2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第4章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示（学生版）
备战基础·零风险
1．了解平面向量的基本定理及其意义．
2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
平面向量
基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 ．
坐标运算
向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝ ，a－b＝ ，λa＝ ，|a|＝ .
向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ ，||＝ .
共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b? .
备战方法·巧解题
规律
方法
1．向量坐标与点的坐标的区别 在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a＝＝(x，y)．
当平面向量平行移动到时，向量不变即＝＝(x，y)，但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．
2．两个防范 一是注意能作为基底的两个向量必须是不共线的，如(1)．二是注意运用两个向量a，b共线坐标表示的充要条件应为x1y2－x2y1＝0.
3. (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
4. 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用．
5.a∥b的充要条件有两种表达方式：
(1)a∥b(b≠0)?a＝λb(λ∈R)；
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0.
两种充要条件的表达形式不同．第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b≠0，而第(2)种无b≠0限制．
6．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．
7．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题．
8．在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．
备战练习·固基石
一、单选题
1.已知，A(–3, 1)、B(2, –4)，则直线AB上方向向量的坐标是（???）
A.?(–5, 5)???????????????????????????????B.?(–1, –3)???????????????????????????????C.?(5, –5)???????????????????????????????D.?(–3, –1)
2.已知向量 ，且 ，则 的值是（???? ）
A.?－6??????????????????????????????????????????B.?6??????????????????????????????????????????C.?9??????????????????????????????????????????D.?12
3.已知向量 ， 若 与 平行，则 （??? ）
A.?-5 ????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????D.?
4.设 ，向量 ， ，若 ，则实数 等于（?? ）
A.?2????????????????????????????????????????B.?-2????????????????????????????????????????C.?2或-2????????????????????????????????????????D.?
5.下列各组向量：① ；② ；③ ， 能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（???）
A.?①?????????????????????????????????????B.?①③?????????????????????????????????????C.?②③?????????????????????????????????????D.?①②③
6.已知向量，向量，且，则的最小值为（???）
A.?2????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?-2????????????????????????????????????????D.?
7.已知向量=（4，6），=（3，5），∥ ， 则向量等于(??? )?????????????????????????????????????????????
A.??????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
8.已知向量a＝(cos α，－2)，b＝(sin α，1)且a∥b，则 等于(?? )
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
9.已知向量,,,若为实数，，则的值为（????）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
10.抛物线 的焦点为 ?,过点 的直线交抛物线于 ?、 两点，点 为 轴正半轴上任意一点，则 （??? ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
11.设点A（1，2）、B（3，5），将向量按向量=（﹣1，﹣1）平移后得到为（ ）
A.?（1，2）???????????????????????????B.?（2，3）???????????????????????????C.?（3，4）???????????????????????????D.?（4，7）
12.已知直线PA，PB分别与半径为1的圆O相切于点A，B，PO=2， ．若点M在圆O的内部（不包括边界），则实数λ的取值范围是（?? ）
A.?（﹣1，1）?????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?（0，1）
13.已知AC⊥BC，AC=BC，D满足=t+（1﹣t） ， 若∠ACD=60°，则t的值为（ ）
A.? ? ?B.? ?? C.? ??D.?
14.、是不共线的向量，=+k ， =k+ ， 则与共线的充要条件是实数k等于（ ）
A.?0?????????????????????????????????????????B.?-1?????????????????????????????????????????C.?-2?????????????????????????????????????????D.?±1
二、填空题
15.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（﹣1，3），若点C满足 =α +β ，其中α，β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹形状是________．
16.已知向量=(3,1)，=(1,3)，=(k,7)，若(-)∥ ， 则k=________?．
17.设向量 ， ，则 ________．
18.已知向量=（2，3），=（﹣1，4），=﹣λ ， =2﹣ ， 若∥ ， 则λ=________?
19.已知向量 ?若 ，则实数 ________．
20.如图，在矩形OABC中，点E，F分别在AB，BC上，且满足AB=3AE，BC=3CF，若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ=________?
21.如图，正方形 中， 分别是 的中点，若 ，则 ________．
22.已知 , ?是平面上两个不共线的向量，向量=2- ， =m+3 ． 若 ， 则实数m=________?．
23.已知向量=（x2﹣1，2+x），=（x，1），若∥ ， 则x=________?
24.已知向量=（ ， 1），=（0，﹣1），=（k，）．若-2与共线，则k=________?
三、解答题
25.设两个非零向量 与 不共线．
（1）若 = + ， =2 +8 ， =3（ ﹣ ）．求证：A，B，D三点共线；
（2）试确定实数k，使k + 和 +k 共线．
26.已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量 ， ， ．
（1）若 ∥ ，求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若 ⊥ ，边长c=2，角C= ，求△ABC的面积．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）在 中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 (? )
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
2.（2016?全国）已知向量 ，且 ，则m=(? )
A.?－8?????????????????????????????????????????B.?－6?????????????????????????????????????????C.?6?????????????????????????????????????????D.?8
二、填空题
3.（2018?江苏）在平面直角坐标系 中， 为直线 上在第一象限内的点， 以 为直径的圆 与直线 交于另一点 ，若 ,则点 的横坐标为________
4.（2018?卷Ⅲ）已知 ， ， ，若 ，则 ________。
5.（2018?卷Ⅲ）已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于 ， 两点．若 ，则 ________．
6.（2018?上海）在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（2，0），E，F是y轴上的两个动点，且| |=2，则 · 的最小值为________
7.（2018?北京）设向量a=（1,0），b=（-1,m）,若a⊥（ma-b），则m=________.
8.（2017·山东）已知向量 =（2，6）， =（﹣1，λ），若 ，则λ=________．
9.（2017?江苏）如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为1，1， ， 与 的夹角为α，且tanα=7， 与 的夹角为45°．若 =m +n （m，n∈R），则m+n=________．
10.（2016?全国）已知向量 =（m，4）， =（3，﹣2），且 ∥ ，则m=________．
三、解答题
11.（2017?江苏）已知向量 =（cosx，sinx）， =（3，﹣ ），x∈[0，π]． （Ⅰ）若 ∥ ，求x的值； （Ⅱ）记f（x）= ，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第4章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示（教师版）
备战基础·零风险
1．了解平面向量的基本定理及其意义．
2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
平面向量
基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
坐标运算
向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0.
备战方法·巧解题
规律
方法
1．向量坐标与点的坐标的区别 在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a＝＝(x，y)．
当平面向量平行移动到时，向量不变即＝＝(x，y)，但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．
2．两个防范 一是注意能作为基底的两个向量必须是不共线的，如(1)．二是注意运用两个向量a，b共线坐标表示的充要条件应为x1y2－x2y1＝0.
3. (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
4. 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用．
5.a∥b的充要条件有两种表达方式：
(1)a∥b(b≠0)?a＝λb(λ∈R)；
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0.
两种充要条件的表达形式不同．第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b≠0，而第(2)种无b≠0限制．
6．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．
7．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题．
8．在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．
备战练习·固基石
一、单选题
1.已知，A(–3, 1)、B(2, –4)，则直线AB上方向向量的坐标是（???）
A.?(–5, 5)???????????????????????????????B.?(–1, –3)???????????????????????????????C.?(5, –5)???????????????????????????????D.?(–3, –1)
【答案】C
【考点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】根据题意,由于向量的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标,且A(–3, 1)、B(2, –4)，故可知=（2，-4）-（-3，1）=（5，-5），故选C 【分析】任何一个向量的坐标，都等于终点坐标减去起点的坐标，两个向量的坐标相减，把它们的横坐标对应相减，纵坐标对应相减
2.已知向量 ，且 ，则 的值是（???? ）
A.?－6??????????????????????????????????????????B.?6??????????????????????????????????????????C.?9??????????????????????????????????????????D.?12
【答案】B
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】 ， 由 ，得 ，解得 ， 故答案为：B. 【分析】根据向量的平行定理可知，两个向量对应项比值相等，进而计算出x。
3.已知向量 ， 若 与 平行，则 （??? ）
A.?-5 ????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意 ， 且 与 平行，
所以 ， ，
故答案为：D.
【分析】直接利用平面向量平行的坐标表示列方程求解即可
4.设 ，向量 ， ，若 ，则实数 等于（?? ）
A.?2????????????????????????????????????????B.?-2????????????????????????????????????????C.?2或-2????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解： ， ， 解得 ， 故答案为：C. 【分析】利用向量平行的条件，,即可得出答案。
5.下列各组向量：① ；② ；③ ， 能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（???）
A.?①?????????????????????????????????????B.?①③?????????????????????????????????????C.?②③?????????????????????????????????????D.?①②③
【答案】B
【考点】平面向量的正交分解及坐标表示
【解析】【解答】①由可得 ﹣1×7≠2×5即不平行故可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底． ②由可得 3×10=5×6即 故不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底． ③由可得 即不平行 故可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底．∴答案为B 【分析】本题考查向量基底的定义，通过判断是否共线判断结果．属于基础题
6.已知向量，向量，且，则的最小值为（???）
A.?2????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?-2????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】因为向量， 向量且∥， 所以， 即， 其最小值为－2，故选C。 【点评】小综合题，本题综合考查平面向量、三角函数、三角恒等变换等重要知识内容，难得的小题。两向量平行，则对应坐标成比例（坐标不为0).
7.已知向量=（4，6），=（3，5），∥ ， 则向量等于(??? )?????????????????????????????????????????????
A.??????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】平面向量的坐标运算
【解析】【分析】根据向量平行垂直的坐标公式x1y2-x2y1=0和x1x2+y1y2=0运算即可． 【解答】设C（x，y)， ∵， 所以4x+6y=0， ∥， 所以5(x-4)-3(y-6)=0， 联立解得D(。 故选D． 【点评】本题考查两个向量的位置关系①平行②垂直，此种题型是高考考查的方向．
8.已知向量a＝(cos α，－2)，b＝(sin α，1)且a∥b，则 等于(?? )
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为a∥b，所以 ，所以 .
故答案为：B
【分析】结合平行向量满足坐标关系，即可得出答案。
9.已知向量,,,若为实数，，则的值为（????）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】A
【考点】平面向量的坐标运算
【解析】【分析】，，又， ∴，即，解得，故选A
10.抛物线 的焦点为 ?,过点 的直线交抛物线于 ?、 两点，点 为 轴正半轴上任意一点，则 （??? ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：设 ， 的焦点 ， 设过点 的直线为 ， ? ， ， ， ， 故答案为：B. 【分析】设出点M,N的坐标，然后所求式子运用向量的加减法，可化为,并坐标表示，设出过点F的直线，结合抛物线方程，并运用根与系数的关系，即可得出答案。
11.设点A（1，2）、B（3，5），将向量按向量=（﹣1，﹣1）平移后得到为（ ）
A.?（1，2）???????????????????????????B.?（2，3）???????????????????????????C.?（3，4）???????????????????????????D.?（4，7）
【答案】B
【考点】平面向量的正交分解及坐标表示
【解析】【解答】解：∵A（1，2）、B（3，5）， ∴=（2，3） 将向量向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到 ， 知与的方向相同，大小也相等，只是位置不同罢了， 于是==（2，3） 故选B． 【分析】根据向量是既有大小又有方向的量，向量的要素是大小、方向；向量平移后为相等向量故坐标相同．
12.已知直线PA，PB分别与半径为1的圆O相切于点A，B，PO=2， ．若点M在圆O的内部（不包括边界），则实数λ的取值范围是（?? ）
A.?（﹣1，1）?????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?（0，1）
【答案】B
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解法一：如图，在线段PA的延长线上取点Q，使得PA=AQ，连接OQ，交圆于C， 由圆的半径为1，PO=2可得∠BOP=∠AOP=∠AOQ=60°，PB= ，故B，O，Q三点共线，且BQ=3 因为2 = ，∴ =λ +（1﹣λ） ．? ． 由点M在圆O的内部（不包括边界），∴0＜ 故选：B 解法二：以O为原点， 的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则P（2，0） A（ ），B（ ，﹣ ），设M（x0 ， y0）， 由 ．得 ，y0= ， ∵M（x0 ， y0）在圆O的内部（不包括边界），∴ ， 整理得﹣1＜3λ﹣1＜1，解得0＜ 故选：B 【分析】解法一，在线段PA的延长线上取点Q，使得PA=AQ，连接OQ，交圆于C，可得∠BOP=∠AOP=∠AOQ=60°，PB= ，故B，O，Q三点共线，且BQ=3，2 = ，? ．由点M在圆O的内部（不包括边界），∴0＜ 解法二：以O为原点， 的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则P（2，0） A（ ），B（ ，﹣ ），设M（x0 ， y0），得 ，y0= ， 得 ，解得0＜
13.已知AC⊥BC，AC=BC，D满足=t+（1﹣t） ， 若∠ACD=60°，则t的值为（ ）
A.? ??? B.? ????C.? ????D.?
【答案】A
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解：如图，根据题意知，D在线段AB上，过D作DE⊥AC，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F；
若设AC=BC=a，则由得，CE=ta，CF=（1﹣t）a；
根据题意，∠ACD=60°，∠DCF=30°；
∴；
即；
解得t= ．
故选：A．
【分析】根据条件可知点D在线段AB上，从而可作出图形，并过D分别作AC，BC的垂线DE，DF，可设AC=BC=a，从而可根据条件得到CE=ta，CF=（1﹣t）a，这样在Rt△CDE和Rt△CDF中，由余弦函数的定义即可得到， 从而可解出t的值．
14.、是不共线的向量，=+k ， =k+ ， 则与共线的充要条件是实数k等于（ ）
A.?0?????????????????????????????????????????B.?-1?????????????????????????????????????????C.?-2?????????????????????????????????????????D.?±1
【答案】D
【考点】向量的共线定理
【解析】【解答】解：与共线?存在实数m，使=m ， 即+k=mk+m ． 又、不共线， ∴ ∴k=±1． 故选D 【分析】本题考查的知识是平面向量的基本定理，平面向量的充要条件，由与共线?存在实数m，使=m ， 然后根据平面向量的基本定理，我们可以构造一个关于m，k的方程，解方程即可得到结论．
二、填空题
15.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（﹣1，3），若点C满足 =α +β ，其中α，β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹形状是________．
【答案】直线AB
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解：设C（x，y），由题意，得 ∵ =α +β ， ∴（x，y）=α（3，1）+β （﹣1，3）=（3α﹣β，α+3β） 可得 ，解得 ∵α+β=1， ∴ ，化简x+2y﹣5=0，恰好为点A、B所在直线方程 由此可得：点C的轨迹是直线AB 故答案为：直线AB 【分析】给出C（x，y），结合 =α +β 建立用α、β表示x、y的式子，由α+β=1化简得x+2y﹣5=0，恰好为点A、B所在直线方程，可得本题答案．
16.已知向量=(3,1)，=(1,3)，=(k,7)，若(-)∥ ， 则k=________?．
【答案】5
【考点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：向量=(3,1)，=(1,3)，=(k,7)，若(-)∥ ，
可得3（3﹣k）=1﹣7，解得k=5．
故答案为：5
【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．
17.设向量 ， ，则 ________．
【答案】
【考点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：由题向量 ， ， ?
?
【分析】利用向量的加法求出和向量的坐标，再求模即可。
18.已知向量=（2，3），=（﹣1，4），=﹣λ ， =2﹣ ， 若∥ ， 则λ=________?
【答案】
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】根据题意，向量=（2，3），=（﹣1，4），
则=﹣λ=（2+λ，3﹣4λ），=2﹣=（5，2），
若∥ ， 则有（2+λ）×2﹣（3﹣4λ）×5=0，
解可得λ=；
故答案为： ．
【分析】根据题意，由向量、的坐标，结合向量的坐标运算法则，可得与的坐标，又由∥ ， 则有（2+λ）×2﹣（3﹣4λ）×5=0，解可得λ的值，即可得答案．
19.已知向量 ?若 ，则实数 ________．
【答案】
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解： ?
?
【分析】向量平行的坐标表示；即,可以求得值。
20.如图，在矩形OABC中，点E，F分别在AB，BC上，且满足AB=3AE，BC=3CF，若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ=________?
【答案】
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解：如图所示，建立直角坐标系． 设A（a，0），C（0，b），则B（a，b）． ∵AB=3AE，BC=3CF， ∴ ∴（a，b）= ∴， 解得λ+μ= ． 故答案为： ． 【分析】如图所示，建立直角坐标系．通过向量的坐标运算及共面向量定理即可得出．
21.如图，正方形 中， 分别是 的中点，若 ，则 ________．
【答案】
【考点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】设正方形边长为 ，以 为坐标原点建立平面直角坐标系， ，故 ，解得 .
【分析】建立以A为原点，AB所在的直线为x轴，AD 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，可以求出 A C?, ， ， 利用向量相等，对应的坐标相等，可以求得 ， 值，就可以得到 λ + μ值。
22.已知 , ?是平面上两个不共线的向量，向量=2- ， =m+3 ． 若 ， 则实数m=________?．
【答案】-6
【考点】向量的共线定理
【解析】【解答】解：∵ ∴存在λ∈R，使得 即 ∴ 解得m=﹣6 故答案为﹣6 【分析】利用向量共线的充要条件得到等式；利用平面向量的基本定理列出方程组，求出m的值．
23.已知向量=（x2﹣1，2+x），=（x，1），若∥ ， 则x=________?
【答案】-
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】∵=（x2﹣1，2+x），=（x，1）， 由∥ ， 得（x2﹣1）﹣x?（2+x）=0， 解得：x=- ． 故答案为：- ． 【分析】直接由向量共线的坐标表示列式求解x的值。
24.已知向量=（ ， 1），=（0，﹣1），=（k，）．若-2与共线，则k=________?
【答案】1
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】
∵-2与共线，
∴x=3k
解得k=1．
故答案为1．
【分析】利用向量的坐标运算求出-2的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程，求出k的值．
三、解答题
25.设两个非零向量 与 不共线．
（1）若 = + ， =2 +8 ， =3（ ﹣ ）．求证：A，B，D三点共线；
（2）试确定实数k，使k + 和 +k 共线．
【答案】（1）解：∵ = ， ∴ 与 共线 两个向量有公共点B， ∴A，B，D三点共线． （2）∵ 和 共线，则存在实数λ，使得 =λ（ ）， 即 ， ∵非零向量 与 不共线， ∴k﹣λ=0且1﹣λk=0， ∴k=±1．
【考点】向量的共线定理
【解析】【分析】（1）根据所给的三个首尾相连的向量，用其中两个相加，得到两个首尾相连的向量，根据表示这两个向量的基底，得到两个向量之间的共线关系，从而得到三点共线．（2）两个向量共线，写出向量共线的充要条件，进而得到关于实数k的等式，解出k的值，有两个结果，这两个结果都合题意．
26.已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量 ， ， ．
（1）若 ∥ ，求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若 ⊥ ，边长c=2，角C= ，求△ABC的面积．
【答案】（1）证明：∵m∥n ∴asinA=bsinB 即a? =b? ．其中R为△ABC外接圆半径． ∴a=b ∴△ABC为等腰三角形 （2）证明：由题意，m?p=0 ∴a（b﹣2）+b（a﹣2）=0 ∴a+b=ab 由余弦定理4=a2+b2﹣2ab?cos ∴4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab ∴（ab）2﹣3ab﹣4=0 ∴ab=4或ab=﹣1（舍去） ∴S△ABC= absinC = ×4×sin =
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【分析】（1）利用向量平行的条件，写出向量平行坐标形式的条件，得到关于三角形的边和角之间的关系，利用余弦定理变形得到三角形是等腰三角形．（2）利用向量垂直数量积为零，写出三角形边之间的关系，结合余弦定理得到求三角形面积所需的两边的乘积的值，求出三角形的面积．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2018?卷Ⅰ）在 中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 (? )
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
【答案】A
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解： = , 故答案为：A。 【分析】以向量 和 为基底向量，由点E是AD的中点将向量 表示为 ，再由点D是BC的中点，将其表示为基底向量的线性表示形式.
2.（2016?全国）已知向量 ，且 ，则m=(? )
A.?－8?????????????????????????????????????????B.?－6?????????????????????????????????????????C.?6?????????????????????????????????????????D.?8
【答案】D
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】 ， ∵ ，∴ 解得 ， 故选D 【分析】求出向量 + 的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案
二、填空题
3.（2018?江苏）在平面直角坐标系 中， 为直线 上在第一象限内的点， 以 为直径的圆 与直线 交于另一点 ，若 ,则点 的横坐标为________
【答案】3
【考点】平面向量坐标表示的应用
【解析】【解答】解： 又C为AB中点，∴ 设l的倾斜角为 ， 【分析】先求出 斜率，再联立方程组，求出 。
4.（2018?卷Ⅲ）已知 ， ， ，若 ，则 ________。
【答案】
【考点】向量的共线定理，平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：因为 又 所以 【分析】由向量坐标运算得到 坐标，再由共线可求出
5.（2018?卷Ⅲ）已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于 ， 两点．若 ，则 ________．
【答案】2
【考点】平面向量的基本定理及其意义，抛物线的应用
【解析】【解答】设 设 所以 又 所以 【分析】直线与抛物线联立方程组，再将垂直用向量转化为坐标之间的关系，代入韦达定理即可.
6.（2018?上海）在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（2，0），E，F是y轴上的两个动点，且| |=2，则 · 的最小值为________
【答案】-3
【考点】基本不等式在最值问题中的应用，平面向量坐标表示的应用
【解析】【解答】设E(0，y1)，F(0，y2)，又A（-1，0），B（2，0）， 所以 =(1，y1)， =(-2，y2) =y1 y2-2? ① 又| |=2， 故（y1-y2）2=4 又 ≥ ，当 时等号不成立。 故假设 代入①， · = 【分析】本题主要考查向量坐标运算，基本不等式的运用，点与向量坐标互化。
7.（2018?北京）设向量a=（1,0），b=（-1,m）,若a⊥（ma-b），则m=________.
【答案】-1
【考点】平面向量的坐标运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：m - =（m+1,-m）, =(1,0), ∴m+1=0 m=-1. 【分析】解析：先求出m - 坐标，再由数量积为0，求出m。
8.（2017·山东）已知向量 =（2，6）， =（﹣1，λ），若 ，则λ=________．
【答案】﹣3
【考点】平行向量与共线向量，平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：∵ ，∴﹣6﹣2λ=0，解得λ=﹣3． 故答案为：﹣3． 【分析】利用向量共线定理即可得出．
9.（2017?江苏）如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为1，1， ， 与 的夹角为α，且tanα=7， 与 的夹角为45°．若 =m +n （m，n∈R），则m+n=________．
【答案】3
【考点】平面向量的基本定理及其意义，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的余弦函数，两角和与差的正弦函数
【解析】【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）． 由 与 的夹角为α，且tanα=7． ∴cosα= ，sinα= ． ∴C ． cos（α+45°）= （cosα﹣sinα）= ． sin（α+45°）= （sinα+cosα）= ． ∴B ． ∵ =m +n （m，n∈R）， ∴ =m﹣ n， =0+ n， 解得n= ，m= ． 则m+n=3． 故答案为：3． 【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由 与 的夹角为α，且tanα=7．可得cosα= ，sinα= ．C ．可得cos（α+45°）= ．sin（α+45°）= ．B ．利用 =m +n （m，n∈R），即可得出．
10.（2016?全国）已知向量 =（m，4）， =（3，﹣2），且 ∥ ，则m=________．
【答案】-6
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：向量 =（m，4）， =（3，﹣2），且 ∥ ， 可得12=﹣2m，解得m=﹣6． 故答案为：﹣6． 【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．；本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．
三、解答题
11.（2017?江苏）已知向量 =（cosx，sinx）， =（3，﹣ ），x∈[0，π]． （Ⅰ）若 ∥ ，求x的值； （Ⅱ）记f（x）= ，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．
【答案】解：（Ⅰ）∵ =（cosx，sinx）， =（3，﹣ ）， ∥ ， ∴﹣ cosx+3sinx=0， ∴tanx= ， ∵x∈[0，π]， ∴x= ， （Ⅱ）f（x）= =3cosx﹣ sinx=2 （ cosx﹣ sinx）=2 cos（x+ ）， ∵x∈[0，π]， ∴x+ ∈[ ， ]， ∴﹣1≤cos（x+ ）≤ ， 当x=0时，f（x）有最大值，最大值3， 当x= 时，f（x）有最小值，最大值﹣2
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示，平面向量数量积的运算，同角三角函数间的基本关系，三角函数中的恒等变换应用，三角函数的最值
【解析】【分析】（Ⅰ）根据向量的平行即可得到tanx= ，问题得以解决， （Ⅱ）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出
