第13章 全等三角形单元检测试题B卷(含解析)

文档属性

名称 第13章 全等三角形单元检测试题B卷(含解析)
格式 zip
文件大小 1.4MB
资源类型 试卷
版本资源 华东师大版
科目 数学
更新时间 2018-12-29 17:36:17

图片预览

文档简介

第13章 全等三角形单元检测试题B卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、选择题(40分)
1.下列命题的逆命题不成立的是(  )
A. 如果两个数互为相反数,那么它们的和等于0
B. 如果两个角相等,那么这两个角的补角也相等
C. 如果两个数相等,那么它们的平方相等
D. 如果|a|=|b|,那么a=b
2.如图,≌,如果,,,那么DE的长是  
A. 6cm B. 5cm C. 7cm D. 无法确定
3.为了丰富学生的课余生活,某校举行联欢晚会,在联欢晚会上,有A,B,C三名同学站在一个三角形三个顶点的位置上,他们在玩抢凳子游戏,要求在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜,为使游戏公平,凳子应放在△ABC的(  )
A. 三边中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处
C. 三边高的交点处 D. 三边垂直平分线的交点处
4.等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm,则周长为( )
A.13 cm B.17 cm C.13 cm或17 cm D.11 cm或17 cm
5.如图,在四边形ABCD中,AC,BD为对角线,AB=BC=AC=BD,则∠ADC的大小为(   )
A. 120° B. 135° C. 145° D. 150°
6.如图,已知,求作射线,使平分.
①作射线.②在和上分别截取、,使.
③分别以、为圆心,以大于二分之一长为半径,在内作弧,两弧交于点.作法合理的顺序是( )
A. ①②③ B. ②①③ C. ③②① D. ②③①
7.如图,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,MN是AC的垂直平分线,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为( )
A. 65° B. 60° C. 55° D. 45°
8.如图,BE、CF是△ABC的角平分线,∠A=50°,BE、CF相交于D,则∠BDC的度数是(  )
A. 115° B. 110° C. 100° D. 90°
9.如图,△ABC的三边AB,BC,CA长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC分为三个三角形,则S△ABO:S△BCO:S△CAO等于(  )
A. 1:1:1 B. 1:2:3 C. 2:3:4 D. 3:4:5
10.已知△ABC的三边长分别为4、4、6,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画( )
A. 3条 B. 4条 C. 5条 D. 6条
二、填空题(32分)
11.如图,已知 ≌ ,点B,E,C,F在同一条直线上,若 ,则 =________.
12.阅读下面的材料:
小芸的作法如下:
请回答:小芸的作图依据是____________________________________.
13.如图,要测量河岸相对的,两点之间的距离,先在的延长线上取一点,使,再过点作垂线,使,,在一条直线上,则的依据是________.
14.如果两个三角形的两边及其中一边的对角对应相等,那么这两个三角形全等,其逆命题是_______________________,这个逆命题是________命题.
15.如图已知AB⊥CD,△ABD、△BCE都是等腰三角形,如果CD=8cm,BE=3cm. 则AE的长是_____.
16.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,∠BAC的平分线为AF,AF与CD交于点E,则△CEF是__________三角形.
17.如图,BD垂直平分线段AC,AE⊥BC,垂足为E,交BD于点P,PE=3 cm,则点P到直线AB的距离是________ cm.
18.如图,在中,,平分,于,如果,那么________.
三、解答题(78分)
19.如图所示,AF平分∠BAC,P是AF上任一点,过点P分别作PD⊥AB,PE⊥AC,D,E分别为垂足,连接DE.AF垂直平分DE吗?为什么?
20.已知:如图,,,,,是垂足,.
求证:(1);(2).
21.如图,在△ABC中,点D是AB的中点,点F是BC延长线上一点,连接DF,交AC于点E,连接BE,∠A=∠ABE.
(1)求证:DF是线段AB的垂直平分线;
(2)当AB=AC,∠A=46°时,求∠EBC及∠F的度数.
22.如图,已知△ABC.
(1)请在图①上画出到△ABC的三个顶点距离相等的点P.这样点P有几个?
(2)请在图②上画出到△ABC的三边距离相等的点M.这样的点M有几个?
(不写作法,仅保留作图痕迹.)
23.如图,△ABC中,AB,AC的垂直平分线分别交BC于D,E两点,垂足分别是M,N.
(1)若△ADE的周长是10,求BC的长;
(2)若∠BAC=100°,求∠DAE的度数.
24.如图,直线AB与CD相交于点O,OP是∠BOC的平分线,OE⊥AB,OF⊥CD.
(1)图中除直角外,还有相等的角吗?请写出两对;
(2)如果∠AOD=50°,求∠DOP的度数.
(3)OP平分∠EOF吗?为什么?
25.如图所示,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E是AB的中点,CE⊥BD.
(1)求证:BE=AD;
(2)求证:AC是线段ED的垂直平分线.
26.(1)如图1,已知:在△ABC中,AB=AC=10,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,过点D作EF∥BC,分别交AB、AC于E、F两点,则图中共有__________个等腰三角形;EF与BE、CF之间的数量关系是__________,△AEF的周长是__________;
(2)如图2,若将(1)中“△ABC中,AB=AC=10”该为“若△ABC为不等边三角形,AB=8,AC=10”其余条件不变,则图中共有__________个等腰三角形;EF与BE、CF之间的数量关系是什么?证明你的结论,并求出△AEF的周长;
(3)已知:如图3,D在△ABC外,AB>AC,且BD平分∠ABC,CD平分△ABC的外角∠ACG,过点D作DE∥BC,分别交AB、AC于E、F两点,则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢?直接写出结论不证明.
参考答案
1.C
【解析】
【分析】
首先理解逆命题的含义:一般的,在数学中把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题。对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件,那么这两个命题叫做互逆命题,其中一个命题叫做原命题,另外一个命题叫做原命题的逆命题。根据原命题写出各个命题的逆命题,再进一步判断真假.
【详解】
A选项:逆命题是如果两个数的和是0,那么这两个数互为相反数,本选项正确;
B选项:逆命题是如果两个角的补角相等,那么这两个角相等,本选项正确;
C选项:逆命题是如果两个数的平方相等,这两个数相等,我们可以举个例子说明,,但 ,正确的是这两个数也相等或互为相反数,本选项错误;
D选项:逆命题是如果a=b,那么|a|=|b|,本选项正确;
故选:C.
【点睛】
本题考查命题与逆命题的意义,关建是要写出逆命题后再判断命题真假,
2.C
【解析】
【分析】
根据全等三角形的对应边相等解答即可.
【详解】
∵≌,
∴DE=,
故选C.
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等、对应角相等,找准对应边是解题的关键.
3.D
【解析】
【分析】
为使游戏公平,要使凳子到三个人的距离相等,于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知,要放在三边中垂线的交点上.
【详解】
∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
∴为使游戏公平,要使凳子到三个人的距离相等,这个点一定是三边的垂线的交点
故选:D.
【点睛】
考查了线段垂直平分线的性质的应用;利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力,要注意培养.想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键.
4.B.
【解析】
试题分析:当7为腰时,周长=7+7+3=17;
当3为腰时,因为3+3<7,所以不能构成三角形;
故三角形的周长是17.
故选B.
考点:1.等腰三角形的性质;2.三角形三边关系.
5.D
【解析】
【分析】
先判断出△ABC是等边三角形,根据等边三角形的每一个内角都是60°可得∠ABC=60°,再根据等腰三角形两底角相等表示出∠ADB、∠BDC,然后根据∠ADC=∠ADB+∠BDC求解即可.
【详解】
∵AB=BC=AC,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=60°,
∵AB=BC=BD,
∴∠ADB=(180°?∠ABD),
∠BDC=(180°?∠CBD),
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC,
=(180°?∠ABD)+(180°?∠CBD),
=(180°+180°?∠ABD?∠CBD),
=(360°?∠ABC),
=180°?×60°,
=150°.
故选:D.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质,等边三角形的判定与性质,本题主要利用了等腰三角形两底角相等,要注意整体思想的利用.
6.D
【解析】
【分析】
根据角平分线的作图步骤解答即可.
【详解】
一般步骤为:
在和上分别截取、,使;
分别以、为圆心,以大于二分之一长为半径,在内作弧,两弧交于点;
作射线.
故选D.
【点睛】
本题考查了尺规作图,解答本题的关键是熟练掌握角平分线的作图步骤.
7.A
【解析】
先根据三角形内角和定理,由△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,可得∠BAC=180°-55°-30°=95°.再由线段垂直平分线的性质,得出∠C=∠CAD=30°,互余两角的和为90°可求得∠BAD=∠BAC-∠CAD=95°-30°=65°. 故选:A.
点睛:本题考查的是作图-基本作图,熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键.
8.A
【解析】
【分析】
由于∠A=50°,根据三角形的内角和定理,得∠ABC与∠ACB的度数和,再由角平分线的定义,得∠DBC+∠DCB的度数,进而求出∠BDC的度数.
【详解】
∵∠A=50°,
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°,
∵BE、CF是△ABC的角平分线,


∴∠BDC=180°﹣65°=115°,
故选:A.
【点睛】
考查三角形内角和定理以及角平分线的性质,熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.
9.C
【解析】
【分析】
利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质,可知三个三角形高相等,底分别是20,30,40,所以面积之比就是2:3:4.
【详解】
本题主要考查三角形的角平分线。
三角形三条角平分线的交点为三角形的内心,即本题中O点为△ABC的内心,则O点到△ABC三边的距离相等,设距离为r,有S△ABO= ×AB×r,S△BCO= ×BC×r,S△CAO= ×CA×r,所以S△ABO:S△BCO:S△CAO=AB:BC:CA=20:30:40=2:3:4.

故答案选C.
【点睛】
本题考查的知识点是三角形的角平分线中线和高,解题的关键是熟练的掌握三角形的角平分线中线和高.
10.B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质,利用4为腰得出符合题意的图形即可.
【详解】
如图所示:
当AC=CD,AB=BG,AF=CF,AE=BE时,都能得到符合题意的等腰三角形.
故答案选B.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定,解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的判定与性质.
11.7
【解析】
【分析】
根据全等三角形对应边相等可得BC=EF,然后根据BF=BE+EF计算即可得解.
【详解】
∵△ABC≌△DEF,
∴BC=EF=5,
∴BF=BE+EF=2+5=7,
故答案为:7.
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质,熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键.
12.到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上;两点确定一条直线.
【解析】试题分析:直接利用线段的垂直平分线的性质及直线的性质进而分析得到答案.
试题解析:分别以点和点为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于两点的依据是:到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
连接的依据是:两点确定一条直线.
故答案为:到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上,两点确定一条直线.
13.ASA
【解析】
【分析】
根据AB⊥BC、ED⊥CD,即可得出∠ABC=∠EDC,再结合DC=BC以及相等的对顶角∠ECD=∠ACB,即可利用全等三角形的判定定理ASA证出△EDC≌△ABC,由此即可得出结论.
【详解】
∵AB⊥BC,ED⊥CD,
∴∠ABC=90°=∠EDC.
在△EDC和△ABC中,

∴△EDC≌△ABC(ASA).
故答案为:ASA.
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用,解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,熟练掌握全等三角形判定定理的应用是关键.
14.若两个三角形全等,那么这两个三角形的两边及其中一边的对角对应相等;真
【解析】
【分析】
根据逆命题的定义,写出逆命题,再根据全等三角形的性质进行判断.
【详解】
如果两个三角形的两边及其中一边的对角对应相等,那么这两个三角形全等,其逆命题是如果两个三角形全等,那么这两个三角形的两边及其中一边的对角对应相等;这个逆命题是真命题.
故答案为:若两个三角形全等,那么这两个三角形的两边及其中一边的对角对应相等;真.
【点睛】
本题考核知识点:全等三角形的性质. 解题关键点:熟记全等三角形的性质.
15.2cm
【解析】∵AB⊥CD  △BCE是等腰三角形
∴BC= BE=3 cm.
∵CD=8cm
∴BD= BC-CB=8cm-3 cm=5 cm
∵△ABD是等腰三角形
∴AB=BD=5 cm
∴AE=AB-BE=5 cm-3 cm=2 cm
点睛:本题充分利用等腰三角形的性质和线段的和差进行解决问题,步骤虽多,但内容较简单.
16.等腰
【解析】
【分析】
首先根据条件∠ACB=90°,CD是AB边上的高,可证出∠BCD+∠ACD=90°,∠B+∠BCD=90°,再根据同角的补角相等可得到∠B=∠DCA,再利用三角形的外角与内角的关系可得到∠CFE=∠FEC,最后利用等角对等边可证出结论.
【详解】
∵∠ACB=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°.
∵CD是AB边上的高,∴∠B+∠BCD=90°,∴∠B=∠DCA.
∵AF是∠BAC的平分线,∴∠1=∠2.
∵∠1+∠B=∠CFE,∠2+∠DCA=∠FEC,∴∠CFE=∠FEC,∴CF=CE,∴△CEF是等腰三角形.
故答案为:等腰.
【点睛】
本题主要考查了三角形内角与外角的关系以及等腰三角形的判定,解题的关键是根据条件理清角之间的关系,得出∠CFE=∠FEC.
17.3
【解析】
【分析】
由已知条件,根据垂直平分线的性质得出AB=AC,可得到∠ABD=∠DBC,再利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到答案.
【详解】
过点P作PM⊥AB与点M, ∵BD垂直平分线段AC, ∴AB=CB, ∴∠ABD=∠DBC,即BD为角平分线, 又PM⊥AB,PE⊥CB, ∴PM=PE=3.
故答案为:3
【点睛】
本题考核知识点:线段垂直平分线性质. 解题关键点:理解线段垂直平分线性质和等腰三角形性质.
18.4
【解析】
【分析】
由BD为角平分线,且DE垂直于BA,DC垂直于BC,利用角平分线性质得到DE=DC,则AD+DE=AD+DC=AC,由AC的长即可得出所求式子的值.
【详解】
解:∵∠ACB=90°, ∴又BD平分∠ABC,DC⊥BC,DE⊥AB, ∴DE=DC, 又∵AC=4cm, ∴AD+DE=AD+DC=AC=4cm. 故答案为:4.
【点睛】
此题考查了角平分线的性质,角平分线的性质为:角平分线上的点到角两边的距离相等,熟练掌握此性质是解本题的关键.
19.见解析
【解析】
【分析】
根据题意可得△APD≌△APE,即AD=AE,再根据垂直平分线的性质即可得证.
【详解】
解:AF垂直平分DE.
理由:∵AF平分∠BAC,PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,
∴∠PAD=∠PAE,,
在△APD和△APE中,

∴△APD≌△APE(AAS),
∴AD=AE(三角形全等其对应边相等),
则AF垂直平分DE.
20.证明见解析
【解析】
【分析】
由HL可得Rt△DCE≌Rt△BAF,进而得出对应线段、对应角相等,即可得出(1)、(2)两个结论.
【详解】
∵,,
在和中,,
∴.
∴.
由知,
∴.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题,能够熟练掌握.
21.(1)见解析;(2)∠EBC =21°,∠F=23°.
【解析】试题分析:(1)、根据题意得出AE=BE,然后结合AD=BD得出答案;(2)、根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=67°,根据∠EBC=∠ABC﹣∠ABE和∠F=90°﹣∠ABC得出角度.
试题解析:(1)、证明:∵∠A=∠ABE, ∴EA=EB, ∵AD=DB,
∴DF是线段AB的垂直平分线;
(2)、解:∵∠A=46°, ∴∠ABE=∠A=46°, ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB=67°,
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=21°, ∠F=90°﹣∠ABC=23°.
22.(1)见解析;(2) 4个.
【解析】试题分析: 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得在和的垂直平分线的交点处,然后做和的垂直平分线即可.
根据角平分线上的点到角两边的距离相等.可以画出个点, 其中一个是三角形三个内角平分线的交点,另外三个是三角形三个外角平分线所在直线的交点.
试题解析: 如图①所示,这样的点有个.
 
如图②所示,这样的点有个.
23.(1)BC=10.(2)20°.
【解析】
【分析】
(1)由AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E,垂足分别是M、N,根据线段垂直平分线的性质,可得AD=BD,AE=EC,继而可得△ADE的周长等于BC的长; (2)由∠BAC=100゜,可求得∠B+∠C的度数,又由AD=BD,AE=EC,即可求得∠BAD+∠CAE的度数,继而求得答案.
【详解】
解:(1)因为AB,AC的垂直平分线分别交BC于D,E两点,垂足分别是M,N,
所以AD=BD,AE=CE.
因为△ADE的周长是10,
所以AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=10,即BC=10.
(2)因为∠BAC=100°,
所以∠B+∠C=180°-∠BAC=80°.
因为AD=BD,AE=CE,
所以∠BAD=∠B,∠CAE=∠C,
所以∠BAD+∠CAE=80°,所以∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠CAE)=100°-80°=20°.
【点睛】
本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质,解题关键是注意掌握数形结合思想与转化思想的应用.
24.(1)①∠COP=∠BOP、②∠AOD=∠COB;(2)155°;(3)平分,理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据角平分线的性质和对顶角来填空; (2)根据对顶角相等、角平分线的性质求得∠COP=∠AOD=25°;即可求出∠DOP的度数.
(3)根据同角的余角相等得到∠EOC=∠BOF.根据角平分线的定义∠POC=∠POB,求得∠EOP=∠FOP.即可说明OP平分∠EOF.
【详解】
(1)①∵OP是∠BOC的平分线,
∴∠COP=∠BOP.
②∵直线AB与CD相交于点O,
∴∠AOD=∠COB.
故答案是:∠COP=∠BOP、∠AOD=∠COB;
(2)∵∠AOD=∠BOC=50°,OP是∠BOC的平分线,
∴∠COP=∠AOD=25°.
∴∠DOP=180°-25°=155°;
(3)平分,理由如下:
∵如图,OE⊥AB,OF⊥CD,
∴∠EOB=90°,∠COF=90°,
∴∠EOB=∠COF,
∴∠EOC=∠BOF.
∵OP是∠BOC的平分线,
∴∠POC=∠POB,
∴∠EOP=∠FOP,
∴OP平分∠EOF.
【点睛】
考查角平分线的判定与性质,对顶角相等,同角的余角相等,角度的计算等,比较基础,难度不大.
25.见解析
【解析】
【分析】
(1)把要证明的线段AD和BE放到两个三角形ABD和BCE中即可证明;
(2)根据等腰三角形的三线合一即可证明;
【详解】
(1)证明:如图,
∵∠ABC=90°,BD⊥EC,
∴∠1+∠3=90°,∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠2,
在△BAD和△CBE中,

∴△BAD≌△CBE(ASA),
∴AD=BE.
(2)证明:∵E是AB中点,
∴EB=EA,
∵AD=BE,
∴AE=AD,
∵AD∥BC,
∴∠7=∠ACB=45°,
∵∠6=45°,
∴∠6=∠7,
又∵AD=AE,
∴AM⊥DE,且EM=DM,
即AC是线段ED的垂直平分线.
【点睛】
综合运用了全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质.此类题注意已证明的结论的充分运用.
26.(1)5;BE+CF=EF;20; (2)2;BE+CF=EF,证明见解析;△AEF的周长=18;(3)BE-CF=EF,理由见解析.
【解析】试题分析:(1)根据角平分线的定义可得∠EBD=∠CBD,∠FCD=∠BCD,再根据两直线平行,内错角相等可得∠EDB=∠CBD,∠FDC=∠BCD,然后求出∠EBD=∠EDB,∠FDC=∠BCD,再根据等角对等边可得BE=DE,CF=DF,然后解答即可;
(2)根据角平分线的定义可得∠EBD=∠CBD,∠FCD=∠BCD,再根据两直线平行,内错角相等可得∠EDB=∠CBD,∠FDC=∠BCD,然后求出∠EBD=∠EDB,∠FDC=∠BCD,再根据等角对等边可得BE=DE,CF=DF,然后解答即可;
(3)由(2)知BE=ED,CF=DF,然后利用等量代换即可证明BE、CF、EF有怎样的数量关系.
试题解析:解:(1)BE+CF=EF.理由如下:
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,∴∠EBD=∠CBD,∠FCD=∠BCD,∴∠DBC=∠DCB,∴DB=DC.
∵EF∥BC,∴∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,∠EDB=∠CBD,∠FDC=∠BCD,∴∠EBD=∠EDB,∠FDC=∠BCD,∴BE=DE,CF=DF,AE=AF,∴等腰三角形有△ABC,△AEF,△DEB,△DFC,△BDC共5个,∴BE+CF=DE+DF=EF,即BE+CF=EF,△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+BE+AF+FC=AB+AC=20.
故答案为:5;BE+CF=EF;20;
(2)BE+CF=EF.∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,∴∠EBD=∠CBD,∠FCD=∠BCD.∵EF∥BC,∴∠EDB=∠CBD,∠FDC=∠BCD,∴∠EBD=∠EDB,∠FDC=∠BCD,∴BE=DE,CF=DF,∴等腰三角形有△BDE,△CFD,∴BE+CF=DE+DF=EF,即BE+CF=EF.△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE+EB+CF+AF=AB+AC=8+10=18.
此时有两个等腰三角形,EF=BE+CF,C△AEF=18.
(3)BE﹣CF=EF.由(1)知BE=ED.∵EF∥BC,∴∠EDC=∠DCG=∠ACD,∴CF=DF.又∵ED﹣DF=EF,∴BE﹣CF=EF.
点睛:本题主要考查的是等腰三角形的性质和判断,熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键.