2÷4＝
18÷6＝
17
0.5
3
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34÷2＝
2÷4＝
18÷6＝
17
0.5
3
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18的因数有哪几个？
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18÷1＝18
18÷2＝9
18÷3＝6
18的因数有1，2，3，6，9，18。
18的因数有哪几个？
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3
6
9
18
18的因数有哪几个？
你是怎样想的？
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30的因数有哪些？
30÷1＝30
30÷2＝15
30÷3＝10
30的因数有1，2，3，5，6，10，15，30。
30÷5＝6
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36的因数有哪些？
36÷1＝36
36÷2＝18
36÷3＝12
36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36。
36÷4＝9
36÷6＝6
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2的倍数有哪些？
2的倍数有2，4，6，8，10，…
2÷2＝1
4÷2＝2
6÷2＝3
8÷2＝4
10÷2＝5
……
探索新知
2的倍数有哪些？
2的倍数有2，4，6，8，10，…
2×1＝2
2×2＝4
2×3＝6
2×4＝8
2×5＝10
……
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2×1＝2
2×2＝4
2×3＝6
2×4＝8
2×5＝10
2×6＝12
……
6
8
10
12
…
2的倍数有哪些？
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3的倍数有哪些？
3的倍数有3,6 ,9,12,15,…
3×1＝3
3×2＝6
3×3＝9
3×4＝12
3×5＝15
……
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5的倍数有哪些？
5的倍数有5,10,15,20,25,…
5×1＝5
5×2＝10
5×3＝15
5×4＝20
5×5＝25
……
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2的倍数有2，4，6，…
3的倍数有3，6，9，12，15,…
5的倍数有5，10，15，20，25,…
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写出下面各数的因数。
10 17 28 32 48
10的因数有
17的因数有
28的因数有
32的因数有
48的因数有
1，2，5，10。
1，17。
1，2，4，7，14，28。
1，2，4，8，16，32。
1，2，4，6，8，12，24，48。
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下面的说法正确吗？正确的请在括号里画“√”，错误的画“×”。
（1）1是1,2,3,…的因数。
（2）8的倍数只有16,24,32,40,48。
（3）36÷9＝4，所以36是9的倍数。
（4）5.7是3的倍数。
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
√
×
√
×
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填空。
（1）30最小的因数是（ ），最小的倍数是（ ） 。
（2）48最大的因数是（ ），最小的倍数是（ ）。
1
48
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30
48
一个数，它的最大的因数是16，最小的倍数也是16，那么这个数是（ ）。
32
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一个数，它的最大的因数是16，最小的倍数也是16，那么这个数是（ ）。
16
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一个数它最小的倍数和最大的因数都是它本身。
错误分析：
写出下面各数的倍数（各写出5个）。
4 7 10 6 9
4的倍数有
7的倍数有
10的因数有
6的倍数有
9的倍数有
4,8,12,16,20,…
7,14,21,28,35,…
10,20,30,40,50,…
6,12,18,24,30,…
9,18,27,36,45,…
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15的因数有哪些？15是哪些数的倍数？
15的因数有1,3,5,15。
15是1,3,5,15的倍数。
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一个数最大的因数和最小的倍数的积是49，这个数是多少？
一个数的最大因数和最小倍数就等于这个数，也就是一个数的平方等于49，那么根据乘法口诀七七四十九得：这个数是7。
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找一个数因数的方法：用这个数除以从1开始的哪些整数的结果仍是整数，除数和商都是这个数的因数。也可以从1开始，看看哪两个整数的乘积是这个数，那么这两个整数就都是这个数的因数。
找一个数倍数的方法：可以想哪些整数除以这个数商是整数，那这些整数就是这个数的倍数。还可以用这个数分别乘1，2，3，4，5，…所得的积就是这个数的倍数。
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一个数的因数是有限的，那倍数呢？
一个数的因数是限的，最大的是它本身，一个数的倍数是无限的，最小的是它本身。
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练习二 第六题、第七题、第八题。
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谢谢
因数和倍数的概念
教材第5页的内容及练习二第5题。
1. 结合具体情境,使学生初步认识自然数之间存在着因数和倍数的关系,初步理解倍数和因数。
2. 通过学习,使学生能有条理地、清晰地阐述因数与倍数的概念以及它们之间的联系。
3. 初步学会从数学的角度提出问题、理解问题并用所学知识解决问题。在解决问题的过程中,培养概括、分析和比较的能力,体会数学知识的内在联系。
重难点:理解并掌握因数和倍数两者之间的关系。
投影仪。
师:同学们喜欢看《西游记》吗?他是谁?(孙悟空)他是谁?(唐僧)他们是什么关系?(师徒关系)老师和同学们之间是什么关系?(师生关系)
师:不仅人与人之间存在着关系,在数学中,数和数之间也存在着关系。
师:今天这节课,我们就来研究两个自然数之间的关系。板书:因数和倍数。
【设计意图:通过人与人之间存在着关系,为理解因数与倍数存在着关系打下基础】
投影出示例1。
师:大家仔细观察这9个算式,把它们分一分类,并说一说你分类的理由。
生:分小组进行观察,并展开讨论。
教师巡回指导。
生:老师,我们组根据商的特点,把这些算式分成了三类。第一类为结果是整数的,第二类为结果是小数且能够除尽的,第三类为结果是带有余数的。
师:你们组的同学观察得很仔细,分类也很明确,很好。还有没有不同的分类方法?
生:老师,我们组分成了两类。
师:你具体说一下。
生:我们组也是按照商的特点,把这些算式分成了两类。一类为结果是整数的,另一类为结果不是整数的。
师:你们组的同学观察得也很仔细,分类也很明确,很好。
展示第二种分类结果。
12÷2=6 20÷10=230÷6=5 21÷21=163÷9=7 8÷3=2……2 9÷5=1.819÷7=2……5 26÷8=3.25
总结:
在整数除法中,如果商是整数且没有余数,我们就说被除数是除数和商的倍数,除数和商是被除数的因数。例如,12÷2=6,我们就说12是2和6的倍数,2和6是12的因数。
师:同学们想一想,在第一类算式中,谁是谁的因数,谁是谁的倍数?你发现了什么?
学生观察思考。
【设计意图:培养学生探索、归纳、总结、概括的能力】
生:在30÷6=5中,30是倍数,5和6是因数。
师:同学们,他的说法恰当吗?
生:不很恰当,应该说30是5和6的倍数,5和6是30的因数。
师:对,我们应该说清楚谁是谁的因数,谁是谁的倍数,而不能说谁是因数,谁是倍数,因数和倍数是相互依存的。
师:不过为了方便,我们只研究非0自然数,什么是非0自然数呢?(如1、2、3、4、5……)
这节课,我们学习了因数与倍数,在说明因数和倍数时,我们一定要说清楚谁是谁的因数,谁是谁的倍数,而不能说谁是因数,谁是倍数,因数和倍数是相互依存的,不能割裂开去说。如我们可以说2和3是6的因数,6是2和3的倍数,而不能说2和3是因数,6是倍数。还要注意,我们是在整数范围内研究因数和倍数的,一般不包括0。
因数和倍数
1.在导入的过程中,我创设了有效的数学学习情境,激发了学生的学习兴趣。让学生通过观察教材上的除法算式,采用小组合作的方式进行自主探究,把所给的算式按照特点进行分类,激活了学生的形象思维,为下面研究因数与倍数的概念,打下了良好基础,有效地实现了原有知识与新知识之间的链接。
2.在学生已有的知识基础上直观感知,让学生自主体验发现知识的过程,进而理解了因数和倍数的意义,使学生初步建立了“因数和倍数”的概念。这样,利用学生已有的数学知识引出了新知识,减缓难度,效果较好。
A类
1. 像0,1,3,4,5,6……这样的数是( ),最小的自然数是( )。
请任意写出五个整数:( ),整数有( )个。
2. 说一说哪个数是哪个数的倍数,哪个数是哪个数的因数。
32×2=64 14×3=42
B类
如果a×b=c(a、b、c均为非0自然数),那么( )是( )的因数,( )是( )的倍数。
课堂作业新设计
A类:
1. 整数 0 (答案不唯一)7、8、9、10、11 无数
2. 32和2是64的因数,64是32和2的倍数;14和3是42的因数,42是14和3的倍数。
B类:
a、b c c a、b
教材习题
教材第5页做一做
4是24的因数,24是4的倍数;13是26的因数,26是13的倍数;
25是75的因数,75是25的倍数;9是81的因数,81是9的倍数。
教材第7页练习二
5. (1)???? (2)? (3)???? (4)?
求一个数的因数和倍数的方法
教材第6页内容及练习二第1~4题和第6~8题。
1. 结合具体情境,使学生进一步认识自然数之间存在因数和倍数的关系,掌握求一个数的因数和倍数的方法。
2. 通过学习,使学生能自主探究,找出求一个数的因数和倍数的方法。
3. 初步学会从数学的角度提出问题、理解问题,并能用所学知识解决问题。在解决问题的过程中,培养学生概括、分析和比较的能力,使学生体会数学知识的内在联系。
重点:理解因数和倍数两者之间的关系。
难点:掌握求一个数的因数和倍数的方法。
投影仪。
师:同学们,五(1)班有36人进行队列操练,每排人数一样多,有哪些排列形式呢?
师:你能用乘法算式把自己的排法表示出来吗?同桌之间交流。
引入新课,板书:因数和倍数。
1. 投影出示例2。
学生分组找18的因数,老师巡视指导。
师:老师看到了3份不同的答案,大家仔细观察这3份答案。
①1、18、 2、 9、 3、 6。 ②1、 2、 3、 6、 9、 18。 ③2、3、18、6、9。
师:先来看看他们找到的因数对吗?你更欣赏哪一份?
生:我更喜欢第2份,他是按照从小到大的顺序写的。
师:那第一种对吗?
生:对,但是看起来有点儿乱,没有顺序。
师:其实一点儿也不乱,谁来帮他解释一下?
生:他是想着1×18=18,就找到了1和18是18的因数;2×9=18,就找到了2和9是18的因数;3×6=18,就找到了3和6是18的因数。
师:听明白他的意思了吗?(明白)他们都是用乘法去找的,哪些同学也是用乘法去找18的因数的,请举手。
师:很多同学都是这样的,那你们在找因数的时候是一个一个地找的吗?
生:是两个两个地找的。
师:恩,也就是一对一对地找的。好办法!
师:都是用乘法找的吗?有没有不同的想法?
生:还可以用除法找。
师:具体说说看。
生:18÷1=18,就能找到1和18,就是用18去除以一个非0自然数,商是自然数。
师:看来找一个数的因数不但可以用乘法,还可以用除法。
师:不管是用乘法还是用除法,你们都是从几开始的啊?
生:从1开始算。
师:为什么?
生:这样找比较有序。
师:那为什么找到3,你们就不往后找了呢?
生:因为是一对一对地找,再往后找就出现重复了。
师:现在我们一起来写出18的因数,根据算式,找到了1就找到了18,找到了2就找到了9,依此类推,为了美观,我们要按从小到大的顺序来写,最后写上句号。
小结:我们发现在乘法算式中,如果两个数相乘的积是18,这两个数就是18的因数;在除法算式中,18能被一个非0自然数整除,除数和商都是18的因数。
师:写一个数的因数,还可以用画图法表示。
师:现在你会找一个数的因数了吗?
师:接下来咱们就用这种方法来找一找其他数的因数。(学生分组找30和36的因数,然后汇报交流)
师:我们找了这么多数的因数,你觉得怎样找才不容易漏掉?
小结:从最小的非0自然数1找起,也就是从最小的因数找起,一直找到它的本身,找的过程中一对一对地找,写的时候从小到大写。
【设计意图:找一个数的所有因数是本节课的难点,教师放手让学生尝试找一个数的因数,让学生自由发言,作出总结】
2.投影出示例3。
师:你会找2的倍数吗?给你们1分钟的时间,看谁写得又对、又快、又多!准备好了吗?开始!
师:时间到,你写了多少个2的倍数?
生1:15个。
生2:24个。
师:大家都是用的什么方法呢?
生1:我是用乘法口诀,一二得二,二二得四……这样写下去的。
生2:我也是用乘法,用2去乘1、乘2……
师:哪些同学也是用乘法做的?
师:你们都是用2去乘一个数,所得的积就是2的倍数。还有不同的方法吗?
生3:我用的是加法,用2+2=4,4+2=6……依次加下去。
师:很好!如果给你更长的时间,你能把2的倍数全部写出来吗?(不能)
师:为什么?(因为2的倍数有无数个)
师:怎么办?(用省略号)
师:表示一个数的倍数情况,除了用这种文字叙述的方法外,还可以用画图法来表示。
师:相信同学们都学会了找一个数的倍数了吧!下面同学们就自己找出3的倍数、5的倍数。
(学生动手找,并相互交流)
这节课在探索找一个数的因数和倍数时,我们发现:①任何一个数的因数,最小的一定是1,而最大的一定是它本身;②一个数的最小倍数是它本身,没有最大的倍数;③一个数的因数的个数是有限的,而它的倍数的个数是无限的。
1. 在这节课中,我放手让学生自己去探索寻找一个数的因数或倍数的方法。由于个人经验和思维的差异性,出现了不同的答案,但这些不同的答案却成为探索新知识的资源,在比较不同的答案中归纳出求一个数的因数的倍数的方法。既留足了自主探究的空间,又在方法上有所引导,避免了学生的盲目猜测。
2.通过展示、比较不同的答案,发现了按顺序一对一对地找的方法,突出了有序思考的重要性,有效地突破了教学的难点。
A类
1. 找一找、填一填。
60 18 3 6 12 9 24 36 72
12的倍数: ; 12的因数: 。?
2. 判断。(对的在括号里画“????”,错的画“?”)
(1)一个数的倍数一定比它的因数大。 ( )
(2)4的倍数比40的倍数少。 ( )
3. 写一写。
(1)写出下列各数的因数。
12 14 24 35
(2)写出下列各数的倍数(各写3个)。
4 7 18
B类
一个长方形的长和宽都是自然数,面积是36平方米,这样的长方形共有多少种?
课堂作业新设计
A类:
1. 12的倍数:60、 12、 24、 36、 72; 12的因数:3、 12、 6。 2. (1)? (2)?
3. (1)12的因数:1、 2、 3、 4、 6、 12; 14的因数:1、 2、 7、 14;
24的因数:1、 2、 3、 4、 6、 8、 12、 24; 35的因数:1、 5、 7、 35。
(2)4的倍数:4、 8、 12… 7的倍数:7、 14、 21… 18的倍数:18、 36、 54…
B类:
5种
教材习题
教材第7页练习二
1.36的因数:1、 2、 3、 4、 6、 9、 12、 18、 36;
60的因数:1、 2、 3、 4、 5、 6、 10、 12、 15、 20、 30、 60。
2. (1)10的因数:1、 2、 5、 10; 17的因数:1、 17;
28的因数:1、 2、 4、 7、 14、 28; 32的因数:1、 2、 4、 8、 16、 32;
48的因数:1、 2、 3、 4、 6、 8、 12、 16、 24、 48。
(2)(答案不唯一)
4的倍数:4、8、12、16、20 7的倍数:7、14、21、28、35
10的倍数:10、20、30、40、50 6的倍数:6、12、18、24、30
9的倍数:9、18、27、36、45、54
3. 5的倍数有5、 35、 10、 55、 60、 100。
4. 15的因数有1、 3、 5、 15; 15是1、3、5、15的倍数。
6. 1 2 4 7. (1)18 (2)1 (3)42 8. 这个数可能是:3、6、21、42。
