第13章 全等三角形单元检测试题A卷（含解析）

第13章 全等三角形单元检测试题A卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（30分）
1．在△ABC中，∠B=∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么△ABC中与这个角对应的角是（　　）
A． ∠A B． ∠B C． ∠C D． ∠D
2．如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA，过点D作DE⊥BC，交AB于E，则下列结论一定正确的是（　　）
A． AE=BE B． DB=DE C． AE=BD D． ∠BCE=∠ACE
3．在△ABC中，与∠A相邻的外角是110°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B的度数是(　　)
A． 70° B． 55° C． 70°或55° D． 70°或55°或40°
4．△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，若∠EBC=∠BAD，则△ABC一定是（　　）
A． 等腰三角形 B． 等边三角形 C． 直角三角形 D． 等腰直角三角形
5．利用基本作图，不能作出唯一三角形的是（ ）
A． 已知三边 B． 已知两边及其夹角
C． 已知两角及其夹边 D． 已知两边及其中一边的对角
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交斜边AB于D，AB=12 cm，AC=6 cm，则图中等于60°的角共有（ ）
A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个
7．如图，OC平分∠AOD，OD平分∠BOC，下列等式不成立的是（ ）
A． ∠AOC=∠BOD B． ∠COD=∠AOB C． ∠AOC=∠AOD D． ∠BOD=∠BOC
8．下列各命题的逆命题成立的是（　　）
A． 全等三角形的对应角相等
B． 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C． 对角线互相平分的四边形是平行四边形
D． 如果两个角都是90°，那么这两个角相等
9．对于命题“若＞，则＞.”下列关于的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A． a=2，b=3 B． a=-3，b=2 C． a=3，b=-2 D． a=-2，b=3
10．下列能作为证明依据的是( )
A． 已知条件 B． 定义和基本事实 C． 定理和推论 D． 以上三项都可以
二、填空题（18分）
11．把命题“互为倒数的两数之积为 1”改成“如果……那么……”的形式：___________________
12．如图，△ABC≌△ADE，∠B=100°，∠BAC=30°，那么∠AED=_________°．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40o，点D在AC上，BD＝BC，则∠ABD的度数为 ．
14．完成作图步骤：已知∠，∠ （∠>∠），求作一个角，使它等于∠－∠.作法：（1）作∠AOB＝_______；（2）以OA为一边，在∠AOB的内部作∠AOC＝___，则∠BOC就是所求作的角（如图）.
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=18，BC=7，AB=PQ，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP=__时，△ABC和△PQA全等．
16．如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，若AE=12cm，则DE的长为__cm．
17．若等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则该等腰三角形顶角的度数为________．
18．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，AB的垂直平分线与AC相交于E点，连结BE，若∠CBE∶∠EBA=1∶4，则∠A=____度，∠ABC=_____度.
19．如图，点D在∠AOB的平分线OC上，点E在OA上，ED∥OB，∠1＝25°，则∠AED的度数为______．
三、解答题（52分）
20．如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF．求证：PE=PF.
21．如图，已知：△OAB，△EOF都是等腰直角三角形，∠AOB=900，中，∠EOF=900，连结AE、BF．
求证：（1） AE=BF；（2） AE⊥BF．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝8 cm，E，F分别为边AC，AB的中点．
(1)求∠A的度数；
(2)求EF的长．
23．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A=∠ABE．
（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；
（2）当AB=AC，∠A=46°时，求∠EBC及∠F的度数．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F.
求证：△AEF是等腰三角形．
25．如图，已知△ABC．
(1)画△ABC的外角∠BCD，再画∠BCD的平分线CE；
(2)若∠A＝∠B，CE是外角∠BCD的平分线，请判断CE和AB的位置关系，并说明你的理由．
26．如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于F，连接AD．
（1）求证：∠BDC= ∠BAC；
（2）若AB=AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若AF=BF，求∠EBA的大小.
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
只要牢记三角形只能有一个钝角就易解了．
【详解】
∵一个三角形中只能有一个钝角，
∴100°的角只能是等腰三角形中的顶角，
∴∠B＝∠C是底角，∠A是顶角，
∴△ABC中与这个角对应的角是∠A．
故选：A．
【点睛】
本题考查的知识点为：全等的三角形的对应角相等，知道一个三角形中只能有一个钝角是解决本题的关键．
2．D
【解析】A中，∵DE⊥BC，∠A=90°，∴∠A=∠CDE=90°，
在Rt△CAE和Rt△CDE中，∵CA=CD，CE=CE，
∴Rt△CAE≌Rt△CDE（HL），
∴AE=DE，
∵在Rt△BED中，BE＞DE，∴BE＞AE，故A错误；
B中，根据已知不能得出BD=DE，故B错误；
C中，根据已知不能得出BD=DE，又由DE=AE，即不能推出BD=AE，故C错误；
D中，∵Rt△CAE≌Rt△CDE，∴∠BCE=∠ACE，故D正确.
故选D．
点睛：本题关键是证明直角三角形全等，直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
3．C
【解析】
【分析】
已知给出了∠A的相邻外角是110°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
【详解】
∵∠A的相邻外角是110°，∴∠A=70°，分两种情况：（1）当∠A为底角时，另一底角∠B=∠A=70°（2）当∠A为顶角时，则底角∠B= 55°.
故选:C.
【点睛】
考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
4．A
【解析】
【分析】
根据∠ABC与∠C分别是∠BAD与∠EBC的余角，得到∠ABC=∠C，根据等腰三角形的判定可得答案．
【详解】
∵∠EBC+∠C=90°，∠C+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠EBC，
∵∠EBC=∠BAD
∴∠BAD=∠CAD，∠CAD+∠C=90°∠BAD+∠ABC=90°
∴∠ABC=∠C
∴AB=AC
∴为等腰三角形．故选A．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定；由∠EBC=∠BAD利用等角的余角相等得到∠ABC=∠ACB是正确解答本题的关键．
5．D
【解析】试题分析：根据三角形全等的判定法则可得，已知两边及其中一边的对角不能得出唯一的三角形，故选D．
6．D
【解析】
【分析】
根据已知条件易得，，再根据线段垂直平分线的性质求解.
【详解】
已知，，，
是直角三角形，，
，
，
，
，
又 垂直平分，故根据等腰三角形的性质可得，
， ，，故，.
为等边三角形，
，
、、、、都为.
故选：.
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）及等腰三角形的判定与性质，求得是正确解答本题的关键.
7．B
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义进行作答．
【详解】
A．∵OC平分∠AOD，∴∠COA=∠COD．
∵OD平分∠BOC，∴∠COD=∠BOD，∴∠AOC=∠BOD，故本选项正确；
B．∵OD平分∠BOC，∴∠COD=∠BOC，故本选项错误；
C．∵OC平分∠AOD，∴∠AOC=∠AOD，故本选项正确；
D．∵OD平分∠BOC，∴∠BOD=∠BOC，故本选项正确．
故选B．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义．从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
8．C
【解析】试题解析：A、全等三角形的对应角相等的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，错误；
B、如果两个数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题是如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等，错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形的逆命题是平行四边形的对角线互相平分，正确；
D、如果两个角都是90°，那么这两个角相等的逆命题是如果这两个角相等，那么这两个角都是90°，错误；
故选C．
9．B
【解析】
【分析】
说明命题为假命题，即a、b的值满足a2＞b2，但a＞b不成立，把四个选项中的a、b的值分别代入验证即可．
【详解】
当a=2，b=3时，a2＞b2不成立，故A选项不符合题意；
当a=-3，b=2时，a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项符合题意；
当a=3，b=-2时，a2＞b2，而a＞b成立，故C选项不符合题意；
当a=-2，b=-3时，a2＞b2不成立，故D选项不符合题意.
故选B.
【点睛】
本题主要考查假命题的判断，举反例是说明假命题不成立的常用方法，但需要注意所举反例需要满足命题的题设，但结论不成立．
10．D
【解析】解：已知条件、定义和基本事实、定理和推论都可以作为证明的依据．故选D．
11．如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为 1
【解析】
【分析】
找出命题的题设与结论，进行改写即可.
【详解】
命题“互为倒数的两数之积为 1”改成“如果……那么……”的形式为：如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1
故答案为：如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1
【点睛】
考查命题，熟练找出命题的题设和结论是进行改写的关键.
12．50°
【解析】
首先根据全等三角形性质可得对应角相等，再结合图形找到全等三角形的那两个角对应相等，根据题意完成填空．
解:因为∠B＝100°，∠BAC＝30°所以∠ACB＝50°；又因为△ABC≌△ADE，所以∠ACB＝∠AED ＝50°.
13．30°．
【解析】试题分析：因为AB=AC，∠A=40°，所以∠ABC=∠C=70°，又BD=BC，所以∠BDC=∠C=70°，又∠BDC=∠A+∠ABD,所以∠ABD=∠BDC-∠A=70°-40°=30°．
考点：1．等腰三角形的性质、2．三角形的外角的性质．
14．（1）∠；（2）∠
【解析】试题解析：
（1）作
（2）以OA为一边，在的内部作 则 就是所求作的角（如图）.
故答案为：
15．7或18
【解析】当AP=7或18时，△ABC和△PQA全等，
理由是：∵∠C=90°，AO⊥AC，
∴∠C=∠QAP=90°，
①当AP=7=BC时
在Rt△ACB和Rt△QAP中， ，
∴Rt△ACB≌Rt△QAP(HL)，
②当AP=18=AC时，
在Rt△ACB和Rt△PAQ中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ(HL)，
故答案为：7或18.
点睛：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形的全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等,不能全等，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键.
16．12
【解析】
连接BE，
∵D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，
∴∠A=∠BDE=90°，
∴在Rt△DBE和Rt△ABE中，
BD=AB(已知),BE=EB(公共边)，
∴Rt△DBE≌Rt△ABE(HL)，
∴AE=ED，
又∵AE=12cm，
∴ED=12cm.
故填12.
17．30°或150°
【解析】当该三角形为锐角三角形时，如图1，
∵sin∠A=，
∴∠A=30°，即△ABC的顶角为30°；
当该三角形为钝角三角形时，如图2，
在Rt△ABD中，∵sin∠BAD=，
∴∠BAD=30°，
∴∠BAC=150°，即△ABC的顶角为150°；
故答案为：30°或150°，
点睛：本题主要考查含30°角的直角三角形的性质及分类讨论的数学思想，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
18．4050
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，根据线段垂直平分线的性质得出，再由，可设，则，根据余角的定义可得出的值，进而得出结论.
【详解】
如图所示：
是线段的垂直平分线，
，
，
可设，则，
，
，即，解得，
，.
故答案为：（1）；（2）.
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键.
19．50°
【解析】
【分析】
根据平行线的性质得到∠3=∠1，根据角平分线的定义得到∠1=∠2，等量代换得到∠2=∠3，由三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】
解：
∵ED∥OB，
∴∠3=∠1，
∵点D在∠AOB的平分线OC上，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴∠AED=∠2+∠3=50°，
故答案为：50°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
20．见解析
【解析】试题分析：连接AP，证明Rt△APF≌Rt△APE，便可得PE=PF.
解：连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP=∠AFP=90°，
∵在Rt△AEP和Rt△AFP中，AP=AP，AE=AF，
∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL），
∴PE=PF．
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】试题分析：（1）通过证△AEO≌△BFO得到AE=BF；（2）延长AE交BF于D，交OB于C，在△BCD和△ABC中，由∠BCD=∠ACO，∠OAC=∠OBF，可得∠BDA=∠AOB=90°，即可证.
解：（1）在△AEO与△BFO中，
∵Rt△OAB与Rt△EOF是等腰直角三角形，
∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90°-∠BOE=∠BOF，
∴△AEO≌△BFO，
∴AE=BF；
（2）延长AE交BF于D，交OB于C，则∠BCD=∠ACO，
由（1）知△AEO≌△BFO，∴∠OAC=∠OBF，
∴∠BDA=∠AOB=90°，∴AE⊥BF．
22．(1) 30°；(2) 2 cm.
【解析】试题分析: （1）由“直角三角形的两个锐角互余”的性质来求的度数；（2）由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得 则 然后根据三角形中位线定理求得
试题解析：(1)如图,∵在Rt△ABC中,

即∠A的度数是
(2)∵由(1)知,
∴在Rt△ABC中,
又E.?F分别为边AC、AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，

23．（1）见解析；（2）∠EBC =21°，∠F=23°．
【解析】试题分析：(1)、根据题意得出AE=BE，然后结合AD=BD得出答案；(2)、根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=67°，根据∠EBC=∠ABC﹣∠ABE和∠F=90°﹣∠ABC得出角度．
试题解析：(1)、证明：∵∠A=∠ABE， ∴EA=EB， ∵AD=DB，
∴DF是线段AB的垂直平分线；
(2)、解：∵∠A=46°， ∴∠ABE=∠A=46°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=67°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=21°， ∠F=90°﹣∠ABC=23°．
24．见解析
【解析】试题分析：首先根据等腰三角形底边上的三线合一定理可得：AD为∠BAC的角平分线，根据平行线的性质得出∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，从而∠FEA=∠F，得出等腰三角形．
试题解析：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠CAD， 又∵AD∥EF，
∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD， ∴∠FEA=∠F， ∴△AEF是等腰三角形．
25．(1)图见解析；（2）CE∥AB.理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）用尺规作图即可；
（2）用三角形的外角的性质即可求出，所以两直线平行.
【详解】
解：(1)如图．
(2)CE∥AB.理由如下：
∵∠A＝∠B，∴∠BCD＝∠A＋∠B＝2∠B.
又∵CE是∠BCD的平分线，
∴∠BCD＝2∠BCE，
∴∠BCE＝∠B，∴CE∥AB.
【点睛】
本题主要考查了尺规作图和平行线的判定，利用三角形的外角性质和角平分线定义即可证明.
26．（1）见解析；（2）△ABD为等腰三角形；见解析；（3）∠ABC=72°．
【解析】
试题分析：（1）根据角平分线的定义得到∠BDC+∠ABC=∠ACE，∠BAC+∠ABC=∠ACE，于是得到∠BDC+∠ABC=∠BAC+∠ABC，等量代换即可得到结论；
（2）作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H根据角平分线的性质得到DM=DH，DN=DH，等量代换得到DM=DN，根据三角形的内角和得到∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，推出∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB，由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，等量代换得到∠GAD=∠ABC，推出AD∥BC，由平行线的性质得到∠ADB=∠DBC，证得∠ABD=∠ADB，即可得到结论；
（3）根据等腰三角形的性质得到∠BAF=∠ABF=∠ABC，根据三角形的内角和即可得到结论．
解：（1）∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，
∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，∠BAC+∠ABC=∠ACE，
∴∠BDC+∠ABC=∠BAC+∠ABC，
∴∠BDC=∠BAC．
（2）△ABD为等腰三角形，证明如下：
作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，
∴DM=DH，DN=DH，
∴DM=DN，
∴AD平分∠CAG，即∠GAD=∠CAD，
∵∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠GAD=∠ABC，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
又∵∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴△ABD为等腰三角形；
（3）∵AF=BF，
∴∠BAF=∠ABF=∠ABC，
∵∠BAF+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=180°，
∴∠ABC=72°．
考点：等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．