2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第4章 第1节 平面向量的概念及其线性运算（学生版）
备战基础·零风险
1．了解向量的实际背景．
2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．
3．理解向量的几何表示．
4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．
6．了解向量线性运算的性质及其几何意义.
向量的有关概念
名称
定义
备注
平行向量
方向 或 的非零向量
0与任一向量 或共线
共线向量
的非零向量又叫做共线向量
相等向量
长度 且方向 的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度 且方向 的向量
0的相反向量为0
向量的线性运算
向量
运算
定 义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律：
a＋b＝ .
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝ .
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
a－b＝ .
数乘
求实数λ与向量a的积
的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向 ；
当λ＜0时，λa的方向与a的方向 ；
当λ＝0时， .
λ(μa)＝ ；
(λ＋μ)a＝ .；
λ(a＋b)＝ .
共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝ .
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一个区别 两个向量共线与两条线段共线不同，前者的起点可以不同，而后者必须在同一直线上．同样，两个平行向
量与两条平行直线也是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上．
2．两个防范 一是两个向量共线，则它们的方向相同或相反；如(1)；二是注重零向量的特殊性.
3. 对于向量的概念应注意以下几条：
(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；
(2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；
(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．
4. (1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．
(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．
5.(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线.
6．向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可多记忆一些有关的结论．
7．对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解为位置(共线或不共线)与向量等式之间所建立的对应关系．要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式b＝λa，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置．
备战练习·固基石
一、单选题
1.若| |=| |且 = ，则四边形ABCD的形状为（?? ）
A.?平行四边形???????????????????????????????B.?矩形???????????????????????????????C.?菱形???????????????????????????????D.?等腰梯形
2.已知向量 =（4，2）， =（x，3），且 ∥ ，则x的值是（? ）
A.?﹣6????????????????????????????????????????B.?6????????????????????????????????????????C.?﹣ ????????????????????????????????????????D.?
3.下列说法正确的是（?? ）
A.?∥ 就是 所在的直线平行于 所在的直线?????
B.?长度相等的向量叫相等向量 C.?零向量的长度等于0????????????????????????????????????????????????????????????
D.?共线向量是在同一条直线上的向量
4.下列命题正确的是(??? )
A.? 与 , 与共 线，则 与 也共线????????????
B.?任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 C.?向量 与 不共线，则 与 都是非零向量??????????
D.?有相同起点的两个非零向量不平行
5.下列命题不正确的是（ ）
A.?零向量没有方向??? B.?零向量只与零向量相等?????
C.?零向量的模为0?????? ?D.?零向量与任何向量共线
6.在矩形ABCD中，||=4，||=2，则|++|=（ ）
A.?12???????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????D.?2
7.有下列说法：
①若向量、满足||＞||，且与方向相同，则＞；
②|+|≤||+||；
③共线向量一定在同一直线上；
④由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行；
其中正确说法的个数是（ ）
A.?0 ?????B.?1 ?????C.?2 ?????D.?3
8.已知D为的边BC的中点，所在平面内有一点P，满足，设则的值为????? (? )
A.?1???????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?
9.已知=(4,1)，=(-1,K)若A，B，C三点共线，则实数k的值为（ ）
A.?4??????????????????????????????????????????B.?-4??????????????????????????????????????????C.?-??????????????????????????????????????????D.?
10.已知空间四边形OABC，其对角线是OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG=3GN，用基底向量,,表示向量应是（ ）
A.?=++?????????????????????????????????B.?=-+ C.?=++?????????????????????????????????D.?=-+
11.已知向量表示“向东航行1km”，向量表示“向北航行km”，则向量+表示（ ）
A.?向东北方向航行2km???????????????????????????????????????????B.?向北偏东30°方向航行2km C.?向北偏东60°方向航行2km??????????????????????????????????D.?向东北方向航行（1+）km
12.已知向量 ， =1，对任意t∈R，恒有，则（ ）
A.? ????????B.?⊥（﹣）??????????C.?????????D.?
13.在平行四边形ABCD中，点E为CD中点，= ， = ， 则等于（ ）
A.?--??????????????????????????????B.?-+??????????????????????C.?-???????????????????????D.?+
14.已知向量 满足 ， ，则 （?? ）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
二、填空题
15.与=（1，2）共线的单位向量为________?
16.设向量,不平行，向量+λ与3+2平行，则实数λ=________?
17.在平面上，⊥ ， ||=||=1，=+ ． 若||＜ ， 则||的取值范围是________?
18.设向量 ， 不共线，若 ，则实数λ的值为________．
19.如图，四边形 是边长为 的正方形，把各边三等分后，共有 个交点，从中选取两个交点作为向量，则与 平行且长度为 的向量有________个．
20.与向量 =（3，4，0）同向的单位向量 =________．
21.若等边△ABC的边长为2 ， 平面内一点M满足=+ ， 则=________
22.已知向量 满足 且 ，则 的最小值为________．
23.在如图所示的向量 ， ， ， ， 中（小正方形的边长为1），是否存在：
（1）是共线向量的有________；
（2）是相反向量的为________；
（3）相等向量的________；
（4）模相等的向量________．
三、解答题
24.已知O是正方形ABCD对角线的交点,在以O,A,B,C,D这5点中任意一点为起点,另一点为终点的所有向量中,写出:
（1）与 相等的向量;
（2）与 长度相等的向量;
（3）与 共线的向量.
25.某人从A点出发向西走了10m，到达B点，然后改变方向按西偏北60°走了15m到达C点，最后又向东走了10米到达D点． （1）作出向量 ， ， （用1cm长的线段代表10m长） （2）求||．
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2016?四川）已知正三角形ABC的边长为2 ，平面ABC内的动点P，M满足| |=1， = ，则| |2的最大值是（ ）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
2.（2017?新课标Ⅱ）设非零向量 ， 满足| + |=| ﹣ |则（??? ）
A.?⊥ ????????????????????????????B.?| |=| |????????????????????????????C.??????????????????????D.?| |＞| |
3.（2016?北京）设a,b是向量，则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的（? )
A.?充分而不必要条件?????????B.?必要而不充分条件?????????C.?充分必要条件?????????D.?既不充分也不必要条件
二、填空题
4.（2018?卷Ⅲ）已知向量 ， ， ，若 ，则 ________。
5.（2017·山东）已知向量 =（2，6）， =（﹣1，λ），若 ，则λ=________．
三、解答题
6.（2017?浙江）已知向量 、 满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣ |的最小值是________，最大值是________．
2019年备战高考数学全国各地真题精练（2016-2018）
第4章 第1节 平面向量的概念及其线性运算（教师版）
备战基础·零风险
1．了解向量的实际背景．
2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．
3．理解向量的几何表示．
4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．
6．了解向量线性运算的性质及其几何意义.
向量的有关概念
名称
定义
备注
平行向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
向量的线性运算
向量
运算
定 义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律：
a＋b＝b＋a.
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积
的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；
当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
备战方法·巧解题
规律
方法
1．一个区别 两个向量共线与两条线段共线不同，前者的起点可以不同，而后者必须在同一直线上．同样，两个平行向
量与两条平行直线也是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上．
2．两个防范 一是两个向量共线，则它们的方向相同或相反；如(1)；二是注重零向量的特殊性.
3. 对于向量的概念应注意以下几条：
(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；
(2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；
(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．
4. (1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．
(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．
5.(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线.
6．向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可多记忆一些有关的结论．
7．对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解为位置(共线或不共线)与向量等式之间所建立的对应关系．要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式b＝λa，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置．
备战练习·固基石
一、单选题
1.若| |=| |且 = ，则四边形ABCD的形状为（?? ）
A.?平行四边形???????????????????????????????B.?矩形???????????????????????????????C.?菱形???????????????????????????????D.?等腰梯形
【答案】C
【考点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】解：四边形ABCD中，∵ = ， ∴BA∥CD，且BA=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； 又| |=| |， ∴平行四边形ABCD是菱形； 故选：C． 【分析】由向量相等，得出四边形ABCD是平行四边形；由模长相等，得出平行四边形ABCD是菱形．
2.已知向量 =（4，2）， =（x，3），且 ∥ ，则x的值是（? ）
A.?﹣6????????????????????????????????????????B.?6????????????????????????????????????????C.?﹣ ????????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】平行向量与共线向量
【解析】【解答】解：∵向量 =（4，2）， =（x，3），且 ∥ ， ∴2x﹣3×4=0， 解得x=6． 故选：B． 【分析】根据平面向量的坐标表示与共线定理，列出方程求出x的值．
3.下列说法正确的是（?? ）
A.?∥ 就是 所在的直线平行于 所在的直线?????
B.?长度相等的向量叫相等向量 C.?零向量的长度等于0????????????????????????????????????????????????????????????
D.?共线向量是在同一条直线上的向量
【答案】C
【考点】向量的物理背景与概念
【解析】【解答】解：对于A，若 ∥ ，则 ， 的方向相同或相反， 所在的直线与 所在的直线平行或在同一直线上，故A错误； 对于B，长度相等且方向相同的向量为相等向量，故B错误； 对于C，长度为0的向量为零向量，故C正确； 对于D，方向相同或相反的向量叫共线向量，故共线向量不一定在同一条直线上，故D错误． 故选；C． 【分析】根据特殊向量的定义进行判断分析．
4.下列命题正确的是(??? )
A.? 与 , 与共 线，则 与 也共线?????
B.?任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 C.?向量 与 不共线，则 与 都是非零向量?????
D.?有相同起点的两个非零向量不平行
【答案】C
【考点】平行向量与共线向量，相等向量与相反向量
【解析】【解答】当 为零向量时，A不成立；两个相等的非零向量的始点与终点可以在同一直线上，B不成立；有相同起点的两个非零向量，若它们终点与起点共线则它们平行，D不成立；若 与 至少有一个为零向量，则向量 与 必共线，所以C正确，故答案为：C.【分析】本题主要考查命题的真假判断，以及平面向量的概念考查，根据平面向量的概念对选项一一分析即可。
5.下列命题不正确的是（ ）
A.?零向量没有方向?????? ?B.?零向量只与零向量相等???????
C.?零向量的模为0??????? D.?零向量与任何向量共线
【答案】A
【考点】向量的物理背景与概念
【解析】【解答】考虑A，零向量有方向，只是不确定而已，所以A中命题为假； 考虑B，规定：零向量与零向量相等，所以B中命题为真； 考虑C，零向量的长度为零，即模为0，所以C中命题为真； 考虑D，规定：零向量与任何向量共线，所以D中命题为真． 故答案为A． 【分析】对于A，可由向量的定义可知，向量必有方向； 对于B，D，由对向量的规定可判断其正误； 对于C，由零向量的定义可知其正确与否。
6.在矩形ABCD中，||=4，||=2，则|++|=（ ）
A.?12???????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????D.?2
【答案】C
【考点】向量的模
【解析】【解答】由已知矩形ABCD中，， 则 故选C． 【分析】由已知得到所求是对角线BD长度的2倍，只要求出矩形的对角线即可。
7.有下列说法：
①若向量、满足||＞||，且与方向相同，则＞；
②|+|≤||+||；
③共线向量一定在同一直线上；
④由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行；
其中正确说法的个数是（ ）
A.?0 ?????B.?1 ?????C.?2 ?????D.?3
【答案】B
【考点】向量的物理背景与概念
【解析】【解答】解：（1）∵向量不能比较大小，故①错误；
（2）cosθ，
， 故②正确；
（3）共线向量只需方法相同或相反即可，不一定在同一直线上，故③错误；
（4）零向量与任一向量都是共线的，即零向量与任一向量平行，故④错误．
故选：B．
【分析】根据平面向量的有关定义进行分析判断．
8.已知D为的边BC的中点，所在平面内有一点P，满足，设则的值为????? (? )
A.?1???????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】平行向量与共线向量
【解析】【分析】由已知的等式可得 + =0，故四边形PCAB是平行四边形，再由D为△ABC的边BC的中点，可得λ的值为2． 【解答】∵ ， 即-+=0，即+ =0，故四边形PCAB是平行四边形， 由D为△ABC的边BC的中点， ∴=2， 故选 C．
9.已知=(4,1)，=(-1,K)若A，B，C三点共线，则实数k的值为（ ）
A.?4??????????????????????????????????????????B.?-4??????????????????????????????????????????C.?-??????????????????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】平行向量与共线向量
【解析】【解答】解：∵A，B，C三点共线，∴与共线 又∵=(4,1)，=(-1,K)， ∴4k﹣1×（﹣1）=0， 解得k=- 故选C 【分析】由题意可得与共线，进而可得4k﹣1×（﹣1）=0，解之即可．
10.已知空间四边形OABC，其对角线是OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG=3GN，用基底向量,,表示向量应是（ ）
A.?=++?????????????????????????????????B.?=-+ C.?=++?????????????????????????????????D.?=-+
【答案】A
【考点】向量的几何表示
【解析】【解答】∵ = = =++ 故选A． 【分析】根据所给的图形和一组基底，从起点O出发，绕着图形的棱到P，根据图形中线段的长度整理，把不是基底中的向量再用是基地的向量来表示，做出结果。
11.已知向量表示“向东航行1km”，向量表示“向北航行km”，则向量+表示（ ）
A.?向东北方向航行2km???????????????????????????????????????????B.?向北偏东30°方向航行2km C.?向北偏东60°方向航行2km??????????????????????????????????D.?向东北方向航行（1+）km
【答案】B
【考点】向量的几何表示
【解析】【解答】如图，作 则， 所以 且sin∠BOC= ， 所以∠BOC=30°． 因此 +表示向北偏东30°方向航行2km． 故选B． 【分析】先由平行四边形法则（或三角形法则）画出向量+ ， 然后在直角三角形（如Rt△OBC）中求出它的大小与方向，则问题解决。
12.已知向量 ， =1，对任意t∈R，恒有，则（ ）
A.? ????????B.?⊥（﹣）??????????C.?????????D.?
【答案】C
【考点】向量的模
【解析】【解答】已知向量 已知向量 ， =1，对任意t∈R，恒有，则（ ） ， =1，对任意t∈R，恒即 即 故选C． 【分析】对两边平方可得关于t的一元二次不等式 ， 为使得不等式恒成立，则一定有△≤0。
13.在平行四边形ABCD中，点E为CD中点，= ， = ， 则等于（ ）
A.?--??????????????????????????????B.?-+??????????????????????????????C.?-??????????????????????D.?+
【答案】B
【考点】向量的几何表示
【解析】【解答】由题意可得， 故选：B． 【分析】由条件利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，求得。
14.已知向量 满足 ， ，则 （?? ）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】向量的模
【解析】【解答】解：向量 ， 满足| |=1，| |=2， ﹣ =（ ），
可得| ﹣ |2=5，即| |2+| |2﹣2 ? =5，解得 ? =0．
| +2 |2=| |2+4| |2﹣4 ? =1+16=17．
| +2 |= ．
故答案为：D．
【分析】利用已知求| |2 ， 即可求出，即可求出结果.
二、填空题
15.与=（1，2）共线的单位向量为________?
【答案】±（ ， ）
【考点】单位向量
【解析】【解答】解：与=（1，2）共线的单位向量为 ±=±（ ， ）． 故答案为：±（ ， ）． 【分析】利用单位向量的定义写出与共线的单位向量±并化简．
16.设向量,不平行，向量+λ与3+2平行，则实数λ=________?
【答案】
【考点】平行向量与共线向量
【解析】【解答】解：∵向量+λ与3+2平行，
∴存在μ∈R，使+λ=μ（3+2），
∴，
解得μ= ， λ= ．
故答案为： ．
【分析】根据向量平行的共线定理，列出方程求出λ的值．
17.在平面上，⊥ ， ||=||=1，=+ ． 若||＜ ， 则||的取值范围是________?
【答案】（ ， ]
【考点】向量的模
【解析】【解答】根据题意知，A、B1、P、B2构成一个矩形AB1PB2 ，
以AB1 ， AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示；
设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b）；
由
∵||＜ ， ∴（x﹣a）2+（y﹣b）2＜ ，
∴1﹣y2+1﹣x2＜ ，
∴x2+y2＞；①
又∵（x﹣a）2+y2=1，
∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1，
∴y2≤1；
同理x2≤1，
∴x2+y2≤2；②
由①②知＜x2+y2≤2，
∵
∴
故答案为：（ ， ]．
【分析】由题意，A、B1、P、B2构成矩形AB1PB2 ， 以AB1 ， AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，
设出点O的坐标（x，y）与点P的坐标（a，b），求出x2+y2的取值范围，再求||的取值范围．
18.设向量 ， 不共线，若 ，则实数λ的值为________．
【答案】﹣2
【考点】平行向量与共线向量
【解析】【解答】解：∵ ，则存在实数k使得 =k ， ∴（1﹣kλ） ﹣（2+4k） = ， ∵向量 ， 不共线， ∴1﹣kλ=0，﹣（2+4k）=0，解得λ=﹣2． 故答案为：﹣2． 【分析】 ，则存在实数k使得 =k ，化简利用向量相等即可得出．
19.如图，四边形 是边长为 的正方形，把各边三等分后，共有 个交点，从中选取两个交点作为向量，则与 平行且长度为 的向量有________个．
【答案】
【考点】平行向量与共线向量
【解析】【解答】如图所示，满足与 平行且长度为 的向量有 ， ， ， ， ， ， ， ，共 个. 【分析】根据共线向量的定义，方向相同和相反的向量逐一判断即可。
20.与向量 =（3，4，0）同向的单位向量 =________．
【答案】
【考点】单位向量
【解析】【解答】解：与向量 =（3，4，0）同向的单位向量 = = = ． 故答案为： ． 【分析】与向量 =（3，4，0）同向的单位向量 = ，即可得出．
21.若等边△ABC的边长为2 ， 平面内一点M满足=+ ， 则=________
【答案】-2
【考点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】以C点为原点，以AC所在直线为x轴建立直角坐标系，可得
∵
∴=﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】先合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设， 这样利用向量关系式，求得， 运用数量积公式解得为﹣2 .
22.已知向量 满足 且 ，则 的最小值为________．
【答案】
【考点】向量的模
【解析】【解答】 = 所以 的最小值为 故答案为 【分析】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．解答本题的关键在于牢固掌握向量模的求解方法.
23.在如图所示的向量 ， ， ， ， 中（小正方形的边长为1），是否存在：
（1）是共线向量的有________；
（2）是相反向量的为________；
（3）相等向量的________；
（4）模相等的向量________．
【答案】（1） （2） （3）不存在 （4）
【考点】平行向量与共线向量，相等向量与相反向量
【解析】【解答】解：以 的起点为坐标原点，以矩形的长与宽为x，y轴建立坐标系 则 ， （1）∵ ； ， ∴ ∴ （2） ； ∴ 是相反向量（3）无相等向量（4）∵ 故模相等的向量有 【分析】建立直角坐标系，写出向量的坐标（1）通过向量的坐标得到向量的关系，利用向量共线的充要条件找出共线向量（2）利用相反向量的定义，从（1）找出相反向量．（3）利用相等向量的定义：相等向量的坐标相同，得到不存在．（4）利用向量模的坐标公式求出向量的模，找出模相同的向量．
三、解答题
24.已知O是正方形ABCD对角线的交点,在以O,A,B,C,D这5点中任意一点为起点,另一点为终点的所有向量中,写出:
（1）与 相等的向量;
（2）与 长度相等的向量;
（3）与 共线的向量.
【答案】（1）解：画出图形,如图所示. 易知BC∥AD,BC=AD,所以与 相等的向量为 （2）解：由（1）图像得：O是正方形ABCD对角线的交点知OB=OD=OA=OC,所以与 长度相等的向量为 . （3）解：由（1）图像得：与 共线的向量为 .
【考点】平行向量与共线向量，相等向量与相反向量
【解析】【分析】本题主要考查了平共线向量、相等向量的有关概念，解决问题的关键是根据所给向量满足的条件进行正确作图，然后观察所求向量即可.
25.某人从A点出发向西走了10m，到达B点，然后改变方向按西偏北60°走了15m到达C点，最后又向东走了10米到达D点． （1）作出向量 ， ， （用1cm长的线段代表10m长） （2）求||．
【答案】解：（1）如图， （2）因为=-，故四边形ABCD为平行四边形， 所以||=||=15（m）
【考点】向量的几何表示
【解析】【分析】本题应用具体方位用有向线段表示向量；并且借助相反向量模相等得到||=||=15（m）。
备战真题·勇闯天涯
一、单选题
1.（2016?四川）已知正三角形ABC的边长为2 ，平面ABC内的动点P，M满足| |=1， = ，则| |2的最大值是（ ）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】向量的模
【解析】【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C ．A ．∵M满足| |=1，∴点M的轨迹方程为： =1，令x= +cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又 = ，则M ，∴| |2= + = +3sin ≤ ．∴| |2的最大值是 ． 故选：B． 【分析】如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C ．A ．点M的轨迹方程为： =1，令x= +cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又 = ，可得M ，代入| |2= +3sin ，即可得出；本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2.（2017?新课标Ⅱ）设非零向量 ， 满足| + |=| ﹣ |则（??? ）
A.?⊥ ???????????????????????B.?| |=| |??????????????????????????C.??????????????????????D.?| |＞| |
【答案】A
【考点】向量的模，平面向量数量积的运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：∵非零向量 ， 满足| + |=| ﹣ |， ∴ ， 解得 =0， ∴ ． 故选：A． 【分析】由已知得 ，从而 =0，由此得到 ．
3.（2016?北京）设a,b是向量，则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的（? )
A.?充分而不必要条件?????????B.?必要而不充分条件?????????C.?充分必要条件?????????D.?既不充分也不必要条件
【答案】D
【考点】充要条件，向量的模
【解析】【解答】若 成立，则以 ， 为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形， ， 表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以 不一定成立，从而不是充分条件；反之， 成立，则以 ， 为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以 不一定成立，从而不是必要条件. 【分析】根据向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义，可得答案
二、填空题
4.（2018?卷Ⅲ）已知向量 ， ， ，若 ，则 ________。
【答案】
【考点】平行向量与共线向量，空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为 又 所以 【分析】由向量坐标运算得到 坐标，再由共线可求出
5.（2017·山东）已知向量 =（2，6）， =（﹣1，λ），若 ，则λ=________．
【答案】﹣3
【考点】平行向量与共线向量，平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：∵ ，∴﹣6﹣2λ=0，解得λ=﹣3． 故答案为：﹣3． 【分析】利用向量共线定理即可得出．
三、解答题
6.（2017?浙江）已知向量 、 满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣ |的最小值是________，最大值是________．
【答案】4；
【考点】函数的最值及其几何意义，向量的模，余弦定理，三角函数的最值
【解析】【解答】解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图， 由余弦定理可得： | + |= ， | ﹣ |= ， 令x= ，y= ， 则x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图， 令z=x+y，则y=﹣x+z， 则直线y=﹣x+z过M、N时z最小为zmin=1+3=3+1=4， 当直线y=﹣x+z与圆弧MN相切时z最大， 由平面几何知识易知zmax即为原点到切线的距离的 倍， 也就是圆弧MN所在圆的半径的 倍， 所以zmax= × = ． 综上所述，| + |+| ﹣ |的最小值是4，最大值是 ． 故答案为：4、 ． 【分析】通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知| + |= 、| ﹣ |= ，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．
