第14章 勾股定理单元检测试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 第14章 勾股定理单元检测试题（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-12-29 17:44:12 | ||
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文档简介
第14章 勾股定理单元检测试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．以下列各组数据中，能构成直角三角形的是（ ）
A． 2，3，4 B． 3，4，7 C． 5，12，13 D． 1，2，3
2．直角三角形的两条直角边分别是6和8，则这三角形斜边上的高是（ ）
A． 4.8 B． 5 C． 3 D． 10
3．如图所示，图中的两个三角形能完全重合，下列写法正确的是( )
A． △ABE≌△AFB B． △ABE≌△ABF C． △ABE≌△FBA D． △ABE≌△FAB
4．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为
A． 8 B． 9 C． 10 D． 11
5．在如图是一个棱长为4cm的正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB1的中点N的最短路线是（ ）
A．8 B．2 C．2 D．2+2
6．一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是（ ）
A． 12米 B． 13米 C． 14米 D． 15米
7．如图，把长方形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处, 已知∠MPN＝90°，且PM＝3，PN＝4，那么矩形纸片ABCD的面积为（ ）
A． 26 B． 28.8 C． 26.8 D． 28
8．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若cm， cm，则S△ABC为（ ）．
A． 24cm2 B． 36cm2 C． 48cm2 D． 60cm2
9．如图，O是等边△ABC内的一点，OB＝1，OA＝2，∠AOB＝150°，则OC的长为（ ）
A． B． C． D． 3
10．如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012=（ ）
A． 2013 B． 2012 C． D．
二、填空题
11．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是______米．
12．如图，已知OA＝OB，BC＝1，则数轴上的点A所表示的数是___.
13．已知，在△ABC中，AB=，∠C=22.5°，将△ABC翻折使得点A与点C重合，折痕与边BC交于点D，如DC=2，那么BD的长为_____．
14．在△ABC中，∠C＝90°，c＝10，a∶b＝3∶4，则a＝______，b＝_______.
15．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为__________.
16．一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_____________cm.
17．如果直角三角形一条直角边长为23，斜边和另一条直角边长的长度都是整数，则这个直角三角形斜边的长为_________________；
18．在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则△ABC的周长为________．
三、解答题
19．如图，已知E、F是□ABCD对角线AC 上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC. 求证： BE=DF；
20．某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m，8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．
求扩建后的等腰三角形花圃的周长．
21．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，CD＝， AD＝，且∠B＝90°，∠D＝60°，求∠BCD的度数．
22．一架长25米的云梯，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
(1)求梯子顶端到地面的距离；
（2）如果梯子的顶端下滑4米，那么云梯的底端在水平方向将滑多少米？
23．我们知道，以3，4，5为边长的三角形为直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等．
（1）请你根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；
（2）试用数学等式描述上述勾股数组的规律；
（3）请证明你所发现的规律．
24．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响． 试问：
（1）A城市是否会受到台风影响？请说明理由．
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
25．如图，A（0，4）是直角坐标系 y 轴上一点，动点 P 从原点 O 出发，沿 x 轴正半轴运动，速度为每秒 1 个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为 t 秒．
（1）若 AB∥x 轴，求 t 的值；
（2）若OP=OA，求B点的坐标．
（3）当 t=3 时，x 轴上是否存在有一点 M，使得以 M、P、A 为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点 M 的坐标．
26．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD∶AD∶CD=2∶3∶4，
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC=40 cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1 cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
参考答案
1．C
【解析】分析:根据勾股定理逆定理逐项计算判断即可.
详解: A. ∵22+52=29≠42，∴ 2，3，4不能构成直角三角形；
B. ∵32+42=25≠72，∴ 3，4，7不能构成直角三角形；
C. ∵52+122=169=132，∴ 5，12，13能构成直角三角形；
D. ∵12+22=5≠32，∴ 1，2，3不能构成直角三角形；
故选C.
点睛:本题考查了勾股定理逆定理,如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形,在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
2．A
【解析】试题分析：由勾股定理可求得斜边长为10，设斜边上的高为h，根据直角三角形的面积的计算方法可得×6×8=×10h，即可求得直角三角形斜边上的高为4.8. 故本题答案为A.
考点：勾股定理；直角三角形面积的计算公式.
3．B
【解析】解：要把对应顶点写在对应位置．∵B和B对应，A和A对应，E和F对应，故△ABE≌△ABF．故选B．
4．C
【解析】
【分析】
由正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得，然后证明≌，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
【详解】
如图，由于a、b、c都是正方形，所以，；
∵，∴，
在和中，
，
≌，
，，
在中，由勾股定理得：，
即，
的面积为10，
故选C．
【点睛】
本题考查了正文形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用等，熟练掌握相关性质与定理、得出△ACB≌△DCE是解题的关键.
5．C.
【解析】
试题分析：把此正方体的DCC1D1面与CC1B1B面展开在同一平面内，然后利用勾股定理求点M和N点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形MNB1中，一条直角边长等于6，另一条直角边长等于2，利用勾股定理可求得．
试题解析：把正方体的DCC1D1面与CC1B1B面展开在同一平面内，
∵M、N为C1D1和BB1的中点，
∴NB1=2，MC1=2，
在Rt△NMB1中，MN=
故选C．
考点：平面展开-最短路径问题．
6．A
【解析】试题分析：由题意可知消防车的云梯长、地面和建筑物的高度构成了一个直角三角形，斜边为消防车的云梯长，根据勾股定理就可求出建筑物的高度，如图所示，即建筑物的高度为：=12米，故选A．
考点：勾股定理的运用．
7．B
【解析】∵在△MPN中，∠MPN=90°，PM=3，PN=4，
∴MN=，
∴BC=PM+MN+PN=12，
过点P作PE⊥MN于点E，
∴S△PMN=MNPE=PMPN，即PE=6，解得PE=，
∴矩形ABCD的宽AB=，
∴S矩形ABCD=ABBC=.
故选B.
8．A
【解析】试题分析：根据直角三角形的勾股定理可得：==100，根据完全平方公式可得：，即+2ab=196，则ab=48，根据三角形的面积计算公式可得：S=ab=24.
考点：勾股定理
9．B
【解析】如图，将△AOB绕B点顺时针旋转60°到△BO′C的位置，
由旋转的性质，得BO=BO′，
∴△BO′O为等边三角形，
由旋转的性质可知∠BO′C=∠AOB=150°，
∴∠CO′O=150°-60°=90°，
又∵OO′=OB=1，CO′=AO=2，
∴在Rt△COO′中，由勾股定理，得OC= ．
故选B．
10．C
【解析】
【分析】
首先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的长度找到规律进而求出OP2012的长．
【详解】
由勾股定理得：OP4=， ∵OP1=；得OP2；OP3=2； 依此类推可得OPn=， ∴OP2012，
故选：C
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是由已知数据找到规律．
11．8
【解析】由题意可知，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4米，BC=3米，
∴由勾股定理可得：AC=（米）.
∴折断之前这棵树的高度为：AC+BC=3+5=8（米）.
12．-
【解析】∵OC=2，BC=1，∴OB=，
∴OA=OB=，
∴点A所表示的数是－.
点睛：本题关键在判断A所表示的数的时候注意符号问题.
13．+1或﹣1．
【解析】
【分析】
过A作AF⊥BC于F，构造直角三角形，分两种情况讨论，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质，即可得到BD的长．
【详解】
分两种情况：
①当∠B为锐角时，如图所示，过A作AF⊥BC于F，
由折叠可得，折痕DE垂直平分AC，
∴AD=CD=2，
∴∠ADB=2∠C=45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴AF=DF= ，
又∵AB=，
∴Rt△ABF中，BF= =1，
∴BD=BF+DF=1+；
②当∠ABC为钝角时，如图所示，过A作AF⊥BC于F，
同理可得，△ADF是等腰直角三角形，
∴AF=DF=，
又∵AB= ，
∴Rt△ABF中，BF==1，
∴BD=DF﹣BF=﹣1；
故答案为： +1或﹣1．
【点睛】
本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，解决问题的关键是分两种情况画出图形进行
求解．解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，
位置变化，对应边和对应角相等．
14．68
【解析】
【分析】
由勾股定理可得a和b的关系式，再由a：b=3：4，则a和b的值可求出．
【详解】
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2．
∵a：b=3：4，c=10，∴a2+（a）2=100，∴a=6，b=8．
故答案为：6，8．
【点睛】
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中正确的运用勾股定理求a和b的值是解题的关键．
15．450
【解析】试题分析：分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB2=12+22=5，BC=12+22=5，AC=12+32=10，继而可得出∠ABC=90°，然后根据等腰直角三角形可求得∠BAC=45°．
考点：1．勾股定理，2．等腰三角形
16．10
【解析】
【分析】
将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案．
【详解】
如图1所示：
AB==10（cm），
如图2所示：
AB=（cm）．
∵10＜，
∴蚂蚁爬行的最短路程是10cm．
故答案为10．
【点睛】
此题考查了平面展开-最短路径问题，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键．
17．265
【解析】
【分析】
设这个直角三角形的斜边长为c，另一条直角边长为b.由勾股定理知 ，即﹙c－b﹚﹙c＋b﹚＝529＝1×529，又因这个直角三角形的三条边长都是正整数，可得c－b＝1， c＋b＝529，由此即可求得这个直角三角形斜边的长.
【详解】
设这个直角三角形的斜边长为c，另一条直角边长为b.
由勾股定理知： ，
即﹙c－b﹚﹙c＋b﹚＝529＝1×529
∵ 这个直角三角形的三条边长都是正整数
∴ c－b＝1， c＋b＝529，
解得：c＝265，b＝264.
答：这个直角三角形的斜边长是265.
故答案为：265.
【点睛】
本题考查了勾股定理及平方差公式的应用，利用勾股定理及平方差公式求得c－b＝1， c＋b＝529是解决问题的关键.
18．32或42
【解析】试题解析：∵AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，
∴AD==9，BD==5，
如图1，
CD在△ABC内部时，AB=AD+BD=9+5=14，
此时，△ABC的周长=14+13+15=42，
如图2，
CD在△ABC外部时，AB=AD-BD=9-5=4，
此时，△ABC的周长=4+13+15=32.
综上所述，△ABC的周长为32或42．
19．证明见解析
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD AB∥CD
∴∠BAE=∠FCD………………………2分
又∵BE⊥AC DF⊥AC
∴∠AEB=∠CFD=90°………………………4分
∴△ABE≌△CDF （AAS）………………………6分
∴BE=DF
20．扩建后的等腰三角形花圃的周长是32m或 20+4m或m.
【解析】
试题分析：根据题意画出图形，构造出等腰三角形，根据等腰三角形及直角三角形的性质利用勾股定理解答．
试题解析：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6
由勾股定理有：AB=10，应分以下三种情况：
①如图1，当AB=AD=10时，
∵AC⊥BD，
∴CD=CB=6m，
∴△ABD的周长=10+10+2×6=32m．
②如图2，当AB=BD=10时，
∵BC=6m，
∴CD=10-6=4m，
∴AD=m，
∴△ABD的周长=10+10+4=（20+4）m．
③如图3，当AB为底时，设AD=BD=x，则CD=x-6，由勾股定理得：
AD=，
解得，x=
∴△ABD的周长为：AD+BD+AB=++10=m．
考点：勾股定理的应用．
21．75°
【解析】试题分析：如图，连接AC，在直角三角形ABC中，根据勾股定理求出AC的长，然后根据勾股定理的逆定理求出△ACD是直角三角形，然后根据等腰三角形求解即可.
试题解析：连接AC
∵∠B＝90°，AB＝BC＝3
∴，∠BAC＝∠BCA＝45°
又∵CD＝， AD＝
∴AC2＋AD2＝18+6＝24，CD2＝24
∴AC2＋AD2＝CD2
∴∠CAD＝90°
∴∠DCA＝90°－∠D＝30°
∴∠BCD＝∠BCA＋∠DCA＝75°
22．（1）24米；（2）8米.
【解析】
【分析】
根据梯子长度不会变这个等量关系，我们可以根据BC求AC，根据AD、AC求CD，根据CD计算CE，根据CE，BC计算BE，即可解题．
【详解】
由题意知AB=DE=25米，BC=7米，AD=4米，
在直角△ABC中，AC为直角边，
∴AC==24米，
已知AD=4米，则CD=24?4=20米，
在直角△CDE中，CE为直角边
∴CE==15米，
∴BE=15米?7米=8米。
故答案为：（1）24米；（2）8米.
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据题意列出式子进行求解
23．（1）（48，14，50）；（2）（n2－l，n2，n2＋1）；（3）以n2－1，2n，n2＋l为三边长的三角形为直角三角形．
【解析】试题分析：（1）第六组勾股数为（48，14，50）；（2）规律：第n组勾股数为（n2+2n，2n+2，n2+2n+2）；（3）(n2+2n)2+(2n+2)2=n4+4n3+4n2+4n2+8n+4=n4+4n3+8n2+8n+4,
(n2+2n+2)2=n4+4n2+4+4n3+8n+4n2=n4+4n3+8n2+8n+4, (n2+2n)2=(n2+2n+2)2.
试题解析：
（1）第六组勾股数为（48，14，50）；
（2）规律：第n组勾股数为（n2+2n，2n+2，n2+2n+2）；
（3）证明：(n2+2n)2+(2n+2)2=n4+4n3+4n2+4n2+8n+4=n4+4n3+8n2+8n+4,
(n2+2n+2)2=n4+4n2+4+4n3+8n+4n2=n4+4n3+8n2+8n+4,
∴(n2+2n)2=(n2+2n+2)2.
点睛：本题关键在于找出式子变化的规律.
24．（1）该城市会受到这次台风的影响；（2）16；（3）7.2.
【解析】
试题分析：（1）过A作AD⊥BC于D，利用30°角所对边是斜边一半，求得AD,与200比较.(2) 以A为圆心，200为半径作⊙A交BC于E、F,勾股定理计算弦长EF.(3) AD距台风中心最近,计算风力级别.
试题解析：
（1）该城市会受到这次台风的影响． 理由是：如图，过A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，
∵∠ABD=30°，AB=240，
∴AD= ?AB=120，
∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为25×（12﹣4）=200,
∵120＜200，
∴该城市会受到这次台风的影响．
（2）如图以A为圆心，200为半径作⊙A交BC于E、F, 则AE=AF=200,
∴台风影响该市持续的路程为：EF=2DE=2 ?=320,
∴台风影响该市的持续时间t=320÷20=16（小时）．
（3）∵AD距台风中心最近，
∴该城市受到这次台风最大风力为：12﹣（120÷25）=7.2（级）．
25．（1）4；（2）点 B 的坐标为（6，2）；（3）见解析.
【解析】
【分析】
由 AB∥x 轴，可找出四边形 ABCO 为长方形，再根据△APB 为等腰三角形可得知∠OAP=45°，从而得出△AOP 为等腰直角三角形，由此得出结论；
作 BQ⊥x 轴于点 Q，证△OAP≌△QPB 得 BQ=OP=OA=2，PQ=AO=4，据此知 OQ=OP+PQ=6，从而得出答案；
设点 M（x，0），知 MA=，MP=|x-3|，再分 MA=MP，MA=AP， AP=MP 三种情况求解可得．
【详解】
解：（1）过点 B 作 BC⊥x 轴于点 C，如图 1 所示．
∵AO⊥x 轴，BC⊥x 轴，且 AB∥x 轴，
∴四边形 ABCO 为长方形，
∴AO=BC=4．
∵△APB 为等腰直角三角形，
∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，
∴∠OAP=90°-∠PAB=45°，
∴△AOP 为等腰直角三角形，
∴OA=OP=4．
t=4÷1=4 （秒）， 故 t 的值为 4．
（2）如图 2，过点 B 作 BQ⊥x 轴于点 Q，
∴∠AOP=∠BQP=90°，
∴∠OAP+∠OPA=90°，
∵△ABP 为等腰直角三角形，
∴PA=PB，∠APB=90°，
∴∠AOP+∠BPQ=90°，
∴∠OAP=∠QPB，
∴△OAP≌△QPB（AAS），
∴ BQ=OP= OA=2，PQ=AO=4，
则 OQ=OP+PQ=6，
∴点 B 的坐标为（6，2）；
（3）当 t=3 时，即 OP=3，
∵OA=4，
∴AP=5，
设点 M（x，0），
则 MA==，MP=|x-3|，
①当 MA=MP 时， =|x-3|，解得
x=- ；
②当 MA=AP 时， =5，解得 x=-3 或 x=3（舍）；
③当 AP=MP 时，|x-3|=5，解得：x=8 或 x=-2；
综上，点 M 的坐标为（ ，0）或（-3，0）或（8，0）或（-2，0）
【点睛】
本题是三角形的综合问题，主要考查全等三角形的判定及性质、坐标与图 形性质、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，解决问题的关键是证明三角形全等．
26．(1)答案见解析;(2)①t值为5或6；②9或10或.
【解析】
【分析】
(1)设BD＝ 2x,AD＝ 3x,CD＝ 4x,则AB＝ 5x ,由勾股定理求出AC,即可得出结论;
(2)由△ABC的面积求出BD、AD、 CD、AC;①当MN∥BC时，AM＝ AN;当DN//BC时,AD＝ AN;得出方程,解方程即可;②根据题意得出当点M在DA上,即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能:如果DE＝ DM;如果ED＝ EM;如果MD＝ ME＝ t－ 4;分别得出方程,解方程即可.
【详解】
（1）证明：设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，则AB＝5x，在Rt△ACD中，AC＝＝5x，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；
（2）S△ABC＝×5x×4x＝40cm2，而x＞0，∴x＝2cm，则BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm，①当MN∥BC时，AM＝ AN，即10－t＝t，∴t＝5；当DN//BC时,AD＝ AN，得t＝6；∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6；
②当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；当t＝4时，点M运动到点D，不构成三角形，当点M在DA上，即4＜t≤10，△MDE为等腰三角形，有3种可能，如果DE＝DM，则t－4＝5，∴t＝9；如果ED＝EM，则点M运动到点A，∴t＝10；如果MD＝ME＝t－4，则（t－4）2－（t－7）2＝42，∴t＝，综上所述，符合要求的t值为9或10或.
【点睛】
本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识;解本题的要点在于分情况讨论，从而依次求出答案.
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．以下列各组数据中，能构成直角三角形的是（ ）
A． 2，3，4 B． 3，4，7 C． 5，12，13 D． 1，2，3
2．直角三角形的两条直角边分别是6和8，则这三角形斜边上的高是（ ）
A． 4.8 B． 5 C． 3 D． 10
3．如图所示，图中的两个三角形能完全重合，下列写法正确的是( )
A． △ABE≌△AFB B． △ABE≌△ABF C． △ABE≌△FBA D． △ABE≌△FAB
4．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为
A． 8 B． 9 C． 10 D． 11
5．在如图是一个棱长为4cm的正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB1的中点N的最短路线是（ ）
A．8 B．2 C．2 D．2+2
6．一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是（ ）
A． 12米 B． 13米 C． 14米 D． 15米
7．如图，把长方形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处, 已知∠MPN＝90°，且PM＝3，PN＝4，那么矩形纸片ABCD的面积为（ ）
A． 26 B． 28.8 C． 26.8 D． 28
8．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若cm， cm，则S△ABC为（ ）．
A． 24cm2 B． 36cm2 C． 48cm2 D． 60cm2
9．如图，O是等边△ABC内的一点，OB＝1，OA＝2，∠AOB＝150°，则OC的长为（ ）
A． B． C． D． 3
10．如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012=（ ）
A． 2013 B． 2012 C． D．
二、填空题
11．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是______米．
12．如图，已知OA＝OB，BC＝1，则数轴上的点A所表示的数是___.
13．已知，在△ABC中，AB=，∠C=22.5°，将△ABC翻折使得点A与点C重合，折痕与边BC交于点D，如DC=2，那么BD的长为_____．
14．在△ABC中，∠C＝90°，c＝10，a∶b＝3∶4，则a＝______，b＝_______.
15．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为__________.
16．一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_____________cm.
17．如果直角三角形一条直角边长为23，斜边和另一条直角边长的长度都是整数，则这个直角三角形斜边的长为_________________；
18．在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则△ABC的周长为________．
三、解答题
19．如图，已知E、F是□ABCD对角线AC 上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC. 求证： BE=DF；
20．某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m，8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．
求扩建后的等腰三角形花圃的周长．
21．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，CD＝， AD＝，且∠B＝90°，∠D＝60°，求∠BCD的度数．
22．一架长25米的云梯，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
(1)求梯子顶端到地面的距离；
（2）如果梯子的顶端下滑4米，那么云梯的底端在水平方向将滑多少米？
23．我们知道，以3，4，5为边长的三角形为直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等．
（1）请你根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；
（2）试用数学等式描述上述勾股数组的规律；
（3）请证明你所发现的规律．
24．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响． 试问：
（1）A城市是否会受到台风影响？请说明理由．
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
25．如图，A（0，4）是直角坐标系 y 轴上一点，动点 P 从原点 O 出发，沿 x 轴正半轴运动，速度为每秒 1 个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为 t 秒．
（1）若 AB∥x 轴，求 t 的值；
（2）若OP=OA，求B点的坐标．
（3）当 t=3 时，x 轴上是否存在有一点 M，使得以 M、P、A 为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点 M 的坐标．
26．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD∶AD∶CD=2∶3∶4，
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC=40 cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1 cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
参考答案
1．C
【解析】分析:根据勾股定理逆定理逐项计算判断即可.
详解: A. ∵22+52=29≠42，∴ 2，3，4不能构成直角三角形；
B. ∵32+42=25≠72，∴ 3，4，7不能构成直角三角形；
C. ∵52+122=169=132，∴ 5，12，13能构成直角三角形；
D. ∵12+22=5≠32，∴ 1，2，3不能构成直角三角形；
故选C.
点睛:本题考查了勾股定理逆定理,如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形,在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
2．A
【解析】试题分析：由勾股定理可求得斜边长为10，设斜边上的高为h，根据直角三角形的面积的计算方法可得×6×8=×10h，即可求得直角三角形斜边上的高为4.8. 故本题答案为A.
考点：勾股定理；直角三角形面积的计算公式.
3．B
【解析】解：要把对应顶点写在对应位置．∵B和B对应，A和A对应，E和F对应，故△ABE≌△ABF．故选B．
4．C
【解析】
【分析】
由正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得，然后证明≌，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
【详解】
如图，由于a、b、c都是正方形，所以，；
∵，∴，
在和中，
，
≌，
，，
在中，由勾股定理得：，
即，
的面积为10，
故选C．
【点睛】
本题考查了正文形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用等，熟练掌握相关性质与定理、得出△ACB≌△DCE是解题的关键.
5．C.
【解析】
试题分析：把此正方体的DCC1D1面与CC1B1B面展开在同一平面内，然后利用勾股定理求点M和N点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形MNB1中，一条直角边长等于6，另一条直角边长等于2，利用勾股定理可求得．
试题解析：把正方体的DCC1D1面与CC1B1B面展开在同一平面内，
∵M、N为C1D1和BB1的中点，
∴NB1=2，MC1=2，
在Rt△NMB1中，MN=
故选C．
考点：平面展开-最短路径问题．
6．A
【解析】试题分析：由题意可知消防车的云梯长、地面和建筑物的高度构成了一个直角三角形，斜边为消防车的云梯长，根据勾股定理就可求出建筑物的高度，如图所示，即建筑物的高度为：=12米，故选A．
考点：勾股定理的运用．
7．B
【解析】∵在△MPN中，∠MPN=90°，PM=3，PN=4，
∴MN=，
∴BC=PM+MN+PN=12，
过点P作PE⊥MN于点E，
∴S△PMN=MNPE=PMPN，即PE=6，解得PE=，
∴矩形ABCD的宽AB=，
∴S矩形ABCD=ABBC=.
故选B.
8．A
【解析】试题分析：根据直角三角形的勾股定理可得：==100，根据完全平方公式可得：，即+2ab=196，则ab=48，根据三角形的面积计算公式可得：S=ab=24.
考点：勾股定理
9．B
【解析】如图，将△AOB绕B点顺时针旋转60°到△BO′C的位置，
由旋转的性质，得BO=BO′，
∴△BO′O为等边三角形，
由旋转的性质可知∠BO′C=∠AOB=150°，
∴∠CO′O=150°-60°=90°，
又∵OO′=OB=1，CO′=AO=2，
∴在Rt△COO′中，由勾股定理，得OC= ．
故选B．
10．C
【解析】
【分析】
首先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的长度找到规律进而求出OP2012的长．
【详解】
由勾股定理得：OP4=， ∵OP1=；得OP2；OP3=2； 依此类推可得OPn=， ∴OP2012，
故选：C
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是由已知数据找到规律．
11．8
【解析】由题意可知，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4米，BC=3米，
∴由勾股定理可得：AC=（米）.
∴折断之前这棵树的高度为：AC+BC=3+5=8（米）.
12．-
【解析】∵OC=2，BC=1，∴OB=，
∴OA=OB=，
∴点A所表示的数是－.
点睛：本题关键在判断A所表示的数的时候注意符号问题.
13．+1或﹣1．
【解析】
【分析】
过A作AF⊥BC于F，构造直角三角形，分两种情况讨论，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质，即可得到BD的长．
【详解】
分两种情况：
①当∠B为锐角时，如图所示，过A作AF⊥BC于F，
由折叠可得，折痕DE垂直平分AC，
∴AD=CD=2，
∴∠ADB=2∠C=45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴AF=DF= ，
又∵AB=，
∴Rt△ABF中，BF= =1，
∴BD=BF+DF=1+；
②当∠ABC为钝角时，如图所示，过A作AF⊥BC于F，
同理可得，△ADF是等腰直角三角形，
∴AF=DF=，
又∵AB= ，
∴Rt△ABF中，BF==1，
∴BD=DF﹣BF=﹣1；
故答案为： +1或﹣1．
【点睛】
本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，解决问题的关键是分两种情况画出图形进行
求解．解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，
位置变化，对应边和对应角相等．
14．68
【解析】
【分析】
由勾股定理可得a和b的关系式，再由a：b=3：4，则a和b的值可求出．
【详解】
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2．
∵a：b=3：4，c=10，∴a2+（a）2=100，∴a=6，b=8．
故答案为：6，8．
【点睛】
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中正确的运用勾股定理求a和b的值是解题的关键．
15．450
【解析】试题分析：分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB2=12+22=5，BC=12+22=5，AC=12+32=10，继而可得出∠ABC=90°，然后根据等腰直角三角形可求得∠BAC=45°．
考点：1．勾股定理，2．等腰三角形
16．10
【解析】
【分析】
将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案．
【详解】
如图1所示：
AB==10（cm），
如图2所示：
AB=（cm）．
∵10＜，
∴蚂蚁爬行的最短路程是10cm．
故答案为10．
【点睛】
此题考查了平面展开-最短路径问题，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键．
17．265
【解析】
【分析】
设这个直角三角形的斜边长为c，另一条直角边长为b.由勾股定理知 ，即﹙c－b﹚﹙c＋b﹚＝529＝1×529，又因这个直角三角形的三条边长都是正整数，可得c－b＝1， c＋b＝529，由此即可求得这个直角三角形斜边的长.
【详解】
设这个直角三角形的斜边长为c，另一条直角边长为b.
由勾股定理知： ，
即﹙c－b﹚﹙c＋b﹚＝529＝1×529
∵ 这个直角三角形的三条边长都是正整数
∴ c－b＝1， c＋b＝529，
解得：c＝265，b＝264.
答：这个直角三角形的斜边长是265.
故答案为：265.
【点睛】
本题考查了勾股定理及平方差公式的应用，利用勾股定理及平方差公式求得c－b＝1， c＋b＝529是解决问题的关键.
18．32或42
【解析】试题解析：∵AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，
∴AD==9，BD==5，
如图1，
CD在△ABC内部时，AB=AD+BD=9+5=14，
此时，△ABC的周长=14+13+15=42，
如图2，
CD在△ABC外部时，AB=AD-BD=9-5=4，
此时，△ABC的周长=4+13+15=32.
综上所述，△ABC的周长为32或42．
19．证明见解析
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD AB∥CD
∴∠BAE=∠FCD………………………2分
又∵BE⊥AC DF⊥AC
∴∠AEB=∠CFD=90°………………………4分
∴△ABE≌△CDF （AAS）………………………6分
∴BE=DF
20．扩建后的等腰三角形花圃的周长是32m或 20+4m或m.
【解析】
试题分析：根据题意画出图形，构造出等腰三角形，根据等腰三角形及直角三角形的性质利用勾股定理解答．
试题解析：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6
由勾股定理有：AB=10，应分以下三种情况：
①如图1，当AB=AD=10时，
∵AC⊥BD，
∴CD=CB=6m，
∴△ABD的周长=10+10+2×6=32m．
②如图2，当AB=BD=10时，
∵BC=6m，
∴CD=10-6=4m，
∴AD=m，
∴△ABD的周长=10+10+4=（20+4）m．
③如图3，当AB为底时，设AD=BD=x，则CD=x-6，由勾股定理得：
AD=，
解得，x=
∴△ABD的周长为：AD+BD+AB=++10=m．
考点：勾股定理的应用．
21．75°
【解析】试题分析：如图，连接AC，在直角三角形ABC中，根据勾股定理求出AC的长，然后根据勾股定理的逆定理求出△ACD是直角三角形，然后根据等腰三角形求解即可.
试题解析：连接AC
∵∠B＝90°，AB＝BC＝3
∴，∠BAC＝∠BCA＝45°
又∵CD＝， AD＝
∴AC2＋AD2＝18+6＝24，CD2＝24
∴AC2＋AD2＝CD2
∴∠CAD＝90°
∴∠DCA＝90°－∠D＝30°
∴∠BCD＝∠BCA＋∠DCA＝75°
22．（1）24米；（2）8米.
【解析】
【分析】
根据梯子长度不会变这个等量关系，我们可以根据BC求AC，根据AD、AC求CD，根据CD计算CE，根据CE，BC计算BE，即可解题．
【详解】
由题意知AB=DE=25米，BC=7米，AD=4米，
在直角△ABC中，AC为直角边，
∴AC==24米，
已知AD=4米，则CD=24?4=20米，
在直角△CDE中，CE为直角边
∴CE==15米，
∴BE=15米?7米=8米。
故答案为：（1）24米；（2）8米.
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据题意列出式子进行求解
23．（1）（48，14，50）；（2）（n2－l，n2，n2＋1）；（3）以n2－1，2n，n2＋l为三边长的三角形为直角三角形．
【解析】试题分析：（1）第六组勾股数为（48，14，50）；（2）规律：第n组勾股数为（n2+2n，2n+2，n2+2n+2）；（3）(n2+2n)2+(2n+2)2=n4+4n3+4n2+4n2+8n+4=n4+4n3+8n2+8n+4,
(n2+2n+2)2=n4+4n2+4+4n3+8n+4n2=n4+4n3+8n2+8n+4, (n2+2n)2=(n2+2n+2)2.
试题解析：
（1）第六组勾股数为（48，14，50）；
（2）规律：第n组勾股数为（n2+2n，2n+2，n2+2n+2）；
（3）证明：(n2+2n)2+(2n+2)2=n4+4n3+4n2+4n2+8n+4=n4+4n3+8n2+8n+4,
(n2+2n+2)2=n4+4n2+4+4n3+8n+4n2=n4+4n3+8n2+8n+4,
∴(n2+2n)2=(n2+2n+2)2.
点睛：本题关键在于找出式子变化的规律.
24．（1）该城市会受到这次台风的影响；（2）16；（3）7.2.
【解析】
试题分析：（1）过A作AD⊥BC于D，利用30°角所对边是斜边一半，求得AD,与200比较.(2) 以A为圆心，200为半径作⊙A交BC于E、F,勾股定理计算弦长EF.(3) AD距台风中心最近,计算风力级别.
试题解析：
（1）该城市会受到这次台风的影响． 理由是：如图，过A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，
∵∠ABD=30°，AB=240，
∴AD= ?AB=120，
∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为25×（12﹣4）=200,
∵120＜200，
∴该城市会受到这次台风的影响．
（2）如图以A为圆心，200为半径作⊙A交BC于E、F, 则AE=AF=200,
∴台风影响该市持续的路程为：EF=2DE=2 ?=320,
∴台风影响该市的持续时间t=320÷20=16（小时）．
（3）∵AD距台风中心最近，
∴该城市受到这次台风最大风力为：12﹣（120÷25）=7.2（级）．
25．（1）4；（2）点 B 的坐标为（6，2）；（3）见解析.
【解析】
【分析】
由 AB∥x 轴，可找出四边形 ABCO 为长方形，再根据△APB 为等腰三角形可得知∠OAP=45°，从而得出△AOP 为等腰直角三角形，由此得出结论；
作 BQ⊥x 轴于点 Q，证△OAP≌△QPB 得 BQ=OP=OA=2，PQ=AO=4，据此知 OQ=OP+PQ=6，从而得出答案；
设点 M（x，0），知 MA=，MP=|x-3|，再分 MA=MP，MA=AP， AP=MP 三种情况求解可得．
【详解】
解：（1）过点 B 作 BC⊥x 轴于点 C，如图 1 所示．
∵AO⊥x 轴，BC⊥x 轴，且 AB∥x 轴，
∴四边形 ABCO 为长方形，
∴AO=BC=4．
∵△APB 为等腰直角三角形，
∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，
∴∠OAP=90°-∠PAB=45°，
∴△AOP 为等腰直角三角形，
∴OA=OP=4．
t=4÷1=4 （秒）， 故 t 的值为 4．
（2）如图 2，过点 B 作 BQ⊥x 轴于点 Q，
∴∠AOP=∠BQP=90°，
∴∠OAP+∠OPA=90°，
∵△ABP 为等腰直角三角形，
∴PA=PB，∠APB=90°，
∴∠AOP+∠BPQ=90°，
∴∠OAP=∠QPB，
∴△OAP≌△QPB（AAS），
∴ BQ=OP= OA=2，PQ=AO=4，
则 OQ=OP+PQ=6，
∴点 B 的坐标为（6，2）；
（3）当 t=3 时，即 OP=3，
∵OA=4，
∴AP=5，
设点 M（x，0），
则 MA==，MP=|x-3|，
①当 MA=MP 时， =|x-3|，解得
x=- ；
②当 MA=AP 时， =5，解得 x=-3 或 x=3（舍）；
③当 AP=MP 时，|x-3|=5，解得：x=8 或 x=-2；
综上，点 M 的坐标为（ ，0）或（-3，0）或（8，0）或（-2，0）
【点睛】
本题是三角形的综合问题，主要考查全等三角形的判定及性质、坐标与图 形性质、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，解决问题的关键是证明三角形全等．
26．(1)答案见解析;(2)①t值为5或6；②9或10或.
【解析】
【分析】
(1)设BD＝ 2x,AD＝ 3x,CD＝ 4x,则AB＝ 5x ,由勾股定理求出AC,即可得出结论;
(2)由△ABC的面积求出BD、AD、 CD、AC;①当MN∥BC时，AM＝ AN;当DN//BC时,AD＝ AN;得出方程,解方程即可;②根据题意得出当点M在DA上,即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能:如果DE＝ DM;如果ED＝ EM;如果MD＝ ME＝ t－ 4;分别得出方程,解方程即可.
【详解】
（1）证明：设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，则AB＝5x，在Rt△ACD中，AC＝＝5x，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；
（2）S△ABC＝×5x×4x＝40cm2，而x＞0，∴x＝2cm，则BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm，①当MN∥BC时，AM＝ AN，即10－t＝t，∴t＝5；当DN//BC时,AD＝ AN，得t＝6；∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6；
②当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；当t＝4时，点M运动到点D，不构成三角形，当点M在DA上，即4＜t≤10，△MDE为等腰三角形，有3种可能，如果DE＝DM，则t－4＝5，∴t＝9；如果ED＝EM，则点M运动到点A，∴t＝10；如果MD＝ME＝t－4，则（t－4）2－（t－7）2＝42，∴t＝，综上所述，符合要求的t值为9或10或.
【点睛】
本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识;解本题的要点在于分情况讨论，从而依次求出答案.